数理方程第二章 有界弦的自由振动-1资料
L x X x 0 L yY y 0 L z Z z 0 L t T t 0
Lux, y, z, t 0
基本问题:将二元的偏微分方程转化为空间和 时间的常微分方程,比如
u( x, t ) X ( x)T ຫໍສະໝຸດ t )Lux, t 0
L x X ( x) 0 LtT (t ) 0
（7）
这样空间函数 X ( x) 构成下列常微分方程的边值问题:
（8）
至此可以看出,利用分离变量法的条件是:边界条件必须是齐 次的。否则 X (0)T (t ) f ，不能写出关于空间函数 X(x)单独的 边界条件（7），不能构成定解问题（8）。
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以下的任务：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
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§2.1
什么是分离变量法?
有界弦的自由振动
运用分离变量法所应该具备的条件? 如何应用分离变量法解定解问题?
有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意 初始位移,任意初始速度。定解问题为:
2 2u u 2 a , 0 x L,t 0 2 2 x t u | x 0 0 , u | x L 0 , t 0 u | ( x) , u ( x) , 0 x L t 0 t t 0
使之满足初始条件 从物理学知，乐器发出的声音，可以分解为各种不同频率的单音，每种 单音振动时所形成的正弦曲线，其振幅依赖于时间 t 。 为此，特解可表示为
u( x, t ) A(t ) sin x
特点:
的形式.
u 中的变量 x , t
被形式上分离为 振幅-关于时间t 位相-关于坐标x
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偏微分方程
定解条件
求满足它们的解（定解问题）
在微积分学中: 多元函数的 微分 积分 (转化为) 一元函数的 微分 积分
分离变量法: 偏微分方程 (转化为)
(定解问题)
常微分方程的求解
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基本思想:将一个多元函数的偏微分方程转化 为几个单元函数的常微分方程
u( x, y, z, t ) X ( x)Y ( y)Z ( z)T (t )
分离变量：
设方程（1）有分离变量解： u( x, t ) X ( x)T (t ) （4） 代入方程（1）：
X ( x)T (t ) a 2 X ( x)T (t )
X ( x) T (t ) 2 X ( x) a T (t )
d X ( x) d T (t ) 0 2 dx X ( x) dx a T (t )
泛定方程
(1) (2) (3)
边界条件
初始条件
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主导思想：
在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，
常微分方程——不但含有未知函数，而且 还含有未知函数的导数，且自变量只有一 个，称之为常微分方程。
求出足够多的形式解
线性迭加这些足够多的形式解
线性——未知函数，以及未知函数的导数 都是一次幂，称之为线性。
boundary condition
definite solution problem 非齐次泛定方程: Nonhomogencous Universal Definite Equation Method of separation of variables:分离变量法
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物理学、工程技术领域的许多问题 ，都可以归结为偏微分方程的 定解问题。
(9) (10)
1. 0 ：方程(9)的通解为 X ( x) A Bx
由(10)得 A B 0 （平庸解:X(x)=0） 2. 0: 方程(9)的通解为
X ( x) A exp(kx) B exp(kx)
设k
(11)
（5） （6）
X ( x) 常数 X ( x)
两边对x求导数：
设这一常数为-，则
X ( x) X ( x) 0 T (t ) a 2T (t ) 0
至此可以看出,利用分离变量法的条件是: 泛定方程必须是齐次的。否则（5）变成 方程 X ( x)T (t ) a2 X ( x)T (t ) f ( x, t ) ,不能写 出变量分离的形式（6）。
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将边界条件（2）代入形式解（4）：
X (0)T (t ) 0, X ( L)T (t ) 0,
由于 T (t ) 0,否则 u( x, t ) 0 (平庸解,无实际意义),故
X (0) X ( L) 0
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
X ( x ) X ( x ) 0 有满足条件
X (0) X ( L) 0 的非零解；
确定取何值时 ，方程
——本征值
求出这个非零解 X ( x )
本征值 问题
本征函数
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下面求解边值问题：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
使之满足初始条件
通解——一般地讲，一阶常微分方程含有 一个任意常数的解，称之为通解。
特解——确定了任意常数的解，称之为特 解。一般来说，当初始条件给定之后，满 足初始条件的特解只有一个。
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启发：
求出足够多的, 满足边界条件的, 具有变量分离形式的形式解。
线性组合这些足够多的形式解
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分离变量法提要: • • • • • • 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
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definite condition 定解条件 initial condition
Lux, y, z, t 0
基本问题:将二元的偏微分方程转化为空间和 时间的常微分方程,比如
u( x, t ) X ( x)T ຫໍສະໝຸດ t )Lux, t 0
L x X ( x) 0 LtT (t ) 0
（7）
这样空间函数 X ( x) 构成下列常微分方程的边值问题:
（8）
至此可以看出,利用分离变量法的条件是:边界条件必须是齐 次的。否则 X (0)T (t ) f ，不能写出关于空间函数 X(x)单独的 边界条件（7），不能构成定解问题（8）。
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以下的任务：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
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§2.1
什么是分离变量法?
