浙江省杭州市余杭实验中学2017-2018学年第一学期高一9月阶段性测试数学试卷
2017-2018学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|（x2﹣1）（x2﹣4）=0}，则集合A∩B的子集个数为（）A．1B．2C．3D．42．（3分）已知，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 3．（3分）幂函数f（x）的图象过点，则f（8）=（）A．8B．6C．4D．24．（3分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx，则的值为（）A．B．C．﹣ln2D．ln25．（3分）已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（3分）已知a是f（x）=的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）＜0B．f（x0）=0C．f（x0）＞0D．f（x0）的符号不确定7．（3分）已知函数，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．（3分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．关于（0，0）对称B．关于（0，1）对称C．关于y轴对称D．关于x=1对称9．（3分）设函数f（x）=，若f[f（a）]＞f[f（a）+1]，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0]B．[﹣1，0]C．（﹣5，﹣4]D．[﹣5，﹣4]10．（3分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣a，a∈R，若对任意的x∈[3，5]，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[3，5]C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）函数值域为，单调递增区间是．12．（4分）已知x=log23，则=．13．（4分）已知函数，且函数h（x）=f（x）﹣x+a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是．14．（4分）已知f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数，若函数是3型函数，则m=，n=．15．（4分）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间￡（单位：天）的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z 的变化关系．Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•b t，Q=a•log a t．利用你选取的函数，求得：（I）西红柿种植成本最低时的上市天数是；（Ⅱ）最低种植成本是（元/100kg）．16．（4分）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x＜0，恒有，则=．17．（4分）若一元二次不等式ax2﹣2bx+c≥0，（a+b＜0）对x∈R恒成立，则的最小值为．三、解答题（本大题共4小题，共42分）18．（8分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．（1）若a=2，求A∩B，A∩（∁R B）；（2）若A∪B=R，求a的取值范围．19．（10分）已知是奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明；（3）求f（x）的最大值．20．（12分）设f（x）=log a（x﹣2a）+log a（x﹣3a），其中a＞0且a≠1（1）若a=2，解不等式f（x）≤1（2）当x∈[a+3，a+4]时，不等式f（x）≤1恒成立，求a的取值范围．21．（12分）函数f n （x ）=x n +bx +c （n ∈Z ，b ，c ∈R ）．（1）若n=﹣1，且f ﹣1（1）=f ﹣1（）=4，试求实数b ，c 的值；（2）设n=2，若对任意x 1，x 2∈[﹣1，1]有|f 2（x 1）﹣f 2（x 2）|≤4恒成立，求b 的取值范围；（3）当n=1时，已知bx 2+cx ﹣a=0，设g （x ）=，是否存在正数a ，使得对于区间上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以f 1（g （m ）），f 1（g （n ）），f 1（g （p ））为边长的三角形？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|（x2﹣1）（x2﹣4）=0}，则集合A∩B的子集个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由二次不等式的解法，化简集合A，解方程可得集合B，求得A，B的交集，由子集的个数公式，即可得到所求值．【解答】解：集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|（x2﹣1）（x2﹣4）=0}={﹣1，1，﹣2，2}，则集合A∩B={﹣2，2}，则集合A∩B的子集个数为22=4．故选：D．【点评】本题考查集合的交集的定义，考查二次不等式的解法和方程的化简，运用定义法是关键，属于基础题．2．（3分）已知，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解．【解答】解：∵，∴a=log20.3＜log21=0，b=20.3＞20=1，0＜c=0.30.2＜0.30=1，∴b＞c＞a．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，则基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用．3．（3分）幂函数f（x）的图象过点，则f（8）=（）A．8B．6C．4D．2【分析】设出幂函数，利用幂函数经过的点，求出函数的解析式，即可求解函数值．【解答】解：幂函数f（x）=xα，函数的图象过点，可得=3α，∴α=，幂函数f（x）=，f（8）==4．故选：C．【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．4．（3分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx，则的值为（）A．B．C．﹣ln2D．ln2【分析】由函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx，知当x＜0时，f（x）=﹣ln（﹣x），由此能求出的值．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx，∴当x＜0时，f（x）=﹣ln（﹣x），∴=f（ln）=f（﹣2）=﹣ln2．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意奇函数的性质和对数函数性质的灵活运用．5．（3分）已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题．6．（3分）已知a是f（x）=的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）＜0B．f（x0）=0C．f（x0）＞0D．f（x0）的符号不确定【分析】由题意可得f（a）=0，再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+∞）上是增函数，结合0＜x0＜a，可得f（x0）＜0，从而得到答案．【解答】解：∵已知a是f（x）=的零点，∴f（a）=0．再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+∞）上是增函数，且0＜x0＜a，可得f（x0）＜0，故选：A．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，函数的单调性的应用，属于基础题．7．（3分）已知函数，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．【解答】解：f′（x）=e x﹣=，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在[0，1]递增，a＞0时，由f′（x）＞0解得e2x＞a，即x＞lna，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得e2x＜a，即x＜lna，此时函数单调递减，若f（x）在区间[0，1]上单调递增，则lna≤0，解得0＜a≤1，即a∈（0，1]，综上：a≤1，故选：A．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用分类讨论，结合函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合考查导数的应用．8．（3分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．关于（0，0）对称B．关于（0，1）对称C．关于y轴对称D．关于x=1对称【分析】根据函数中心对称的性质即可求出对称中心．【解答】解：f（x）==x+，∵f（﹣x）=﹣x+，∴f（x）+f（﹣x）=x+﹣x+=+=2，∴函数f（x）关于（0，1）对称，故选：B．【点评】本题考查了函数的图象，以及函数的对称性，属于基础题．9．（3分）设函数f（x）=，若f[f（a）]＞f[f（a）+1]，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0]B．[﹣1，0]C．（﹣5，﹣4]D．[﹣5，﹣4]【分析】讨论f（a）与f（a）+1的取值，从而化简不等式，从而利用排除法确定答案．【解答】解：当f（a）≤0，f（a）+1≤0，即a≤﹣5时；f[f（a）]=f（4+a）=8+a，f[f（a）+1]=9+a，故f[f（a）]＜f[f（a）+1]，故f[f（a）]＞f[f（a）+1]不成立；当f（a）≤0，0＜f（a）+1≤4，即﹣5＜a≤﹣4时，f[f（a）]=8+a，f[f（a）+1]=f（5+a）=（5+a）2，8+a＞（5+a）2在（﹣5，﹣4]上显然成立；故结合选项可知，A，B，D一定不正确，故选：C．【点评】本题考查了分类讨论的思想及排除法的应用．10．（3分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣a，a∈R，若对任意的x∈[3，5]，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[3，5]C．D．【分析】讨论a的取值：a＜3，3≤a≤5，a＞5，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围．【解答】解：f（x）=x|x﹣a|﹣a；∴①若a＜3，则x=3时，f（x）在[3，5]上取得最小值f（3）=3（3﹣a）﹣a=9﹣4a；∴9﹣4a≥0，a≤；∴a≤；②若3≤a≤5，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=﹣a；﹣a＜0，不满足f（x）≥0；即这种情况不存在；③若a＞5，则x=5时，f（x）取得最小值f（5）=5（a﹣5）﹣a=4a﹣25；∴4a﹣25≥0，a≥；∴a≥；综上得a的取值范围为：（﹣∞，]∪[，+∞），故选：D．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）函数值域为R，单调递增区间是（﹣∞，﹣1）．【分析】令t=x2﹣2x﹣3＞0，求得函数的定义域结合y=，t＞0，求得函数的值域；求出t的减区间，即为y的增区间．【解答】解：令t=x2﹣2x﹣3＞0，求得x＜﹣1，或x＞3，故函数的定义域为{x|x＜﹣1，或x＞3 }，且y=．由于t=（x﹣1）2﹣4＞0，故y∈R．由于t的减区间为（﹣∞，﹣1），∴y的增区间为（﹣∞，﹣1），故答案为：R；（﹣∞，﹣1）．【点评】本题主要考查复合函数的值域和单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．12．（4分）已知x=log23，则=．【分析】直接由对数的运算性质求解即可．【解答】解：∵x=log23，∴2x=3，∴===．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题．13．（4分）已知函数，且函数h（x）=f（x）﹣x+a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．【分析】利用数形结合画出函数y=f（x）的图象，通过函数h（x）=f（x）﹣x+a 有且只有一个零点，求出a的范围．【解答】解：函数，函数h（x）=f（x）﹣x+a有且只有一个零点，就是y=f（x）的图象与y=x﹣a的图象有且只有一个交点，如图：显然当﹣a＜1时，两个函数有且只有一个交点，故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，考查分析问题解决问题的能力．14．（4分）已知f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f （x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数，若函数是3型函数，则m=﹣4，n=0．【分析】新定义函数y=﹣x2+x是3型函数，可得区间[m，n]为增区间，由题意可得：，，则说明m、n是方程的两根，求解得答案．【解答】解：∵3＞0，∴区间[m，n]为增区间，由题意可得：，，则说明m、n是方程的两根，即方程x2+4x=0的两根，解得：x=﹣4或x=0，又m＜n，∴m=﹣4，n=0．故答案为：﹣4，0．【点评】本题是新定义题，考查了函数值域的求法，关键是对题意的理解，是中档题．15．（4分）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间￡（单位：天）的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z 的变化关系．Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•b t，Q=a•log a t．利用你选取的函数，求得：（I）西红柿种植成本最低时的上市天数是120；（Ⅱ）最低种植成本是80（元/100kg）．【分析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据代入Q，即得函数解析式；（I）根据Q的函数关系，由二次函数的性质即可求得答案；（Ⅱ）由（I）中的结论，即可得到答案．