2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 集合的解题技巧
高考数学破解命题陷阱专题01集合的解题技巧(2021学年)
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专题０1 集合的解题技巧一、命题陷阱设置1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱;2。
造成集合中元素重复陷阱;３.隐含条件陷阱；4。
代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱;6.子集中忽视空集陷阱；7。
新定义问题；8。
任意、存在问题中的最值陷阱。
二、典例分析及训练。
（一）元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱例1. 已知{0,1}=⊆则N x x MM=,{|}∈ C.N M∈ B.N MA.M N⊆⊆ D.M N【答案】A陷阱预防:表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系,这类题目防范办法是把集合N用列举法表示来.练习1。
集合{|52,},{|53,},S x x m m Z==+∈之间的关==-∈==+∈{|103,}M x x k k Z P x x n n Z系是（)Ａ. S P M=⊂⊂= D。
P M S⊂⊂ B. S P M=⊂ C．S P M【答案】C【解析】∵{|52,},{|53,},{|103,}M x x k k Z P x x n n Z S x x m m Z ==-∈==+∈==+∈，∴{}7,2,3,8,13,18M =--, {}7,2,3,8,13,18P =--， {}7,3,13,23S =-，故S P M ⊂=,故选C.练习2. 对于集合A {246}＝，，，若A a ∈,则6A a -∈,那么a 的值是_______＿． 【答案】2或4【解析】2A ∈,则624A,4A -=∈∈则642A,6A -=∈∈，则660A,-=∈舍去,因此a 的值是2或4（二)集合中元素重复陷阱例2. ,a b 是实数,集合A={a,,1}ba,2{,,0}B a a b =+,若A B =，求20152016a b ＋. 【答案】1－【解析】{}{}20010A B b A a B a a ∴＝，＝，＝，，，＝，， . 21a ∴＝ ，得 1.1a a ±＝＝ 时， {}101A ＝，， 不满足互异性,舍去； 1a ＝－ 时，满足题意。
高考数学破解命题陷阱专题01集合的解题技巧
专题01 集合的解题技巧一、命题陷阱设置1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱；2.造成集合中元素重复陷阱；3.隐含条件陷阱；4.代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱； 6．子集中忽视空集陷阱； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值陷阱. 二、典例分析及训练.（一）元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱 例1. 已知{0,1}M =,{|}N x x M =⊆则A.M N ∈B.N M ∈C.N M ⊆D.M N ⊆【答案】A陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合N 用列举法表示来.练习1.集合{|52,},{|53,},M x x k k Z P x x n n Z ==-∈==+∈{|103,}S x x m m Z ==+∈之间的关系是（ ）A. S P M ⊂⊂B. S P M =⊂C. S P M ⊂=D. P M S =⊂ 【答案】C【解析】∵{|52,},{|53,},{|103,}M x x k k Z P x x n n Z S x x m m Z ==-∈==+∈==+∈，∴{}7,2,3,8,13,18M =--L L ， {}7,2,3,8,13,18P =--L L ， {}7,3,13,23S =-L L ，故S P M ⊂=，故选C.练习2. 对于集合A {246}＝，，，若A a ∈，则6A a -∈，那么a 的值是________. 【答案】2或4【解析】2A ∈，则624A,4A -=∈∈则642A,6A -=∈∈，则660A,-=∈舍去，因此a 的值是2或4（二）集合中元素重复陷阱 例2. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，2{,,0}B a a b =+，若A B =，求20152016a b ＋. 【答案】1－【解析】{}{}20010A B b A a B a a ∴Q ＝，＝，＝，，，＝，，. 21a ∴＝ ，得 1.1a a ±＝＝ 时， {}101A ＝，， 不满足互异性，舍去； 1a ＝－ 时，满足题意.201520161a b ∴＋＝－ .陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 练习1.已知集合3{1,2,},{1,},A m B m B A ==⊆，则m ＝ ____. 【答案】0或2或－1【解析】由B A ⊆得m A ∈，所以3m m =或2m =，所以2m =或1m =-或1m =或0m =，又由集合中元素的互异性知1m ≠.所以0m =或2或－1. 故答案为0或2或－1练习2. 已知集合()}{,0A x y ==，集合(){},B x y ==，集合(){},C x y ==请写出集合A ，B ，C 之间的关系______________.【答案】B C A ≠≠⊂⊂【解析】集合()}{,0A x y ==表示直线10x y --= 上的所有点；集合(){},B x y ==表示直线10x y --= 上满足1{x y ≥≥ 的点；集合(){},C x y ==表示直线10x y --= 上满足0{1x y ≥≥- 的点故B C A ≠≠⊂⊂（三）隐含条件陷阱例3.已知集合()(){}{}210,11A x x x B x Z x =-+<=∈-≤≤，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0- B. {}0,1 C. {}1,0,1- D. {}1,2- 【答案】A陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 练习1. 集合(){}()(){},A x f x x B x ff x x ====，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则()()(),,a f a f f a f a a a B ⎡⎤=∴==∴∈⎣⎦，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A.练习2. 已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()R A B ⋂=ð（ ） A. {}03x x ≤≤ B. {}1,0,1,2,3- C. {}0,1,2,3 D. {}1,2 【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =--> {}=31x x x <-或， {}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13R A x x =-≤≤ð 故(){}0,1,2,3R A B ⋂=ð故答案为C 。
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 含参数的导数问题解题方法
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 含参数的导数问题解题方法一、陷阱类型 1.导数与不等式证明 2.极值点偏移问题 3.导函数为0的替换作用 4.导数与数列不等式的证明 5.变形后求导 6.讨论参数求参数7.与三角函数有关的含参数的求导问题 8.构造函数问题 9.恒成立求参数二、陷阱类型分析及练习 1.导数与不等式证明例1. 已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ．（1）讨论()f x 的单调性； （2）当a ﹤0时，证明()324f x a≤--．（2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在12x a=-取得最大值，最大值为 111()ln()1224f a a a-=---. 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤. 设g （x ）=ln x -x +1，则’11g x x =-.当x ∈（0,1）时， ()0g x '>；当x ∈（1，+∞）时， ()0g x '<.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时， 11ln 1022a a -++≤，即324fx a≤--. 【放陷阱措施】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.练习1设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求,a b (2)证明: ()1f x > 【答案】（I ）1,2a b ==；（II ）详见解析.试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()112'ln x x x x a b bf x ae x e e e x x x--=+-+.由题意可得()12f =， ()'1f e =.故1a =， 2b =. （2）证明：由（1）知， ()12ln x x f x e x e x-=+， 从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-. 设函数()ln g x x x =，则()'1ln g x x =+. 所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()'0g x <；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0g x >.故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,+∞上的最小值为11g e e⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设函数()2x h x xe e-=-，则()()'1xh x e x -=-. 