七年级数学不等式
七年级数学不等式
七年级数学不等式一、不等式的概念。
1. 定义。
- 用符号“<”（或“≤”）、“>”（或“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式。
例如：x>5，2y + 1<7，a + 3≥b - 2等都是不等式。
2. 不等式中常见的符号及其含义。
- “<”表示小于，如3 < 5。
- “>”表示大于，如7>4。
- “≤”表示小于或等于，例如x≤slant10表示x小于10或者x等于10。
- “≥”表示大于或等于，例如y≥slant - 2表示y大于 - 2或者y等于 - 2。
二、不等式的解与解集。
1. 不等式的解。
- 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如，对于不等式x + 3>5，当x = 3时，3+3 = 6>5，所以x = 3是这个不等式的一个解。
2. 不等式的解集。
- 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如，不等式x - 1>0的解集是x>1，它包含了所有大于1的数。
- 不等式的解集可以在数轴上表示：- 对于x> a（a为常数），在数轴上表示为在a这个点处画一个空心圆圈（因为不包含a本身），然后向数轴正方向画一条线，表示所有大于a的数。
- 对于x≥slant a，在数轴上表示为在a这个点处画一个实心圆圈（因为包含a本身），然后向数轴正方向画一条线，表示所有大于或等于a的数。
- 对于x < a和x≤slant a同理，只是方向是向数轴负方向。
三、不等式的性质。
1. 不等式的基本性质1。
- 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
- 例如：如果a>b，那么a + c>b + c；如果a，那么a - c。
2. 不等式的基本性质2。
- 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
- 例如：如果a>b，c>0，那么ac>bc，(a)/(c)>(b)/(c)。
人教版七年级数学下册_9.1.1不等式及其解集
A.5
B.4
C.3
D.2
感悟新知
知识点 3 不等式的解集的表示方法
在数轴上表示不等式的解集：
特别提醒 在数轴上表示不等式的解集时，
大于向右画， 小于向左画；界点处 用空心圆圈圈住该点.
知3－讲
感悟新知
知3－讲
不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等
式的解集可以在数轴上直观地表示出来. 一般地，利用数
C. 3
D. 2
感悟新知
例2 用不等式表示： (1)a 的一半与3 的和大于5； (2)x 的3 倍与1 的差小于2； (3)a 的 1 与1 的差是正数；
2
(4)m 与2 的差是负数.
知1－练
解题秘方：紧扣不等关系中的关键词语列出不等式.
感悟新知
解：(1) 1 a+3>5.
2
(2)3x－1<2.
第9章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
不等式 不等式的解与解集 不等式的解集的表示方法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 不等式
知1－讲
1. 定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等
式. 用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0)：
不等式的解集 x>a
x>－4a
x<a
x<－a
数轴表示
感悟新知
知3－练
例4 在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x>2 (2)x<－2 解题秘方：紧扣不等式解集在数轴上的表示方法， 看清不等号和端点值是解决问题的关键.
七年级数学不等式的基本性质
要 变 号
4.用不等式表示： （1）X为正数； X>0 （3）X为非负数； x≥0
（2）X为负数； x ＜0 （4）X为非正数. x≤0
5.若a-b<0,则下列各式中一定成立的是( D ) A. a>b B. a+3>b+3 C. a-c>b-c D. a+0.1<b+0.1
课堂小结
1）不等式的定义:用不等号“>”（或“<”、“≥”、 “≤”）连接的式子叫做不等式。
冷风机环保空调主机运行时，要打开一定面积的门或窗，以便通风换气，若没有足够的门窗时，应加装排气扇，并保证排气量为环保空调总送 风量的80%。
显赫，怕是这王府后院从此不太平了。壹想到这里，她又有点儿后悔刚才替冰凝拉了偏架。淑清壹听宋姐姐的名字被解释得这么好听，心中很 是不服气。宋格格听到自己的名字第壹次被赋予了如此的诗意，脸色终于慢慢地好了起来。第壹卷 第六十八章 新居随着吟雪回到自己的院 子，冰凝这颗心才算是轻松下来。月影早早就将房间收拾得整整齐齐，壹点儿也见不到清早出发前的那副乱七八糟样子，此刻壹见丫鬟回来了， 忙不迭奉上了茶水。待这壹口热茶下肚，冰凝的心头立即涌上壹股暖暖的感觉，这两天来的壹幕幕，不停地在她的脑海回闪。昨天累了壹天， 晚上根本没有休息，紧接着就是早上的敬茶这个重要事情，把冰凝累得浑身似散了架壹般。而且刚刚的这个敬茶，哪里是姐妹相认、和睦相处？ 分明就是刀光剑影，明争暗斗！在年府里从没有经历过这些事情的她，简直就是心力交瘁，疲于应付，只有招架之功，没有还有手之力。现在 终于闲下来，才算仔细看了看这个将来要生活壹辈子的地方。院落很大，毕竟是第壹侧福晋，不似福晋院落的庄重大气，也不如李侧福晋院落 的江南风情，这里倒是更有壹番世外桃源的意境，很合冰凝的心思，可以说，这个院落，是冰凝自被赐婚以来，最合心意的壹件事情。这个院 子叫做“怡然居”。福晋的院子是两进院，叫做“霞光苑”。但那是福晋，身份地位摆在那里，自然要与众女眷有着明显的不同；而且确实也 有需要，因为府中的家宴需要设在她那里，女眷们的请安需要在她那里，连管家汇报也需要在那里，因此前厅后院的格局是必须，也是必要的。 这怡然居就不同了，只是壹进的院子。但是，院子非常大，因此壹进门的位置设了影壁墙，绕过影壁，首先是壹个花园，这与壹般院落，将花 园设在最后位置有着极大的不同。也正是这个花园，拉开了院门与正房之间的距离，形成了较大的距离感和极强的私密感，颇有曲径通幽的效 果。院子的西侧种了壹棵芙蓉树，枝叶繁茂，占据了院子上空三分之壹的空间。现在正是芙蓉花盛开的季节，粉粉的花朵落满了壹地，把整个 儿院子映得暖融融的。但是，冰凝不太喜欢粉色，见到满眼的粉红，很是刺目，略略皱了壹下眉头。不过，想想也就这几天开花，过些日子不 开花就好了，因此也就没有多说什么，只是吩咐小太监及时把落下的花朵清扫干净。东侧有壹组石桌石椅，石桌的表面刻的是壹副围棋盘，既 可以当普通桌子，也可以当棋盘桌。除此之外，从影壁开始，壹直到正屋门前，全部是壹整片的花圃，高低错落地种植着各式各样的花草，其 中有冰凝最喜欢的兰草，淡淡蓝紫色的小花，很是清新淡雅。这让她的心情略略地好了壹些。从院门走到居室，就像是漫步在花海中，随着脚 步的移动，花香就
