大学物理第九章振动学基础习题答案
第9章 振动学基础 习题答案
9-1 一竖直弹簧振子，T=0.5s，现将它从平衡位置向下拉 4cm释放，让其振动，则振动方程为
y 4 cos 4t cm
9-2 已知简谐振动方程 x 2 cos 动能 E K 最大；势能 E P
2 最大；E K E P 。
t (cm) ，则t为何值时，
k 2 令 最 大 2 解：E K 2 sin t t 2n 1 2 2 2 2 t 2n 1 , n 0,1,2, k 2 令 最 大 E P 2 cos 2 t t n 2 2 2 t 2n , n 0,1,2,
x 0.12 cost 3
9-10 一质点沿x轴简谐振动，振幅为0.12m，周期2s，当t=0 时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正向运动，求（1）质 点振动的运动方程；（2）t=0.5s时质点的位置、速度、加
速度；（3）质点在x=-0.06m处，且向x轴负向运动，再回
解：用旋转矢量法表示两个振动，
A1 4 2 3 j 2 6
A2 2( 56 ) 3 j
A A1 A2 3 j 2 6
表示为振动方程。合振动为
x 2 cost cm 6
9-10 一质点沿x轴简谐振动，振幅为0.12m，周期2s，当t=0 时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正向运动，求（1）质 点振动的运动方程；（2）t=0.5s时质点的位置、速度、加
x 0.12cost1 0.06 t1 23 或 43 3 3 v 0.12 sint1 0 t1 23 3 3
令
在平衡位置，x 0.12cos t 0 3
第9章振动学基础习题
第9章振动学基础习题9.1 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.1cos（8πt＋2π/3）（SI）的规律振动，求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初相以及速度与加速度的最大值；（2）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；（3）t＝1、2、5、10s等各时刻的相位；（4）分别画出振动的x-t图线，v-t图线和a-t图线；（5）画出这些振动的转动矢量图示，并在图中指明t＝1、2、5、10s时矢量的位置。
9.2 一个弹簧振子m=0.5kg，k=50N／m，振幅A=0.04m，求：（1）振动的圆频率，最大速度和最大加速度；（2）当振子对平衡位置的位移为x=0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力；（3）以速度具有正的最大值时为计时起点，写出振动的表达式。
9.3 一质点在x=0附近沿x轴作简谐振动。
在t=0时位置为x=0.37cm，速度为零，振动频率为0.25Hz。
试求：（1）周期、圆频率、振幅；（2）在时刻t的位置和速度；（3）最大速度和最大加速度的值；（4）在t=3.0s时的位置和速率。
9.4 作简谐振动的小球，速度最大值为v m=3cm/s，振幅A=2cm，若从速度为正的最大值时开始计算时间，求：（1）振动的周期；（2）加速度的最大值；（3）振动表达式。
9.5 如图，两轻弹簧与小球串联在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A、B之间，整个系统放在水平面上。
设弹簧的原长为l1、l2，倔强系数为k1、k1，A、B间距离为L，小球的质量为m。
（1）试确定小球的平衡位置。
（2）使小球沿弹簧长度的方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否是简谐振动？振动的周期为多少？9.6 一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一质量为m的盘子。
现有一质量为M的物体从离盘h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，盘子开始振动起来。
（1）此时振动周期与空盘振动的周期各为多少？（2）此时振动的振幅。
第9章 振动学基础答案
第9章 振动学基础答案9.4 一个运动质点的位置与时间的关系为 m t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=325cos 1.0ππ , 其中x 的单位是m , t 的单位是s .试求：（1）周期、角频率、频率、振幅和初相位； （2）t =2s 时质点的位移、速度和加速度.解：（1）由题中质点位置与时间的关系便知，振幅A =0.1m ，初相位3πϕ=，角频率s rad /25πω=，频率Hz 45=ν，周期s f T 8.0541===（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==325sin 41πππυt dt dx ；⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==325cos 85222πππt dt x d a 则当t=2s 时，质点的位移，速度和加速度分别为m x 05.03cos 1.03225cos 1.0-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=πππ；s m /68.0833sin 413225sin 41===⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=ππππππυ222/1.33cos 853225cos 85s m a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=πππππ9.5 一个质量为2.5kg 的物体，系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定.若弹簧受10N 的拉力,其伸长量为5.0cm,求物体的振动周期.解：由kx f =可得弹簧的经度系数为 m N x f k /1021051022⨯=⨯==- 弹簧振子的周期 s k m T 70.01025.2222=⨯==ππ9.6 如图9.27图所示 ,求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的劲度系数为1k 和2k 。
