数理方程第二章作业2
数理方程第二版 课后习题答案教学教材
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
电子科大 数理方程(谷超豪)第二章
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概率论与数理统计第二章课后习题答案
概率论与数理统计第二章课后习题答案概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x=≤≥??(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k a kλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ，k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1)(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2)=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==?=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故所以4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C ,m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得24(1),9p -= 即1.3p =从而465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==?=得25e 2(5)0.00185!P X -=≈=13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++ 213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<+∞,<="" bdsfid="273" p="">求：（1）A 值；（2）P {0<="">()d 1f x x ∞-∞=?得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞---∞===??故12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-? (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==?当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+11e 2x -=-故1e ,02()11e 02xx x F x x -?-≥??16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F （x ）. 【解】（1）1501001001(150)d .3P X x x ≤==?33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0 当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=100100()d ()d xf t t f t t -∞=+?2100100100d 1xt t x==-故1001,100()0,x F x xx ?-≥?=??17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a≤≤?=其他故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xxxx F x f t t f t t t a a-∞====?当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ?≤≤?=其他 5312(3)d 33P X x >==?故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -?>?=??≤?x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==?2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--??<=<==若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--??<=<== ++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--??<=<==若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--??<=<=-1(1.25)0.1056Φ=-=故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1）求P {2<="" 使p="" （2）确定c="" ＞3};="" ＞c="" ｜＞2}，p="">22X P X P ---??<≤=<≤11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ=--=-+ ? ?=-+=433103(410)222X P X P ----??-<≤=<≤770.999622ΦΦ=--= ? ?????(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----=>+< ? ?=--+-=+- ? ? ? ?????????=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ?-?->=>1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---??<≤=<≤404040210.8ΦΦΦσσσ-=-=-≥ ? ? ???????故4031.251.29σ≤=24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-?+≥>?（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-==??得11A B =??=-?（2）2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-?≥'==?25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=??<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F（x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时00()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+?20d 2xx t t ==? 当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=111122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-?当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==?故220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x26.设随机变量X 的密度函数为（1）f (x )=a e - |x |,λ>0;(2) f (x )=<≤<<.,0,21,1,10,2其他x xx bx试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=?知||21ed 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===故2=即密度函数为e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-?>??=? ≤??当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===?当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+?1e 2x λ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-?->??=??≤??(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+?得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<=≤当x ≤0时F （x ）=0 当0<1时00<="" bdsfid="607" p=""> ()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+?2d 2xx x x ==?当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++?312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤<27.求标准正态分布的上α分位点，（1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1）()0.01P X z α>=即1()0.01z αΦ-= 即()0.09z αΦ= 故2.33z α=（2）由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即()0.997z αΦ= 查表得2.75z α=由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即/2()0.9985z αΦ= 查表得/2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ?=?-?当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-= 2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1）求Y =e X 的概率密度；（2）求Y =2X 2+1的概率密度；（3）求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1）当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=?故2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ?-??=≤=≤≤ ? ???()d X f x x =故d ()()d Y Y X X f y F y f f y ?==+? ???(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=?故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1）Y =e X的分布函数及密度函数；（2）Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1）(01)1P X <<=故(1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1ln 0d ln yx y ==?当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤??=<故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ?<=其他（2）由P （0(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z zP X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-?即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤?=?>?0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -?>?=??≤?032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ?<试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤< arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+?222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ?<其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
数理方程第二章(1)
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
数理方程第二章
2. 5 非齐次边界条件的处理
没有齐次边界就构不成特征值 问题，就无法使用分离变量法。
解决方法：顶杠法
令
选一函数 不惜一切代价凑 为齐次边界问题
在特殊情况下 方程和边界可以同时齐次化 令
第二章要求
• 分离变量法的实质、适用范围及解题步骤
• 掌握齐次一维振动和热传导方程在第一、第二类边
界条件下对应的特征值问题、特征值，特征函数系 及形式解的结构，掌握矩形域、圆/扇（环）域上
X ( x) X ( x) 0 n ( n ) 2 0 a X (0) X ( a ) 0 n 1, 2,....