有界弦的自由振动
运用分离变量法所应该具备的条件? 如何应用分离变量法解定解问题?
有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意 初始位移,任意初始速度。定解问题为:
2 2u u 2 a , 0 x L,t 0 2 2 x t u | x 0 0 , u | x L 0 , t 0 u | ( x) , u ( x) , 0 x L t 0 t t 0
使之满足初始条件 从物理学知，乐器发出的声音，可以分解为各种不同频率的单音，每种 单音振动时所形成的正弦曲线，其振幅依赖于时间 t 。 为此，特解可表示为
u( x, t ) A(t ) sin x
特点:
的形式.
u 中的变量 x , t
被形式上分离为 振幅-关于时间t 位相-关于坐标x
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偏微分方程
定解条件
求满足它们的解（定解问题）
在微积分学中: 多元函数的 微分 积分 (转化为) 一元函数的 微分 积分
分离变量法: 偏微分方程 (转化为)
(定解问题)
常微分方程的求解
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基本思想:将一个多元函数的偏微分方程转化 为几个单元函数的常微分方程
u( x, y, z, t ) X ( x)Y ( y)Z ( z)T (t )
分离变量：
设方程（1）有分离变量解： u( x, t ) X ( x)T (t ) （4） 代入方程（1）：
X ( x)T (t ) a 2 X ( x)T (t )
X ( x) T (t ) 2 X ( x) a T (t )
d X ( x) d T (t ) 0 2 dx X ( x) dx a T (t )
泛定方程
(1) (2) (3)
边界条件
初始条件
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主导思想：
在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，
常微分方程——不但含有未知函数，而且 还含有未知函数的导数，且自变量只有一 个，称之为常微分方程。
求出足够多的形式解
线性迭加这些足够多的形式解
线性——未知函数，以及未知函数的导数 都是一次幂，称之为线性。
boundary condition
definite solution problem 非齐次泛定方程: Nonhomogencous Universal Definite Equation Method of separation of variables:分离变量法
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物理学、工程技术领域的许多问题 ，都可以归结为偏微分方程的 定解问题。
(9) (10)
1. 0 ：方程(9)的通解为 X ( x) A Bx
由(10)得 A B 0 （平庸解:X(x)=0） 2. 0: 方程(9)的通解为
X ( x) A exp(kx) B exp(kx)
设k
(11)
（5） （6）
X ( x) 常数 X ( x)
两边对x求导数：
设这一常数为-，则
X ( x) X ( x) 0 T (t ) a 2T (t ) 0
至此可以看出,利用分离变量法的条件是: 泛定方程必须是齐次的。否则（5）变成 方程 X ( x)T (t ) a2 X ( x)T (t ) f ( x, t ) ,不能写 出变量分离的形式（6）。
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将边界条件（2）代入形式解（4）：
X (0)T (t ) 0, X ( L)T (t ) 0,
由于 T (t ) 0,否则 u( x, t ) 0 (平庸解,无实际意义),故
X (0) X ( L) 0
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
X ( x ) X ( x ) 0 有满足条件
X (0) X ( L) 0 的非零解；
确定取何值时 ，方程
——本征值
求出这个非零解 X ( x )
本征值 问题
本征函数
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下面求解边值问题：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
使之满足初始条件
通解——一般地讲，一阶常微分方程含有 一个任意常数的解，称之为通解。
特解——确定了任意常数的解，称之为特 解。一般来说，当初始条件给定之后，满 足初始条件的特解只有一个。
深圳大学电子科学与技术学院
启发：
求出足够多的, 满足边界条件的, 具有变量分离形式的形式解。
线性组合这些足够多的形式解
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量法提要: • • • • • • 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
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definite condition 定解条件 initial condition
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数学物理方程4