解：设物体离开平衡位置的位移是x ，此时物体所受合力x k k f )(21+-=作为线性回复力，则有021=++x m k k x故m k k 21+=ω mk k 2121+=πν9.7 如图9.28所示 , 求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的径度系数为1k 和2k 。
解：设物体m 离开平衡位置的位移为x ，所受线性回复力为f 则有）（12211x k x k f -=-= )2(21xx x =+（1）、（2）联立解之得 212121/1/11k k k k x k k f +-=+-=所以有振动方程0)(12121=++x k k k k m x，则 )(21,)(21212121k k m k k k k m k k +=+=πνω9.8 仿照式（9.15）的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式.解：对于单摆系统中的物体m ，其振动动能 2222121θυ ml m E k == 系统的势能（重力势能）221)cos 1(θθmgl mgl mgh E p ≈-== 而系统的总能量 201θm gl E E E p k =+= 所以20212212221θθθmglmglml =+ 由此得：)()(22022202θθωθθθ-=-=lg )220θθωθ-±= 9.9 与轻弹簧的一端相接的小球沿x 轴作简谐振动,振幅为A ,位移与时间的关系可以用余弦函数表示.若在t =0时,小球的运动状态分别为（1）x = - A ；（2）过平衡位置,向x 轴正向运动；（3）过x =A /2处,向x 轴负向运动；（4）过2/A x =处,向x 轴正向运动.试确定上述状态的初相位. 解：位移x 与时间t 的一般关系可表为 )cos(ϕω+=t A x（1）t =0时，A x -=， 则有ϕcos A A =-， 即1cos -=ϕ。
9-振动学基础
，初位相2=___________.
答案：4cm 2π/3 提示：运用旋转矢量法，如图。
y
A
A2
A1
O
x
解答 12 题
-7-
二、选择题
1、下列说法正确的是： (A) 简谐振动的运动周期与初始条件无关；(B) 一个质点在返回平衡位置的力作用下，一定做简谐振 动；(C) 已知一个谐振子在 t =0 时刻处在平衡位置，则其振动初相为π/2；(D) 因为简谐振动机械能守恒， 所以机械能守恒的运动一定是简谐振动。
周期 T；2）当速度是 12cm/s 时的位移。
9-S 简谐振动的运动规律
4、如图，一质点在一直线上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A 点时作为计时起点（t=0），经
2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后第 2 次经过 B 点，若己知该质点在 A，B 两点具有相同的速率，
AB=10cm，求：1）质点的振动方程；2）质点在 A 点（或 B 点）处的速率。
计算 5 题
mF
7、有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为
x1
10 cos(2t
)
cm，
x2
10 cos(2t
)
2
cm，
O
计算 6 题
1) 求它们的合振动方程；
2) 另有一同方向的简谐振动 x3 2 cos(2t 3 ) cm，问当3 为何值时， x1 x3 的振幅为最大值？
8、一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A，周期为 T，其振动方程用余弦
(A) Asin ;
(B) Asin ; (C) A cos ; (D) A cos
y
Hale Waihona Puke 4、如图所示质点的简谐振动曲线所对应的振动方程是：
大学物理答案第九章
振幅A与初相位 三、振幅 与初相位φ 的确定
ψ = Acos(ωt +φ)
dψ = − Asin ω +φ) ω ( t dt
简谐振动的振幅和初相位由振动的初始状态决定。 简谐振动的振幅和初相位由振动的初始状态决定。 初始状态决定
已知t=0时，振动量Ψ的振动状态为 ψ0, dψ
ψ0 = Acosφ
− 1
dΨ dt 0 2 A= Ψ0 + ω
2
dΨ dt φ = tan−1 0 ω 0 Ψ
说明： (1) 一般来说φ 的取值在 - π和π(或0和2π)之间； (2) 在应用上面的式子求φ 时，一般来说有两个值， 还要由初始条件来判断应该取哪个值； (3)常用方法：先求A，然后由 Ψ0=Acosφ 、 (dΨ /dt)0=-Aωsinφ 两者的共同部分求φ 。
1 2 Ekmax = kA 2
Ekmin = 0
势 能
Ep = 1 kx2 2
1 2 2 = kA cos (ω +φ0) t 2
1 2 Epmax = kA 2
Epmin = 0
机械能
1 2 E = Ek + Ep = kA 2
简谐振动系统机械能守恒
E
E (1/2)kA2
Ep
o
Ek
Ep = Ek
t
T
x t
由起始能量求振幅
1 2 E = kA 2
2E0 2E A= = k k
LC振荡电路中，电容器上的电 量q和电路中的电流I分别为：
q =Q cos(ωt +φ) 0 I = −ωQ sin ωt +φ) ( 0
大学物理【第五版下册】第九章振动
F弹
o
EK 0
1 2 E1 KA 2
1 2 1 2 E2 mv kx 2 2
x
A
当谐振子伸长为X时:
因为机械能守恒
1 2 1 2 1 2 kA mv kx 2 2 2
一弹簧原长为l,倔强系数为k,一物体m相距 原长X0处于平衡位置,现物体位于平衡位置 下方X处,以平衡位置为势能零点,求在C点 E重 , E弹 , EP 的