【解答】解：由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，而函数Q=at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据（60，116），（100，84），（180，116）分别代入Q可得，，解得a=，b=﹣，c=224，∴Q=t2﹣t+224，（I）Q=t2﹣t+224的对称轴为t=120，开口向上，在对称轴处即t=120天时函数取最小值；（Ⅱ）当t=120时，Q=×1202﹣×120+224=80；故答案为：120，80．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．16．（4分）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x＜0，恒有，则=．【分析】根据关系式和奇函数的性质得出f（）与f（）的关系，从而得出结论．【解答】解：当x＜0时，0＜＜1，令=解得x=﹣，∴f（）=﹣f（﹣）=f（），再令=得x=﹣，∴f（）=﹣f（﹣）=f（），同理可得：f（）=f（），f（）=f（1）=1，∴f（）==．故答案为：．【点评】本题考查了奇函数的性质，属于中档题．17．（4分）若一元二次不等式ax2﹣2bx+c≥0，（a+b＜0）对x∈R恒成立，则的最小值为3+2．【分析】根据题意，由二次函数恒成立的性质分析可得a＞0且b2≤ac，又由a+b ＜0，则a＜﹣b，设b=﹣1，即a＜1，由此将M=化简变形可得M=﹣1+，又由ac≥1，则M可以变形为≥=，设t=a+，分析可得=，结合二次函数的性质分析可得的最小值，进而可得M的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若一元二次不等式ax2﹣2bx+c≥0对x∈R恒成立，则有a＞0且△=（2b）2﹣4ac≤0，即a＞0且b2≤ac，又由a+b＜0，则a＜﹣b，设b=﹣1，即a＜1，则M====﹣1+，ac≥1，则c≥，则≥=，设t=a+，则＜t＜，则===≥=2（2+），当且仅当t=时等号成立，此时M=3+2，取得最小值；故答案为：3+2．【点评】本题考查一元二次函数的性质及应用，关键是将M变形．三、解答题（本大题共4小题，共42分）18．（8分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．（1）若a=2，求A∩B，A∩（∁R B）；（2）若A∪B=R，求a的取值范围．【分析】（1）a=2时求出集合A、B，再计算A∩B和A∩（∁R B）；（2）讨论a＞1、a=1和a＜1时，求出集合A∪B=R时a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时，集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）≥0}=（﹣∞，1]∪[2，+∞），B={x|x≥2﹣1}={x|x≥1}=[1，+∞）；A∩B={1}∪[2，+∞）；∁R B=（﹣∞，1），∴A∩（∁R B）=（﹣∞，1）；（2）当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞）；若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣2，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查了并集及其运算，二次不等式以及不等式恒成立的应用问题，是中档题．19．（10分）已知是奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明；（3）求f（x）的最大值．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性；（3）根据函数的单调性求出函数的最大值即可．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴=﹣，因此b=﹣b，即b=0．又f（2）=，∴=，4a+2=10，∴a=2；（2）由（1）知f（x）==，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数，令g（x）=x+，则g（x）的单调性和f（x）的单调性相反，证明：设x1＜x2≤﹣1，则g（x1）﹣g（x2）=x1+﹣x2﹣=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1＜x2≤﹣1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1，1﹣＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2）．∴g（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]递减；（3）由（1）（2）f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，0）递增，在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）max=f（1）=．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．20．（12分）设f（x）=log a（x﹣2a）+log a（x﹣3a），其中a＞0且a≠1（1）若a=2，解不等式f（x）≤1（2）当x∈[a+3，a+4]时，不等式f（x）≤1恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）将a=2代入函数的解析式，得到关于x的不等式，解出即可；（2）利用对数的运算性质化简函数f（x）=log a[（x﹣）2﹣]，求出函数的定义域，判断出内函数g（x）=（x﹣）2﹣在[a+3，a+4]上单调递增，将函数在区间[a+3，a+4]上f（x）≤1恒成立，转化为f（x）max≤1，再对底数a进行分类讨论，分别求出f（x）max，从而求得a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时，f（x）=log2（x﹣4）+log2（x﹣6）=log2（x﹣4）（x﹣6），f（x）≤1即0＜（x﹣4）（x﹣6）≤2，解得：6＜x≤5+或5﹣≤x＜4，故不等式的解集是[5﹣，4）∪（6，5+]；（2）f（x）=log a（x﹣2a）+log a（x﹣3a）=log a（x2﹣5ax+6a2）=log a[（x﹣）2﹣]，根据题意可知，，解得，x＞3a，∴a+3＞3a，即a＜，∴（a+3）﹣=（a﹣2）＞0，∴g（x）=（x﹣）2﹣在区间[a+3，a+4]上单调递增．①若0＜a＜1，则f（x）在区间[a+3，a+4]上单调递减，∴f（x）在区间[a+3，a+4]上的最大值为f（a+3）=log a（2a2﹣9a+9），∵不等式f（x）≤1在x∈[a+3，a+4]恒成立，等价于f（x）max≤1，即log a（2a2﹣9a+9）≤1，∴2a2﹣9a+9≥a，解得a≥或a≤，又∵0＜a＜1，∴0＜a＜1．②若1＜a＜，则f（x）在区间[a+3，a+4]上单调递增，∴f（x）在区间[a+3，a+4]上的最大值为f（a+4）=log a（2a2﹣12a+16），∵不等式f（x）≤1在x∈[a+3，a+4]恒成立，等价于f（x）max≤1，即log a（2a2﹣12a+16）≤1，∴2a2﹣12a+16≤a，即2a2﹣13a+16≤0，解得≤a≤，∵1＜a＜且＞，∴a∈∅．综合①②，a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了对数的运算，以及复合函数的单调性和函数的恒成立问题．对于函数恒成立问题，如果能参变量分离的一般选用参变量分离的方法转化为函数的最值进行求解，否则直接运用函数的最值求解．对于对数的底数是参数的话，一般要对其进行分类讨论进行求解，运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．21．（12分）函数f n （x ）=x n +bx +c （n ∈Z ，b ，c ∈R ）．（1）若n=﹣1，且f ﹣1（1）=f ﹣1（）=4，试求实数b ，c 的值；（2）设n=2，若对任意x 1，x 2∈[﹣1，1]有|f 2（x 1）﹣f 2（x 2）|≤4恒成立，求b 的取值范围；（3）当n=1时，已知bx 2+cx ﹣a=0，设g （x ）=，是否存在正数a ，使得对于区间上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以f 1（g （m ）），f 1（g （n ）），f 1（g （p ））为边长的三角形？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由条件，可得b ，c 的方程，解方程可得b ，c ；（2）当n=2时，f 2（x ）=x 2+bx +c ，对任意x 1，x 2∈[﹣1，1]有|f 2（x 1）﹣f 2（x 2）|≤4恒成立等价于f 2（x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M ≤4．讨论对称轴和区间的关系，判断单调性，可得最值，解不等式即可得到所求范围； （3）设t=g （x ）===，由x ∈，可得t ∈[，1]．则y=t +在[，1]上恒有2y min ＞y max ．讨论顶点处x=与区间[，1]的关系，求得单调性，可得最值，解不等式即可得到存在，求得a 的范围． 【解答】解：（1）n=﹣1，且，可得1+b +c=4，2+b +c=4，解得b=2，c=1； （2）当n=2时，f 2（x ）=x 2+bx +c ，对任意x 1，x 2∈[﹣1，1]有|f 2（x 1）﹣f 2（x 2）|≤4恒成立等价于 f 2（x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M ≤4．①当﹣＜﹣1，即b＞2时，f2（x）在[﹣1，1]递增，f2（x）min=f2（﹣1）=1﹣b+c，f2（x）max=f2（1）=1+b+c，M=2b＞4（舍去）；②当﹣1≤﹣≤0，即0≤b≤2时，f2（x）在[﹣1，﹣]递减，在（﹣，1]递增，f2（x）min=f2（﹣）=c ﹣，f2（x）max=f2（1）=1+b+c，M=（+1）2≤4恒成立，故0≤b≤2；③当0＜﹣≤1即﹣2≤b＜0时，f2（x）在[﹣1，﹣]递减，在（﹣，1]递增，f2（x）min=f2（﹣）=c ﹣，f2（x）max=f2（﹣1）=1﹣b+c，M=（﹣1）2≤4恒成立，故﹣2≤b＜0；④当﹣＞1，即b＜﹣2时，f2（x）在[﹣1，1]递减，f2（x）min=f2（1）=1+b+c，f2（x）max=f2（﹣1）=1﹣b+c，M=﹣2b＞4矛盾．综上可得，b的取值范围是﹣2≤b≤2；（3）设t=g（x）===，由x ∈，可得t∈[，1]．则y=t +在[，1]上恒有2y min＞y max．①当a∈（0，]时，y=t +在[，1]上递增，y min =+3a，y max=a+1，又2y min＞y max．则a ＞，即有＜a ≤；②当a ∈（，]时，y=t +在[，）递减，（，1）递增，可得y min =2，y max=max{3a +，a+1}=a+1，又2y min＞y max．解得7﹣4＜a＜7+4，即有＜a ≤；第21页（共22页）③当a ∈（，1）时，y=t +在[，）递减，（，1）递增，可得y min =2，y max=max{3a +，a+1}=3a +，又2y min＞y max．解得＜a ＜，即有＜a＜1；④当a∈[1，+∞）时，y=t +在[，1]上递减，y min=a+1，y max=3a +，又2y min＞y max．则a ＜，即有1≤a ＜．综上可得，存在这样的三角形，a 的取值范围是＜a ＜．【点评】本题考查不等式恒成立问题和存在性问题的解法，注意运用转化思想，转化为求最值，以及运用分类讨论的思想方法，注意对称轴或顶点与区间的关系，考查化简整理的运算能力，属于难题．第22页（共22页）。
浙江省杭州四中2017-2018学年高一下学期9月单元检测数学试题 Word版含解析
杭州四中第一章单元检测一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1. 设，，集合，那么与集合的关系是（）A. B.C. D.【答案】B，即a=3，b=π，故x∈M，y M，故选：B.2. 设是全集，集合都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】观察图形得：图中的阴影部分表示的集合为，故选：B.3. 设是定义在上的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于函数为奇函数，故.4. 已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数，又因为当时，f(x)为增函数，所以f(x)在R上是增函数.又因为,所以,所以a 的取值范围为(-2,1).考点：分段函数的奇偶性的判断，函数的单调性，解一元二次不等式.点评：判断出此分段函数是奇函数，并且是在R上的增函数是解本小题的关键，下一步就可把不等式转化为一般不等式来解即可.5. 函数的定义域为，则函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数的定义域为则对函数，应有1⩽⩽4,解得1⩽x⩽16，故选D................6. 若函数是奇函数，函数是偶函数，则（）A. 函数是奇函数B. 函数是奇函数C. 函数是奇函数D. 函数是奇函数【答案】C【解析】试题分析：令h（x）=f（x）．g（x）∵函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）∴h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）．g（x）=-h（x）∴h（x）=f（x）．g（x）是奇函数,故选C考点：函数奇偶性，单调性点评：本题主要考查了函数的奇偶性的性质的简单应用，属于基础试题，令h（x）=f（x）．g （x），由已知可知f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），然后检验h（-x）与h（x）的关系即可判断.7. 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为，最低为，故选A.考点：旋转体.8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若对任意的，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：当时，，由是奇函数，可作出的图像，如下图所示,又因为，，所以的图像恒在图像的下方，即将的图像往右平移一个单位后恒在图像的下方，所以，解得．故选B．考点：函数的性质二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9. 已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_______.【答案】-1【解析】有三个实数的集合,既可表示为,也可表示为，可得b=0,a=−1,则=−1+0=−1，故答案是：−1.10. 已知，，，且，求实数的取值范围_________.【答案】【解析】解：因为,说明B与A是无交集，因此利用交集为空集求解参数的范围，再在实数集内求解其补集，则为所求11. 已知函数，则在区间上的最大值为_______.