2
由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：
T ' ' (t ) a T (t ) 0(4)
2
X ' ' ( x) X ( x) 0(5) X (0) 0 和 X (l ) 0(6)
Step 2
求特征值和特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0(5) X (0) 0 X (l ) 0(6)
2. 齐次边界条件 是确定特征函数的根本
ξ 2.2 有限长杆上的 热传导
定解问题
ut a 2u xx , 0 x L u u | x 0 0, x L hu | x L 0 x u |t 0 ( x)
第几类边界条件？ 是齐次边界条件吗？
初始条件确定叠加系数：
2 nx An ( x) sin dx; l 0 l
l
2 nx Bn ( x) sin dx na 0 l
l
nat nat nx u ( x, t ) ( A cos B sin ) sin . n l l l n 1 n
注意：1. 对齐次偏微分方程才能分离变量！ （§2.1，2.2，2.3代表三类齐次方程的解法！）
其中 N n
An A B , n arctan Bn
2 n 2 n
研究方法：我们讨论叠加之前的每一个振动波的特点
（1）固定t=t0,即在某一固定时刻去观察弦上的点
n取定后，振幅Nnsin（wnt0+φ n）是定值
n u ( x, t ) N sin( w t ) sin x l
nx X n ( x) C2 sin l
：特征函数
由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：
T ' ' (t ) a T (t ) 0(4)
2
X ' ' ( x) X ( x) 0(5) X (0) 0 和 X (l ) 0(6)
Step 2
求特征值和特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0(5) X (0) 0 X (l ) 0(6)
2. 齐次边界条件 是确定特征函数的根本
ξ 2.2 有限长杆上的 热传导
定解问题
ut a 2u xx , 0 x L u u | x 0 0, x L hu | x L 0 x u |t 0 ( x)
第几类边界条件？ 是齐次边界条件吗？
初始条件确定叠加系数：
2 nx An ( x) sin dx; l 0 l
l
2 nx Bn ( x) sin dx na 0 l
l
nat nat nx u ( x, t ) ( A cos B sin ) sin . n l l l n 1 n
注意：1. 对齐次偏微分方程才能分离变量！ （§2.1，2.2，2.3代表三类齐次方程的解法！）
其中 N n
An A B , n arctan Bn
2 n 2 n
研究方法：我们讨论叠加之前的每一个振动波的特点
（1）固定t=t0,即在某一固定时刻去观察弦上的点
n取定后，振幅Nnsin（wnt0+φ n）是定值
n u ( x, t ) N sin( w t ) sin x l
nx X n ( x) C2 sin l
：特征函数
数理方程（ＰＤＦ）
un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同，因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l，a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处，振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=
【数理方程】93有界弦的自由振动
r1 r2 0
通解为：X ( x ) Ax B
B0 将条件 X (0) X (l ) 0 代入有 Al B 0 解得：A=B=0
则X（x）=0，不符合非零解的要求，因此 不能等 于零。 ③0
并令 ，为非零数，
2
方程
X ( x ) X ( x ) 0
8）得到满足定解条件的解，除了由上式确定系数 Cn , Dn 之外，还要求上面得到的级数收敛，并且能够对 x，t 微分两次。而这些要求只要对函数 ( x ) 及 ( x ) 加一些 条件，即能满足要求。
说明
当 n 时，它平均收敛于形式解u（x，t）。
始条件，则当n很大时，可以把 Sn ( x, t ) 看成是 u（x，t）的近似解。 在大多数情况下，都是先求形式解，然后在一 定条件下验证这个形式解就是古典解。这个验 证的过程称为综合工作。 我们要求只求形式解，就认为定解问题得到解 决。
【例如1】设有一根长为10个单位的弦，两端固定， x (10 x ) 初速度为0，位移为 ( x ) 1000 ，a 2 10000 求弦作微小横向振动时的位移。
解：设位移函数为u（x，t），其定解问题为：
2u 2u 10000 2 , 0 x 10, t 0 2 t x u x 0 0, u x 10 0， t 0 x(10 x ) u u t 0 , 0 x 10 t 0 0, 1000 t
a 2 n 2 2 ( t ) Tn Tn ( t ) 0 2 l
为二阶常系数线性齐次微分方程。 2 2 2 a n 2 其特征方程为： r 0 2 l an an r1 i r2 i l l nat nat cos sin Dn 通解为：Tn ( t ) C n （n=1，2，…） l l
1方程导出01-弦振动方程
ρ
， f ( x, t ) =
f 0 ( x, t )
ρ
.