所以当()0,1x ∈时， ()'0h x >；当()1,x ∈+∞时， ()'0h x <.故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()h x 在()0,+∞上的最大值为()11h e=-. 综上，当0x >时， ()()g x h x >，即()1f x >. 2.极值点偏移问题例2. ．函数()()2ln 1f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()21122ln2f x x x >-+ . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(2)由题意结合函数的性质可知： 12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，结合所给的不等式构造对称差函数()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< ，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式. 试题解析：函数()f x 的定义域为()()2221,,1x x mf x x++-+∞'=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上， 12x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11022g m ⎛⎫-=-+≥ ⎪⎝⎭，即12m ≥时， ()0g x ≥，即()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，②当102m <<时，由()222g x x x m =++，得1211,2222x x =--=-+，因为()10g m -=>，所以111122x -<<-<-，当12x x x <<时， ()0g x <，即()0f x '<，（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <， 则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在()11,x -和()2,x +∞上递增， 则()()200f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根， 所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证()21122ln2f x x x >-+又()()()222222122222ln 124ln 1f x x m x x x x x =++=++()()()()()222222222241ln 1121ln2121ln2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+，即证()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立， 设()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()()()4412ln 1ln x x x eϕ=-++-' 当102x -<<时， ()4120,ln 10,ln 0x x e +>+，故()0x ϕ'>，所以()x ϕ在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，故()()1111124ln 12ln2024222x ϕϕ⎛⎫>=⨯-⨯⨯--=⎪⎝⎭， 所以()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->， 所以()21122ln2f x x x >-+.【防陷阱措施】：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 练习1. 已知函数()bf x ax x=+（其中,a b R ∈）在点()()1,1f 处的切线斜率为1. （1）用a 表示b ；（2）设()()ln g x f x x =-，若()1g x ≥对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的前提下，如果()()12g x g x =，证明： 122x x +≥. 【答案】（1）1b a =-；（2）[)1,+∞；（III ）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意()11f a b '=-=即得； （2）()()1ln ln 1a g x f x x ax x x-=-=+-≥在定义域()0,+∞上恒成立，即()min 1g x ≥，由()1g x ≥恒成立，得1a ≥，再证当1a ≥时， ()()min 1g x g =即可；（3）由（2）知1a ≥，且()g x 在()0,1单调递减；在()1,+∞单调递增，当()()12g x g x =时，不妨设1201x x <≤≤，要证明122x x +≥，等价于2121x x ≥-≥，需要证明()()()1212g x g x g x -≤=，令()()()(]2,0,1G x g x g x x =--∈，可证得()G x 在(]0,1上单调递增， ()()10G x G ≤=即可证得.试题解析：（1）()2bf x a x-'=，由题意()111f a b b a =-=⇒=-' （2）()()1ln ln 1a g x f x x ax x x-=-=+-≥在定义域()0,+∞上恒成立，即()min 1g x ≥。
2018年高考数学大题答题技巧
2018年高考数学大题答题技巧高考网为大家提供2018年高考数学大题答题技巧，更多高考资讯请关注我们网站的更新!2018年高考数学大题答题技巧一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。
二、数列题1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n 的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。
三、立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。
四、概率问题1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3.记准均值、方差、标准差公式;4.求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);5.注意计数时利用列举、树图等基本方法;6.注意放回抽样，不放回抽样;7.注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8.注意条件概率公式;9.注意平均分组、不完全平均分组问题。
五、圆锥曲线问题1.注意求轨迹方程时，从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法;2.注意直线的设法(法1分有斜率，没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时)，知道弦中点时，往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等;3.战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 三角函数的图象与性质
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 三角函数的图象与性质一．陷阱类型 1.三角函数的图像变换 2.单调性求法3.与三角函数有关的图像问题4.新定义下的三角函数5.三角函数的对称性6.利用三角函数的性质求值7.已知图像求解析式8.性质的综合应用9.五点作图法10.三角函数中的参数范围及最值问题 二．防陷阱举例 1.三角函数的图像变换例1若将函数2sin2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A. ()26k x k Z ππ=-∈ B. ()26k x k Z ππ=+∈ C. ()212k x k Z ππ=-∈ D. ()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【防陷阱措施】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈.练习1已知函数()()sin (0,)2f x wx w πϕϕ=+><的最小正周期为6π，且取图象向右平移38π个单位后得到函数()sin g x wx =的图象，则ϕ=（ ） A.8π B. 8π- C. 4π D. 4π- 【答案】A练习2把函数22sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位就得到了一个奇函数的图像，则ϕ的最小值是（ ） A.12π B. 6π C. 3π D. 512π【答案】D【解析】()22sin cos cos 2663y f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将函数()cos 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象对应的函数()cos 2cos 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=--+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭为奇函数，则2,32k k Z ππϕπ-=+∈，即,122k k Z ππϕ=--∈，故1k =- 时， ϕ的最小正值为512π，故选D.2.单调性求法例2. 对于函数f (x )＝12sin2x 2x 有以下三种说法：①(－6π，0)是函数y ＝f (x )的图象的一个对称中心；②函数y ＝f (x )的最小正周期是π；③函数y ＝f (x )在[12π， 712π]上单调递减．其中说法正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】由题意得,f (x )=12sin2x sin 2x =12sin2x −cos2x )=sin(2x +π3)①其对称中心横坐标满足2x +π3=k π(k ∈Z )即x =－6π+k π2,所以对称中心为：(－6π+k π2,所以①中，纵坐标不对，①错； ②最小正周期T =π，②正确； ③当x ∈[12π， 712π]时, 2x +π3∈[π2,3π2]，为减区间，③正确。