例如：质点、刚体、理想气体等都是理想 模型。把实际气体抽象为理想气体时，气 体分子间的碰撞和自由运动是主要因素， 分子间的引力和重力是被忽略的次要因素. 显然，抽象和减少因素是密切相关的，抽 象的过程就伴随着减少因素。在物理学的 创立和发展过程中，理想模型起着不可缺 少的重要作用，研究气体热性质时，首先 根据气体实验定律导出理想气体状态方程， 进而深入研究实际气体的性质。
倔强系数由弹 簧性质决定
例1.证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动。 证明： 平衡位置弹簧伸长x0 mg kx0 ⑴ o x0 在任意位置 x 处， 合力为 x F mg k( x0 x ) ⑵
⑴式代入⑵式
F kx
x
物体受回复力(重力与弹力之和) 作用，作谐振动。
证毕
思考:拍皮球是否谐振动?
F回 kx F回 x
mg
为变力
此处F=mg为恒力,所以 拍皮球不是谐振动.
一维振动
2
F回 kx
ma
F弹
o x
d x F回 k a 2 x dt m m 2 dx k x 0 2 dt m
2
x
k ω称为固有角频率或圆频率,由 令 谐振动系统本身的性质决定. m 2 d x 2 x 0 简谐振动微分方程 有 2 dt
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x mF G G mx x πρπρ=-=-令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
大学物理A第九章简谐振动
第九章 简谐振动一、填空题（每空3分）9-1 质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。
（3:1,A ）9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。
（0.05m ）9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=6.0×10-2cos(T π2t+4π) (SI) , X 2=4.0×10-2cos(Tπ2t -43π) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=2.0×10-2cos(T π2t+4π) (SI)) 9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2A处所需要的最短时间为_________。
（12T） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )4cos(1πω+=t A x m 、)43cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。
(2 A)9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2A处所需要的最短时间为_________。
(6T) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、)25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。
（0.01m ）9-8 质量0.10m kg =的物体，以振幅21.010m -⨯作简谐振动，其最大加速度为24.0m s -⋅，通过平衡位置时的动能为 ；振动周期是 。
(-32.010,10s J π⨯) 9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。
（π）9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -⨯作谐振动，其最大加速度为14.0m s -⋅，则通过最大位移处的势能为 。
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第九章 振动学习题
9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=t x ，的规律做自
由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=
（2）π
=8π3
t φ+ （3）略
9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2
）ω=
=
，2π
2T ω=
=9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为
3
244
33
x m
F G G mx x πρπρ=-=-
令4
3
k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2
）ω==
2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ＝1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1
（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=
（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
（3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
（4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
若使物体上、下振动，且规定向下为正方向。
当t ＝0时，（1）物体在平衡位置上方8.0 ×10-2m 处，由静止开始向下运动；（2）物体在平衡位置并以0.6m·s -1的速度向
上运动。
分别求其振动方程。
9-6 一振动质点的振动曲线如图所示，试求（1）振动方程；（2）P 点对应的相位；（3）从振动开始到达点P 相应位置所需时间。
解：（1）A=0.10m ，ϕ0=-π/3，ϕ1=-π/3+ω=π/2，得ω=5π/6s -1
50.10cos (m)6
3x t π
π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（2）ϕP =0
（3）ϕP =ϕ0+ωt=-π/3+ωt=0，得t=0.4s