【答案】【解析】∵0<x⩽2，∴(当且仅当x=1，时取“=”).故答案为：.点睛：本题考查了分式型函数的最值问题，这类问题的一般解法就是先分离再换元整理，本题中分子的次数为一次，分母的次数为二次，已经不能再分离，分子分母同时除以容易利用均值不等式找到此式子的最小值（或者利用对勾函数的性质也可以得到），进而得到原函数的最大值.12. 已知偶函数在单调递减，，若，则的取值范围是________.【答案】【解析】试题分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．13. 已知边长为1的正方形（如图），是对角线上的点，连接延长交或其延长线于，设，为和的面积之和，则关于的函数关系是_______.【答案】【解析】在正方形中，点A到BD的距离为.故.又，则，故.即：.得：.所以14. 关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为________. 【答案】【解析】原方程等价于=，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示：平移直线，可得当时，两图象有4个不同的公共点相应地方程有4个不相等的实数根，综上所述，可得实数的范围为0< 4.故答案为：.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.三、解答题（共3小题，分别是11分，12分，13分，共36分）15. 已知函数的定义域为集合，，.（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)先求出集合A，化简集合B，根据根据集合的运算求，；(2)若A∪C=R，则可以比较两个集合的端点，得出参数所满足的不等式解出参数的取值范围．试题解析：（1）函数，可知集合，所以，则，即；若，则有；16. 已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并加以说明；（2）若的定义域为时，值域也是，符合上述条件的函数是否存在？若存在，求出的表达式；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）比较和，讨论可得奇偶性；（2）讨论函数对称轴和定义域的位置关系求最值即可.试题解析：（1），则有，当时，，所以此时为偶函数；当时，且，所以此时为非奇非偶函数；（2），对称轴，当时，即，在上单调递增，所以有，所以，；当，在上先递减再递增，此时，则有两种情况：①，此时无解；②，此时无解；当时，在上单调递减，所以有，所以，；综上所述，存在这样的函数，有两个，分别是和.17. 设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对正数，都有；（2）当时，；（3）；（1）求和的值；（2）如果不等式成立，求的取值范围；（3）如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）可得，再由，可得；（2）根据条件将不等式变形为，又，再证明函数的单调性得;（3）由第二问可得：有解即可，只需要.试题解析：（1）因为对于正数，都有，又，所以令，有，则；再令，有；（2）已知，，根据题干给出的条件有：，而当，时，有，则，于是；当时，，取，且，则令，代入等式得：，所以函数单调递减，那么，解得：；（3）由第二问可得：有解即可，只需要，所以.点睛：根据知识：若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.。
【月考试卷】浙江省余杭二高2017-2018学年高二上学期9月教学质量检测数学试卷Word版含答案
2017年9月余杭二高高二教学质量检测数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若R c b a ∈,,，则下列说法正确的是（ ）A. 若b a >，则c b c a ->-B. 若b a >，则ba 11< C. 若b a >，则22b a > D. 若b a >，则22bc ac >2.直线1=-bya x 在y 轴上的截距是（ ） A. a B.b C. a - D. b -3.设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则24a S 的值为（ ） A. 215 B. 415 C. 47 D. 274.若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-20402y y x y x ，则y x z -=2的最小值等于（ ）A. 1-B. 1C. 2-D. 2 5.半径为R 的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（ ）A.R 3 B.R 2 C.R 23 D. R 22 6.若圆25)1(22=+-y x 的弦AB 被点)1,2(P 平分，则直线AB 的方程为（ ） A. 03=-+y x B. 032=-+y x C. 01=--y x D.052=--y x7.将函数)3cos(2π-=x y 的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图像，则函数)(x g y =的图像（ ）A. 关于点)0,125(π对称 B. 关于点)0,6(π-对称 C. 关于直线6π-=x 对称 D. 关于直线125π=x 对称8.已知,是单位向量，且,的夹角为3π，若向量c 满足2|2|=+-b a c ，则||c 的最大值为（ ）A. 32-B. 32+C.27+ D. 27-9.设函数)(x f 与)(x g 的定义域为R ，且)(x f 单调递增，)()()(x g x f x F +=，)()()(x g x f x G -=，若对任意)(,2121x x R x x ≠∈，221221)]()([)]()([x g x g x f x f ->-恒成立，则（ ）A. )(),(x G x F 都是减函数B. )(),(x G x F 都是增函数C. )(x F 是增函数，)(x G 是减函数D. )(x F 是减函数，)(x G 是增函数 10.设点P 在ABC ∆的BC 边所在的直线上从左到右运动，设ABP ∆与ACP ∆的外接圆面积之比为λ，当点P 不与C B ,重合时，（ ）A. λ是一个定值B. 当M 为线段BC 中点时，λ最大C. λ先变大再变小D. λ先变小再变大二、填空题（本大题共7小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共36分）11.数列}{n a 中，已知11=a ，若21=--n n a a （2≥n 且*∈N n ），则=n a ______，若21=-n na a （2≥n 且*∈N n ），则=n a _______.12.已知函数)0(|1|||)(>-+-=a x a x x f 的最小值是2，则a 的值是________，不等式4)(≥x f 的解集是________.13.已知圆9)3()4(:22=-+-y x C ，若),(y x P 是圆C 上一动点，则x 的取值范围是______；xy的最大值是_______. 14.已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足)3,1(=AC ，)1,3(-=BD ，则凸四边形ABCD 的面积为________；CD AB ⋅的取值范围是_______.15.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是23，则正视图中x 的值是_______.16.已知正实数b a ,满足2=+b a ，则ba 21+的最小值为_______. 17.已知函数⎩⎨⎧>≤+=0log 01)(2x x x x x f ，，，则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是______个.三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.（本题满分14分）设A 是单位圆O 和x 轴正半轴的交点，Q P ,是圆O 上两点，O 为坐标原点，6π=∠AOP ，α=∠AOQ ，]2,0[πα∈.（1）若)54,53(Q ，求)6cos(πα-的值；（2）设函数)(sin )(OQ OP f ⋅⋅=αα，求)(αf 的值域.19.（本题满分15分）n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知0>n a ，3422+=+n n n S a a .（1）求}{n a 的通项公式； （2）设11+⋅=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和.20.（本题满分15分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知CC A c b a cos )cos(2+=+. （1）求角C 的大小；（2）若2=c ，求使ABC ∆面积最大时b a ,的值.21.（本题满分15分）已知圆C 的圆心在直线x y 4-=上，且与直线01=-+y x 相切于点)2,3(-P .（1）求圆C 方程；（2）是否存在过点)0,1(N 的直线l 与圆C 交于F E ,两点，且OEF ∆的面积是22（O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.22.（本题满分15分）已知函数)121(log )(+-=x x f a （1,0≠>a a ）.（1）写出函数)(x f 的值域，单调区间（不必证明）；（2）是否存在实数a 使得)(x f 的定义域为],[n m ，值域为]log 1,log 1[m n a a ++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.2017年9月余杭二高高二教学质量检测数学试卷（答案）二、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C C A A B B A三、填空题（本大题共7小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共36分） 11. 12-n ；12-n 12. 3；),4[]0,(+∞-∞ 13. ]7,1[；724 14. 2；3- 15.23 16. 2223+ 17. 4 四、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.【解析】（1）因为)54,53(Q ，α=∠AOQ ，则54sin =α，53cos =α， 则)6cos(πα-1033421sin 23cos +=⋅+⋅=αα； （2）6π=∠AOP ，则)21,23(P ，ααsin 21cos 23+=⋅OQ OP 函数ααα2cos 41412sin 43)(-+=f 41)62sin(21+-=πα，]2,0[πα∈ ，则]43,41[)(-∈αf .19.【解析】（1）由3422+=+n n n S a a 可得：3421121+=+---n n n S a a ，两式相减得：n n n n n a a a a a 4)(21212=-+---)(2))((111---+=+-⇒n n n n n n a a a a a a ，又0>n a ，所以21=--n n a a ，即2=d .当1=n 时，31=a ，12+=∴n a n ； （2）设11+⋅=n n n a a b ，则21)321121()32)(12(1⨯+-+=++=n n n n b n ， }{n b ∴的前n 项和96)32131(21+=+-=n nn T n .20.【解析】（1）由C C A c b a cos )cos(2+=+可得：CBc b a cos cos 2-=+， 去分母得：0cos cos cos 2=++B c C b C a 则有0cos 2=+a C a ，即21cos -=C ，32π=∴C ； （2）ab C ab S ABC 43sin 21=⨯⨯=∆，再根据余弦定理得：ab b a ++=224，ab ab b a 2422≥-=+∴，则34≤ab ，那么3343≤=ab S ，当且仅当332==b a 时，ABC ∆面积最大.21.【解析】（1）设圆心坐标为)4,(t t -，则圆的方程为：222)4()(r t y t x =++-，又与01=-+y x 相切，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--222)42()3(2|13|rt t r t ，解得：1=t ，22=r ，所以圆的方程为：8)4()1(22=++-y x ；（2）由题意得：当k 存在时，设直线)1(:-=x k y l ，设圆心到直线的距离为d ， 则有22821||2122d k k -⨯+⨯=，进而可得：221481||22k kk +-⨯+= 化简得：224816k k =+，无解；当k 不存在时，1:=x l ，则圆心到直线的距离0=d ，那么24||=EF ，2224121=⨯⨯=∆OEF S ，满足题意，所以直线l 的方程为：1=x .22.【解析】（1）)121(log )(+-=x x f a 11log +-=x x a ，定义域为：),1()1,(+∞--∞∈ x ， 且11log )(+-=x x x f a ，11log )(-+=-x x x f a ，01log )()(==-+∴a x f x f ，则)(x f 为奇函数；当10<<a 时，若),1(+∞∈x ，121+-x 单调递增，则)(x f 单调递减；同理，)1,(--∞∈x ，)(x f 也是递减的；此时值域为),0()0,(+∞-∞ .当1>a 时，121+-x 在定义域内是单调递增的，所以)(x f 是单调递减的.此时值域为),0()0,(+∞-∞ .（2）当10<<a ，因为定义域为),1()1,(+∞--∞∈ x ，)(x f 是单调递减的，则有⎩⎨⎧+=+=n n f m m f a a l o g 1)(l o g 1)(⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒)(l o g )121(l o g )(l o g )121(l o g an n am m a a a a ，可看成n m ,为方程01)1(2=+-+x a ax 的两个根，且),1(,+∞∈n m ，又根据10<<a ，则有对称轴021>-=aax ， 01)1(2=+-+x a ax 有两个根在),1(+∞，需满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-+>∆>-01)1(0121a a a a ，解得：2230-<<a ；当1>a ，因为定义域为),1()1,(+∞--∞∈ x ，)(x f 是单调递增的，则有⎩⎨⎧+=+=m n f n m f a a log 1)(log 1)(⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒)(log )121(log )(log )121(log am n an m a a a a ，则有⎩⎨⎧-=+-=+11n am amn m an amn ，两式相减得：1-=a ，不满足题意，所以2230-<<a ..。
