模糊聚类分析PPT课件
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第4章模糊聚类分析
1] R是普通对称关系. 定理2 R对称 [0，，
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y)
R是普通对称关系.
( y, x) R
任取x, y X , 反之，若 ［0， 1］，R 对称，
R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1
实际应用中，可根据主对角线元素是否为1来 判定R是否满足自反关系。
自反 [0，， 1] R是普通自反关系. 定理1 R
证明：R 自反 x X , R( x, x) 1 ( [0， 1])
令 R( x, y) 则( x, y) R , 从而( y, x) R ,
于是R( y, x) R( x, y),
类似得R( x, y) R( y, x)
故R( x, y) R( y, x).
3. 模糊传递关系(fuzzy transitive relations) 定义3
rij 1 c dij ,
c 的选取只需保证0 rij 1即可，例如可选 c= 1 dmax .
（2）绝对值指数法
rij e
| xik x jk |
k 1
m
（3）绝对值倒数法
i j; 1, M rij m , i j. | x x | ik jk k 1
其中M 选取适当的正数，使得0 rij 1.
（4）绝对值减数法
rij 1 c | xik x jk |
k 1
m
其中c适当选取，使得rij 在[0， 1]内分散开.
模糊聚类的分析
模糊聚类的分析模糊聚类分析是一种在统计分析领域中的方法。
它的主要思想是将客观数据更好地分类和分析。
模糊聚类是一种简单的数据挖掘技术，它可以从客观数据中挖掘出有价值的信息，以帮助我们分析和探索数据。
模糊聚类分析的本质是根据相似度度量算法来确定数据点之间的相似性，并将它们聚类为一个或多个类别。
它可以用于更好地加深对数据挖掘结果的理解，分析和发现数据中的结构和关系。
模糊聚类的优点1、可以更好地发现数据挖掘的结果和有价值的信息。
2、可以用于分析和发现客观数据中的结构和关系。
3、可以很好地分析大数据集。
4、可以使数据分类更有效率。
模糊聚类的应用1、金融领域：模糊聚类可用于金融分析，如风险识别、客户分析、金融监管等，可以显著提高对金融市场的了解，并帮助金融市场制定更有效的策略。
2、医学领域：模糊聚类可以更好地理解大量的临床资料，并为医生提供更有效的诊断建议。
它还可以应用于医疗和病理图像分析，以有效管理和指导患者的治疗过程。
3、气象领域：模糊聚类可以有效地识别气象 sensor卫星数据中的关键结构和特征，并用于气象研究和气象预报中。
4、人工智能：模糊聚类可以作为机器学习算法的基础，用于建模不同环境和情景。
它还可以用于自然语言处理，提供更有意义的信息，例如情感分析。
模糊聚类的局限性1、模糊聚类的结果很大程度上取决于人为干预，且模糊聚类的结果可能会受到相似度测量的影响，这可能会导致结果的不稳定性。
2、除此之外，由于模糊聚类是基于数据预处理后的假设来实施的，所以对数据预处理的要求较高，对数据准备质量和格式有较高的要求，这也是模糊聚类的一大局限性。
模糊聚类的发展前景模糊聚类分析技术在各个领域的应用及其发展前景均越来越广泛。
模糊聚类技术在人工智能、机器学习、大数据和自动化领域等方面都有广泛的应用，而且随着 AI 、Bigdata术的发展，模糊聚类在预测建模、数据挖掘和自然语言处理等方面也都有了重要的应用。
此外，模糊聚类技术还可以应用于声学识别、计算机视觉和实时处理等领域，进一步拓展模糊聚类技术的应用前景。
(第五讲)模糊理论PPT课件
2021/3/12
6
模糊集与隶属函数（3）
例2.8 论域U={高山，刘水，秦声}，用模糊集A表 示“学习好”这个概念。
解：先给出三人的平均成绩：
高山：98分，刘水：90分，秦声：86分 上述成绩除以100后，就分别得到了各自对“学
习好”的隶属度：
μA(高山)=0.98,μA(刘水)=0.90 ,μA(秦声)=0.86 则模糊集A为：
则A：B A(u) B (u) / u
uU
1/u
[1 (u 25)2]1 / u
[1 ( 5 )2]1 / u
0u25
25uu
5
uu100
u 50
A B A(u) B (u) / u uU
[1 ( 5 )2]1 / u
[1 (u 25)2]1 / u
50uu
u 50
]1
当50 u 100
9
模糊集的表示方法（3）
• 无论论域U有限还是无限，离散还是连续， 扎德用如下记号作为模糊集A的一般表示 形式:
A A(u)/u uU
• U上的全体模糊集，记为：
F(U)={A|μA:U→[0,1]}
2021/3/12
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模糊集的运算（1）
模糊集上的运算主要有：包含、交、并、补等等。
uu100
5
A 1/u
1[1 ( 5 )2]1 / u
2021/3/120u50
50u100
u 50
13
模糊集的运算（4）
其它的模糊集运算：
• 有界和算子 和有界积算子
A B:m in{1,A(u)B(u)} AB:m ax{0,A(u)B(u)1 }
• 概率和算子ˆ 与实数积算子·
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k 1
1 2
m k 1
(
xik
x jk )
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
xik .x jk
k 1
5. 求模糊等价矩阵
用上述方法建立起来的模糊矩阵 R ，一般说来只 满足自反性和对称性，不一定满足传递性，即 R 不一 定是模糊等价关系，需要将 R改造成模糊等价矩阵R，
然后再在适当的阈值上进行截取，便可得所需分类。
根据需要可同时选择不同准则分别进行聚类分析，然后 通过综合取交的方法，以做到兼顾多目标，使分类结果更科学。
3、建立数据矩阵
设论域U { x1, x2 ,, xn }为被分类对象， 每个对象又由m 个指标表示其性状：
xi { xi1, xi2 ,, xim } (i 1,2,, n) 则得到原始数据矩阵为 X ( xij )nm .