9-7 如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧，系一质量为m 1的物体，在水平面上做振幅为A 的谐振动。
有一质量为m 2的粘土，从高度h 自由下落，正好在（a ）物体通过平衡位置时；（b ）物体在最大位移处时，落在物体上。
求（1）振动周期有何变化？（2）振幅有何变化？
9-8质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10-2m做谐振动，其最大加速度为4.0 m·s-1。
求（1）振动周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？
9-9 一弹簧振子做谐振动，振幅A=0.20m ，如果弹簧的劲度系数k=2.0N/m ，所系物体的质量m=0.50kg ，试求（1）当动能和势能相等时，物体的位移是多少？（2）设t=0时，物体在正向最大位移处，第一次达到动能和势能相等处所需时间是多少？
9-10 一氢原子在分子中的振动可视为谐振动。
已知氢原子质量m ＝1.68 ×10-27
kg ，振动频率v ＝1.0 ×1014 Hz ，振幅A ＝1.0 ×10-11m 。
试计算（1）此氢原子的最大速度；（2）与此振动相联系的能量。
解：（1）14113max 2 6.281010 6.2810m /s A A ωπν-===⨯⨯=⨯v
（2）()22
27320max 10.5 1.6810 6.2810 3.3110J 2
E m --==⨯⨯⨯⨯=⨯v
9-11 由一个电容C=4.0μF 的电容器和一个自感L=10mH 的线圈组成的LC 电路。
当电容器上电荷的最大值Q 0=6.0×10-5时开始做无阻尼自由振荡。
试求（1）电场能量和磁场能量的最大值；（2）当电场能量和磁场能量相等时，电容器上的电荷量。
9-12 LC 电路中，电容器充电后经由线圈放电。
（1）若L=0.010H ，C=1.0μF ，ε=1.4V ，求线圈中的最大电流（电阻极小忽略不计）；（2）当分布在电容和线圈间的能量相等时，电容器上的电荷量为多少？（3）从放电开始到电荷量第一次为上述值时，经过了多少时间？
解：（1）Q=Cε=1.0×10-6×1.4=1.4×10-6C ，416
10s 0.0110LC ω--=
==⨯
4-6-2010 1.410 1.410A m I Q ω==⨯⨯=⨯
（2）2227112, 9.910C 22222q Q W Li q Q C C -=
====⨯ （3）5044
7.8510s 10
t φφπω--===⨯
9-13 一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，其振动方程为
(m) 62cos 04.01⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πt x ，(m) 65-2cos 03.02⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=πt x
试求其合振动的振动方程。
解：566ππφπ-∆=-=，A=A 1-A 2=0.01m ，合振动(m) 62cos 01.0⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=πt x
9-14 两个同频率的谐振动1和2的振动曲线如图所示，求（1）两谐振动的振动方程；（2）在同一图中画出两谐振动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3）若两谐振动叠加，求合振动的振动方程。
9-15 一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，其振动方程为
(m) 655.0cos 3.01⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=ππt x ，()(m ) 5.0cos 4.0202φπ+=t x
试问（1）ϕ20为何值时合振动的振幅最大？其值为多少？（2）若合振动的初相ϕ0=π/6，则ϕ20为何值？
解：（1）2020552, 266k k φππφππ+==-，A=0.7m （2）206
π
φ=
9-16 已知两个同方向、同频率的谐振动为
(m) π4310cos 05.01⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，(m) 4π10cos 05.02⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=t x
求（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的谐振动
()(m ) 10cos 05.033φ+=t x ，则3φ为多少时，x 1＋x 2＋x 3的振幅最大？3φ为多少时，
x 1＋x 2＋x 3的振幅最小？
9-17 三个同方向、同频率的谐振动为
(m) 610cos 1.01⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πt x ，(m) 210cos 1.02⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=πt x ，
(m) 6510cos 1.03⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=πt x
试利用旋转矢量法求出合振动的振动方程。
解：如图A=0.2m ，ϕ0=π/2，(m) 210cos 2.0⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=πt x
*9-18 当两个同方向的谐振动合成为一个振动时，其振动方程为
cos2.1cos50.0=x A t t ，式中t 以s 为单位。
求各分振动的角频率和合振动的拍的周期。
解：有题意可知2
121
2.1, 5022ωωωω-+==，得111247.9s , 52.1s ωω--== 拍的周期 21
12 1.5s v π
τωω==
=-。