2017-2018学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一. 选择题（本大题共“小题，每小题3分，共30分）1. （3 分）已知集合 A={x x 2>l}, B={x （x 2- 1） （x 2-4）=0},则集合 AQB的子集个数为（）D. f (xo)的符号不确定(aGR)在区间[0, 1]上单调递增，则实数aA ・1B. 2C. 32・(3 分)已知a =l O g 20. 3, b=2°-3,c 二0. 3°•勺则 a ，b, c 三者的大小关系是 3・ 4. 5. A. b>c>a B. c>b>a C. a>b>c D. b>a>c（3分）幕函数f （x ） A. 8B.的图象过点（3,药），则f （8）=（ C. 4D.（3分）已知函数f （x ）是奇函数，当x>0时，f （x ） =lnx, 值为（ ）C. - In2D. （3 分）已知 lga+lgb=0,则的e*-In2B. ln2函数f （x ） =/与函数g （x ）=・logbX的图象可能B. f (xo)=0亡，C. ( - °°, - 1]D. ( - °°,・ 1] U则下列结论正确的是( )B. 关于(0, 1)对称 D. 关于X"对称若 f[f (a) ]>f[f (a) +1],则实数 a 的C. ( - 5,・ 4]D.[・ 5,・ 4]10. (3 分)已知函数 f (x) =x x - a - a, aWR,若对任意的 xW [3, 5], f (x)$0恒成立，则实数a 的取值范围是( )二. 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11. ______________________________________ (4分)函数y=l Og±(X 2-2X -3)值域为 _________________________________________ ,单调递增区间是 ________ 12.log 严 x>0可 ，且函数h (x) =f (x)・x+a 有且只(扑，&有一个零点，则实数a 的取值范圉是 ______14. (4分)已知f(x)是定义在D 上的函数，若存在区间[m, n]c D ,使函数f 第2页(共22页)(x)在［m, n ］上的值域恰为［km, kn ］,则称函数f (x)是k 型函数，若函(C. f (xo) >0 7. (3分)已知函数f(x )=e的取值范围是( )A.(・ g, 1]B. [0, 1] [1, +8)8. (3分)已知函数二公『'七巴e x +l A.关于(0, 0)对称 C.关于y 轴对称 9. (3分)设函数f (x)貳°X 2, x>0取值范围为( )A. ( - 1, 0]B.[・ 1, 0]A. g, |1U[3, +8)C・[£普]B. [3, 5] D ・2,专山[孚e)(4 分)已知 x=log 23, 则数y=J_x2 + x是3型函数，则仆_________ , n= _______ .215.(4分)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100kg)与上市时间£ (单位：天)的数据如下表：时间t 60 100 180种植成本Q 116 84 116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z 的变化关系.Q=at+b, Q=at2+bt+c, Q=a・t)t, Q=a*log a t.利用你选取的函数，求得：(I)西红柿种植成本最低时的上市天数是______ :(II)_____________________ 最低种植成本是 (元/100kg).16.(4分)已知f(x)是R上的奇函数,f(l)=l,且对任意x<0,恒有f (亠)二xf(x),x-1 贝________________ •17.(4分)若一元二次不等式*2・2bx+c$0,(a+b<0)对xWR恒成立，则肛上兰三a+b 的最小值为______ .三、解答题(本大题共4小题，共42分)18.(8 分)设常数aWR,集合A={x (x - 1) (x - a) $0}, B={x x^a - 1}.(1)若a=2,求AAB, AA(C R B)；(2)若AUB=R,求a的取值范围.19.(10分)已知f(x)=-^b-是奇函数,且f(2)=—•ax2+2 5(1)求实数a, b的值；(2)判断函数f (x)在(・8,・1］上的单调性，并加以证明；(3)求f (x)的最大值.20.(12 分)设 f (x) =log a (x - 2a) +log a (x - 3a),其中a>0 且aHl(1)若a=2,解不等式f (x)第3页(共22页)21.（12 分）函数fn （x） =x n+bx+c （ne乙b, cWR）.（1）若n= - 1,且fi（l）=fi （丄）=4,试求实数b, c的值；2< 2）设n=2,若对任意XI, X2- 1，1］有卄2（XI）・f2（X2） W4恒成立，求b 的取值范圉；（3）n=l时，已知bx?+cx・a=0,设g （x）二门二务,是否存在止数a,使得1+K2对于区间［理3, 寧］上的任意三个实数m, n, p,都存在以fi （g （m））,5 5fi （g （n））, fi （g （p））为边长的三角形？若存在，求出a的取值范圉；若不存在，请说明理山.2017-2018学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷参考答案与试題解析一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.(3 分)已知集合A={x x2>l}, B={x (x2- 1) (x2 -4)=0},则集合AAB 的子集个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】由二次不等式的解法，化简集合A,解方程可得集合B,求得A, B的交集，由子集的个数公式，即可得到所求值.【解答】解：集合A= {x x2>l} = {x x>l.或xV - 1},B={x (x2・1) (X2・4) =0} = {-1, 1, - 2, 2},则集合AAB={-2, 2},则集合A QB的子集个数为22=4.故选：D.【点评】本题考查集合的交集的定义，考查二次不等式的解法和方程的化简，运用定义法是关键，属于基础题.2.(3分)已知a=io §20, 3, b=20"3, c=0. 30,2»则a，b, c三者的大小关系是( )A. b>c>aB. c>b>aC. a>b>c D・ b>a>c【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解.【解答】解:V a=lo g2Q. 3, b=20,3, c=0. 30,2»/. a=log20.3 < Iog21=0,b=203>2°=l,0<C=0.3°2<0.3°=1,/.b>c>a.故选：A.【点评】本题考查三个数的大小的比较，则基础题，解题时要认真审题，注意对 数函数、指数函数的单调性的合理运用.3・（3分）幕函数f （x ）的图象过点（3,瞒），则f （8）=（ ）A ・ 8B. 6C. 4D ・ 2【分析】设岀幕函数，利用幕函数经过的点，求出函数的解析式，即可求解函数 值.【解答】解：幕函数f （x ） =x a ,函数的图象过点（3,越）， 可得勿§=3。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题(解析版)
2018-2019学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高一年级数学学科试题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合,且,则实数等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据,以及与的并集,确定出的值即可.【详解】,且，所以，，故选A.【点睛】本题主要考查并集的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.2.下列从集合到集合的对应关系中，其中是的函数的是A. ，对应关系,其中B. ，对应关系,其中C. ,对应关系,其中D. ，对应关系,其中【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义：集合中每一个元素，在集合中都有唯一元素与之对应，逐一判断即可.【详解】对于，中的奇数在中无元素与之对应不是的函数；对于,中每个元素在中都有两个不同元素对之对应，不是的函数；对于,中每个元素在中都有唯一元素与之对应，是的函数；对于,中在中没有元素对应，不是的函数，故选C.【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义域以及对数函数的定义域列不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，必须满足，解得，函数的定义域为，故答案为,故选C.【点睛】本题主要考查幂函数与对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.已知（是个无理数，），则下列不等关系正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性与对数函数的单调性，分别判断的取值范围，然后比较大小即可.【详解】由指数函数的性质可得，，，根据对数函数的性质可得，，，即，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.下列函数中，是奇函数且在区间上是增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义与单调性的定义，分别判断选项中的函数是否是奇函数且在区间上是增函数即可. 【详解】对于，在上是减函数，不合题意；对于，是偶函数，不合题意；对于，在上是减函数，不合题意；对于，，是奇函数，，在上递增，合题意，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数） .6.已知实数且，则在同一直角坐标系中，函数的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，函数的图象只有D满足要求，当时，函数的图象，无满足要求的答案，故选D.考点：对数函数、幂函数的图象和性质.7.已知函数，则函数的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则将函数化为，利用配方法可得结果.【详解】化简，即的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.8.定义在上的函数满足:对任意有，则A. 是偶函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是奇函数【答案】D【解析】【分析】设，由，，由特值法求得，令，可得结果.【详解】设，由，可得则，令，得，令，，是奇函数，故选D.【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断与是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(奇函数)或(偶函数)是否成立．9.已知二次函数，分别是函数在区间上的最大值和最小值，则的最小值A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴位置，分别判断二次函数的单调性，利用单调性求出最大值与最小值，分别求出的范围，综合四种情况可得结果.【详解】当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，，综上所述，最小值为1，故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质以及分类讨论思想的应用，属于难题. （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．10.已知实数，实数满足方程，实数满足方程，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为是的解，是的解，所以分别是和与的图象交点的横坐标，可得，根据函数图象关于对称，可得利用基本不等式可得结果.【详解】因为是的解,是的解，所以分别是和与的图象交点的横坐标，可得，的图象与的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，点关于直线对称，设关于直线对称的点与点重合，则，故的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.非选择题部分二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11.已知指数函数，则函数必过定点____【答案】【解析】【分析】由函数恒过点，令函数指数为0 ,可得定点坐标.【详解】由函数恒过点，可得当,即时，恒成立，故函数恒过点,故答案为.【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题.函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.12.计算：_____【答案】【解析】【分析】直接利用对数与幂指数的运算法则求解即可,解答过程注意避免出现计算错误.【详解】，故答案为.【点睛】本题主要考查对数的运算法则、幂指数的运算法则，属于简单题.求解对数、幂指数的化简求值题时，注意两点：一是熟练掌握运算法则；二是注意避免出现计算错误.13.已知函数，那么的值为____【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，从而可得的值.【详解】，且，，，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．14.已知，则_____【答案】【解析】【分析】令得，可得，从而可得到所求的函数解析式.【详解】由题意，得，因为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.15.已知是定义在上的奇函数，对于任意且，都有成立，且，则不等式的解集为_____【答案】【解析】【分析】先判断在上递减，根据奇偶性可得上递减，，分两种情况讨论，解不等式组可得结论.【详解】当，恒成立，；当，恒成立，恒成立，在递减，又在上是奇函数，在和在上递减，由不等式可得，或，不等式的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.16.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，由此列不等式组求解即可.【详解】设，则单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，，解得，即实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.17.已知函数，若恒成立，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】函数写出分段函数的形式，判断在上递减，在上递增，可得的最小值，从而列不等式可得结果.【详解】因为，所以，，可得，，,在上递减，在上递增，，恒成立，或，，故的最小值为2，故答案为2.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.三、解答题（本大题共4小题，共52分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知集合；（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围。