注意：由前面的推导，边界张力的垂直分量为：
∂u ( x, t ) Ta ⋅ i u = −T0 , ∂x x = a
u
∂u ( x, t ) Tb ⋅ i u = T0 . ∂x x =b
f0
Tax
A
Ta
Tay
αa
B
Tby
αb
Tbx
Tb
a
b
想的曲线。
∂u ( x, t ) < < 1 ,故 其 高 阶 项 可 近 似 看 着 为 0 。 微小的振动 ─ ∂x
外力── 线密度可设为 f0 ( N / m)；方向：f0 > 0向上，f0＜0向下。 拉紧——弦的张力随时间的变化可忽略不计。
4.受力分析及各物理量计算公式
①．受力分析： 如图：小段弦受外力、张力共同作用
问题的数学提法：
设 刻 ， 对 应 于 x点 处 的 位 移 为 u ( x , t ) ， 求 函 数 t 时 u = u ( x, t )
1
0.5 u 0.5 0
u 1
2
x 1 2 3 4 5 6
-0.5 -0.5 -1 -1 0
1.5 1
t
2 0.5 x 4 6 0
3．分析、假设
①．波动原因： 对 速度变化，当把小段弦视作质点时，这小段弦服从Newton 第二定律：F＝ma（外力的合力＝质量＊加速度）。 ②．术语及假设： 柔软── 抗拉伸，不抗弯曲，从而拉力与弦线相切。 均匀── 弦的线密度为常数，可设为ρ kg/m。 细弦── 弦的直径与长度之比远远小于1，弦可视为理
例
∂u ∂2u − 2 = u +1 ∂t ∂x
数理方程第二章(1)
特点：方程和边界条件都是线性齐次的. 特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
数理方程第讲教学教材
即X(x)0, 不符合非零解的要求, 因此l不能小
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cos
ax
C
x2
sinaxd x
-
1 a
x2
cosax
2 a2
xsinax
2 a3
cosax
C
x
cos
axd
x
1 a2
cos
ax
1 a
xsin
ax
C
x2
cosaxd x
1 a
x2
sinax
2 a2
xcosax
-
2 a3
sinax
C
25
分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固 定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定 x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cos
ax
C
x2
sinaxd x
-
1 a
x2
cosax
2 a2
xsinax
2 a3
cosax
C
x
cos
axd
x
1 a2
cos
ax
1 a
xsin
ax
C
x2
cosaxd x
1 a
x2
sinax
2 a2
xcosax
-
2 a3
sinax
C
25
分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固 定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定 x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:
有界弦的自由振动
•基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
2 2u u 2 0 x l, t 0 t 2 a x 2 , t 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) ( x), t ( x), 0 x l X X 0 ▪分离变量 u( x, t ) X ( x)T (t )
l n at n at Tn (t ) C 'n cos D 'n sin (n 1, 2,3,) l l n a n a n un ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) sin x (n 1, 2,3,) l l l
T ''n (t )
na na n t Dn sin t ) sin x l l l
l l m n m Cm Cn sin x sin xdx 0 ( x) sin l xdx 0 2 l l n 1 2 l m Cm ( x) sin xdx 0 l l 2 l n 2 l n Dn ( x) sin xdx Cn ( x) sin xdx 0 na l l 0 l l
T 104 T 0
X X 0, 0 x 10 X (10) 0 X (0) 0, 2 0 x x 2 X ( x ) Ae Be X X 0 X (0) A B 0 X (l ) Ae10 Be10 0 AB0 X ( x) 0 0 X ( x) Ax B X 0 AB0 X ( x) 0 2 0 X ( x) A cos x B sin x X 2 X 0
3-1 有界弦的自由振动
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n 2 π 2 代入方程(4)： ′′( t ) + λ a 2T ( t ) = 0 得: T 将特征值 λ = 2 l
a 2 n2 π2 T ′′( t ) + T (t ) = 0 2 l 此方程的通解为:
nπ a nπ a ′ ′ Tn ( t ) = C n cos t + Dn sin t l l 其中 C n 和 Dn 为任意常数. ′ ′
= X ( x )T ( t )
λ
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设定解问题的特解为:
u( x , t ) = X ( x )T ( t )
代入(1)中,则有 或
⎧ ∂ 2u ⎪ 2 = X ′′( x )T ( t ) ⎪ ∂x ⎨ 2 ⎪ ∂ u = T ′′( t ) X ( x ) ⎪ ∂t 2 ⎩
Dn = 0
因此,所求的解为:
4 u( x , t ) = 3 5π
1 (2n + 1)π ∑ (2n + 1)3 sin 10 x cos10(2n + 1)πt n= 0
∞
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解定解问题
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a2 2 , ⎪ 2 ∂x ⎪ ∂t ⎪ ⎨ u | x = 0 = ux | x = l = 0, ⎪ ∂u 2 ⎪ u |t = 0 = x − 2lx , |t = 0 = 0, ⎪ ∂t ⎩
