高中数学案例：对一则数学教学案例的反思

智慧火花的碰撞
—— 对一则数学教学案例的反思
作为教师，我们不能只满足于“今天我上完课了，批完作业了，完成教学任务了”为最终目的，而是应该不断地反思自己的教育教学行为，记录教育教学过程当中，所发生的点点滴滴的得失与感受，并不断地创新，不断地完善自己，不断地提高自己的教育理论与教学业务水平。

一堂成功的数学课，往往给人以自然、和谐、舒服的享受，每一位教师在教材处理，教学方法，学法指导等诸多方面都有自己的独特设计，在教学过程会出现闪光点，能激发学生学习数学兴趣的精彩导课语，在教学过程中对知识的重难点创新的突破点，激发学生参与学习的过渡语，对学生做出的回答，作出正确、合理的赞赏评价语等，这些方面都应该进行详细记录，供日后参考。

在教学过程中，每节课总会有这样那样的一些尽如人意的地方，有时候语言不当，有时候教学内容处理不妥，有时候是教学方法处理不当，有时候是练习层次不够，没有梯度性，难易不当，等等。

对于这些情况，教师课后应该要冷静思考，仔细分析学生冷场、不能很好掌握知识这方面的原因，对情况进行分析之后，要做出日后的改进措施，以利于在日后的教学中不断提高，不断完善。

往往在课堂教学过程中，学生与教师之间教与学活动过程中的互动，能激起更多的智慧火花，学生的一些想法与思路，超越教师有限的考虑范围之内，而却是这种想法与思路，又是最容易让他们自己理解的！
在最近的一次习题课中就发生了这样的碰撞：
案例：在等差数列{}n a 中，若90a =，则121217n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，类比上述结论，在等比数列{}n b 中，若81b =，则可得等式 。

教师：大家思考一下，应该这个等式是什么？
（学生陷入思考之中，没一会儿功夫，就有学生跃跃欲试了，当然大部分学生还在紧张地思考与运算着，稍等片刻，请学生站起来说说他们的结果）
生1：应该是121215n n b b b b b b -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+
生2：不对，应该是121215n n b b b b b b -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
（这时，大部分学生对生2的答案表示支持，对生1的支持率也是有的。

）
教师：好，现在我们来比较刚才的两个答案，分析一下，到底哪一个才是正确答案呢？
首先我们看一看，刚才两位同学提出的两个等式，不难发现它们的共同点，就是右边的最后一项都是一样的，那大家是怎么想到右边的最后一项的下标是15n -呢？
生3：（激动地站了起来）老师，在已知的式子中找规律呀！
教师：（进一步追问）什么规律呀？
生3：已知9a ，后面就加到17n a -，可以发现17291=⨯-，所以由已知8,b 最后一项就
是15n b -，因为15271=⨯-
教师：很好，大家都理解了吗？
（学生都点头示意）
这时见一位学生提出了不同的理解
生4：老师，你看，9是从第1项到第17项的中间一项，因此8是从第1项到第15项的
中间一项，所以就会想到15了。

教师：好，不错！大家都已经找到这个规律。

再看两个等式的不同之处，那么到底等式
的每一项之间用“+”还是用“⨯”呢？哪位同学能解释一下？
（经过片刻思考，学生举手发言）
生5：已知条件给我们的是等差数列，而我们写的是等比数列。

那么在等差数列中，它的通项公式是用“+”， 而在等比数列中，它的通项公式是用“⨯”，自然后面要求的那个等式每项之间用“⨯”了。

（学生骄傲的回答呢！）
（其它学生对生5的回答发出啧啧的赞叹声，教师也给以赞赏的微笑，因为这个思考，与教师本人的思考角度完全的吻合）
正当笔者想要结束此题的分析时，给出标准答案时（同生2的答案），只见一位学生举手
提出不同的理解。

生6：老师，可以这样想吗，因为90a =，加不加，结果都没有受到影响，而后面是81b =，
就理解成：乘不乘，都是一样的！
（生6的想法，出乎我的意料，只见有其它学生在说：唉，这样子也能说得通嘛！本来
对于这一题的讲解，本人在教学设计上就不想多做理论上的解释，只用类比的知识点来分析。

接收到生6的理解信息后，本人因势利导，在想何不以这个理解来推导答案中的这个等式呢？这样一来，让学生更明白，能完全明白为什么这个等式成立的过程！） 教师：嗯，好，一个不错的点子！刚才，我们都只是去猜测这个等式的结果。