七年级数学第九章《不等式(组)-复习训练》知识梳理、考点精讲精练、课堂小测、课后作业第23讲(有答案)
第23讲 不等式（组）－复习训练⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3211、用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子叫做不等式。
2、不等式的符号统称不等号，有“＞” “＜” “≠”. 其中“≤” “≥”,也是不等号.其中，“≤”表示，不大于、不超过，“≥”表示不小于、不低于。
3、使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
4、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
5、解与解集的关系：不等式的解集包括不等式全体的解；解集中的任何一个数都是不等式的解。
6、用数轴表示解集：在数轴上标出某一区间，其中的点对应的数值都是不等式的解。
①方向线向左表示小于，方向线向右表示大于；②空心圆圈表示不包括； ③实心圆圈表示包括。
7、用数轴表示解集的步骤：①画数轴；②找点；③定向；④画线。
8、求不等式的解集的过程叫做解不等式。
9、含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
1、不等式的性质1 不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
如果a ＞b ，那么a±c ＞b±c 。
不等式的性质2 不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
如果a ＞b,c ＞0,那么ac ＞bc （或c a ＞cb ）。
不等式的性质3 不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改。
如果a＞b,c ＜0,那么ac ＜bc （或c a ＜cb ）。
2、解未知数为x 的不等式，就是要使不等式逐步化为x ＞a 或x ＜a 的形式。
3、解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向。
4、解不等式时要注意未知数系数的正负，以决定是否改变不等号的方向。
新人教七年级数学下册 第九章不等式与不等式组全章讲与练
第九章不等式与不等式组第一节、知识梳理一、学习目标1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义.2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式.3.会用数轴表示出不等式的解集.二、知识概要1.不等式：一般地，用不等号“＞”、“＜”表示不等关系的式子叫做不等式.2.不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.3.不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集.4.一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.5.不等式的性质：性质一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变.6.三角形中任意两边之差小于第三边.三、重点难点重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解.四、知识本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础.五、中考视点不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答题中也要用到不等式，利用不等关系求X围等.第二节、教材解读1. 常用的不等号有哪些？常用的不等号有五种，其读法和意义是：（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小.（2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大.（3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小.（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量.（5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量.2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？（1）找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示.（2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义.（3）选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来.根据下列关系列不等式：a的2倍与b的的和不大于2a+ b.“不大于”就是“小于或等于”.列不等式为：2a+b≤3.3. 用数轴表示不等式注意什么？用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向.若边界点在X围内则用实心点表示，若边界点不在X围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画.