2017-2018学年第一学期高一年级期中测试题 数学
2017-2018学年第一学期高一年级期中测试题数学试卷考试时间：上午7：30-9：30一．选择题（本大题共12 个小题，每小题3 分，满分36 分，在每出的小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将字母代码填入相应位置）1.已知集合A { 1, 0,1} ，集合B {0,1, 2}，则A I BA 0,1 B. 0,1 C. 1, 0,1, 2 D. 1, 2.考点：集合的运算解析：∵A={-1,0,1}B {0,1, 2}, A I B 0,1答案：A12.函数f x lg xx 1的定义域是A 0, B. 0,1 1, C. 0,1 D. 1,.考点：函数的定义域ìx-1¹0解析：∵í， x 0,1 1,x>0î答案：B3 .函数x1f x)( 在区间 1,1 上的最小值是2A.121B.C. 2D. 22考点：指数函数的性质.1解析：0 1， f(x) 在区间 1,1 上单调递减，在x 1处取到最小值.2答案：B4 .下列函数中，在区间 0， 上单调递减的函数是A.y l o g2xB.y xC.y xD.y 1x考点：函数单调性判断.解析：A、B、C选项在 0， 上都是增函数，只有D选项在 0， 上是减函数. 答案：D.5.已知函数l o g x,x 0 f(2，则f( 3) x)f(x 2),x 0A. 1B.0C.1D.2考点：分段函数求值.解析：因为-3 0 ，则f( 3) f( 1) f(1) ；因为1 0 ，则f(1) log21 0 ，所以选B.6.已知幂函数f(x) (m2 m 1)x m在（0， ）上增函数，则实数mA B. 1C. 1或 2 . 2 1 2D.考点：幂函数定义式及性质.解析：f(x) (m2 m 1)x m是幂函数，则m2 m 1 1，解得m 1或m 2 ；又因为在（0， ）上是增函数，所以m 2 . 答案：A7. 已知lg a lg b 0 ，则函数y a x与函数y log x的图象可能是bA B C D考点：对数函数性质及其图象应用解析：lg a lg b 0 ，所以ab 1，所以函数y a x与函数y log x的单调性一致，所以选Db答案：D8. 下列结论正确的是1A B.0.93 30.9 2.log5 2 3log 2 C.log 3 log 32 0.3 D.log.3 122考点：指、对数函数比较大小解析：A. 由函数y log3 x与函数y log5 x的图象可知x 0,1 时，y x 的上方，x 1， 时，log 的图象恒在函数y xlog5 3y log3 的图象恒在y log5 x的图象的上方，所以A项错误；B. 0.93 1 30.9 ，所以B项错误；C. log0.3 2 0 0.32 ，所以C项错误；xD. 1111 1log log3互为倒数，log3 log3 log31 ，所以 1 log3 0 ，则它的相反数log13 1，所以D项正确。
2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 的内角A,B,C的对边分别为，，面积，外接圆的半径为，则________.【答案】3【解析】由题意得，解得．设又外接圆的半径为，则，∴．答案：32. 若数列满足，且，则数列的通项公式为___________.【答案】【解析】由递推公式可得：，数列是等差数列，故：.3. 在△中，，，且，则______．【答案】或【解析】在△中，由正弦定理得，∴，又，∴，∴或．答案：或4. 在等比数列中，已知，且公比为整数，则_______.【答案】256【解析】由等比数列的性质结合题意有：，解得：或，结合公比为整数可得：，则：......................5. 若在两数之间插入3个数，使这五个数成等差数列，其公差为，若在两数之间插入4个数，使这6个数也成等差数列，其公差为，那么______．【答案】【解析】由题意得，∴．答案：6. 已知数列的前项和为，则____________【答案】11【解析】由,得,..7. 设是等差数列的前项和，则的值为____________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴．答案：点睛：在等差数列的项与前n项和的计算中，项的下标和的性质，即若，则，常与前n项和公式结合在一起，利用整体思想解题，可简化解题过程，提高运算的速度．8. 已知等比数列的前项和为，若，则公比__________.【答案】考点：等比数列的性质9. 在中，角的对边分别为，已知______________.【答案】【解析】由及正弦定理得，又，∴．∴.在中，由正弦定理得，∴，∴．答案：10. 已知均为等比数列，其前项和分别为，若对任意的，总有，则___________.【答案】3【解析】试题分析：由题意可知，，不妨设，的公比分别为，则，，解得（舍去），或，所以；考点：1.等比数列的通项；2.等比数列的前n项和；11. 各项均为正数的等比数列中，，当取最小值时，数列的通项公式____________.【答案】【解析】试题分析：由，及得（当且仅当时取等号），此时，则．考点：等比数列通项公式，基本不等式.12. 在中，已知是的平分线，，则________.【答案】【解析】设中边上的高为，则有，整理得．设，在中分别由余弦定理得，即，解得．在中由余弦定理得．又，∴．答案：点睛：解答本题时首先根据三角形的面积公式得到三角形角平分线的性质，即三角形的角平分线分对边所成的两条线段与该角的两边对应成比例，利用此结论并结合余弦定理可得到三角形的为止边长，然后在根据要求解题即可．13. 在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为，且满足，则的取值范围为___________.【答案】【解析】∵，∴，∴，由正弦定理得，又，∴，∵是锐角三角形，∴，∴，∴，解得，∴，即．∵．又，∴．故的取值范围为．答案：点睛：解答本题时注意两点（1）注意“锐角三角形”这一条件的运用，由此可得三角形三个角的具体范围．（2）根据三角变换将化为某一角的某个三角函数的形式，然后再根据角的范围求出三角函数值的取值范围．14. 已知等差数列的公差不为，等比数列的公比是小于的正有理数．若，且是正整数，则等于_______．【答案】【解析】由题意可得，．∴，又是正整数，公比是小于的正有理数，令，是正整数，可得，解得或（舍去）．对进行赋值可得，当时，符合题意．答案：二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在中，分别为角A、B、C的对边，（1）若成等差数列，求的取值范围；（2）若成等差数列，且，求的值．【答案】（1）；（2）2.【解析】试题分析：（1）由成等差数列可得，于是，然后根据的范围可得所求结果．（2）由，得．由余弦定理得，又由，可得，于是得，所以．由三角变换得试题解析：（1）∵成等差数列，∴，∴，∴．又，∴，∴．∴的取值范围是．（2）△ABC中，由，得．由余弦定理得．①∵成等差数列，∴，∴②，由①②得，由正弦定理得，∴．16. 已知数列{a n}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•b n（1）求证：{b n}是等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式可得，于是，根据等差数列的定义可证明结论成立．（2）由（1）可得，用错位相减法求和即可．试题解析：（1）由题意知，，∴，∴ ，又．∴数列{b n}是首项b1=1，公差为3的等差数列．（2）由（1）知，，∴．∴，①∴，②①-②得，∴．点睛：错位相减法求和的适用条件及关注点(1)适用条件：如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前n项和可用此法来求．即求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列．(2)关注点：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n－qS n”的表达式．17. 已知数列的首项为2，前项和为，且.（1）求的值；（2）设，求数列的通项公式；（3）求数列的通项公式；【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据递推关系可得求得．（2）由条件可得可得，于是，以上两式相减变形可得，即，于是可得数列为等差数列，并可求得其通项．（3）由（2）可得，可得，根据累乘法可得数列的通项公式．试题解析：(1)∵，且，∴解得.(2)由，可得，∴，∴，，∴，∴，化为:，即，又，数列是首项为，公差为1的等差数列．.(3)由(2)可得: ，∴，∴，，又满足上式．.点睛：累乘法求通项的注意点当数列的递推关系满足且可求积时，可用累乘法求出数列的通项公式，即．由于上式成立的条件是，故在求得后需要验证是否满足，否则将通项公式写成分段函数的形式．18. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，设.（1）当为何值时,四边形面积最大,最大值为多少；（2）当为何值时，长最大，最大值为多少．【答案】（1）当，最大；（2）当时，有最大值.【解析】试题分析：（1）由题意可得四边形的面积为，又，故，所以当，即时，四边形的面积最大，且最大值为．（2）由题意先求得，再根据余弦定理得到然后结合的取值范围求得当时，有最大值，且的最大值为3.试题解析：(1) 中，，又，∴四边形的面积为，∵，∴，∴当，即时，四边形的面积最大，且最大值为．（2）在中，在中，由余弦定理得=，∴∵，∴当，即时，有最大值，且的最大值为3.点睛：解决三角函数最值问题的常用方法，根据题意将所求最值问题转化为求形如的函数的最值问题处理，解题时要注意求出变量的取值范围，然后将作为一个整体进行求解，必要时可借助函数图象的直观性解题．19. 设是公差不为零的等差数列，满足数列的通项公式为（1）求数列的通项公式；（2）若从数列,中按从小到大的顺序取出相同的项构成数列，直接写出数列的通项公式；（3）记，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析:(1)利用基本元的思想,将已知条件转化为的形式,解方程组求得的值,并求得的通项公式.(2)由于是首项为,公差为的等差数列,且,而是,首项为,第二项为的等差数列,故是首项为,公差为的等差数列,故通项公式为.(3),先假设存在这样的数,利用成等差数列,化简得到,利用列举法求得的值.试题解析:（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，所以的通项公式为(2)(3),假设存在正整数m、n，使得d5，d m，d n成等差数列，则d5＋d n＝2d m．所以＋＝，化简得：2m＝13－．当n－2＝－1，即n＝1时，m＝11，符合题意；当n－2＝1，即n＝3时，m＝2，符合题意当n－2＝3，即n＝5时，m＝5(舍去) ；当n－2＝9，即n＝11时，m＝6，符合题意．所以存在正整数m＝11，n＝1；m＝2，n＝3；m＝6，n＝11使得b2，b m，b n成等差数列．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求数列的通项公式,考查两个数的最小公倍数,考查存在性问题的求解方法.对于题目已知数列为等差数列的题目,要求通项公式或者前项和公式,可以考虑将已知条件转化为,列方程组来求解,当已知条件为等比数列时,则转化为来求解.20. 已知为正整数，数列满足，，设数列满足（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列是等差数列，求实数的值；（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由，可得，两边开方得，于是证得数列为等比数列．（2）由（1）可得，故，从而可得数列的通项公式，根据等差数列可得，由此求得或，然后分别验证可得符合条件．（3）由题意可得有成立，即对任意的，均存在成立，且为正整数，然后将分为奇数和偶数两种情况讨论，最后可得时符合题意．试题解析：(1)证明：∵，∴，又，∴，数列是首项为，公比为2的等比数列．(2)解:由(1)得，∴，∴数列是等差数列，∴，，解得或．当时，，是关于n的一次函数，因此数列是等差数列；当时，，由于，不是常数，因此数列不是等差数列．综上可得．(3)解:由(2)得，对任意的，均存在，使得成立，即有，化简得，当时，，对任意的，符合题意；当时，若，则不符合题意.对任意的，也不符合题意.综上可得，当，对任意的，均存在，使得成立.。
2017-2018学年浙江省杭州市地区(含周边)重点中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P={x|x＞0}，Q={x|-1＜x＜1}，则P∩Q=（）A. B. C. D.2.=（）A. B. C. D.3.设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（）A. B. C. D.4.将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数表达式为（）A. B. C. D.5.已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（）A. 2B. 3C. 4D. 56.下列函数中，周期为π，且在区间（，）上单调递减的是（）A. B. C. D.7.已知a=（），b=log93，c=3，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.8.定义在区间（0，）上的函数y=2cos x的图象与函数y=3tan x的图象的交点为M，则点M到x轴的距离为（）A. B. C. 1 D.9.已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）=-f（x-1），则函数f（x）在区间[-1，1）上的图象可能是（）A. B.C. D.10.如图，在平面内，△ABC是边长为3的正三角形，四边形EFGH是边长为1且以C为中心的正方形，M为边GF的中点，点N是边EF上的动点，当正方形EFGH绕中心C转动时，的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.计算：tan120°=______．12.求值：=______．13.已知不共线的三个向量，，满足，则=______．14.已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=______；log3f（3）=______．15.若两个非零向量，满足|，则向量与的夹角的大小为______．16.已知函数若f（x）在，上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是______．17.设关于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共52.0分）18.