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧 一．命题陷阱1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱2.范围不完备陷阱3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱4．不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用）5.圆锥曲线中的求定点、定直线只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱6.圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱二、知识回顾1.椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a+=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =2.双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c ．(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c3．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. 三．典例分析1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱例1. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=. （Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD △的面积为62，故221626232||2m m m ⨯⨯=+，整理得2326||20m m -+=，解得6||3m =，所以63m =±. 所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=. 【陷阱防范】：分析题目条件与所求关系，恰当选取是否使用韦达定理练习1. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为21+，最小距离为21-.（1）求椭圆的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ?若存在，求出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆方程为2212x y +=;(2) 以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .下面证明()0,1Q 为所求：若直线l 的斜率不存在，上述己经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线1:3l y kx =-， ()()1122,,,A x y B x y ， 由221{ 3220y kx x y =-+-=得()2291812160k x kx +--=，()22144649180k k ∆=++>，1212221216,189189k x x x x k k -+==++， ()()1122,1,,1QA x y QB x y =-=-， ()()121211QA QB x x y y ⋅=+--()()21212416139k k x x x x =+-++ ()22216412161091839189k k k k k -=+⋅-⋅+=++. ∴QA QB ⊥，即以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .练习2.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=. 【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=.所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =. 练习3. 已知椭圆1C ： 2214x y +=，曲线2C 上的动点(),M x y 满足： ()()2222232316x y x y +++-=.（1）求曲线2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，第一象限的点,A B 分别在1C 和2C 上， 2OB OA =，求线段AB 的长.【答案】(1) 221164y x +=2105【解析】（1）由已知，动点M 到点()0,23P-， ()0,23Q 的距离之和为8，且8PQ <，所以动点M 的轨迹为椭圆，而4a =， 23c =，所以2b =，故椭圆2C 的方程为221164y x +=. （2）,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ，由2OB OA =及（1）知， ,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =.将y kx =代入2214x y +=中，得()22144k x +=，所以22414A x k =+， 将y kx =代入221164y x +=中，得()22416k x +=，所以22164B x k=+， 又由2OB OA =，得224B A x x =，即22164414k k =++， 解得222441,5,5,5,55555k A B ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易得， 故224242255551055555AB ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.范围不完备陷阱例2. 已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为43.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ） 6.【解析】（Ⅰ）由题设知， 2,243a c ab ==， 又222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=. 故四边形APBQ 的面积为1•22P Q P Q S AB y y y y =-=-= 221862273tt tt ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭ ()()()()()22222222248948948912273912)9t t t t t tt tt t t t ++===+++++++.由于296t t λ+=≥，且12λλ+在[)6,+∞上单调递增，故128λλ+≥， 从而，有48612S λλ=≤+. 当且仅当6λ=，即3t =，也就是点M 的坐标为()4,3时，四边形APBQ 的面积取最大值6. 【陷阱防范】：涉及含参数问题，求最值或范围时要注意运用均值不等式还是运用函数的单调性. 练习1.设点10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动圆A 经过点F 且和直线14y =-相切，记动圆的圆心A 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值. 【答案】（1）2x y =（2）min 23t =【解析】(1)过点A 作直线AN 垂直于直线14y =-于点N ，由题意得AF AN =，所以动点A 的轨迹是以F 为焦点，直线14y =-为准线的抛物线.所以抛物线C 得方程为2x y =. ()()()()210,10kx x k t k k t kx k k t x k t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+---+=+-+--=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得()1k k t x k-+=-，或x k t =-.()()()()()()2222222221111,,11MN k k t k kt k k t k k t k N k k k t k k t kt k t k k k⎡⎤-+⎣⎦⎛⎫-+⎡⎤-+-+⎣⎦ ⎪∴-∴==-+ ⎪-+----⎝⎭. 而抛物线在点N 的切线斜率， '|k y = ()()122k k t k k t x kk-+---=-=， MN 是抛物线的切线，()()()22221221k kt k k t kk t k -+---∴=--，整理得()2222120,4120k kt t t t ++-=∴∆=--≥，解得23t ≤-（舍去），或min 22,33t t ≥∴=. 练习2. 已知双曲线22221x y C a b-=：33，0)是双曲线的一个顶点。
【高考宝典】2018年高考数学总复习之解题方法(精品)
2018年高考数学总复习之解题方法（精品）熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，总结解题方法，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到立竿见影的效果。