在同一个数轴上表示下列两个不等式：x＞-3；x≤2.第三节、错题剖析一、去括号时，错用乘法分配律【例1】解不等式3x+2（2-4x）<19.错解: 去括号，得3x+4-4x<19，解得x>-15.诊断: 错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.正解: 去括号，得3x+4-8x<19，-5x<15，所以x>-3.二、去括号时，忽视括号前的负号【例2】解不等式5x-3（2x-1）>-6.错解: 去括号，得5x-6x-3>-6，解得x<3.诊断：去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号.错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号.正解: 去括号，得5x-6x+3>-6，所以-x>-9，所以x<9.三、移项时，不改变符号【例3】解不等式4x-5<2x-9.错解: 移项，得4x+2x<-9-5，即6x<-14，所以诊断: 一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样，移项就要改变符号，错解忽略了这一点.正解: 移项，得4x-2x<-9+5，解得2x<-4，所以x<-2.四、去分母时，忽视分数线的括号作用【例4】解不等式错解: 去分母，得6x-2x-5>14，解得诊断: 去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时，忽视了分数线的括号作用.正解: 去分母，得6x-（2x-5）>14，去括号，得6x-2x+5>14，解得五、不等式两边同除以负数，不改变方向【例5】解不等式3x－6＜1+7x.错解：移项，得3x－7x＜1+6，即－4x＜7，所以诊断：将不等式－4x＜7的系数化为1时，不等式两边同除以－4后，根据不等式的基本性质：不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解.正解：移项，得3x－7x<1+6，即－4x＜7，所以x＞【例6】 x2与a的和不是正数用不等式表示.错解及分析： x2+a<0. 对“不是正数”理解不清.x2与a的和是0或负数.正解： x2+a≤0.【例7】求不等式的非负整数解.错解及分析：整理得，3x≤16，所以故其非负整数解是1，2，3，4，5.本例的解题过程没有错误，错在对“非负整数”的理解.正解：整理得，3x≤16，所以故其非负整数解是0，1，2，3，4，5.【例8】解不等式3-5（x-2）-4（-1+5x）<0.错解及分析：去括号，得3-x-2-4+5x<0，即4x<3，所以本题一是去括号后各项没有改变符号；二是一个数乘以一个多项式时应该把这个数和多项式的每一项相乘.正解：去括号得3-x+10+4-20x<0，即-21x<-17，所以【例9】解不等式7x-6<4x-9.错解及分析：移项，得7x+4x<-9-6，即11x<-15，所以一元一次不等式中移项和一元一次方程中的移项一样，都要改变符号.正解：移项，得7x-4x<-9+6，即3x<-3，所以x<-1.【例10】解不等式错解及分析：去分母，得3+2（2-3x）≤5（1+x）.即11x≥2，所以错误的原因是在去分母时漏乘了不含分母的一项“3”.正解：去分母，得30+2（2-3x）≤5（1+x）.即11x≥29，所以【例11】解不等式6x-6≤1+7x.错解及分析：移项，得6x-7x≤1+6.即-x≤7，所以x<-7.将不等式-x≤7的系数化为1时，不等式两边同除以-1，不等号没有改变方向，因此造成了错解.正解：移项，得6x-7x<1+6.即-x≤7，所以x≥-7.【例12】解关于x的不等式m（x-2）>x-2.错解: 化简，得（m-1）x>2（m-1），所以x>2.诊断: 错解默认为m-1>0，实际上m-1还可能小于或等于0.正解: 化简，得（m-1）x>2（m-1），①当m-1>0时，x>2；②当m-1<0时，x<2；③当m-1=0时，无解.【例13】解不等式（a－1）x＞3.错解：系数化为1，得x＞.诊断：此题的未知数系数含有字母，不能直接在不等式两边同时除以这个系数，应该分类讨论.正解：①当a－1＞0时，x＞；②当a＝1时，0×x＞3，不等式无解；③当a－1＜0时，x＜.【例14】不等式组的解集为 .错解：两个不等式相加，得 x-1＜0，所以x＜1.诊断：这是解法上的错误，它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈，不等式组的解法是分别求出不等式组中各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，求得的公共部分就是不等式组的解集，而不能用解方程组的方法来求解正解：解不等式组，得.在同一条数轴上表示出它们的解集，如图，所以不等式组的解集为：0＜x＜【例15】解不等式组错解：因为5x-3＞4x+2，且4x+2＞3x-2，所以 5x-3＞3x-2.移项，得5x-3x＞-2+3.解得 x＞.诊断：上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们可以在x＞的条件下，任取一个x的值，看是否满足不等式组.如取x＝1，将它代入5x-3＞4x+2，得2＞6（不成立）.可知x＞不是原方程组的解集，其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集.正解：由5x-3＞4x+2，得x＞5.由4x+2＞3x-2，得x＞－4.综合x＞5和x＞－4，得原不等式组的解集为x＞5.【例16】解不等式组错解：由不等式2x＋3<7可得x<2.由不等式5x-6>9可得x>3.所以原不等式组的解集为2>x>3.诊断：由不等式性质可得，2>3，这是不可能的.正解：由不等式2x＋3<7可得x<2.由不等式5x-6>9可得x>3.所以原不等式组无解.【例17】解不等式错解：去分母，得3－4x－1＞9x.移项，得－4x－9x＞1－3合并，得－13x＞－2系数化为1，得诊断：本题忽视了分数线的双重作用,去分母时,若分子为多项式,应对其加上括号.正解：去分母，得3－（4x－1）＞9x去括号，得3－4x+1＞9x.移项，得－4x－9x＞-1－3合并，得－13x＞－4系数化为1，得【例18】若不等式组的解集为x>2，则a的取值X围是（）.A. a<2B. a≤2C. a>2D. a≥2错解及分析：原不等式组可分为得a<2，故选A.