已知函数f（x）=2cos2x+2sin x cosx-1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和单调递增区间．19.已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中，．（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；（Ⅱ）若，且，求．20.已知函数f（x）=（2x-1）（2x+1-3）-a，其中a是常数．（Ⅰ）若a=6，且f（x）≥0，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若方程f（x）=0有两个不相等实根，求实数a的取值范围．21.已知函数f（x）=log2（a+），其中a为实数．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＞log2（|x-2a|+2）对任意x∈[3，6]恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：P∩Q=（0，1）．故选：B．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：==．故选：D．直接用向量加减法容易得解．此题考查了向量加减法，属容易题．3.【答案】B【解析】解：函数f（x）=log2x+2x-3，在x＞0时是连续增函数，因为f（1）=log21+2-3=-1＜0，f（2）=log22+4-3=1+1＞0，所以f（1）f（2）＜0，由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）．故选：B．判断函数的单调性与连续性，利用零点判定定理求解即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，函数的单调性的判断是一疏忽点．4.【答案】C【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，那么所得的图象的函数解析式是y=sin2（x-）=sin（2x-），故选：C．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：∵函数y=f（x）+x是偶函数，∴f（-2）-2=f（2）+2，∴f（-2）=f（2）+2+2=5．故选：D．由函数y=f（x）+x是偶函数，得f（-2）-2=f（2）+2，得f（-2）=f（2）+2+2=5．本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵y=sinx-cosx=sin（x-）的最小正周期为2π，故D错误，排除D．∵y=sinxcosx=sin2x的最小正周期为=π，在区间（）上，2x∈（，π），函数单调递减，故B正确．∵y=|cos2x|的最小正周期为，故C不满足条件，故排除C，故选：A．利用正弦函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵a=（）＜=，b=log93=，c=3＞1，∴c＞b＞a．故选：D．利用幂函数指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了幂函数指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意，令2cosx=3tanx，x∈（0，），可得2cos2x=3sinx，即2-2sin2x=3sinx，即2sin2x+3sinx-2=0，求得sinx=，∴x=，∴y=2cos=2×=．即点M到x轴的距离为．故选：B．由题意令2cosx=3tanx，x∈（0，），求出x的值，再计算对应的y值．本题考查了正切函数和余弦函数的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：由函数f（x）满足f（x）=-f（x-1），可知，把f（x）在[-1，0]上的图象向右平移一个单位，然后再关于x轴对称得到f（x）在（0，1]上的图象，故只有C满足．故选：C．函数的图象的平移和对称即可判断．本题考查了函数的图象的平移和对称，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：=∵，当共线反向时，的最小值为，∴的最大值为=，故选：A．把向量用表示，所求数量积化为两个数量积的差，新的数量积最值容易确定，进而得解．此题考查了数量积，数形结合分析最值等，难度适中．11.【答案】【解析】解：tan120°=-tan60°=．故答案为：-．利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查．12.【答案】-1【解析】解：=lg10+（-2）=1-2=-1．故答案为：-1．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】2【解析】解：由，得，∴=，∴∴=2，故答案为：2．在原式两边同时减去，不难转化为的关系，得解．此题考查了向量之间的数乘关系，难度不大．14.【答案】【解析】解：幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），∴4α=2，解得α=；∴f（x）=，∴log 3f（3）=log3f（3）=log3=．故答案为：，．根据幂函数的图象过点（4，2）求出α的值，写出f（x）的解析式，再计算log3f（3）的值．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：非零向量满足|，则：，所以，即：=，则：．故答案为：．直接利用向量的夹角运算和数量积运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积运算的应用，向量的夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】（-，0）【解析】解：f（x）的图象如图所示∵f（x）在上既有最大值又有最小值，∴，解得-＜a＜0，故a的取值范围为（-，0），故答案为：（-，0），画出函数f（x）的图象，若f（x）在上既有最大值又有最小值，结合图象得到，解得即可．本题考查了函数的图象和画法和识别，以及函数的最值问题，属于中档题．17.【答案】（-1，1）【解析】解：由x2-ax-2=0，得，由x2-x-1-a=0，得a=x2-x-1．在同一个坐标系中画出和y=x2-x-1的图象如图：由，化简得x3-2x2-x+2=0，此方程显然有根x=2，∴x3-2x2-x+2=（x+1）（x-1）（x-2）=0，解得x=-1或x=1或x=2，当x=2，或x=-1时，y=1；当x=1时，y=-1，由题意可知，-1＜a＜1．∴a的取值范围是（-1，1）．故答案为：（-1，1）．由x2-ax-2=0，得，由x2-x-1-a=0，得a=x2-x-1．在同一个坐标系中画出和y=x2-x-1的图象，求出两函数的交点坐标，数形结合得答案．本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．18.【答案】（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos2x+2sin x cosx-1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），…（4分）∴．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，当2x+=2kπ+，即x=kπ+时，f（x）max=2，…（9分）由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，（k∈Z），所以，单调递增区间为：[kπ-，kπ+]，（k∈Z）．…（12分）（其他解法酌情给分）【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）=2sin（2x+），利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用正弦函数的图象和性质即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19.【答案】（本题满分12分）解：（Ⅰ）令，，则=4，解得λ2=4，λ=±2，…（4分）∴，，或，…（6分）（Ⅱ）∵ ，∴ ，…（9分）∴．…（12分）【解析】（Ⅰ）令，则=4，由此能求出结果．（Ⅱ）由，得，由此能求出结果．本题考查向量的坐标、向量的数量积的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知a=6，且f（x）≥0，可得2•（2x）2-5•2x-3≥0，可得2x≥3或2x≤-（舍去），解得x≥log23，则x的取值范围是[log23，+∞）；（Ⅱ）f（x）=（2x-1）（2x+1-3）-a=2•（2x）2-5•2x+3-a，令t=2x，则方程f（x）=0有两个不相等的实根等价于方程2t2-5t+3-a=0有两个不相等的正实根t1，t2，则有△＞＞＞＞＞＞＜＜．【解析】（Ⅰ）求得a=6时的不等式，由指数不等式的解法可得所求解集；（Ⅱ）可令t=2x，则方程f（x）=0有两个不相等的实根等价于方程2t2-5t+3-a=0有两个不相等的正实根t1，t2，由判别式大于0和韦达定理，解不等式即可得到所求范围．本题考查指数不等式的解法，考查函数方程的转化思想，以及二次方程实根的分布，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵a=1，∴由＞，解得：x＜-2或x＞2，∴f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）…（5分）（Ⅱ）由题意log2（a+）＞log2（|x-2a|+2）对任意x∈[3，6]恒成立，即|x-2a|-+2-a＜0在x∈[3，6]恒成立，记g（x）=|x-2a|-+2-a，则g（x）max＜0，又g（x）=，，＜…（9分）（1）当2a＜3，即a＜时，g（x）=x-+2-3a，此时g（x）在x∈[3，6]上单调递增，所以只需g（6）＜0，得a＞，∴a∈∅；（2）当2a＞6即a＞3时，g（x）=-x-+2+a=-（x-2+）+a，又y=x-2+在x∈[3，4]上单调递减，在[4，6]上单调递增，∴g（x）max=g（4）＜0，得a＜4，∴3＜a＜4；（3）当3≤2a≤6即≤a≤3时，由（1）和（2）可知g（x）max=max{g（4），g（6）}=max{a-4，7-3a}，得a-4＜0且7-3a＜0，即＜a＜4，∴＜a≤3，综上所述，＜a＜4．…（14分）【解析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的解析式，解不等式求出函数的定义域即可；（Ⅱ）问题转化为|x-2a|-+2-a＜0在x∈[3，6]恒成立，记g（x）=|x-2a|-+2-a，则g（x）max＜0，求出函数的最大值，从而确定a的范围即可．本题考查了函数的定义域问题，考查函数的最值以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2017-2018学年浙江省杭州市地区(含周边)重点中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合P＝{x|x＞0}，Q＝{x|﹣1＜x＜1}，则P∩Q＝（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）2．（4分）＝（）A．B．C．D．3．（4分）设函数f（x）＝log2x+2x﹣3，则函数f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．（4分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝sin（2x﹣）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x+）5．（4分）已知函数y＝f（x）+x是偶函数，且f（2）＝1，则f（﹣2）＝（）A．2B．3C．4D．56．（4分）下列函数中，周期为π，且在区间（）上单调递减的是（）A．y＝sin x cos x B．y＝|cos2x|C．y＝tan（x+）D．y＝sin x﹣cos x7．（4分）已知a＝（），b＝log93，c＝，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a8．（4分）定义在区间（0，）上的函数y＝2cos x的图象与函数y＝3tan x的图象的交点为M，则点M到x轴的距离为（）A．B．C．1D．9．（4分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x﹣1），则函数f（x）在区间[﹣1，1）上的图象可能是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在平面内，△ABC是边长为3的正三角形，四边形EFGH是边长为1且以C为中心的正方形，M为边GF的中点，点N是边EF上的动点，当正方形EFGH绕中心C转动时，的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）计算：tan120°＝．12．（4分）求值：＝．13．（4分）已知不共线的三个向量，，满足，则＝．14．（4分）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），则α＝；log3f（3）＝．15．（4分）若两个非零向量满足|，则向量与的夹角的大小为．16．（4分）已知函数若f（x）在上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是．17．（4分）设关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0和x2﹣x﹣1﹣a＝0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共52分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x﹣1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和单调递增区间．19．（12分）已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中．（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；（Ⅱ）若，且，求．20．（14分）已知函数f（x）＝（2x﹣1）（2x+1﹣3）﹣a，其中a是常数．（Ⅰ）若a＝6，且f（x）≥0，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若方程f（x）＝0有两个不相等实根，求实数a的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）＝log2（a+），其中a为实数．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＞log2（|x﹣2a|+2）对任意x∈[3，6]恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：P∩Q＝（0，1）．