通解为 X ( x ) = A cos β x + B sin β x 代入(6)′得
⎧A = 0 ⎨ ⎩ B cos β l = 0
由于 B ≠ 0 ,故 cos β l = 0 ,即
n 2 π 2 代入方程(4)： ′′( t ) + λ a 2T ( t ) = 0 得: T 将特征值 λ = 2 l
a 2 n2 π2 T ′′( t ) + T (t ) = 0 2 l 此方程的通解为:
nπ a nπ a ′ ′ Tn ( t ) = C n cos t + Dn sin t l l 其中 C n 和 Dn 为任意常数. ′ ′
= X ( x )T ( t )
λ
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设定解问题的特解为:
u( x , t ) = X ( x )T ( t )
代入(1)中,则有 或
⎧ ∂ 2u ⎪ 2 = X ′′( x )T ( t ) ⎪ ∂x ⎨ 2 ⎪ ∂ u = T ′′( t ) X ( x ) ⎪ ∂t 2 ⎩
Dn = 0
因此,所求的解为:
4 u( x , t ) = 3 5π
1 (2n + 1)π ∑ (2n + 1)3 sin 10 x cos10(2n + 1)πt n= 0
∞
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解定解问题
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a2 2 , ⎪ 2 ∂x ⎪ ∂t ⎪ ⎨ u | x = 0 = ux | x = l = 0, ⎪ ∂u 2 ⎪ u |t = 0 = x − 2lx , |t = 0 = 0, ⎪ ∂t ⎩
通解为 X ( x ) = A cos β x + B sin β x 代入(6)′得
⎧A = 0 ⎨ ⎩ B cos β l = 0
由于 B ≠ 0 ,故 cos β l = 0 ,即
数理方程总结完整版
该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来 解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
数学物理方程第二章(波动)
横向： T cos T 'cos ' 得：
T T '，与x位置无关
纵向： sin T 'sin ' gds f 0 ds ma T 其中： cos 1 cos ' 1
y
M'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x m ds
分析与假设：
1)柔软的细弦：弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。 2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。 3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。
u 1 x
4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即
数学物理方程
第二章 波动方程
用微元法及牛顿运动定律推导：
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2 u ( x, t ) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx f 0 dx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x
u ( x,0) af1( x) af 2( x) ( x) t 1 x 积分得： f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0 1 1 x C 1 1 x C f 1 ( x) ( x) ( )d f 2 ( x) ( x) ( )d 2 2a 0 2 2 2a 0 2 1 1 x at C 1 1 x at C u ( x at) 0 ( )d 2 2 ( x at) 2a 0 ( )d 2 2 2a 1 1 x at u ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 一维波动方程的达朗贝尔公式
T T '，与x位置无关
纵向： sin T 'sin ' gds f 0 ds ma T 其中： cos 1 cos ' 1
y
M'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x m ds
分析与假设：
1)柔软的细弦：弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。 2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。 3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。
u 1 x
4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即
数学物理方程
第二章 波动方程
用微元法及牛顿运动定律推导：
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2 u ( x, t ) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx f 0 dx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x
u ( x,0) af1( x) af 2( x) ( x) t 1 x 积分得： f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0 1 1 x C 1 1 x C f 1 ( x) ( x) ( )d f 2 ( x) ( x) ( )d 2 2a 0 2 2 2a 0 2 1 1 x at C 1 1 x at C u ( x at) 0 ( )d 2 2 ( x at) 2a 0 ( )d 2 2 2a 1 1 x at u ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 一维波动方程的达朗贝尔公式