当a=2时，原不等式组变为解集也为x>2.正解：应为a≤2 ，故选B.【例19】解不等式组错解：②－①，得不等式组的解集为x<-13.诊断：错解中把方程组的解法套用到不等式组中.正解：由不等式2x<7+x得到x<7.由不等式3x<x-6得到x<-3.所以原不等式组的解集为x<-3.第四节、思维点拨一、巧用乘法【例1】解不等式0.125x＜3．【思考与分析】此不等式是一元一次不等式的一般形式，只需不等式两边同时除以0.125，就可以化系数为“1”，但是较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以0.125解得简捷．解：两边同乘以8，得x＜24．二、巧去分母【例2】解不等式【思考与分析】常规方法是先去分母，但仔细观察就会发现，可先进行移项.解：移项，得合并同类项，得x≥-1.【例3】解不等式【思考与分析】常规方法是去分母，两边同乘以分母的最小公倍数.但我们会注意到“0.25×4＝1，0.5×2＝1”，则利用分数的性质，对左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以2，这样就可以化去分母并且系数为整数.解：利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以2），得8x+4-2（x－2）≤2，去括号，得8x+4-2x+4≤2，移项，合并同类项，得6x≤-6两边同时除以6得x≤-1.三、根据已知条件取特殊值【例4】设a、b是不相等的任意正数，又x＝，则x、y这两个数一定是（） A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个大于2D．至少有一个小于2【思考与分析】不妨取a＝1，b＝3，得x＝10，y＝从而排除A、B，再取a＝3，b＝4，得，从而排除D，故选C.答案：C．【反思】用特殊值法解选择题时，如果所取的特殊值使部分选项取得相同的结果，则应另选特殊值再验，直至选出答案．四、根据数轴取特殊值【例5】不等式组的解集在数轴上表示出来是如下图中的（）【思考与分析】本题的常规方法是先解不等式组，然后再对照各选项选出正确答案，由于这样做要解不等式组，比较麻烦.仔细观察各选项中的数轴，有两个特殊数2，-1，不妨先取x＝2，代入不成立，故可排除A、B.再取x＝0，代入不成立，又可排除C，从而选D，这样做不仅节省了时间，而且又减少了出错的机会﹒答案：Ｄ．【反思】用特殊值法解选择题时，要综合运用验证法，排除法等技巧，快速选出正确答案﹒比较两个数或两个代数式的大小，可以运用求差法：如果a－b>0，则a>b；如果a－b<0，则a<b.运用求差法比较大小的一般步骤是：（1）作差；（2）判断差的符号；（3）确定大小.【例6】设x>y，试比较代数式-（8-10x）与－（8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.解：由两式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.所以-（8-10x）>－（8-10y）.又由题意得-（8-10x）>0，即x>，所以x最小的正整数值为1.【例7】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一X全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意东方旅行社的收费为2a＋70％a＝，光明旅行社的收费为3a×80％＝.因为－＝>0，所以实际上光明旅行社的收费较低.【反思】在解题时我们为什么设这两家旅行社全票的价格为a元呢？因为如果不设的话，我们即使知道用求差法比较大小，也无从下手.五、巧去括号【例8】【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号，再去小括号，这样会使运算简便.解：去中括号，得去分母，得 3x+60＜28+8x，移项，合并同类项，得-5x＜-32，【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号，给后面的运算带来方便.解：去小括号，得六、巧用“整体思想”【例9】解不等式：【思考与分析】观察题目中括号内外可知都有相同的项：2x-1，我们把2x－1视为整体，再去中括号和分母，则可使运算简捷．解： 3（2x-1）-9（2x-1）-9＜5．合并同类项得-6×（2x-1）＜14．解得反思：我们在解带有括号的一元一次不等式时，我们要善于观察题目的特点，巧去括号可使运算简便. 【例10】在欧洲足球锦标赛中，共有16支队伍参加比赛，争夺象征欧洲足球最高荣誉的“德劳内杯”.16支队伍被分成4个小组，进行单循环赛（即每个队需同其他三个队各赛一场），胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，每组按照积分的前两名出线进入前八强，每个队在小组赛中需积多少分，才能确保出线？【思考与分析】根据题意，只有小组赛中的积分的前两名才能出线，我们可以分几种情况来讨论出线积分的多少.（1）若某一队三战全胜积9分，则同组的另一小队需保证小组第二才有出线的希望，在剩下的两场比赛中，它有六种可能：两场全胜积6分，一胜一平积4分，一胜一负积3分，两平积2分，一平一负积1分，两负积0分.（三场比赛，肯定有一场负）因此，在这种情况中，至少积6分才能确保出线；（2）若某一队三战两胜一平积7分，则小组第二至少要两胜积6分才能出线；（3）若某一队三战两胜一负积6分，则其他两个队也可能三战两胜一负积6分，这样三队同积6分，不能确保小组出线.由以上思考讨论可知，在小组赛中，积分可能出现三个队积分相同，为了确保出线，至少需积7分，才能保证以小组第二的身份出线.解：需7分.【小结】通过解题过程我们知道做这类题的时候要注意：在足球比赛中，一般按积分多少排名次；积分相等的两队，净胜球数多的队名次在前；积分、净胜球数都相等的球队，进球数多的队名次在前；分析有关足球比赛的问题时，不能单纯的利用不等关系判断，还要注意到相互之间的胜负关系.第五节、竞赛数学【例1】满足的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于 .【思考与分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式.