1, 2,..., m
构造下列形式的F统计量，
r
i
2
ni x x /(r 1)
F i1 r ni
xij
i
x
2
/(n r)
i1 jn1
x x 其中， 为 i x x
m
i
(xk
xk )2
i
与
的距离， xij x i
i 为第
k 1
类中样本
xij 与
i
x 的距离。
F 统计量分子表征类与类之间的距离， 分母表示类内样本间距离，因此 F 值越大，说
改造的方法是将 R 自乘得 R R R2，再自 乘 R2 R2 R4 ，如此继续下去，得 R8 , R16 ……，至某 一步出现 R2k Rk 为止。则 Rk便是一个模糊等价关系。 这个方法是由所谓“传递闭包”理论而来，我们在此 拿来直接应用，不再作详细介绍。
第7章 模糊聚类分析
方法1. 令 rij
rij 1
2 rij m rij , 方法2. 令 rij ( i j ), 其中 m min i j M m
M max rij , 于是 rij [0,1] i j
（2）夹角余弦法
, 则 rij [0,1]
rij
x
例7.1 环境单元分类 设 U {u1 , u2 ,..., un } 为五个环境单元的集合，每个 环境单元有空气、水分、土壤、作物四个要素，环境
单元的污染状况由污染物在四个要素中含量的超限度
u1 (5,5,3,2), u2 (2,3,4,5), 来描述，若其污染数据为： u3 (5,5,2,3), u4 (1,5,3,1), u5 (2,4,5,1), 试对U进
1 0.4 R 8 0.8 0.5 0.5
0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 R 4 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
所以传递闭包 R R4 , 然后依次取的截矩阵 R , 并按 R 将U分成等价类. 若=1, 便将U分为5类, 即 {u1 },{u2 },{u3 },{u4 },{u5 }; 若=0.8, 便将U分为4类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 },{u5 }; 若=0.6, 便将U分为3类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 , u5 };
J ( A,V ) aij u j vi
（2）用逐次平方法计算R的传递闭包 t ( R) R, 因为
1 0.3 R 2 0.8 0.5 0.5 1 0.4 4 R 0.8 0.5 0.5
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
聚类分析-模糊聚类分析
1 1 A0.3 0 0
1 1 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
模糊聚类分析
模糊关系 模糊等价矩阵
模糊相似矩阵
模糊聚类分析的一般步骤
模糊关系
与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关 系是普通关系的推广.
设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称 为从 X 到 Y 的模糊关系. 模糊子集 R 的隶属函数为映射 R : X Y [0,1]. 并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的 相关程度. 特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之 间的模糊关系.
例设U {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }, 1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi 与 yj 之间要么有关系(rij = 1),要么没有关系( rij = 0 ).
