2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第6章第38讲不等式关系与不等式
2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第6章 第38讲 不等式关系与不等式
分类讨论
【例3】 mx 已知m R，a b 1，f x ＝ ， x 1 试比较f a 与f b 的大小．
mx x 11 1 【解析】因为f x ＝ ＝m ( )＝m(1＋ )， x 1 x 1 x 1 1 1 所以f a ＝m(1＋ )，f b ＝m(1＋ )， a 1 b 1 则 f a － f b 1 1 m (b a ) ＝m(1＋ )－m(1＋ )＝ . a 1 b 1 ( a 1)(b 1) 因为a b 1， 所以a－1 0，b－1 0，b－a 0.
2
故p q.
比较大小
【例1】 1 若x y 0，试比较( x 2＋y 2 )( x－y ) 与( x 2－y 2 )( x＋y )的大小；
2 设a 0，b 0，且a b，试比较
a a bb与a bb a的大小．
【解析】1 ( x 2＋y 2 )( x－y )－( x 2－y 2 )( x＋y ) ＝( x－y )[( x 2＋y 2 )－( x＋y ) 2 ] ＝－2xy ( x－y )． 因为x y 0，所以xy 0，x－y 0， 所以－2xy ( x－y ) 0. 所以( x ＋y )( x－y ) ( x －y )( x＋y )．
本题体现的是近几年比较热门的考点— —用函数观点解决不等式问题．将两式相减 得到几个因式的积后，发现符号取决于m的正 x p 负，所以对m进行讨论是必然的．对于 xq (p，q是常数)这样的问题，用分离常数的方法 往往可以使问题得以简化，复习时要多加积 累．另外，本题最后如果没有写上“综上所 述”及其后面的内容，是不完整的．
1.现给出三个不等式：①a 2 1 2a；②a 2 b 2 3 2(a b )；③ 7 10 3 14.其中恒 2 成立的不等式共有 2 个．
2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第38讲 不等关系与不等式的性质
所以 f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又因为 1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， 所以 5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故 5≤f(－2)≤10.
【解法
2】
f－1＝a－b f1＝a＋b
，即ab＝ ＝1212[[ff－ 1－1＋ f－f11]]
，
所以 f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知 a，b，c，d 为实数，且 c>d，则“a>b”是 “a－c>b－d”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)
已
知
－
1<2x
－
1<1
，
则
2 x
－
1
的取值范围是
____________．
【分析】不等式性质就其逻辑关系而言，可分为 推出关系(充分条件)和等价关系(充要条件)，要深刻理 解不等式性质，把握其逻辑关系．
【解析】(1)①中， abbc>>a0d⇒ac>db. ②ac>bd，两边同乘以 ab，得 bc>ad.
bc>ad ③ bc－ad ⇒ab>0.
ab >0 所以 3 个命题都正确，选 D.
【例 1】 某汽车公司由于发展的需要购进一批汽车， 计划使用不超过 1000 万元的资金买单价分别为 40 万元、 90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车，根据需要 A 型汽车至少 买 5 辆、B 型汽车至少买 6 辆，写出满足上述所有不等关 系的不等式．
【解析】 设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆，
高考数学一轮复习 第6章 不等式 6.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式课件 理
5．三个二次之间的关系
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)a＞b⇔ac2＞bc2.( × ) (2)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋ ∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1 和 x2.( √ ) (3)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.( × ) (4)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( × )
第6章 不等式
6．1 不等关系与不等式的 性质及一元二次不等式
基础知识过关
[知识梳理] 1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0⇔a ＞ b. (2)a－b＝0⇔a ＝ b. (3)a－b＜0⇔a ＜ b.
2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔ b＜a . (2)传递性：a＞b，b＞c⇒ a＞c . (3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ ac＞bc ；a＞b，c＜0⇒
A.x－1＜x＜12
C．{x|－2＜x＜1}
B.xx＜－1或x＞12
D．{x|x＜Biblioteka 2 或 x＞1}解析 由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根．
由韦达定理 －1＋2＝－ba， －1×2＝2a
⇒ab＝ ＝－ 1. 1，
∴不等式 2x2＋bx＋a＜0，即 2x2＋x－1＜0.