解：原不等式去分母，得3（2＋x）≥2（2x－1），去括号，移项，合并同类项，得－x≥－8，即x≤8.满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，－9，－10，－11.这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30.【例2】如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程的解，那么（）.【思考与分析】这道题把方程问题转化为解不等式问题，利用了转化的数学思想.由于第一个方程的解大于第二个方程的解，只要先分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案.解：关于x的方程3（x＋4）＝2a＋5的解为关于x的方程的解为由题意得，解得.因此选D.【例3】如果，2+c>2，那么（）.A. a-c>a+cB. c-a>c+aC. ac>-acD. 3a>2a【思考与分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便可以找到正确的答案.解: 由所以a<0.由2+c>2，得c>0，则有－c<c.两边都加上a，得a-c<a+c，排除A；由a<0，c>0，得ac<0，－ac>0，从而ac<-ac，排除C；由a<0，两边都加上2a，得3a<2a，排除D.答案应该选B，事实上，由a<0，得－a>0，从而－a>a，两边同时加上c，可得c－a>c＋a.【例4】四个连续整数的和为S，S满足不等式，这四个数中最大数与最小数的平方差等于 .【思考与分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出.解：设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2.由<19，解得7<m<9.由于m为整数，所以m＝8，则四个连续整数为7，8，9，10，因此最大数与最小数的平方的差为102－72＝51.从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，绝对值都是表示两个数的绝对值，即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，含有绝对值号的不等式的求解过程出现了一些新特点．一个实数a的绝对值记作∣a∣，指的是由a所惟一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：（1）∣a∣≥∣b∣b≤|a|或b≥-|a|，∣a∣≤∣b∣∣b∣≤a≤∣b∣；（2）∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣∣a∣+∣b∣；（3）∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．【例5】解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．【分析】关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论：解：（1）当当x≤时，原不等式化为-（x-5）-［-（2x+3）］＜1，解得x<-7，结合x≤，故x<-7是原不等式的解；（2）当＜x≤5时，原不等式化为-（x-5）-（2x+3）＜1，解得是原不等式的解；（3）当x＞5时，原不等式化为：x-5-（2x+3）＜1，解得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．综合（1），（2），（3）可知，是原不等式的解．第六节、本章训练基础训练题1.不等式x＋3＜6的非负整数解为（）.A. 1，2B. 1，2，3C. 1，2，0D. 1，2，3，02.已知三个连续奇数的和不超过27且大于10，这样的数组共有（）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.的值不小于－2，则a的取值X围是（）.＋2x的值不大于8－的值，那么x的正整数解是 .5.小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，还可以买多少根火腿肠？6.小华用最小刻度是1厘米的刻度尺，测量一本书的长，测得结果是17.5厘米，这0.5厘米是他估计的，并不准确，若设他所测量的书的长为x厘米，那么x应该满足的不等式是什么？答案1. C2. B3. C4. 1，2，35.解：设还可以买x根火腿肠.由题意我们可列不等式5×3＋2x≤26，解得因为x必须为正整数，所以x＝1，2，3，4，5.答：小明还可以买火腿肠的数目不超过5根.6.解：17＜x＜18.提高训练题2.李明在第一次数学测验中得76分，在第二次测验中得92分，设第三次测验的分数为x，且三次的平均分不低于85分，求x的取值X围.3.小强去超市买某种牌子的衬衣，该种衬衣单价为每件100元，小强想买的衬衣数不少于5件，路上交通费为10元，小强准备钱时有以下几种选择：准备400元，准备500元，准备510元，准备610元.请你说明哪种方案可行？4.某商城以单价260元购进一批DVD机，出售时标价398元，由于销售不好，商场准备降价出售，但要保证利润不低于10％.小明说：“可降价100元.”小英说：“可降价150元.”小华说：“降价不能超过112元.”你同意他们谁的说法？5. 巧解下列不等式：（1） 0.375x-2≤0.5x（2）（4）6. 解下列不等式：（1） 9-2（x－2）≥6（2） 12-3x＜8-2x7. 已知答案2.解：由题意得我们可列不等式≥85，解得x≥87.3.解：设小明准备了x元钱.我们由题意可列不等式≥5.解得x≥510.所以准备510元或准备610元都可以.4.解：设降价x元.5. （1）x≥-16（提示：不等式两边同乘8）；我们可以由题意列不等式398-x－260≥260×10％.解得x≤112.所以小明和小华的说法是正确的.强化训练题1. 若实数a＞1，则实数M＝a，N=的大小关系是（）．A． P＞N＞M B． M＞N＞PC． N＞P＞M D． M＞P＞N2. 若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（）.3. a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的有（）．