X ( x) X ( x) 0 n ( )2 0 2a X (0) X ( a ) 0 n 0,1, 2,....
l 0
1 a u 1 2u ( ) 2 0, 2 0 13. u 0 0 , u 0 a u a T ( ) 0
作业点评
第二章 分离变量法 解题思路无大问题，问题主要集中在积分 多次分步积分 分步积分的推广公式
u u( x), v v( x)
有n+1阶连续导数
uv
( n 1)
dx uv
(n)
( n 1) u v
( n 2) ( n 3) u v u v
(1) n 1 u ( n 1) vdx
4T u( x , y ) 3 n n [1 ( 1)n ]sin n n 1 n a
内容回忆
分离变量法(齐次方程 齐次边界条件)
数理方程 作业题答案
X A sin x B cos x
X (l ) B sin l 0 2 n n n2 , n 1,2,3, l n X n Bn cos x l
2 u u 2 , 0 x l, t 0 a 2 t x u (l , t ) u (0, t ) 0, 0, t 0 x x 0 xl u ( x,0) ( x), T a 2T 0
令
X X 0 T a 2 T 0
X X 0 0 x l X (l ) 0 X (0) 0,
X X 0 0 x l X (l ) 0 X (0) 0,
2 0
X 2 X 0
V 2 V 2 a p a W 2 t x
p a 2W 0 W (0) 0 W (l ) 0 p 2 p 2 pl W 2 x Ax B 2 x 2 x 2a 2a 2a 2 V V 2 0 x l, t 0 t a x 2 , t 0 V (0, t ) 0, V (l , t ) 0, p 2 pl V ( x, 0) W ( x) 2 x 2 x, 0 x l 2a 2a
X A cos x B sin x X (l ) B sin l 0
n n , n 1,2,3, l
2 n
2
2 u u 2 , 0 x l, t 0 a 2 x t u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, t 0 u ( x,0) ( x), 0 xl T a 2T 0
数理方程第二版 课后习题答案讲解学习
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
数学物理方程第二章课后习题答案
0
πann3
因此
4T ∞ u(ρ, θ) =
ρn [1 − (−1)n] sin nθ.
π
ann3
n=1
2.17
我们在极坐标下考虑这个问题，得到
1 ∂ ∂u 1 ∂2u
ρ
∂ρ
ρ ∂ρ
+
= 0,
ρ2 ∂θ2
u(a, θ) = f (θ),
0 < θ < α, 0 ≤ ρ < a, 0 < θ < α,
经过变量分离后得到
X (x) + λX(x) = 0 X (0) = X (l) = 0,
以及
T (t) + λa2T (t) = 0
注意到此时 X(x) 方程的边值条件都为第二类，所以当 λ = 0, 解有意义. 当 λ = 0 时,
X0(x) = Ax + B,
5
由边界条件得到 A = 0, 因此
假设 u(x, t) = X(x)T (t), 我们有
X (x) T (t)
=
= −λ.
X(x) a2T (t)
根据变量分离法，我们可以得到
λ
=
, n2π2 l2
以及
T (t) + λa2T (t) = 0,
所以其通解为
T (t) = Ce−λa2t.
4
这样，我们有下面形式的解
u(x, t) =
∞
因此，方程(*)的通解为
Rn(ρ) = cnρn + dnρ−n.
由有界性条件得到 dn = 0. 因此利用叠加原理, 方程的解可以表示为级数
∞
u(ρ, θ) = Cnρn sin nθ.
n=1
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u x0 u1 (t ), u xL u2 (t )
进行边界齐次化，可令u(x,t)=v(x,t)+w(x)，使得 v(x,t)满足齐次边界条件，则w(x)=？（其中A≠0）
深圳大学电子科学与技术学院
六、
设一热传导系统为有界杆,其长度为L，热传导方程为:
2 u u a2 t x 2
初始条件为 u
t 0
( x)
试求出系统在下列任意边nt和cost的拉普拉斯变换。
2、利用拉普拉斯变换的性质，解微分方程的初值问题：
y ( t ) y ( t ) 10 sin 2 t ， 0 t 2 y (0) 1, y 1 2
已知sin2t的拉普拉斯变换为
深圳大学电子科学与技术学院
4、设有定解问题
2 2u 2 u f ( x) , 0 x L , t 0 2 a 2 x t u | x 0 u1 , u | x L u 2 , t 0 u | ( x) , u ( x) , 0 x L t 0 t t 0
2 p2 4 。
深圳大学电子科学与技术学院
3、求下列定解问题：
2u 2u 2 2 sin 2 x, (0 x , t 0) x t u x 0 0, u x L 0 (t 0) u 0, u 0 (0 x ) t 0 t t 0
（其中：u1、u2为常数）
令其解为u(x,t)=v(x,t)+w(x)，使得v(x,t)满足齐次方程、 齐次边界条件，则w(x)应满足的定解问题为？
深圳大学电子科学与技术学院
5、对一维热传导的定解问题
2 u 2 u , 0 x L,t 0 a 2 t x u u A, A , t 0 x x x 0 xL u | B , 0 x L t 0