故选：B．2．【解答】解：＝＝．故选：D．3．【解答】解：函数f（x）＝log2x+2x﹣3，在x＞0时是连续增函数，因为f（1）＝log21+2﹣3＝﹣1＜0，f（2）＝log22+4﹣3＝1+1＞0，所以f（1）f（2）＜0，由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）．故选：B．4．【解答】解：函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，那么所得的图象的函数解析式是y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣），故选：C．5．【解答】解：∵函数y＝f（x）+x是偶函数，∴f（﹣2）﹣2＝f（2）+2，∴f（﹣2）＝f（2）+2+2＝5．故选：D．6．【解答】解：∵y＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣）的最小正周期为2π，故D错误，排除D．∵y＝sin x cos x＝sin2x的最小正周期为＝π，在区间（）上，2x∈（，π），函数单调递减，故B正确．∵y＝|cos2x|的最小正周期为，故C不满足条件，故排除C，故选：A．7．【解答】解：∵a＝（）＜＝，b＝log93＝，c＝＞1，∴c＞b＞a．故选：D．8．【解答】解：由题意，令2cos x＝3tan x，x∈（0，），可得2cos2x＝3sin x，即2﹣2sin2x＝3sin x，即2sin2x+3sin x﹣2＝0，求得sin x＝，∴x＝，∴y＝2cos＝2×＝．即点M到x轴的距离为．故选：B．9．【解答】解：由函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x﹣1），可知，把f（x）在[﹣1，0]上的图象向右平移一个单位，然后再关于x轴对称得到f（x）在（0，1]上的图象，故只有C满足．故选：C．10．【解答】解：＝∵，当共线反向时，的最小值为，∴的最大值为＝，故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．【解答】解：tan120°＝﹣tan60°＝．故答案为：﹣．12．【解答】解：＝lg10+（﹣2）＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．13．【解答】解：由，得，∴＝，∴∴＝2，故答案为：2．14．【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），∴4α＝2，解得α＝；∴f（x）＝，∴log3f（3）＝log3f（3）＝log3＝．故答案为：，．15．【解答】解：非零向量满足|，则：，所以，即：＝，则：．故答案为：．16．【解答】解：f（x）的图象如图所示∵f（x）在上既有最大值又有最小值，∴，解得﹣＜a＜0，故a的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0），17．【解答】解：由x2﹣ax﹣2＝0，得，由x2﹣x﹣1﹣a＝0，得a＝x2﹣x﹣1．在同一个坐标系中画出和y＝x2﹣x﹣1的图象如图：由，化简得x3﹣2x2﹣x+2＝0，此方程显然有根x＝2，∴x3﹣2x2﹣x+2＝（x+1）（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得x＝﹣1或x＝1或x＝2，当x＝2，或x＝﹣1时，y＝1；当x＝1时，y＝﹣1，由题意可知，﹣1＜a＜1．∴a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．三、解答题：本大题共4小题，共52分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵f（x）＝2cos2x+2sin x cos x﹣1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），…（4分）∴．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，当2x+＝2kπ+，即x＝kπ+时，f（x）max＝2，…（9分）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，得kπ﹣≤x≤kπ+，（k∈Z），所以，单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．…（12分）（其他解法酌情给分）19．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）令，则＝4，解得λ2＝4，λ＝±2，…（4分）∴，或…（6分）（Ⅱ）∵，∴，…（9分）∴．…（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）由已知a＝6，且f（x）≥0，可得2•（2x）2﹣5•2x﹣3≥0，可得2x≥3或2x≤﹣（舍去），解得x≥log23，则x的取值范围是[log23，+∞）；（Ⅱ）f（x）＝（2x﹣1）（2x+1﹣3）﹣a＝2•（2x）2﹣5•2x+3﹣a，令t＝2x，则方程f（x）＝0有两个不相等的实根等价于方程2t2﹣5t+3﹣a＝0有两个不相等的正实根t1，t2，则有．21．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝1，∴由，解得：x＜﹣2或x＞2，∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）…（5分）（Ⅱ）由题意log2（a+）＞log2（|x﹣2a|+2）对任意x∈[3，6]恒成立，即|x﹣2a|﹣+2﹣a＜0在x∈[3，6]恒成立，记g（x）＝|x﹣2a|﹣+2﹣a，则g（x）max＜0，又g（x）＝…（9分）（1）当2a＜3，即a＜时，g（x）＝x﹣+2﹣3a，此时g（x）在x∈[3，6]上单调递增，所以只需g（6）＜0，得a＞，∴a∈∅；（2）当2a＞6即a＞3时，g（x）＝﹣x﹣+2+a＝﹣（x﹣2+）+a，又y＝x﹣2+在x∈[3，4]上单调递减，在[4，6]上单调递增，∴g（x）max＝g（4）＜0，得a＜4，∴3＜a＜4；（3）当3≤2a≤6即≤a≤3时，由（1）和（2）可知g（x）max＝max{g（4），g（6）}＝max{a﹣4，7﹣3a}，得a﹣4＜0且7﹣3a＜0，即＜a＜4，∴＜a≤3，综上所述，＜a＜4．…（14分）。
浙江省杭州市西湖高中2017-2018学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年浙江省杭州市西湖高中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则M∩（∁U N）=（）A．{2，3，4}B．{2}C．{3}D．{0，1}2．在同一坐标系中，函数y=2﹣x与y=log2x的图象是（）A．B．C．D．3．已知a=0.72.1，b=0.72.5．c=2.10.7，则这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．如果函数f（x）=x2+（1﹣a）x+3在区间[1，4]上是单调函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9或a≤3 B．a≥7或a≤3 C．a＞9或a＜3 D．3≤a≤95．已知函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=（）A．0 B．1 C．2 D．eln 26．设lg2=a，lg3=b，则log125=（）A．B．C．D．7．已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{ x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{ x|x＜﹣3或x＞3}D．{ x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}8．函数f（x）=log2（2x）的最小值为（）A．0 B． C． D．二、填空题（共36分，第9—12题每题6分，第13-15每题4分）9．函数f（x）=的定义域是；值域是．10．函数f（x）=log（﹣x2+4x﹣1），则当x=时，f（x）有最（填大或小）值．11．函数f（x）=a x﹣1+1的图象恒过点；若对数函数g（x）=log b x的图象经过点（3，4），则b=．12．函数y=log0.3（﹣x2+4x）的单调递增区间是；单调递减区间是．13．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数m的取值范围是．14．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围为．15．设有限集合A={a1，a2，..，a n}，则a1+a2+…+a n叫做集合A的和，记作S A，若集合P={x|x=2n ﹣1，n∈N*，n≤4}，集合P的含有3个元素的全体子集分别记为P1，P2，…，P k，则P1+P2+…+P k=．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（1）计算：0.064﹣（﹣）0+16+0.25；（2）计算．17．已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞2}，B={x|﹣1≤2x﹣1﹣2≤6}．（1）求A∩B、（∁U A）∪（∁U B）；（2）若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．18．定义在R上的函数f（x），f（0）≠0，f（1）=2，当x＞0，f（x）＞1，且对任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．（1）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）求不等式f（3﹣2x）＞4的解集．19．设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．20．函数f（x）=log a（3﹣ax）（a＞0，a≠1）（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若g（x）=f（x）﹣log a（3+ax），请判定g（x）的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年浙江省杭州市西湖高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则M∩（∁U N）=（）A．{2，3，4}B．{2}C．{3}D．{0，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，进行计算即可．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，∴∁U N={0，1，4}，∴M∩（∁U N）={0，1}．故选：D．2．在同一坐标系中，函数y=2﹣x与y=log2x的图象是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．【分析】由函数y=2﹣x=是减函数，它的图象位于x轴上方，y=log2x是增函数，它的图象位于y轴右侧，能得到正确答案．【解答】解：∵函数y=2﹣x=是减函数，它的图象位于x轴上方，y=log2x是增函数，它的图象位于y轴右侧，观察四个选项，只有A符合条件，故选A．3．已知a=0.72.1，b=0.72.5．c=2.10.7，则这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用指数函数的图象及性质即可比较出大小．【解答】解：根据指数函数的性质可得：函数y=0.7x的底数小于1，是减函数，∵2.1＜2.5，∴0.72.1＞0.72.5，即a＞b．又∵c=2.10.7＞2.10=1，a=0.72.1＜0.70=1，∴c＜a，所以：b＜a＜c，故选：A．4．如果函数f（x）=x2+（1﹣a）x+3在区间[1，4]上是单调函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9或a≤3 B．a≥7或a≤3 C．a＞9或a＜3 D．3≤a≤9【考点】二次函数的性质．【分析】函数f（x）=x2+（1﹣a）x+3的对称轴x=﹣，开口朝上，f（x）在区间[1，4]上单调函数，﹣≤1 或﹣≥4【解答】解：由题意知，函数f（x）=x2+（1﹣a）x+3的对称轴x=﹣，开口朝上f（x）在区间[1，4]上单调函数，∴﹣≤1 或﹣≥4，∴a≥9或a≤3，故选：A．5．已知函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=（）A．0 B．1 C．2 D．eln 2【考点】函数的值．【分析】利用分段函数真假求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=f（lne）=f（1）=2．故选：C．6．设lg2=a，lg3=b，则log125=（）A．B．C．D．【考点】换底公式的应用．【分析】利用对数的换底公式、对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，则log125==．故选：A．7．已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{ x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{ x|x＜﹣3或x＞3}D．{ x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由已知中函数的单调性和奇偶性结合f（﹣3）=0，可得各个区间上函数值的符号，进而得到xf（x）＞0的解集【解答】解：∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣3）=﹣f（3）=0，∴当x∈（0，3）时，f（x）＜0，此时xf（x）＜0当x∈（3，+∞）时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0又∵y=f（x）为奇函数，∴y=f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣3）=0，∴当x∈（﹣∞，﹣3）时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0当x∈（﹣3，0）时，f（x）＞0，此时xf（x）＜0综上xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）故选C．8．函数f（x）=log2（2x）的最小值为（）A．0 B． C． D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：由条件可知函数的定义域为（0，+∞），则f（x）=log2（2x）=log2x•（）=log2x•（2+2log2x），设t=log2x，则函数等价为y=t（1+t）=t2+t=（t+）2﹣，故当t=﹣时，函数取得最小值﹣，故选：C二、填空题（共36分，第9—12题每题6分，第13-15每题4分）9．