图形的旋转的性质
图形的旋转
图形的旋转知识要点1、旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。
其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
2、旋转性质①旋转后的图形与原图形全等②对应线段与O形成的角叫做旋转角③各旋转角都相等3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。
其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。
4、平移性质①平移后的图形与原图形全等②两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）③各组对应线段平行且相等5、中心对称与中心对称图形①中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。
其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
②中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。
其中，这个点叫做该图形的对称中心。
6、轴对称与轴对称图形(1)轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。
其中，这条轴叫做对称轴。
注：轴对称的性质：①两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
7、点的对称变换（1）、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）（2）、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x 轴的对称点为P＇（x，-y）（3）、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y 轴的对称点为P＇（-x，y）注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。
综合练习1（1）将一个平面图形F上的每一点，绕这个平面一_____ 点旋转，得到图形F’，图形的这种变换就叫做旋转。
图形的旋转知识点总结
图形的旋转知识点总结
定义：旋转是指把一个图形绕着一个固定的点旋转一定的角度，使得原图形和旋转后的图形具有相同的形状和大小。
旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角度（通常用度数表示）。
旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变。
旋转中心是唯一不动的点。
一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度。
中心对称和中心对称图形：
如果一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。
如果一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么这个图形成中心对称图形。
坐标变换：在二维空间中，图形旋转可以通过坐标变换的方式来实现。
例如，一个点P(x, y)以原点为中心逆时针旋转α度后的坐标为P'(x', y')，其中x' = x * cos(α) - y * sin(α)，y' = x * sin(α) + y * cos(α)。
应用：图形旋转在多个领域都有应用，如图像处理（用于旋转、镜像等操作）、建筑设计（用于设计建筑物的立面、平面布局等）、工程制图（用于绘制机械零件、建筑结构等）和游戏开发（用于实现动画效果）等。
总结来说，图形的旋转是一个重要的几何概念，具有广泛的应用价值。
通过学习图形的旋转，可以更好地理解几何图形的性质和应用。
图形的旋转概念与性质
在物理模拟中，描述物体旋转的参数包括角速度和角加速度。角速度表 示物体每秒钟转过的角度，角加速度则表示物体转动速度的变化率。
03
转动惯量
物理模拟中另一个重要的概念是转动惯量，它描述了物体转动时抵抗改
变其转动状态的能力。转动惯量的大小取决于物体的质量分布和转动轴
的位置。
04 旋转的数学原理
欧拉角
欧拉角是描述物体在三维空间中绕着 三个轴（通常为X、Y、Z轴）旋转的 角度。
欧拉角在表示旋转时存在万向节锁问 题，即当物体绕两个轴旋转时，第三 个轴的旋转角度可能会发生跳变。
欧拉角有三种类型：滚动角（绕X轴 旋转）、俯仰角（绕Y轴旋转）和偏 航角（绕Z轴旋转）。
轴角表示法
轴角表示法是通过指定旋转轴 和旋转角度来描述物体的旋转。
守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，刚 体的角动量保持不变。
应用
解释了旋转运动的物体在没有外 力矩作用时，会保持其旋转状态。
旋转的能量守恒定律
旋转动能
刚体绕旋转轴转动的动能，与转动惯量和角速度平方成正比。
守恒定律
在没有外力做功的情况下，刚体的旋转动能保持不变。
应用
解释了旋转运动的物体在没有外力做功时，其旋转速度不会发生变 化。
在Unity中，可以使用Rotate 方法并传入负值来实现逆旋 转，即旋转相反的方向。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
相反的方向。
DirectX中的旋转
欧拉角与四元数
DirectX支持使用欧拉角或四元数来表示旋转。欧拉角是绕三个轴的旋转角度，而四元数 则是一种更稳定的表示方式，可以避免万向锁问题。
变换矩阵
通过指定变换中心和旋转角度，DirectX可以计算出对应的变换矩阵，用于更新顶点坐标 。
旋转的性质有哪些
旋转的性质有哪些
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转。
本文整理了旋转相关性质，欢迎阅读。
旋转性质
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，
①对应点到旋转中心的距离相等。
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
③旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变。
④旋转中心是唯一不动的点。
⑤一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度。
旋转三要素
①定点—旋转中心；
②旋转方向；
③旋转角。
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样。
旋转角定义
旋转角是指以图形在作旋转运动时，一个点与中心的旋转连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线这两条线的夹角。
旋转角性质
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。
几何图形的旋转对称性质
几何图形的旋转对称性质一、定义与性质1.旋转对称图形：在平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转一个角度后，能够与另一个图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形。
2.旋转中心：旋转对称图形时，图形绕着旋转的点叫做旋转中心。
3.旋转角：图形旋转的角度叫做旋转角。
4.旋转对称性质：（1）旋转对称图形具有轴对称性质。
（2）旋转对称图形的边长、角度、面积等都不变。
（3）旋转对称图形的对应点、对应线段、对应角相等且共线。
二、常见旋转对称图形1.正多边形：正n边形（n为正整数）绕着中心旋转一个角度后，能够与另一个正n边形重合。
2.圆：圆绕着圆心旋转任意角度后，能够与另一个圆重合。
3.线段：线段绕着中点旋转一个角度后，能够与另一个线段重合。
4.等腰三角形：等腰三角形绕着底边中点旋转一个角度后，能够与另一个等腰三角形重合。
5.等边三角形：等边三角形绕着重心旋转一个角度后，能够与另一个等边三角形重合。
6.矩形、正方形、菱形：这些四边形绕着对角线交点旋转一个角度后，能够与另一个矩形、正方形、菱形重合。
三、旋转对称性质的应用1.构造图形：利用旋转对称性质，可以构造出各种几何图形。
2.证明定理：在证明几何定理时，可以利用旋转对称性质简化证明过程。
3.计算面积：利用旋转对称性质，可以简化计算几何图形面积的过程。
4.设计图案：在设计图案时，可以利用旋转对称性质创造出各种美丽的图案。
四、注意事项1.旋转对称图形与轴对称图形的区别：旋转对称图形是绕着某一点旋转，而轴对称图形是绕着某一条直线折叠。
2.旋转角的选择：在进行图形旋转时，旋转角的选择应尽量便于观察和计算。
3.注意旋转对称性质的应用范围：旋转对称性质适用于大部分平面几何图形，但并非所有图形都具有旋转对称性质。
习题及方法：1.习题：判断下列图形中，哪些是旋转对称图形。
（1）正三角形（3）五角星对于每个图形，想象将其绕着某一点旋转，看是否能与原来的图形重合。
（1）正三角形：可以绕着其中心旋转120度，与原来的图形重合，所以是旋转对称图形。
旋转知识点总结
旋转知识点总结旋转知识点归纳知识点1：旋转的定义及其有关概念在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
如果图形上的点P经过旋转到点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
如图1，线段AB绕点O顺时针转动90度得到AB'，这就是旋转，点O就是旋转中心，∠BOB'和∠AOA'都是旋转角。
说明：旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略。
决定旋转的因素有三个：一是旋转中心；二是旋转角；三是旋转方向。
知识点2：旋转的性质由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的。
由此得到如下性质：⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同。
⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
⑶对应点到旋转中心的距离相等。
⑷对应线段相等，对应角相等。
例1：如图2，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ADB绕点A逆时针方向旋转到△ADC的位置，则∠ADD'的度数是（）。
分析：抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质，本题就很容易解决。
由△ADC是由△ADB旋转所得，可知△ADB≌△ADC，∴AD=AD'，∠DAB=∠D'AC，∵∠DAB+∠___，∴∠D'AC+∠___，∴∠ADD'=45，故选D。
评注：旋转不改变图形的大小与形状，旋转前后的两个图形是全等的，紧紧抓住旋转前后图形之间的全等关系，是解决与旋转有关问题的关键。
知识点3：旋转作图1.明确作图的条件：（1）已知旋转中心；（2）已知旋转方向与旋转角。
2.理解作图的依据：（1）旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转；（2）旋转的性质：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
图形的旋转--旋转的概念与性质
CB
F
A
O
例1.如图,如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O 点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF.在这个旋转过程中：
解:(1)旋转中心是__O_ 旋转角
是_____∠__A_O_D_和__∠__B_O_E_______; (2)经过旋转，点A、B分别
转到了位置__点__D_和__点__E___
课后作业
课本：77页，随堂练习： 第1,2题 课本：77页，习题3.4： 第1,2题
六、课堂小结
（一）旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
(二)、旋转的性质（特征）
1.旋转不改变图形的形状和大小；
2.对应线段相等;对应角相等; 3.对应点到旋转中心的距离相等
4.对应点与旋转中心所连成的夹角等于旋转角.