一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有无序性和互异性.2.对集合A B 、，A B =∅ 时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时是否注意到∅是任何集合的子集、∅是任何非空集合的真子集.☹3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12-n ，12-n .22-n4.“交的补等于补的并，即()U U U C A B C A C B = ”；“并的补等于补的交，即()U U U C A B C A C B = ”.5.判断命题的真假关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”. 6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题”☹.8.充要条件二、函 数1.指数式、对数式，m a =1m nm aa -=，log a Na N = log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，.01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log log log c a c b b a=，.log log mn a a n b b m =.2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二个集合B 中的元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像. (4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：①1()()f a b f b a -=⇔=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，但11[()][()]f f x f f x --≠.②☹函数(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+. 3.单调性和奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同. 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称☹.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==.（2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =.即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件.（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 复合函数要考虑定义域的变化。
备战2018年高考数学(理)之高频考点解密-解密01 集合 含解斩
备战2018年高考数学（理）之高频考点解密以选择题或填考点1 集合的含义及集合间的基本关系题组一集合的含义调研1 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2−3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合()UA Bð中元素的个数为A．1 B．2C．3 D．4【答案】B☆技巧点拨☆解决集合概念问题的一般思路（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义． 常见的集合的意义如下表：（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.题组二 求集合的子集调研2 设全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，5}，则U A ð的所有非空子集的个数为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B题组三 由集合关系求参数的取值范围调研3 已知全集为R ，集合M ＝{x ∈R |−2＜x ＜2}，P ＝{x |x ≥a }，并且M P ⊆R ð，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a ≥2【解析】由题意得M ＝{x |−2＜x ＜2}，P R ð＝{x |x ＜a }．∵M ⊆P R ð，∴由数轴知a ≥2.☆技巧点拨☆集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：(1)求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n个，真子集个数为21n-个，非空真子集个数为22n-个.(2)根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.考点2 集合的基本运算题组一 离散型或连续型数集间的交、并、补运算调研1 集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，C ＝{2，3，4}，则(A ∩B )∪C ＝ A ．{1，2，3} B ．{1，2，4} C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}【答案】D【解析】A ∩B ＝{1，2}，(A ∩B )∪C ＝{1，2，3，4}，故选D ．调研2 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |−2≤x ≤3}，B ＝{x |x <−1或x >4}，那么集合()U A B ð等于A ．{x |−2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |−2≤x <−1}D ．{x |−1≤x ≤3}【答案】D题组二 点集的交、并、补运算调研3 若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x −y ＝2}，则M ∩P 等于 A ．(1，−1) B ．{x ＝1或y ＝−1} C ．{1，−1}D ．{(1，−1)}【答案】D【解析】M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y ＝2的解，∴M ∩P ＝{(1，−1)}．题组三 已知集合的运算结果求集合或参数调研4 已知集合A 、B 均为U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，()U B A ð＝{9}，则A ＝________.【答案】{3，9}【解析】由Venn 图知A ＝{3，9}.调研5 设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，且()U B A ≠∅ð，则A ．k ＜0B ．k ＜2C ．0＜k ＜2D ．−1＜k ＜2【答案】C☆技巧点拨☆有关集合运算的试题，在高考中多以客观题的形式呈现，常与函数、方程、不等式等知识综合，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解； (2)点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解； (3)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(4)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(5)根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（辽宁省丹东市五校协作体2018届高三上学期联考）已知集合{}20,1,4,{|,}A B y y x x A ===∈，则AB =A ．{}0,1,16B ．{}0,1C ．{}1,16D ．{}0,1,4,16【答案】D【解析】由题意得{}0,1,16B =，所以{}0,1,4,16A B =.故选D ．2．（安徽省皖南八校2018届高三第二次（12月）联考）已知集合{}220A x x x x =+-≤∈,Z ，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B 等于A ．{}01，B ．{}42--，C ．{}10-，D ．{}20-，【答案】D3．（山东省淄博市部分学校2018届高三12月摸底考试）设集合{}2|5360A x x x =--≤，[)31B =-，，则()AB =RðA ．[−4， −3)B ．[−9， −3)C ．[−4， −3)∪[1， 9]D ．[−9， −3)∪[l ， 4]【答案】C【解析】∵{}2|5360A x x x =--≤()[)[4,9],,31,,B =-=-∞-+∞R ð[)[]()4,31,9,A B ∴=--R ð所以选C ．4．（吉林省榆树市第一高级中学2018届高三第三次模拟考试）设全集{}1,3,5,6,9U =，{}3,6,9A =，则图中阴影部分表示的集合是A ．{1，3，5}B ．{1，5，6}C ．{6，9}D ．{1，5}【答案】D5．（广东省五校（阳春一中、肇庆一中、真光中学、深圳高级中学、深圳二高）2018届高三12月联考）已知集合(){}2|log 31A x y x ==-，{}22|4B y x y =+=，则A B =A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】∵(){}2|log 31A x y x ==-1,,3⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭{22|4B y x y =+=1,23A B ⎛= ⎝C ．6．（广西贵港市2018届高三上学期12月联考）集合{}1,2,3A =，若{}1,2A B =，{}1,2,3,4,5A B =，则集合B 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】C7．（河南省平顶山市、许昌市、汝州市2017−2018学年高三上学期第三次联考）已知函数e xy =的值域为集合A ，不等式260x x --<的解集为集合B ，则A B =A ．{|20}x x -<<B ．{|23}x x -<<C ．{}|2x x >-D ．{}|0x x >【答案】C【解析】易知函数e xy =的值域为{}|0A y y =>，不等式260x x --<的解集为{|23}B x x =-<<，所以{}|2AB x x =>-，故选C ．8．（广西壮族自治区贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考）已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}2|280B x x x =--<，则A B 的一个真子集为A ．{}5B ．{}3,4C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】C【解析】∵{}{}2|280|24B x x x x x =--<=-<<，∴{}0,1,2,3A B =.结合各选项可得集合{}1,2,3为AB 的真子集.故选C ．9．（江西省新余市第一中学2018届高三毕业班第四次模拟考试）已知集合{}2|40 A x x x =-<，{}| B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 A ．(]0,4 B ．()8,4- C ．