① b+c＞0；② a+b＞a+c；③ bc＞ac；④ ab＞ac．A．1个B．2个 C．3个 D．4个.4.我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题.抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分.小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？5.已知前年物价涨幅（即前年物价比上一年，也就是大前年物价增加的百分比）为20％，去年物价涨幅为15％，预计今年物价涨幅降低5个百分点，为了使明年物价比大前年物价涨幅不高出55％，明年物价涨幅必须比今年物价涨幅至少再降低x个百分点（x为整数）则x＝（）.A. 6B. 7C. 8D. 96.某商场计划投入一笔资金，采购紧销商品.经调查发现，如月初出售，可获利15％，并可用本和利再投资其他商品，则月末又可获利10％；如等到月末出售可获利30％，但需要支付仓储费用700元.请问根据商场资金多少，如何购销获利较多？7.小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解知道这两种灯的照明效果和使用寿命都是一样的.已知小王家所在地的电价为每度0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。
人教版七年级下册数学第9章 不等式与不等式组全章课件
（2）“提前完成任务”是什么意思？
10天的工作量 ≥ 500件
（三）深入探究,阶段小结
解：每个小组每天生产x件产品，
依题意得： 3×10x<500, ① 3×10(x+1)>500. ②
①式解得：x
<
16
2 3
②式解得：x
>15
2 3
∴不等式组的解集为
15
2 3
<x
< 16
问题3：
从刚才的练习中你发现了什么？请你把你的发现和合作小组的同学 交流．
⑴ 5＞3， 5+2 ＞ 3+2， 5-2 ＞ 3-2； ⑵ -1＜3， -1+2 ＜ 3+2，-1-3＜ 3-3； ⑶ 6＜2， 6×5 ＜ 2×5，
6×（-5） ＞2×（-5）； ⑷ -2＜3， （-2）×6 ＜ 3×6，
依题意得：40x≤2400 且 40x≥2000
（二）概念认识
c>10－3 且 c<10+3
c >10－3 c <10+3
一元一次 不等式组
40x≤2400 且 40x≥2000
40x≤2400
【问题3】
40x≥2000
请大家判断一下，下列式子是一元一次不等式
组吗？一元一次不等式组有什么特点？
x － 3 >0
23 从图中可以找到两个不等式解集的公共部分， 得不等式组的解集是: x >3
（五）练习巩固
【问题 7】完成课本 140 页练习 1.
（六）课堂小结
【问题 8】本节课你学到了哪些知识？
第九章 不等式与不等式组
初中七年级下册数学不等式
初中七年级下册数学不等式1 不等式不等式是一类变量间存在着大小关系，而这种大小关系必须具有限制性的等式。
与等式不同，不等式表示的是两个变量之间有关联但不一定相等的关系，并且存在着明确的大小关系限制。
一元不等式是不等式的最基本形式，即只包含一个变量的不等式。
2 一元不等式一元不等式的两个最基本的形式为「大于等于」和「小于等于」，即记法为：大于等于：a≥b，小于等于：a≤b。
在中学数学课上，一般只要求掌握小于等于和大于等于这两种形式，但将来大学数学课学到的一元不等式还可以是「大于」和「小于」，即a>b和a<b。
3 一元不等式的解法在解决一元不等式的问题时，通常有以下几个步骤：（1）确定一元不等式的不等号（大于、小于或等于），将不等式根据号的类别划分为两部分进行求解。
（2）对不等式的两部分分别进行除法运算，注意要除数不能为0。
（3）将解得的结果把步骤2中解出来的区间加以组合，组合得到最终的解集。
下面就利用这几个步骤来简单说明一元不等式的求解过程：以求解不等式2x-1≥7为例，其中的2x表示不等式的不等号为≥，划分为两部分2x和“-1≥7”分别进行除法运算，2x除以2，得到x≥4；-1≥7除以-1，得到-1≤-7。
最后，将两部分结果组合在一起，x≥4和-1≤-7区间没有重叠，所以最终的解集为x≥4。
4 一元不等式在中学数学中的应用在中学数学中，一元不等式是比较常见的知识，它可以被广泛应用于中学数学中的函数、条件判断、单调性等知识，能够从不同的角度研究所研究的数学问题。
比如，在求正数的偶函数的最小值的形阶段，可以通过求出一元不等式的解来解决。
用变量x代表未知数，并求出f(x)的导数f'(x)，当f'(x)>0时，f(x)的变化趋势是递增的；当f'(x)<0时，f(x)的变化趋势是递减的；当f'(x)=0时，求得不等式结果就可以得到数学函数的最小值。
5 一元不等式用于概率论一元不等式也可以用于概率论中，比如有一个单纯的实验，投掷一枚转盘，并求出实验可能结果是投掷正面或者反面，此时通过一元不等式可以求出概率值范围，进而有所结论。
七年级数学拓展第五讲不等式与不等式组讲义
例 16.（2010 江苏）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠”、“豆 你玩”.以绿豆为例，5 月上旬某市绿豆的市场价已达 16 元/千克。市政府决定采取价格临时 干预措施，调进绿豆以平抑市场价格。经市场调硏预测，该市每调进 100 吨绿豆，市场价格 就下降 1 元/千克。为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市 场价格控制在 8 元汘千克到 10 元/汘克之间（含 8 元/千克和 10 元/千克）。问调进绿豆的吨 数应在什么范围内为宜？
例 17.某工厂现有甲种原料 36 千克，乙种原料 20 千克，计划用这两种原料生产 A、B 两种 产品共 12 件。已知生产一件 A 种产品需甲种原料 3 千克，乙种原料 1 千克；生 B 种产品需 甲种原料 2 千克乙种原料 5 千克 （1）设生产 x 件 A 种产品，写出 x 应满足的不等式组 （2）请你设计出符合题意的几种生产方案
第五讲 不等式与不等式组
不等式的概念
1.不等式的概念
用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
5 2, a 3 4 1, x 1 0,| x | 0,3a 4a
等都是不等式
常见的不等号有 5 种： " "," "," "," "," "