(三)旋转的三要素 1、旋转中心；2、旋转方向 ；3、旋转角
例如右图中的点B和E,A和D
2.性质：旋转不改变图形的大小和形状.
P
C
B
O 120
A
D F
P′
O
E
3.旋转中心与旋转角:如左图中的定点O称
为旋转中心，转动的角∠ AOB称为旋转
角。
C
A
B
B
D
A
F
旋转角
O
E
如右图中的定点O称为旋
o
旋转中心
转中心，转动的角 ∠AOD,∠BOE称为旋转
角。
三、例题解析
例1.如图,如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它 绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF.在这个旋 转过程中:（1）旋转中心是什么?旋转角是什么? （2）经过旋转，点A， B分别移动到什么位置？ （3）AO 与 DO 的长有什么关系? BO 与 EO 呢? （4）∠AOD与∠BOE有什么大小关系?
旋转知识点总结
旋转知识点总结一、旋转1.旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.2.旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度3.旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（3）旋转前后的图形全等.4.网格中的旋转：①确定旋转中心、旋转方向及旋转角；②找原图形的关键点；③连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到各关键点的对应点；④按原图形依次连接各关键点的对应点,得到旋转后的图形.二、中心对称1.中心对称：中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.三、尺规作图（旋转）1.作图方法：以旋转点为中心找出各点旋转对应角度后得到的对应点，再顺次连接得到旋转后的图形.四、关于原点对称的点的坐标1.关于原点对称后点的坐标：若对称前的点坐标为（x，y），那么对称后的点坐标为（－x，－y）.五、旋转90°的点的坐标1.绕原点旋转90°后的点的坐标：（1）顺时针旋转：若对称前的点坐标为（x，y），那么对称后的点坐标为（y，－x）.（2）逆时针旋转：若对称前的点坐标为（x，y），那么对称后的点坐标为（－y，x）.六、常见全等模型（手拉手模型）1.手拉手模型：两个等腰三角形共顶点时，就有全等三角形.结论：（1）△ABE≌△DBC（2）AE=DC（3）AE交DC于点H，∠AHD＝∠ABD（4）HB平分∠AHC七、常见全等模型（半角模型）1.半角模型：共顶点的两个角度，当一个角等于另一个角的一半时，可以将三角形旋转，得到全等三角形.结论：（1）△AEF≌△AGF（2）EF=BF+DEDA CB八、常见全等模型（对角互补四边形旋转模型）1.对角互补四边形旋转模型：四边形对角互补且有一组邻边相等时，可以将三角形旋转，得到等腰三角形或正方形.。
旋转的定义与性质
02
03
2D图形旋转
在计算机图形学中，2D图 形可以通过旋转矩阵进行 旋转，以实现图形的转动 效果。
3D模型旋转
在3D图形中，模型可以通 过旋转轴心进行旋转，以 实现3D模型的动态展示和 交互。
动画中的旋转
在动画制作中，物体可以 通过连续旋转来创建动态 效果，如旋转的球体或飞 旋的车轮等。
04
CATALOGUE
旋翼机
01
旋翼机是一种利用旋转翼产生升力的飞行器，其旋翼的旋转使
机体升空。
陀螺仪
02
陀螺仪是航空航天领域中常用的惯性导航和姿态稳定设备，它
利用高速旋转的陀螺来保持方向和位置的稳定。
火箭发动机
03
火箭发动机中的燃料燃烧产生的高温高压气体通过喷嘴产生反
作用力，推动火箭旋转发射。
计算机图形学中的旋转
01
VS
详细描述
角动量是质量、速度和转动半径的函数， 表示物体绕某点旋转的动量。对于刚体， 其角动量等于刚体绕某点旋转的动量与该 点到旋转轴的距离的乘积。
旋转与万有引力的关系
总结词
万有引力是描述物体之间相互吸引的力，与物体的质量和距离有关。