[)4,+∞D ．()4,+∞【答案】C 【解析】{}2|40 A x x x =-<，∴由240x x -<，解得04x <<，即{}|0 4 A x x =<<，{}| B x x a =<，A B ⊆，4a ∴≥，故实数a 的取值范围是[)4,+∞，故选C ．10．（四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊）已知集合{|},A x x a =<2{|320},B x x x =-+<若,A B B =则实数a 的取值范围是A ．1a <B ．1a ≤C ．2a >D ．2a ≥【答案】D11．（湖北省八校2018届高三上学期第一次联考（12月））已知集合{}*2|30 A x x x =∈-<N ，则满足条件B A⊆的集合B 的个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．8【答案】C【解析】∵{}{}*2|30 1,2A x x x =∈-<=N ，又B A ⊆，∴集合B 的个数为224=个，故选C ．12．（江苏省溧阳市2017−2018学年高三第一学期阶段性调研测试）设集合{}{}3,6,24A B x ==≤<，则A B =____________．【答案】{}3【解析】由交集的定义可得{}3AB =.13．（上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试）已知集合{}{}1,2,5,2,A B a ==，若{}1,2,3,5AB =，则a =____________． 【答案】3【解析】因为集合{}{}1,2,52,A B a ==，，且{}1,2,3,5AB =，所以3a =，故答案为3.14．（江苏省常州市武进区2018届高三上学期期中考试）若集合{}22|8212 x x aA x -++=∈≤≤Z 中恰有唯一的元素，则整数a 的值为____________． 【答案】2【解析】因为集合{}22|8212 x x aA x -++=∈≤≤Z 中恰有唯一的元素，且a 为整数，所以223x x a -++=有唯一解，则44(3)0a ∆=--=，2a ∴=，故答案为2.15．（2017−2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考）已知关于x 的不等式230x x t -+≤的解集为A ，若(]1A -∞≠∅，，则实数t 的取值范围是____________．【答案】(],2-∞16．（安徽省滁州市2018届高三9月联合质量检测）若集合()2{,|231}A x y y x x ==-+， (){,|}B x y y x ==，则集合A B 中的元素个数为____________．【答案】2【解析】集合()2{,|231}A x y y x x ==-+，(){,|}B x y y x ==均表示的是点集，即曲线上的点构成的集合，则集合A B 即为求两函数图象的交点.联立方程得：2231y x x y x⎧=-+⎨=⎩，22410x x -+=，由16880∆=-=>知两函数图象有两个交点，所以集合A B 中的元素个数为2.1．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}AB x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 2．（2017新课标全国Ⅱ理科）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1AB =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C3．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22⎛⎝⎭，22⎛-- ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B ． 【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4．（2016新课标全国I 理科）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2D ．3(,3)2【答案】D【解析】因为23{|430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>- 所以33={|13}{|}={|3},22AB x x x x x x <<><<故选D ．【名师点睛】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题的形式出现，属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算，如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算，常借助数轴求解.5．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =A ．{1}B ．{12}， C ．{0123}，，，D ．{10123}-，，，， 【答案】C6．（2016新课标全国Ⅲ理科）设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>，则S I T = A ．[2，3] B ．（−∞，2]U [3，+∞） C ．[3，+∞） D ．（0，2]U [3，+∞） 【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或， 所以{|023}ST x x x =<≤≥或，故选D ．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．7．（2015新课标全国Ⅱ理科）已知集合{21,01,2}A =--,,，{}(1)(2)0B x x x =-+<，则A B =A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】A。
2018届高考数学二轮复习快速结题法——九招搞定选择题 答案与解析
答案与解析招式一排除法1.B【解析】M∩N⊆M,故排除C,D,当x=1时,2x+1=4,故1∉N,排除A,故选B.2.B【解析】由于f(x)=x2-3|x|-10是偶函数,所以不等式f(x)>0,即x2>3|x|+10的解集必是某个关于原点对称的集合(-a,a)或(-∞,-a)∪(a,+∞),于是选项C不正确.此外,由于x=0不满足所给不等式,所以选项A,D都不正确.故选B.3.B【解析】因y=a|x|中a>1,所以a|x|≥1,排除A,C;当x≥0时,由指数函数图象易知D不正确.故选B.4.C【解析】根据奇函数定义排除A,再根据减函数定义可排除B,D(因为D不具有单调性,B的单调性不确定).故选C.招式二特例法1.C【解析】令x=y=0,可得f(0)=0;令x=1,y=-1,则f(0)=f(1)+f(-1)-2,且f(1)=2,解得f(-1)=0;f(-2)=f((-1)+(-1))=f(-1)+f(-1)+2=2,f(-3)=f((-2)+(-1))=f(-2)+2×(-1)×(-2)=6.2.D【解析】结论中不含n,故本题结论的正确性与n取值无关,可对n取特殊值,如n=1,此时a1=48,a2=S2-S1=12,d=-36,a3=a1+2d=-24,所以前3n项和为36.故选D.3.A【解析】令x=4,得m=12log a4=log a2,n=log a52,p=log a85,又∵52>2>85,且y=log a x为减函数,则p>m>n.4.B【解析】(1)取特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A=45,cosC=0,cos A+cos C1+cos A cos C =45;(2)取特殊角A=B=C=60°,cos A=cosC=12,cos A+cos C1+cos A cos C=45.故选B.招式三数形结合法1.A【解析】利用数轴,如图所示阴影部分即为所求交集,即A∩B=[0,2].2.C【解析】圆(x+2)2+y2=1,画出图形如图所示,又直线倾斜角小于45°,可解.故选C.3.C【解析】∵2-x+x2=3,∴2-x=3-x2,作y=2-x及y=3-x2的图象,由图知原方程有两个实数解.4.B【解析】如图所示,因为y=lg|x|是偶函数,又当x∈(0,+∞)时,y=lg|x|单调递增,当x∈(-∞,0)时,y=lg|x|单调递减.故选B.5.A【解析】根据题意不妨设y=x+1+k,y=x.如图所示,将y=x+1的图象向下平移一个单位长度即可,所以有k<-1.招式四验证法1.B【解析】当x=0时,y>0,C,D选项不对,当x=1时,y=0,A 项不对,∴y=sin(1-x).故选B.2.D【解析】令n=1,A项a1=-23,B项a1=-43,C项a1=-53,只有D项正确.故选D.3.D【解析】把各个点一一代入验证,不能使不等式成立的即是所求,将(2,0)代入不等式得6<6,不等式不成立,所以点(2,0)不在3x+2y<6表示的平面区域内,故选D.4.B【解析】取n=1时,由条件得a1=S1=6,但由选项A得a1=5.故正确答案应为a n=6(n=1),6n-1(n≥2).故选B.5.B【解析】分别对每个选项进行代入验证.可得B正确,故选B.招式五估算法1.C【解析】由题意,这列数是108,88,98,93,95.5,94.25, 94.875,…,由此可见,这一列数中第六个与第七个数大于94小于95.因此,由平均数的性质可知后面的这些数都大于94小于95.根据题意,没有必要准确算出第28个数,只需知道整数部分,所以第28个数的整数部分是94.故选C.2.A【解析】由题可知,当x≥110时,永远大于等于零,又当x≥10时1-lg x就开始为负值了,因此可估算当x无穷大时均可成立.故选A.3.D【解析】由于已知等式的形式,猜测该三角形为等边三角形的可能性较大,进一步判断可得答案,故选D.4.C【解析】取函数F(x)=12x−x13,当x=0,13,12时,均有F(x)>0,而当x=1,2时,有F(x)<0,故选C.招式六等价转化法1.D【解析】依题意,V A-A1B1D1=13S△A1B1D1·AA1=1 3V ABD-A1B1D1,可知V A-BB1D1D=23V ABD-A1B1D1.又V ABD-A1B1D1=S△ABD·AA1=12×3×3×2=9,所以V A-BB1D1D=2 3V ABD-A1B1D1=23×9=6,即四棱锥A-BB1D1D的体积为6.2.D【解析】设x=t,则原不等式可转化为at2-t+32<0,∴a>0,且2与b(b>4)是方程at2-t+32=0的两根,由此可得a=18,b=36.3.A【解析】把不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax化为a(x-1)2+b(x-1)+c>0,其结构与原不等式ax2+bx+c>0相同,则只需令-1<x-1<2,得0<x<3,故选A.4.A【解析】本题将求最值问题转化为计算点到直线的距离问题,利用公式d=00A2+B2即可求解.