2.不等式的性质
（1）基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或是同一个整式，不等号方向不 变
其中空心点用来表示“>”和“<”，实心点用来表示“≥”和“≤”
人教版七年级数学下册《不等式的性质》不等式与不等式组PPT优秀课件
第九章 不等式与不等式组
不等式的性质
学习目标
1.(课标)探索不等式的基本性质. 2.掌握不等式的三个性质并且能正确应用. 3.理解解不等式的概念. 4.(课标)能解数字系数的一元一次不等式.
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1 文字语言:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方 向 不变 . 符号语言:如果a＞b,那么a±c ＞ b±c.
4.(人教7下P119)用不等式表示下列语句并写出解集,并在数 轴上表示解集: (1)x的3倍大于或等于1; (2)x与3的和不小于3; (3)y与1的差不大于0;
(4)y 的1小于或等于－2.
4
(1)3x≥1,即 x≥1
3
(3)y－1≤0,即 y≤1
数轴略.
(2)x＋3≥3,即 x≥0 (4)1y≤－2,即 y≤－8
★.(新题速递)(人教7下P121改编)根据等式和不等式的基本 性质,我们可以得到比较两数大小的方法: 若a－b＞0,则a＞b;若a－b＝0,则a＝b; 若a－b＜0,则a＜b.反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”. 请运用这种方法尝试解决下面的问题: 比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小. 解:∵4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝b2＋3＞0, ∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
数轴略.
(2)6x＜5x－1;
x＜－1
(4)1－1x≥x－2.
3
x≤9
4
8.【例4】(创新题)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是( D )
A.P＞R＞S＞Q C.S＞P＞Q＞R
B.Q＞S＞P＞R D.S＞P＞R＞Q
七年级数学下册第九章不等式与不等式组知识点归纳
第九章 不等式与不等式组一、知识结构图 二、知识要点 (一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号(“＜”“＞"“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式,用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
不等号主要包括: ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。
2、不等式的解:使不等式左右两边成立的未知数的值,叫做不等式的解。
3、不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）.4、解不等式:求不等式的解集的过程，叫做解不等式.5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。
规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画,小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。
(二、）不等式的基本性质⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321不等式性质1:不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为：如果b a >,那么c b c a ±>±;如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为: 如果0,>>c b a ,那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <（或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个 负数 ,的方向 改变 .用字母表示为： 如果0,<>c b a ,那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >（或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式.(注：①传递性：若a ＞b ，b ＞c ,则a ＞c 。
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答案:(1）分别使用“<”“＞”“≠”.(2)表示不等关系．(3）不可以随意互换位置.（4)用不等号表示不等关系的式子叫不等式．
不等号除了“＜”“>”“≠”之外，还有无其他形式?
学生活动:同桌讨论,尝试得到结论.
教师释疑:①不等号除“＜”“＞”“≠”外,还有“≥”“≤”两种形式（“≥”是指“＞”与“＝”结合起来，读作“大于或等于”，也可理解成“不小于”；同理“≤”读作“小于或等于”，也可理解成“不大于”.)现在,我们来研究用“>”“＜”表示的不等式．
一、素质教育目标
（-)知识教学点
1．了解不等式的意义．
２．理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法.
３．能依题意准确迅速地列出相应的不等式.
(二）能力训练点
1．培养学生运用类比方法研究相关内容的能力．
2．训练学生运用所学知识解决实际问题的能力．
(三)德育渗透点
通过引导学生分析问题、解决问题,培养他们积极的参与意识,竞争意识．
2.探索新知，讲授新课
不等式和等式既有联系，又有区别，大家在学习时要自觉进行对比,请观察演示实验并回答：演示说明什么问题？
师生活动:教师演示课本第54页天平称物重的两个实例（同时指出演示中物重为克,每个砝码重量均为1克），学生观察实验,思考后回答:演示中天平若不平衡说明天平两边所放物体的重量不相等.