详细描述
当两个物体之间存在万有引力时，它们可能会发生旋转运动。这种旋转运动受到万有引力的影响，特别是当物体 之间的距离较小时，万有引力可能导致它们发生相对旋转。
旋转的角度是连续变化的
当物体进行旋转时，其与旋转轴之间的角度会连续变化，而不是跳跃或突变。
旋转的速度是连续变化的
由于旋转的角度是连续变化的，因此旋转的速度也是连续变化的。这意味着在旋转过程 中，物体上的每一点的线速度和角速度都是连续变化的。
03
CATALOGUE
旋转和平移知识点总结
旋转和平移知识点总结一、旋转1.1 定义在数学中，旋转是指以某一点为中心，按一定的角度和方向将图形绕该点旋转的过程。
常见的旋转包括顺时针旋转和逆时针旋转，以及以原点为中心的旋转和以其他点为中心的旋转。
1.2 性质（1）旋转是等距变换，旋转前后图形的每个点到中心的距离保持不变。
（2）旋转是保角变换，旋转前后图形上的两个点和中心组成的角度保持不变。
（3）根据旋转的不同角度和方向，可以将图形旋转成不同的位置和姿态。
1.3 公式以原点为中心的逆时针旋转公式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ以任意点（a，b）为中心的逆时针旋转公式：x' = (x-a) * cosθ - (y-b) * sinθ + ay' = (x-a) * sinθ + (y-b) * cosθ + b1.4 实际应用旋转在计算机图形学、几何建模、航空航天、地理信息系统等领域都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，旋转可以用来实现图形的变换和动画效果；在航空航天领域，旋转可以用来控制飞机和卫星的姿态；在地理信息系统中，旋转可以用来实现地图的旋转和放大缩小等功能。
二、平移2.1 定义平移是指保持图形大小、形状和方向不变的情况下，将图形沿着某一方向移动一定的距离的过程。
平移可以分为水平平移和垂直平移，分别是在x轴和y轴方向上进行平移。
2.2 性质（1）平移是等距变换，平移前后图形上的任意两点之间的距离保持不变。
（2）平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。
2.3 公式水平平移公式：x' = x + ay' = y垂直平移公式：x' = xy' = y + b2.4 实际应用平移在地图导航、工程设计、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
例如，地图软件中的平移功能可以让用户在地图上任意移动视角；在工程设计中，平移可以用来调整建筑物或设备的位置；在计算机图形学中，平移可以用来实现图形的移动和拼接。
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23.1图形的旋转的性质
教学目标知识
与
技能
1、掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一
种基本变换.
2、经历探索图形旋转特征的过程，体验和感受图形旋
转的主要特征，理解图形旋转的基本性质.
过程
与
方法
通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力、以及与他人
合作交流的能力.
情感
与
态度
经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，使学生充分感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活
的情感；通过小组合作交流活动，培养学生合作学习的意
识和研究探索的精神.
重点旋转的有关概念和旋转的基本性质
难点探索旋转的基本性质
教学流程安排
活动流程图活动内容和目的
活动1：创设情境，导入新课活动2：演示导学，形成概念活动3：举例应用，加深认识活动4：课堂练习，巩固提高活动5：归纳小结，布置作业通过折纸游戏，导入本课
旋转的概念及探究旋转的基本性质通过例题，加深知识的理解
通过练习，增强知识的运用
学生归纳小结，形成系统.