本题中的点为原点(0,0),直线为2x+y+5=0,故d=5=5,故选A.5.D【解析】题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,或等价于点(0,1)到圆(x-a)2+y2=2a+4的圆心(a,0)的距离d=2+1≤2a+4,解得-1≤a≤3.6.D【解析】该问题等价于把12个相同的小球分成4堆,故在排成一列的12个小球之间的11个空中插入3块隔板即可,即C113=165.招式七正难则反法1.B【解析】由题得三角形的面积为S=12×6×4=12,而在三角形绿化地中小花猫与三角形三个顶点的距离均不超过2 m 的区域为如图中的阴影部分所示.又因为A+B+C=180°,所以阴影部分合在一起是一个半径为2 m的半圆,其对应的面积为T=12π×22=2π,结合几何概型与对立事件的概率知,所求概率P=1-TS =1-π6.2.D【解析】同时掷出8颗骰子,出现的点数都为1的概率为168,出现的点数不全为1的概率为1-168;4次掷出的8颗骰子的点数都不全为1的概率为1-1684,4次至少有一次掷出的8颗骰子的点数全为1的概率为1-1-1684,故选D.3.C【解析】因为只有一人获奖,所以丙、丁中只有一人说对了,同时甲、乙中只有一人说对了,假设乙说的对,这样丙说就错了,丁就说对了,也就是甲也说对了,与甲说错了相矛盾,所以乙说错了,从而知甲、丙两位歌手说的话是对的,所以丙为获奖歌手.故选C.4.B【解析】对于A,若存在直线n,使n∥l且n∥m,则有l ∥m,与直线l,m异面相矛盾;对于C,过点P与l,m都相交的直线不一定存在,如图,在正方体中ABCD-A'B'C'D'中,设AD为直线l,A'B'为直线m,若点P在P1点处,则无法作出直线与两直线都相交;对于D,若P在P2点,则由图中可知直线CC'及D'P2均与l,m异面.招式八构造法1.B【解析】由a n=3-a n-12得1-a n=-12(1-a n-1),又1-a1=12≠0,所以数列{1-a n}是首项为12,公比为-12的等比数列,∴a n=1-(1-a1)·-12n-1=1+-12n.2.A【解析】构造函数f(x)=x3+2012x,x∈R,则函数f(x)在定义域上单调递增且是奇函数.由题意知f(a7-1)=1,f(a2006-1)=-1,得a7-1=1-a2006,即a7+a2006=2.故S2012=(a1+a2012)×20122=(a7+a2006)×20122=2012.3.A【解析】不等式x2-3>ax-a对∀x∈[3,4]恒成立,得a(x-1)<x2-3,a<x 2-3x-1,令t=x-1∈[2,3],得x=t+1,a<(t+1)2-3t=t-2t+2,t∈[2,3]恒成立,故a< t-2t +2min,t∈[2,3],当t=2时, t-2t+2min=3,则a<3,故实数a的取值范围是(-∞,3).4.B【解析】依题意,由f(x)=3x-22x-1,得f(x)+f(1-x)=3x-22x-1+3(1-x)-2 2(1-x)-1=3x-22x-1+1-3x1-2x=3.令S=f12012+f22012+…+f20112012,得S=f20112012+f20102012+…+f12012,2S=3×2011,所以S=2011×32=60332.招式九直接法1.B【解析】令S=a7+a8+a9,由等差数列性质知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,即9,27,S成等差数列,所以S=45,故选B.2.B【解析】原式=i+12-2+23i=-32+12+23i,故在复平面内,复数i1+i +(1+3i)2对应的点为-32,12+23,故选B.3.D【解析】根据双曲线的定义可得(2-m)(m-1)<0,∴m>2或m<1.4.A【解析】由函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期为π得ω=2,由2x+π3=kπ得x=12kπ-π6,对称点为12kπ-π6,0(k∈Z),当k=1时对称点为π3,0,故选A.模拟演练一1.B【解析】(排除法)因为M=m∈Z|-3<m<2={-2,-1,0,1},则M∩N一定不含有2,故排除C,D项,同时会发现M∩N一定会有-1,故排除A项,故选B.(直接法)集合M=m∈Z|-3<m<2={-2,-1,0,1},N=n∈Z|-1≤n≤3={-1,0,1,2,3},则M∩N={-1,0,1},故选B.2.D【解析】(直接法)(a+i)2i=(a2+2a i-1)i=(a2-1)i-2a.∵(a+i)2i为正实数,∴a2-1=0,-2a>0,∴a=-1,故选D.3.B【解析】(排除法)A项:f(x)=2x不是奇函数;C项:y=-sin x在[-1,1]上是减函数;D项:y=-1x定义域中不包括0.所以A,C,D不正确.故选B.4.A【解析】(直接法)根据三视图的特点知原图形是正六棱锥,其侧棱长为2,底面正六边形相对顶点的连线为2,所以棱锥高为3,也为侧(左)视图等腰三角形的高,而侧(左)视图的底为正六边形两平行边之间的距离3,所以该几何体的侧(左)视图的面积为12×3×3=32.故选A.5.C【解析】(数形结合法)现要统计的是身高在160~180cm之间的学生的人数,即是要计算A4,A5,A6,A7的和,故流程图中空白框应是“i<8?”,当i<8时就会返回进行叠加运算,当i≥8将数据直接输出,不再进行任何的返回叠加运算,此时已把数据A4,A5,A6,A7叠加起来送到s中输出,故选C.6.B【解析】(直接法)BC=AC−AB=(-1,-1),BD=AD−AB=BC−AB=(-3,-5).故选B.7.B【解析】(数形结合法)如图所示,过点M做MM1垂直于抛物线的准线,垂足为M1,所以|MF|=|MM1|,所以|MF|+|MA|=|MM1|+|MA|,当A,M,M1三点在一条直线上时,|MF|+|MA|取得最小值,此时y M =2,x M =y M 22=2,即M (2,2).故选B.8.C 【解析】(构造法)因为{a n }是等比数列,所以S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也成等比数列,即(S 6-S 3)2=S 3(S 9-S 6),将S 6=12S 3代入整理得S 9S 3=34,故选C. 9.A 【解析】(验证法)关于A,函数y=sin 2x=cos π2-2x =cos 2x-π2,向左平移5π12个单位长度,有y=cos 2 x +5π12 -π2 =cos 2x+π3,故选A . 10.D 【解析】(排除法)∵a>b>0,∴排除B 选项;又∵c= 2= a 2-b 2,∴排除A,C 选项,∴D 项正确.11.D 【解析】(直接法)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上,正四棱柱的体对角线的长即为球的直径,又∵正四棱柱底面边长为1cm,设正四棱柱的高为h ,∴2R=2=2+12+ℎ2解得h=2,∴该棱柱的表面积为2+42cm2,故选D.12.B【解析】(特例法)由a n-2a n+1+a n+2=0得a1-2a2+a3=0,又∵a1=2,a1+a2+a3=12,∴a2=4,a3=6,当n=1时,b1=4a1a2+a1=42×4+2=52.当n=1时,A项,S1=1+12+2=72;B项,S1=1-12+2=52=b1;C项,S1=1+2=3;D项,S1=1-2=-1,故选B.模拟演练二1.C【解析】(排除法)由A∩(∁U B)的意义可得元素是属于集合A,则一定不含元素5,故可以排除B,D项,再由A∩(∁U B)中的元素不属集合B,则一定不含元素2,可排除A项.(直接法)∵U={1,2,3,4,5},∴∁U B={3,4,5},∴A∩(∁U B)={3,4}.(数形结合法)根据题意可画出如图所示的韦恩图,由图可知A∩(∁U B)={3,4}.2.A【解析】(构造法)要使f(x)=e x+ln x+2x2+mx+1在(0,+∞)上单调递增,则f'(x)=e x+1x+4x+m≥0在(0,+∞)上是恒成立的,即m≥-e x+1x +4x ,而e x+1x+4x>5,则可得m>-5,故p是q的充分不必要条件.故选A.3.C【解析】(直接法)由三视图可知该几何体是由一个三棱柱和半圆柱组合而成.由题图知三棱柱的高为2,底面是底为2,腰长为2的等腰直角三角形;半圆柱的底面半径为1,高为2,故该几何体的表面积为2×2+2×12×22+π×122×2+π×1×2=2+42+3π.4.A【解析】(特例法)由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,因为直线l将圆平分,故直线过圆心,当k=0时,直线与x轴平行,直线不过第四象限,当k=2时,直线经过原点且不过第四象限,故选A.(直接法)由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5.因为直线l将圆平分,故直线过圆心,则设直线方程为y-2=k(x-1),即y=kx+2-k,要使直线不过第四象限,k≥0,且直线在y轴的截距在[0,2]之间,故0≤2-k≤2,得0≤k≤2.5.C【解析】(数形结合法)由统计图可知,100株树木中,底部周长小于110 cm的树木的频率为(0.01+0.02+0.04)×10=0.7,所以株数=0.7×100=70(株).6.D【解析】(直接法)由余弦定理得cos B=a 2+c2-b22ac,∴a2+c2-b2=2ac cos B,∴2ac cos B·tan B=3ac,∴sin B=32,又∵角B是三角形的内角,∴B=π3或2π3,故选D.7.A【解析】(直接法)根据题意,i=101,S=0+1+2+…+100=5050时,输出的结果Si=50.8.D【解析】(估算法)由a1=1,a n+1=a n2a n+1得a n>0,∴2a n+1>a n,即a n2a n+1<1,故排除A项,C项.又a2=a12a1+1=13,又由已知可以看出a n+1<a n,故a6的值应小于13,故选D.9.C【解析】(直接法)因为双曲线x 23−16y2p2=1(p>0)的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,所以3+p 216=p24,解得p=4.所以双曲线的离心率为233.10.D【解析】(数形结合法)画出可行域,如图所示,由图知目标函数z=5x+y的最优解为A(1,0),∴z max=5.11.D【解析】(验证法)若ω=12,则T=4π,所以A,B错误;当φ=π6时,f(0)=2sinπ6=1≠3,当φ=π3时,f(0)=2sinπ3=3,故C错误,D正确.12.C【解析】(数形结合法)画出函数f(x)=-1-(x-1)2的图象如图所示.