函数f（x）=的定义域是（﹣∞，2）∪（2，+∞）；值域是（﹣∞，3）∪（3，+∞）．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】解析式中分母含有未知数x，分母不能为0，可得定义域，利用分离常数法求解值域．【解答】解：由题意：分母不能为0，即x﹣2≠0，解得：x≠2，∴函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；函数f（x）=化简可得：f（x）==3+∵≠0∴f（x）≠3∴函数的值域为（﹣∞，3）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（2，+∞）；（﹣∞，3）∪（3，+∞）．10．函数f（x）=log（﹣x2+4x﹣1），则当x=2时，f（x）有最小（填大或小）值﹣1．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先令t=﹣x2+4x﹣1，求出t的最大值，从而求原函数的最小值．【解答】解：令t=﹣x2+4x﹣1，t=﹣x2+4x﹣1=﹣（x﹣2）2+3≤3，∴f（x）=log（﹣x2+4x﹣1）≥﹣1，此时x=2，故答案为：2；小；﹣111．函数f（x）=a x﹣1+1的图象恒过点（1，2）；若对数函数g（x）=log b x的图象经过点（3，4），则b=．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】由函数f（x）=a x﹣1+1的图象恒过定点，说明此点的函数值与参数a无关，利用a0=1这个结论，对数函数g（x）=log b x的图象经过点（3，4），代入可求b【解答】解：函数f（x）=a x﹣1+1，当x=1，f（1）=2；∵对数函数g（x）=log b x的图象经过点（3，4），∴g（3）=log b3=4，∴b=，故答案为：12．函数y=log0.3（﹣x2+4x）的单调递增区间是[2，4）；单调递减区间是（0，2] ．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣x2+4x＞0，求得函数的定义域为（0，4），y=log0.3t，本题即求函数t在定义域内的单调区间；再利用二次函数的性值可得，可得结论．【解答】解：令t=﹣x2+4x＞0，求得0＜x＜4，可得函数的定义域为（0，4），y=log0.3t，本题即求函数t在定义域内的单调区间．再利用二次函数的性值可得，t在定义域（0，4）内的减区间为[2，4），故函数y的增区间为[2，4）；t在定义域（0，4）内的增区间为（0，2]，故函数y的减区间为（0，2]，故答案为：[2，4）；（0，2]．13．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数m的取值范围是[0，8] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意知mx2+mx+2＞0在R上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分m=0和m ≠0两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后把这两种结果并在一起．【解答】解：∵f（x）=的定义域为R，∴mx2+mx+2≥0在R上恒成立，①当m=0时，有2＞0在R上恒成立，故符合条件；②当m≠0时，由，解得0＜m≤8，综上，实数m的取值范围是[0，8]．故答案为：[0，8]．14．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围为（﹣，1] ．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数的单调性求出关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣＜a≤1，故答案为：（﹣，1]．15．设有限集合A={a1，a2，..，a n}，则a1+a2+…+a n叫做集合A的和，记作S A，若集合P={x|x=2n ﹣1，n∈N*，n≤4}，集合P的含有3个元素的全体子集分别记为P1，P2，…，P k，则P1+P2+…+P k= 48．【考点】子集与真子集．【分析】由题意：集合P={x|x=2n﹣1，n∈N*，n≤4}，求出集合P的含有3个元素的全体子集，求全体子集之和即可．【解答】解：由题意：集合P={x|x=2n﹣1，n∈N*，n≤4}，那么：集合P={1，3，5，7}，集合P的含有3个元素的全体子集为{1，3，5}，{1，3，7}，{1，5，7}，{3，5，7}，由新定义可得：P1=9，P2=11，P3=13，P4=15则P 1+P 2+P 3+P 4=48． 故答案为：48．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（1）计算：0.064﹣（﹣）0+16+0.25；（2）计算．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可． （2）利用对数运算法则，化简求解即可．【解答】解：（1）原式==0.4﹣1﹣1+23+0.5 =2.5﹣1+8+0.5=10．…（2）原式====．…17．已知全集U=R ，集合A={x |x ＜﹣4，或x ＞2}，B={x |﹣1≤2x ﹣1﹣2≤6}． （1）求A ∩B 、（∁U A ）∪（∁U B ）；（2）若集合M={x |2k ﹣1≤x ≤2k +1}是集合A 的子集，求实数k 的取值范围． 【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出B ，利用两个集合的交集的定义，A ∩B ，利用（C U A ）∪（C U B ）=C U （A ∩B ），求出（∁U A ）∪（∁U B ）；（2）利用集合M={x |2k ﹣1≤x ≤2k +1}是集合A={x |x ＜﹣4，或x ＞2}的子集，可得2k ﹣1＞2或2k +1＜﹣4，即可求出实数k 的取值范围． 【解答】解：（1）∵﹣1≤2x ﹣1﹣2≤6，∴1≤2x ﹣1≤8， ∴1≤2x ﹣1≤8，∴1≤x ≤4． ∴B={x |1≤x ≤4}．…又∵A={x |x ＜﹣4，或x ＞2}，∴A ∩B={x |2＜x ≤4}，…（C U A ）∪（C U B ） =C U （A ∩B ）={x |x ≤2，或x ＞4}…（2）∵集合M={x |2k ﹣1≤x ≤2k +1}是集合A={x |x ＜﹣4，或x ＞2}的子集 ∴2k ﹣1＞2或2k +1＜﹣4，…∴或．即实数k 的取值范围为．…18．定义在R上的函数f（x），f（0）≠0，f（1）=2，当x＞0，f（x）＞1，且对任意a，b ∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．（1）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）求不等式f（3﹣2x）＞4的解集．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）先令a=b=0计算f（0）=1，当x＜0时，f（x）=＞0，从而得出结论；（2）设x1＜x2，则f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），于是f（x）在R上是增函数；（3）f（2）=4，利用函数的单调性得出3﹣2x＞2，解出答案．【解答】解：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f（0）•f（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1，当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞1，∵f（0）=f（x）•f（﹣x）=1，∴f（x）=，∵f（﹣x）＞1，∴0＜＜1，即0＜f（x）＜1，又当x＞0，f（x）＞1；且f（0）=1，所以对任意x∈R，都有f（x）＞0．（2）f（x）在R上是增函数，证明如下：设x1＜x2，则f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1），∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，又f（x1）＞0，∴f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在R上是增函数．（3）∵f（2）=f（1）•f（1）=4，∴f（3﹣2x）＞4⇔f（3﹣2x）＞f（2），∵f（x）在R上是增函数，∴3﹣2x＞2，解得x＜．∴不等式f（3﹣2x）＞4的解集为（﹣∞，）．19．设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由函数的解析式可得函数开口方向及对称轴，分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析函数的单调性后，可得最值；（2）若g（a）﹣m≤0恒成立，则m不小于g（a）的最大值，分析函数g（a）的单调性求阳其最值可得答案．【解答】解：（1）对称轴x=﹣a①当﹣a≤0⇒a≥0时，f（x）在[0，2]上是增函数，x=0时有最小值f（0）=﹣a﹣1…②当﹣a≥2⇒a≤﹣2时，f（x）在[0，2]上是减函数，x=2时有最小值f（2）=3a+3…③当0＜﹣a＜2⇒﹣2＜a＜0时，f（x）在[0，2]上是不单调，x=﹣a时有最小值f（﹣a）=﹣a2﹣a﹣1…∴…（2）存在，由题知g（a）在是增函数，在是减函数∴时，，…g（a）﹣m≤0恒成立⇒g（a）max≤m，∴…，∵m为整数，∴m的最小值为0…20．函数f（x）=log a（3﹣ax）（a＞0，a≠1）（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若g（x）=f（x）﹣log a（3+ax），请判定g（x）的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）根据奇函数的定义证明即可；（3）令u=3﹣ax，求出u=3﹣ax在[2，3]上的单调性，根据f（x）的最大值，求出a的值即可．【解答】解：（1）由题意：f（x）=log3（3﹣3x），∴3﹣3x＞0，即x＜1，…所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）．…（2）易知g（x）=log a（3﹣ax）﹣log a（3+ax），∵3﹣ax＞0，且3+ax＞0，∴，关于原点对称，…又∵g（x）=log a（3﹣ax）﹣log a（3+ax）=，∴g（﹣x）==﹣=﹣g（x），…∴g（x）为奇函数．…（3）令u=3﹣ax，∵a＞0，a≠1，∴u=3﹣ax在[2，3]上单调递减，…又∵函数f（x）在[2，3]递增，∴0＜a＜1，…又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1，∴f（3）=1，…即f（3）=log a（3﹣3a）=1，∴．…2016年12月14日。
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2017年杭州市余杭实验中学9月阶段性测试卷
高一数学
一、选择题（每小题仅有一个正确选项，每小题3分。）
1．下列正确的命题的个数有( )
①1∈N；②∈N*；③∈Q；④2＋∉R；⑤∉Z.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．设集合
， ，则 ( )
A. B. C. D.
3．若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. (1，＋∞) B. ( ，＋∞) C. (－∞，1) D. (－∞， )
4．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞b＞a D. c＞a＞b
5．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有（ ）
A. a＝1或a＝2 B. a＝1 C. a＝2 D. a>0且a≠1
6．下列函数中是偶函数的是 ( )
A. y=x4(x<0) B. y=|x+1| C. y= D. y=3x－1
7．已知函数32,1{ 22,1xxfxxx，则满足2fa的实数a的取值范围是( )
A.1,0,3 B. 1,0 C. 2,0 D.),0[]1,(
8．下列函数fx中，满足“对任意的12,0,xx时，均有12120xxfxfx”的是
( )
A. 12xfx（） B. 244fxxx C. 2xfx D. 12logfxx
9．函数y=2x+1+m的图象在第二象限内无点的实数m的范围是 ( )
A. m≤1 B. m>1 C. m≤2 D. m>2
10．函数y=ex的图像 ( )
A. 与y=ex的图像关于y轴对称 B. 与y=ex的图像关于坐标原点对称
C. 与y=ex的图像关于y轴对称 D. 与y=ex的图像关于坐标原点对称
11．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．已知函数fx是定义在R上的偶函数，若任意的xR，都有22fxfx，当0,2x时，
21xfx，则
20172018ff
（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（每小题4分）
13．若集合
中只有一个元素，则实数k的值为________。
14．已知函数 且 ，则 ___________
15．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 __________.
16．已知含有三个实数的集合既可表示成,,1baa，又可表示成2,,0aab，则20172017ab等于
__________．
17．若-2≤x≤2，则函数
的值域为 ______．
三、解答题（第18、19题每题10分，第20、21题每题12分）
18．计算：(1) 2213029832.54272（）；
(2) 230.520256437+0.13.92748（）（）
19．已知全集为，函数xxf11)(的定义域为集合，集合.
（1）求；
（2）若 ，，求实数 的取值范围.
20．已知二次函数()fx满足(1)()2fxfxx，且(0)1f.
（1）求()fx的解析式；
（2）求函数()yfx在区间[1,1]上的值域；
（3）当[1,1]x时，不等式()2fxxm恒成立，求实数m的范围.
21．已知定义在R上的函数22xxbfxa是奇函数.
（1）求,ab的值；
（2）判断函数)(xf在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意的tR，不等式220fttfk恒成立，求k的取值范围.
答案
1．B
2．A
3．A
4．D
5．C
6．C
7．D
8．C
9．C
10．D
11．C
12．A
13． 或
14．16
15．-8
16．1
17．
18．（1）12（2）100
19．(1) (2)
20．（1）2()1fxxx（2）3[,3]4（3）1m
21．(1) a=b=1；(2) 18k.