模糊关系的合成 设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系. (R1 ° R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊 矩阵的合成. 设X = {x1, x2, …, xm},Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)m×s ， Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)s×n ，则X 到Z 的模糊 关系可表示为模糊矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
第6章：模糊聚类分析
是个适当的正常数， 其中 M 是个适当的正常数，使得 0≤rij≤1
1,
11.绝对值减数法： 11.绝对值减数法： rij = 绝对值减数法
1 − C ⋅ ∑| xik − x jk |,
k =1
m
i≠ j
是个适当的正常数， 其中 C 是个适当的正常数，使得 0≤rij≤1
二、进行聚类
分模糊等价关系(矩阵)与模糊相似关系(矩阵)二种情况进行。 分模糊等价关系(矩阵)与模糊相似关系(矩阵)二种情况进行。
1 0.81 0.53 R = (rij ) = 0.81 1 0.24 0.53 0.24 1
2
方法( ).统计指标法： 方法(二).统计指标法： 统计指标法 叫聚类。 一个模糊等价关系决定一个模糊分类 --- 叫聚类。 分类的集合 个元素组成， 分类的集合 X = { X1,X2,…,Xn }，由 n 个元素组成， ,X 个统计指标： 对其中每一个元素 ，采用不同的 m 个统计指标： 对元素 X1 ，采用统计指标 x1 = ( x11,x12,…,x1m ) ； ,x 对元素 X2 ，采用统计指标 x2 = ( x21,x22,…,x2m ) ； ,x ………………………………………………… 对元素 Xn ，采用统计指标 xn = ( xn1,xn2,…,xnm ) ； ,x ( xij为第 i 个元素 Xi 的笫 j 项统计指标值 ) 将每个元素各项统计指标标准化： 将每个元素各项统计指标标准化：常用极值标准化公式
nj
x =
' nj
⋯⋯⋯⋯ x −x
−
n , Min
x n, Max − x n, Min
,
3
经过上步标准化后的 Xi 与 Xj 的各统计指标按下列方法中的任一种计算 rij 。 欧氏距离法： 1. 欧氏距离法：
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A∪Ac U， A∩Ac .
模糊集不再具有“非此即彼”的特点，
这正是模糊性带来的本. 质特征.
12
例：设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)， 在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质量坏”，并设
A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).
言，需要选取不同的置信水平 (0 1) 来确
定其隶属关系。截集就是将模糊集转化为普
通集的方法。模糊集A 是一个具有游移边界的
集合，它随值的变小而增大，即当1 <2时，
有A1∩A2。
.
14
模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属 度不小于的成员构成.
例：论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学 习成绩好的学生”的隶属度分别为 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则
并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；
交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；
余：Ac的隶属函数为
Ac (x) =. 1- A(x).
10
模糊集的并、交、余运算性质
幂等律：A∪A = A， A∩A = A；
交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A；
结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，
射，而对于模糊子集的运算，实际上可以转换称为对隶属函数的运算：
AAx 0，AU Ax 1 ABAxB x，ABAx B x AA x 1Ax
ABCC x maxAx, B x ABDDx minAx, B x
.
9
也可以表示
为： 相等：A = B A(x) = B(x)；
包含：AB A(x)≤B(x)；
.
7
也可用Zadeh表示法：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A
x1 x2 x3 x4 x5 x6
A 0.1 50.20.4 20.60.80.9 x1 x2 x3 x4 x5 x6
上式表示一个有n个元素的模糊子集。
“+”叫做查德记号，不是求和。
.
8
模糊集的运 算
根据定义，我们知道所谓模糊集合，实质上是论域U到 0,1 上的一个映
(A∩B)c = Ac∪Bc；
对偶律的证明：对于任意的 xU (论域)，
(A∪B)c(x) = 1 - (A∪B)(x) = 1 - (A(x)∨B(x))
= (1 - A(x))∧(1 - B(x)) = Ac(x)∧Bc(x)
= Ac∩Bc (x)
模糊集的运算性质基本上与经典集合一 致，除了排中律以外，即
.
2
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合， 要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。 这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处 理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。 模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965 年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出 来的，近10多年来发展很快。
(A∩B)∩C = A∩(B∩C) ；
吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A；
分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)；
(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)；
0-1律： A∪U = U，A∩U = A；
A∪ = A，A∩ = ；
还原律：
(Ac)c
=
A
； .
11
对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc，
B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏” Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).
Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见Ac B, Bc A.
又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U,
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域 的应用十分广泛。
.
3
2、模糊集的概念
对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么
xA，要么xA，二者必居其一。这一特征可用一个 函数表示为：
1 A(x) 0
xA xA
A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模 糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为 [0, 1]区间。
A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
.
13
3、截集
定义2 若A为X上的任一模糊集，对任意0 1，记A=｛x｜xX, A(x)｝,称A为A的 截集。
(A) = A= {x | A(x) ≥ }
A是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的 边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语
.
6
例：设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么 U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x) 可定义为
A(x) x140 190140
A(x) x100 200100
.
4
查 德 1965年 给 出 的 定 义 ：
定 义 ： 从 论 域 U到 闭 区 间 0,1的 任 意 一 个 映 射 ： A:U 0,1， 对 任 意 u U， u A Au， Au0,1， 那 A 么叫 做 U的 一 个 模 糊
子 集 ， Au叫 做 u的 隶 属 函 数 ， 也 记 做 Au。
.
简单地可表达为： 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1]
确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属 函数，它表示x对A的隶属程度.
使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊 性.
当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子 集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是 模糊子集的特殊情形.
一、模糊集及模糊关系
.
1
1、模糊问题的提出
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义 不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊 性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明 性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或 适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、 不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为 “较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就 属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数 据，便产生了模糊集合论。