根据f(x1)x1及f(x2)x2的几何意义知f(x1)x1,f(x2)x2分别为直线OA,OB的斜率.由图可知k OA<k OB,又因为0<x1<x2<1,知f(x1) x1<f(x2)x2.模拟演练三1.D【解析】(直接法)因为1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4.故集合A*B有三个元素0,2,4,它们的和为6,故选D.2.C【解析】(特例法)令a=-3<b=1,代入A,B,C,D,可排除A,B,D项.(直接法)∵a<b,a2b2>0,∴aa2b2<ba2b2,即1ab2<1a2b.3.B【解析】(特例法)令α=30°,β=40°,则a=sin 75°,b=2sin 85°,易知a<b且1<ab<2.(直接法)两边平方,得a 2=(sin α+cos α)2=1+sin 2α,b 2=(sin β+cos β)2=1+sin 2β,又0<2α<2β<π2,则有a 2<b 2且1<a 2b 2<4.又∵a>0,b>0,∴a<b 且1<ab<2.4.B 【解析】(直接法)正三棱柱的侧(左)视图是宽为 3(长为2的等边三角形底边上的高),长为2的长方形,其面积为2× 3=2 3.5.D 【解析】(排除法)∵椭圆的长轴在y 轴上,∴10-m<m-2,∴排除A,B;若m=7时,则c 2=5-3=2,不符合要求,当m=8时,c 2=6-2=4,得2c=4适合.(直接法)∵焦距为4,∴c=2.又长轴在y 轴上,a 2=m-2,b 2=10-m ,由c 2=a 2-b 2得(m-2)-(10-m )=4,解得m=8.6.A 【解析】(数形结合法)由题图知,博士研究生所占的百分比为1-62%-26%=12%,所以博士研究生的人数为2000×12%=240.7.C 【解析】(直接法)由a 2+a 4=4得2a 1+4d=4;由a 3+a 5=10得2a 1+6d=10,则a 1=-4,d=3,∴S 10=95,故选C .8.C 【解析】(直接法)由题意知n=5时输出S ,此时S=2-1+2-2+2-3+2-4+2-5=1× 1- 1 5 1-12=3132.9.C 【解析】(数形结合法)依题意如图所示,设点A y 024,y 0 (y 0>0),根据直线斜率为 3,∴y0y 024-1= 3,解得y 0=2 3,y 0=-2 33(舍去),∴点A (3,2 3).又∵准线l 为x=-1,∴S △AKF =12×|AK|×|y A |=12×|3-(-1)|×2 410.B 【解析】(特例法)由S n =t ·5n -2得S 1=5t-2=a 1,S 2=25t-2=a 1+a 2,S 3=125t-2=a 1+a 2+a 3,∴a 1=5t-2,a 2=20t ,a 3=100t ,又∵数列{a n }为等比数列,∴a 2a 1=20t5t -2=5,解得t=2.(构造法)等比数列{a n }的前n 项和S n =a 11-q −a11-q ·q n =λ-λ·q n ,q n 的系数与常数项互为相反数,依题意S n =t ·5n -2,故t=2.11.D 【解析】(构造法)由已知OC ·OA =0,则OC ⊥OA ,以OA ,OC为x 轴,y 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,则易知OA =(1,0),OC =(0,2 3),OB = -k 2, 32k ,因此OC =2m OA +m OB ,即(0,23)=2m(1,0)+m-k2,32k ,故有2m-mk2=0,32km=23,解得k=4,m=1.12.C【解析】(数形结合法)函数f(x)的图象如图,由函数h(x)=[f(x)]2+bf(x)+12有5个不同的零点,令f(x)=t,即得方程t2+bt+12=0有两个不同的实根,且一个为1,即12+b×1+12=0,得b=-32,故方程为t2-32t+12=0,则另一根为12,由此可知f(x)=1或f(x)=12.当f(x)=1时,可解得方程的根为0,1或2;当f(x)=12时,可解得方程的根为-1或3,所以x12+x22+x32+x42+x52=15.。
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 函数的零点与方程的根的解题方法
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 函数的零点与方程的根的解题方法一．命题陷阱：1．复合函数零点问题陷阱（忽视定义域陷阱） 2．函数零点个数与参数问题（图象不完备陷阱） 3. 函数零点中的任意存在陷阱（最值求反陷阱） 4. 函数的性质在函数零点中的应用（忽视周期性陷阱） 5. 函数零点与不等式综合（运用均值不等式时的条件陷阱） 6. 方程的根的求解问题 7. 分段函数的零点问题 8. 零点问题中新定义问题 9. 零点与导数、数列等的综合 二、陷阱典例及训练1．复合函数陷阱（忽视定义域陷阱）例1.已知函数(),1{ 1,12lnx x f x x x ≥=-<，若()()1F x f f x m ⎡⎤=++⎣⎦有两个零点12,x x ，则12x x ⋅的取值范围是（ ）A. [)42ln2,-+∞B. )+∞ C. (],42ln2-∞-D. (-∞【答案】D 【解析】如图，所以()0f x ≥，令()1t f x =+，则1t ≥， 又()()()1F x ff x m =++有两个零点，则()ln 0f t m t m +=+=有解，则存在解01t ≥，又()()1201f x f x t ==-，【陷阱防范措施】注意复合函数性质的使用，并注意定义域限制 练习 1.设函数()4310{log 0x x f x x x +≤=>，，,若关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（ ）A. ()22-B. 322⎛⎤ ⎥⎝⎦， C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. ()2,+∞ 【答案】B【解析】作出函数()431,0{log ,0x x f x x x +≤=>的图象如图，令()f x t =，则方程()()()2230f x a f x -++=化为()2230t a t -++=，要使关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=，恰好有六个不同的实数根，则方程()()()2230f x a f x -++=在(]1,2内有两个不同实数根， ()()()2222120212{ 21213022230a a a a ∆=+->+<<∴-+⨯+>-+⨯+≥，解得32,2a<≤∴实数a的取值范围是32,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选B.【思路总结】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x==的交点个数的图象的交点个数问题 . 练习2．已知函数(){1kxf x xlnx x≤=->，，，若关于x的方程()()0f f x=有且只有一个实数解，则实数k的取值范围为（）A. ()()100-⋃+∞，， B. ()()001-∞⋃，，C. ()()1001-⋃，， D. ()()11-∞-⋃+∞，，【答案】A作出函数f（x）的图象，由图象知当x＞0时，1f x lnx==（）有一个解，则等价为当x≤0时，f（x）=1kx-=1无解，即若k＞0，满足1kx-=1无解，若k＜0，则函数f（x）=1kx-在x≤0时为增函数，则函数的最大值为0f k=-（），此时只要满足1k-＜，即10k-＜＜，即可，综上实数k的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞），故选：A【思路总结】：本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法将条件转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．利用数形结合以及分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度．练习3设函数()2()3x f x x e =-，若函数()()()2616G x fx af x e =-+有6个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 33826,3e e ⎛⎫⎪⎝⎭ B. 33426,3e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 38,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 326,3e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A故答案为A 。
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2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 集合的解题技巧一、命题陷阱设置1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱；2.造成集合中元素重复陷阱；3.隐含条件陷阱；4.代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱； 6．子集中忽视空集陷阱； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值陷阱. 二、典例分析及训练.（一）元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱 例1. 已知{0,1}M =,{|}N x x M =⊆则A.M N ∈B.N M ∈C.N M ⊆D.M N ⊆【答案】A陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合N 用列举法表示来.练习1.集合{|52,},{|53,},M x x k k Z P x x n n Z ==-∈==+∈{|103,}S x x m m Z ==+∈之间的关系是（ ）A. S P M ⊂⊂B. S P M =⊂C. S P M ⊂=D. P M S =⊂ 【答案】C【解析】∵{|52,},{|53,},{|103,}M x x k k Z P x x n n Z S x x m m Z ==-∈==+∈==+∈，∴{}7,2,3,8,13,18M =--， {}7,2,3,8,13,18P =--， {}7,3,13,23S =-，故S P M ⊂=，故选C.