(三）教学过程
1．创设情境,复习导入
我们已经学过等式和它的基本性质，请同学们观察下面习题，思考并回答:
(1)什么是等式？等式中“=”两侧的代数式能否交换？“=”是否具有方向性?
(2)已知数值:-5， ，3，0，２，７,判断：上述数值哪些使等式 成立？哪些使等式 不成立？
学生活动：首先自己思考，然后指名回答.
【教法说明】结合实际生活中同类量之间具有一种不相等关系的实例引入不等式的知识,能激发学生的学习兴趣．
在实际生活中，像演示这样同类量之间具有不相等关系的例子是大量的、普遍的，这种关系需用不等式来表示.那么什么是不等式呢?请看：
,,
,,
提问：(ｌ）上述式子中有哪些表示数量关系的符号？（2)这些符号表示什么关系？（3）这些符号两侧的代数式可以随意交换位置吗?（4)什么叫不等式？
１.不等式的概念
用不等号(“＜”、“>”或“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式．
另外,(“≥”是把“>”、“=”）结合起来，读作“大于或等于”，或记作“≮”,亦即“不小于”)、(“≤”是把“＜”、“＝”结合起来，读作“小于或等于”，或记作“≯”，也就是“不大于”）等等,也都是不等式.
２．当不等式的两边都加上或乘以同一个正数或负数时，所得结果仍是不等式．但变形所得的不等式中不等号的方向,有的与原不等式中不等号的方向相同,有的则不相同．因而叙述时不能笼统说成“……仍是不等式”，而应明确变形所得的不等式中不等号的方向．
2．从演示的有关实验中，探究相应的不等量关系,从学生的讨论、分析中探究代数式的不等关系的几种常见形式.
3．从师生的互动讲解练习中掌握不等式的有关知识,并培养学生具有一定的灵活应用能力．
七、教学步骤
(一)明确目标
本节课主要学习依题意正确迅速地列出不等式.
(二）整体感知
通过复习等式创设情境，自然过渡到不等式的学习过程中，又通过细心的分析、审题寻找出正确的不等量关系，从而列出正确的不等式.
②不等号“＞”“＜”表示不等关系,它们具有方向性,因而不等号两侧不可互交换,例如,不能写成 .
【教法说明】①通过学生自己观察思考，进而猜测出不等式的意义,这种教法充分发挥了学生的主体作用．
②通过教师释疑,学生对不等号的种类及其使用有了进一步的了解.
３．尝试反馈，巩固知识
同类量之间的大小关系常用“>”“<”来表示，请同学们根据自己对不等式的理解，解答习题．
（１)用“＜”或“>”境空.(抢答）
①４＿__-6;②-１＿_＿_0③-8_＿_－3；④-4．5＿_＿-4.
（2)用不等式表示：
①是正数；② 是负数；③ 与3的和小于６；④ 与2的差大于-1;⑤ 的4倍大于等于7;⑥ 的一半小于3.
（四)美育渗透点
通过不等式的学习，渗透具有不等量关系的数学美．
二、学法引导
1.教学方法:观察法、引导发现法、讨论法.
2.学生学法：只有准确理解不等号的几种形式的意义，才能在实际中进行灵活的运用.
三、重点·难点·疑点及解决办法
（一)重点
掌握不等式是否成立的判定方法；依题意列出正确的不等式．
(二）难点
依题意列出正确的不等式
（三)疑点
如何把题目中表示不等关系的词语准确地翻译成相应的数学符号.
(四)解决方法
在正确理解不等号的意义后，通过抓住体现不等量的关系的词语就能准确列出相应的不等式.
四、课பைடு நூலகம்安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．创设情境,通过复习有关等式的知识,自然导入 新课的学习,激发学生的学习热情.
七年级数学不等式
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不等式
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是不等式的三条基本性质．难点是不等式的基本性质3．掌握不等式的三条基本性质是进一步学习一元一次不等式(组）的解法等后续知识的基础．
3.不等式成立与不等式不成立的意义
例如：在不等式中，字母 表示未知数.当 取某一数值 时， 的值小于2,我们就说当 时，不等式 成立；当 取另外某一个数值 时， 的值不小于２，我们就说当时,不等式不成立.
4.不等式的三条基本性质是不等式变形的重要依据，性质１、2类似等式性质,不等号的方向不改变，性质3不等号的方向改变，这是不等式独有的性质，也是初学者易错的地方，因此要特别注意．
教师释疑:①“＝”表示相等关系，它没有方向性，等号两例可以相互交换，有时不交换只是因为书写习惯，例如方程的解.
②判断数取何值,等式成立和不成立实质上是在判断给定的数值是否为方程 的解，因为等式 为一元一次方程,它只有惟一解 ，所以等式 只有在时成立,此外，均不成立.
【教法说明】设置上述习题,目的是使学生温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．