下面给大
家一个任务，请对刚才的猜测，给出证明过程。

（学生对于证明，就有点为难，稍等片刻，见学生的思路不明，就提醒一下）
教师：我们要用学过的知识点来推导这个结果正确性，那要用到什么知识点来证明呢？ （学生在讨论，尝试各种方法）
生6：用等差数列、等比数列的性质呗。

（教师给以掌声鼓励，请他回答推导思路）
解：在等差数列中，90a =， 12916179170a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++==
而只要18m n p q +=+=，则0m n p q a a a a +=+=，
所以从中间任意截取，121217n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=---⋅⋅⋅-
1217171621n n n n a a a a a a a ++--∴---⋅⋅⋅-=++⋅⋅⋅++
所以就有121217n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+
在等比数列中，81b =，1512814158()1b b b b b b ∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅==
而只要16m n p q +=+=，则1m n p q b b b b ⋅=⋅=， 所以从中间任意截取，1215142112151n n n n n b b b b b b b b b b --++⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⋅
所以就有121215n n b b b b b b -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

顿时，全班同学都报以热烈的掌声。

课堂气氛异常活跃，基本上所有的学生在看到这个推导过程后，都露出欣喜与羡慕的神情，还有部分学生高兴的低声说：“是哦，是哦！”
笔者见学生的兴趣正浓，就再出这种类型的题目：
习题：若数列{}n a 为等差数列，则数列12n n a a a b n
++⋅⋅⋅+=也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{}n c 是等比数列且0n c >，则有数列n d
= 也是等比数列。

（学生饶有兴趣地思考着）
教师：用什么知识点思考呢？
学生们：用等差中项1322
a a a +=
的性质类比到等比中项2b =们的推广。

教师：大家都很棒，学以致用。

出这题的用意，是培养学生独立解决数学问题的能力，从一开始的不会，不懂，到最后能独立地分析问题，并能成功地解决问题。

作为教育者，不仅是授人以“鱼”，更重要的是授人以“渔”。

对案例的反思
这一习题，是利用类比法这个数学思想方法去发掘相同的规律，又要找出不同的地方。

在发掘相同规律的过程中，学生增强了学习数学的自信心，感悟到了数学的奇妙和数学中的美，情绪高涨。

在探究过程，以及推导过程中，教师“得寸进尺”的追问，能激起学生的求知欲望，一波又一波。

学生的创造能力得到了充分的培养，学生中蕴藏着巨大的智慧与力量，是我们无法预料的。

正如苏霍姆林斯所说的：“在青少年的精神世界里，都有着一种根深蒂固的需要，那就是希望自己成为一个发现者、研究者和探索者”。

正是他们的巨大的智慧与力量，在数学解题过程中，常常会有智慧火花的磨擦与碰撞，使学生自主探究得以实现，获得成功感。

即所谓学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进，疑者，觉悟之机也，一番觉悟，一番长进。

所以在这一事件中，感悟到最深的事，教师的教与学生的学是相辅相成的，通过教学过程中的师生互动，学生技能训练与能力培养得到锻炼。

作为学生，从教师那里得到知识点，并应用于数学问题中，作为教师，要授人以“渔”，有时还能从学生那里找到更多的思考角度，所以给我们的启示就是我们解决数学问题，应该是站在学生的角度去思考问题，在学生的“最近发展区”内着手，这样，学生理解起来就更容易，印象也会更深刻。

在可能条件下，有计划地为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考，积极探索的习惯。

教是为了达到不教。

现代教育学理论认为，教学过程是促进学生发展的过程，只重知识的传授而忽视能力、智力等方面的综合发展的教育不能满足现实需要。

在我们平时“互动式”教学模式的实施过程是一个逐层递进的过程，每一阶段的实施都是另一阶段实施的基础，而每一阶段又都有各自的具体目标，创设问题、授人以“渔”、反思建构、竞争合作是具体目标，如此步步为营，逐层推进，最终实现沟通与发展。

教育无止境，教育事业应该是一个常做常新的事业，为师无止境，教师生涯应该是一个不断创新不断前行充满新奇的旅途。

通过一些案例的反思，能让教师的生命变得五彩缤纷，反思将让我们的教育变成一支抑扬顿挫的交响乐！。