练习2. 对于集合A {246}＝，，，若A a ∈，则6A a -∈，那么a 的值是________. 【答案】2或4【解析】2A ∈，则624A ,4A -=∈∈则642A,6A -=∈∈，则660A ,-=∈舍去，因此a 的值是2或4（二）集合中元素重复陷阱 例2. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，2{,,0}B a a b =+，若A B =，求20152016a b ＋. 【答案】1－ 【解析】{}{}20010A B b A a B a a ∴＝，＝，＝，，，＝，，. 21a ∴＝ ，得 1.1a a ±＝＝ 时， {}101A ＝，， 不满足互异性，舍去； 1a ＝－ 时，满足题意.201520161a b ∴＋＝－ .陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 练习1.已知集合3{1,2,},{1,},A m B m B A ==⊆，则m ＝ ____. 【答案】0或2或－1【解析】由B A ⊆得m A ∈，所以3m m =或2m =，所以2m =或1m =-或1m =或0m =，又由集合中元素的互异性知1m ≠.所以0m =或2或－1. 故答案为0或2或－1练习2. 已知集合()}{,0A x y ==，集合(){},B x y ==，集合(){},C x y ==请写出集合A ，B ，C 之间的关系______________.【答案】B C A ≠≠⊂⊂【解析】集合()}{,0A x y ==表示直线10x y --= 上的所有点；集合(){},B x y ==表示直线10x y --= 上满足1{x y ≥≥ 的点；集合(){},C x y ==表示直线10x y --= 上满足0{1x y ≥≥- 的点故B C A ≠≠⊂⊂（三）隐含条件陷阱例3.已知集合()(){}{}210,11A x x x B x Z x =-+<=∈-≤≤，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0- B. {}0,1 C. {}1,0,1- D. {}1,2- 【答案】A陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 练习1. 集合(){}()(){},A x f x x B x ff x x ====，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则()()(),,a f a f f a f a a a B ⎡⎤=∴==∴∈⎣⎦，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A.练习2. 已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()R A B ⋂=ð（ ） A. {}03x x ≤≤ B. {}1,0,1,2,3- C. {}0,1,2,3 D. {}1,2 【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =--> {}=31x x x <-或， {}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13R A x x =-≤≤ð 故(){}0,1,2,3R A B ⋂=ð故答案为C 。
（四）代表元的变化陷阱例4. 已知{}{}221,,1,,A x y x x R B y y x x R ==+∈==+∈{}2(,)1,C x y y x x R ==+∈，则三个集合的关系. 【答案】见解析【解析】因为{}{}221,,1,[1,),A x y x x R R B y y x x R ==+∈===+∈=+∞所以，A B ⊂；又因为C 的代表元是有序实数对(,)x y ，所以它表示的是点集，因此，集合C 与集合,A B 没有关系.陷阱预防：解这类问题需要注意集合代表元是什么，是数集还是点集. 练习1. 设集合{}{}22,,10x A y y x R R B x x ==∈==-<，则AB = ( )A.(1,1)-B.(0,1)C.(1,)-+∞D.(0,)+∞【答案】C【解析】{}{}2,0x A y y x R y y ==∈=>．{}210{|11}B x x x x =-<=-<<，∴(0,)(1,1)(1,)AB =+∞-=-+∞，故选C练习2. 已知集合{|A x y ==， {|lg 1}B x x =<，则A∩B=（ ） A. []1,3- B. (]1,3- C. （0，1] D. （0，3] 【答案】D（五）参数取值不完整造成漏解例5.已知集合2{|210}M x R ax x =∈+-=，若M 中只有一个元素，则a 的值是（ ） A. 0 B. 1- C. 0或1- D. 0或1 【答案】C【解析】当0a =时， {}1|2102M x R x ⎧⎫=∈-==⎨⎬⎩⎭，满足题意.当0a ≠时，要使集合M 中只有一个元素，即方程2210ax x +-=有两个相等的实数根，则440a ∆=+=，解得1a =-.综上可得0a =或1a =-.选C.陷阱预防：对参数必须全面考虑，注意二次项系数为0时，它不是一元二次方程.练习1. 已知函数()()222f x x a x a =-++-，若集合(){}|0 A x N f x =∈<中有且只有一个元素，则实数a 的取值范围为 _____________. 【答案】12,23⎛⎤⎥⎝⎦又02f a =-（），若020,f a =-<（）则2a >，此时2212a x +=> 则集合(){}|0 x N f x =∈<中有两个元素0,1，不符题意；故020,f a =-≥（） 2a ≤ 此时集合(){}|0 A x N f x =∈<中有且只有一个元素，需满足()()()0010 20f f f ⎛<> ⎝> 即()()22201220 22220a a a a a -≥-++-⎧⎪⎨⎪-⨯+-⎩<+≥解得1233a <≤即答案12,23⎛⎤⎥⎝⎦练习2. 关于x 的不等式()()2220ax a x a R +--≥∈的解集为][(),12,-∞-⋃+∞. （1）求a 的值；（2）若关于x 的不等式()()2320x c a x c c a -++-<解集是集合A ，不等式()()210x x -+>的解集是集合B ，若A B ⊆，求实数c 的取值范围. 【答案】（1）1a =；（2）1,12c ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）根据题意关于x 的不等式()()220ax a x x a R +--≥∈的解集为][(),12,,0a -∞-⋃+∞∴>，又由题意可知不等式对应方程的两个实数根为1-和2，22a∴=，解得1a =. （2）1a =，原等式可转化为()()231210x c x c c -+++<，即()()210x c x c ---<，∴对应方程的根为122,1x c x c ==+①当1c >时， 21,c c >+∴不等式的解集是()()1,2,1,2A c c B =+=-.22,1,,{11, {2, 1,1,c c A B c c c c c φ≤≤⊆∴+≥-⇒≥⇒∈>>②当1c <时， ()()21,2,1,1,2c c A c c B <+∴=+=-.1,21,21,{12, {1, 121,1,c c A B c c c c c ≥-≥-⊆∴+≤⇒≤⇒-≤<<<.③当1c =时， A =∅，满足A B ⊆. 综合上述， 1,12c ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 练习3.已知集合{|013}A x ax =<+≤，集合1{|2}2B x x =-<<. （1）若1a =；求AC B ；（2）若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1{|12A CB x x =-<≤-或2}x =；（2）()[),42,-∞-⋃+∞ 【解析】（1）若1a =，则{|12}A x x =-<≤， 故1{|12A CB x x =-<≤-或2}x = （2）,A B A A B ⋂=∴⊆，不等式013ax <+≤解集分三种情况讨论：①0a =，则,A R A B =⊆不成立；②0a <，则21{|}A x x a a=≤<-，由A B ⊆得12,{ 12,2aa-≤-<得4a <-；③0a >，则12{|}A x x a a=-≤<，由A B ⊆得11,2{ 22,a a-≥-<得2a ≥.综上所述： a 的取值范围为()[),42,-∞-⋃+∞. （六）子集中的空集陷阱例6.已知{}{}2230,1A x x x B x x a =--<=-<. （1）若A B Ö，求实数a 的取值范围； （2）若B A Ö，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()2,+∞；（2）(),2-∞.（2）1︒ 当B =∅时，即0a ≤ ∴B A Ö.2︒ 当B ≠∅时，即0a >∵()()1,3,1,1A B a a =-=-+， B A Ö.∴11{31a a ->-≥+或 11{ 31a a-≥->+ 即2a <.∴02a <<.综上所述：实数a 的取值范围是(),2-∞.陷阱预防：对于含参数的子集问题，一定要做到看到子集要想到空集. 练习1. 已知{}|37A x x =≤≤, {}|24B x a x a =<<+． （1）当1a =时，求A B ⋂和A B ⋃； （2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|35A B x x ⋂=≤<， {}|27A B x x ⋃=<≤；（2）][7,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）1a =时，写出集合B ，利用数轴即可求出； （2）分B =∅时与B ≠∅时两种情况分类讨论即可求出结论. 试题解析：（1）1a =时， {}|25B x x =<<，故{}|35A B x x ⋂=≤<， {}|27A B x x ⋃=<≤．（1）求(),U A B C A B ⋃⋂；（2）若集合{}20C x x a =+，且B C C ⋃=，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|2}A B x x ⋃=≥;(){|4}U C A B x x ⋂=≥;（2）6a >-.【解析】（1）由2837122x x --⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得3782x x -≥-，解得3x ≥， ∴{|3}B x x =≥。