教学过程设计
问题与情境师生行为设计意图
活动一创设情境导入新课
欣赏日常生活中部分物体的旋转现象.
结合欣赏的图片，
思考：在这些运动中有
哪些共同特征？
本次活动中，教师应
重点关注：
（1）学生参与的全
面性；
（2）学生观察实例
的角度；
（3）学生活动后，
试着描述出旋转的定
义.
通过图形欣赏，
导入主题，调动学
生的主观能动性，
激发好奇心和求
知欲.
活动二演示导学形成概念1、观察：时钟上分针的运动.（动画演示）
问题：时钟上分针的转动是绕哪一个点转动？沿着什么方向转动？从5分到15分转动了多少角度.
学生在观察后，回
答问题，然后教师讲解：
把一个图形绕着某一个
点O转动一个角度的图
形变换叫做旋转，点O
叫旋转中心，转动的角
叫旋转角.
通过观察，使
学生形象、直观地
理解旋转的有关
概念.
教学过程设计
问题与情境师生行为设计意图
2、动手做一做：
在一张半透明的薄纸与另一张纸片之间垫上一张复写纸，在薄纸上画ΔABC，并在ΔABC外面找一点0，再用一枚图钉在0处穿过.将薄纸绕点0旋转一个角度，再次把ΔABC复印在纸片上，并记成ΔA´B´C´.在纸片上分别连接0A、0B、0C、0A´、0B´、0C´.
问题：（1）根据所画的图形，用直尺量出OA与OA´、OB与OB´、OC´的大小；用量角器量出∠AOA´、∠BOB´、∠COC´的度数，观察这三个角的大小，并指出旋转中心，旋转角.
（2）说出其中的对应点，对应角和对应线段.
（3）旋转后图形的形状和大小是否发生变化.
学生在老师的指
导下，动手操作，并动
手完成老师交给的任
务.
学生交流讨论并归
纳出旋转的性质：
（1）对应点到旋转
中心的距离相等.
（2）对应点与旋转
中心所连结的线段的
夹角等于旋转角.
（3）旋转前、后的
图形全等.
本次活动中，教师应
重点关注：
（1）旋转的基本性
质的探究过程应循序
渐进，即演示→观察→
猜想→讨论→归纳.
（2）要给学生充足
的时间和空间.
课件演示及
学生的动手操
作，培养了学生
观察能力和探究
问题的能力、动
手能力，以及与
他人合作交流的
能力，充分体现
了教师为主导，
学生为主体的教
学思想，同时也
突出了重点，突
破难点.
问题与情境师生行为设计意图
2、分析香港特别行政区的区徽图中的图形的旋转现象.
学生思考后，展示
结果.
本次活动中，教师
应重点关注：
（1）学生画出图形
后，能否准确地运用旋
转的基本性质表达出
作图的理论依据.
（2）学生中作图的
不同方法.
通过图形欣赏
让学生感受数学
图形的魅力，激发
学生兴趣.
活动四课堂练习巩固提高
1、P61页练习
2、图形：线段、角、圆、梯形、正方形、菱形中绕一
定点转动一定角度（小于360°）能与原图形重合的图形有（）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
学生单独完成后
及时反馈，教师及时点
评.
通过练习，让
学生再次明确旋
转的主要因素，从
而让学生在知识
不断重视的基础
上加深理解，形成
能力，实现本课的
知识目标.
问题与情境师生行为设计意图
3、P61页练习本次活动中，教师应
重点关注：
（1）点评的针对性、
典型性；
（2）给学生相对充
足的时间与空间.
活动五归纳小结布置作业（1）本节课你有什么收获？
（2）布置作业
P62页T3、T7
学生交流获得的知
识和感受，教师聆听，
并与学生交流.
本次活动中，教师应
重点关注：
（1）学生概括的是
否全面，教师应及时补
充；
（2）不同层次对知
识的掌握的程度.
通过小结，概
括出本节课的知
识与方法.体验
探究过程中的感
受.。