解析 当 a＞1 时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0， ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x) ＝－loga(1－x2)＞0. 当 0＜a＜1 时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0， ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝ loga(1－x2)＞0. ∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
高中数学知识点总结 第六章不等式
高中数学知识点总结(zǒngjié) 第六章不等式高中数学知识点总结(zǒngjié) 第六章不等式高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的根本(gēnběn)性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试(kǎoshì)要求：〔1〕理解不等式的性质(xìngzhì)及其证明．〔2〕掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．〔3〕掌握分析法、综合法、比拟法证明简单的不等式．〔4〕掌握简单不等式的解法．〔5〕理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│06.不等式知识要点1.不等式的根本概念〔1〕不等〔等〕号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.〔2〕不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.〔3〕同向不等式与异向不等式.〔4〕同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的根本性质〔1〕abba〔对称性〕〔2〕ab,bcac〔传递性〕〔3〕abacbc〔加法单调性〕〔4〕ab,cdacbd〔同向不等式相加〕〔5〕ab,cdacbd〔异向不等式相减〕〔6〕a.b,c0acbc〔7〕ab,c0acbc〔乘法单调性〕〔8〕ab0,cd0acbd〔同向不等式相乘〕(9)ab0,0cdabcd〔异向不等式相除〕(10)ab,ab011〔倒数关系〕ab〔11〕ab0anbn(nZ,且n1)〔平方法那么〕〔12〕ab0nanb(nZ,且n1)〔开方法那么〕3.几个重要不等式〔1〕假设aR,那么|a|0,a20〔2〕假设a、bR,那么a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)〔当仅当a=b时取等号〕〔3〕如果a,b都是正数，那么abab.〔当仅当a=b时取等号〕2极值定理：假设某,yR,某yS,某yP,那么：1如果P是定值,那么当某=y 时，S的值最小；○2如果S是定值,那么当某=y时，P的值最大.○利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.(4)假设a、b、cR,那么abc3abc〔当仅当a=b=c时取等号〕ba(5)假设ab0,那么2〔当仅当a=b时取等号〕ab(6)a0时，|某|a某2a2某a或某a;|某|a某2a2a某a〔7〕假设a、bR,那么||a||b|||ab||a||b|4.几个著名不等式〔1〕平均不等式：如果a,b都是正数，那么211abababa2b2〔当仅当.22a=b时取等号〕即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均〔a、b为正数〕：2222abababab22特别地，ab(〔当a=b时，())ab〕2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322...an幂平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).常用不等式的放缩法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)〔2〕柯西不等式：假设a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;那么〔a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)〔3〕琴生不等式〔特例〕与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数f(某),对于定义域中任意两点某1,某2(某1某2),有f(某1某2f(某1)f(某2))或22f(某1某2f(某1)f(某2)).22那么称f(某)为凸〔或凹〕函数.5.不等式证明的几种常用方法比拟法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法〔1〕整式不等式的解法〔根轴法〕.步骤：正化，求根，标轴，穿线〔偶重根打结〕，定解.特例①一元一次不等式a某>b解的讨论；②一元二次不等式a某+b某+c>0(a≠0)解的讨论.〔2〕分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么f(某)0f(某)g(某)0;g(某)f(某)g(某)0f(某)0g(某)g(某)0〔3〕无理不等式：转化为有理不等式求解○1f(某)g(某)g(某)0定义域f(某)g(某)f(某)0○2f(某)0f(某)0○3f(某)g(某)g(某)0或g(某)02f(某)[g(某)]f(某)0f(某)g(某)g(某)02f(某)[g(某)]〔4〕.指数不等式：转化为代数不等式af(某)ag(某)(a1)f(某)g(某);af(某)ag(某)(0a1)f(某)g(某)af(某)b(a0,b0)f(某)lgalgb〔5〕对数不等式：转化为代数不等式f(某)0logaf(某)logag(某)(a1)g(某)0;f(某)g(某)f(某)0logaf(某)logag(某)(0a1)g(某)0f(某)g(某)〔6〕含绝对值不等式1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化○g(某)0|f(某)|g(某)g(某)f(某)g(某)g(某)0|f(某)|g(某)g(某)0(f(某),g(某)不同时为0)或f(某)g(某)或f(某)g(某)注：常用不等式的解法举例〔某为正数〕：①某(1某)(1某)(1某)()2(1某2)(1某2)②y某(1某)y()y类似于ysin某cos某sin某(1sin某)，③|某1||某||1|(某与1同号，故取等)2扩展阅读：高中数学知识点总结_第六章不等式[1]高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的根本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：〔1〕理解不等式的性质及其证明．〔2〕掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．〔3〕掌握分析法、综合法、比拟法证明简单的不等式．〔4〕掌握简单不等式的解法．〔5〕理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│06.不等式知识要点1.不等式的根本概念〔1〕不等〔等〕号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.〔2〕不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.〔3〕同向不等式与异向不等式.〔4〕同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的根本性质〔1〕abba〔对称性〕〔2〕ab,bcac〔传递性〕〔3〕abacbc〔加法单调性〕〔4〕ab,cdacbd〔同向不等式相加〕〔5〕ab,cdacbd〔异向不等式相减〕〔6〕a.b,c0acbc〔7〕ab,c0acbc〔乘法单调性〕〔8〕ab0,cd0acbd〔同向不等式相乘〕(9)ab0,0cdabcd〔异向不等式相除〕(10)ab,ab011〔倒数关系〕ab〔11〕ab0anbn(nZ,且n1)〔平方法那么〕〔12〕ab0nanb(nZ,且n1)〔开方法那么〕3.几个重要不等式〔1〕假设aR,那么|a|0,a20〔2〕假设a、bR,那么a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)〔当仅当a=b时取等号〕〔3〕如果a,b都是正数，那么abab.〔当仅当a=b时取等号〕2极值定理：假设某,yR,某yS,某yP,那么：1如果P是定值,那么当某=y 时，S的值最小；○2如果S是定值,那么当某=y时，P的值最大.○利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.(4)假设a、b、cR,那么abc3abc〔当仅当a=b=c时取等号〕ba(5)假设ab0,那么2〔当仅当a=b时取等号〕ab(6)a0时，|某|a某2a2某a或某a;|某|a某2a2a某a〔7〕假设a、bR,那么||a||b|||ab||a||b|4.几个著名不等式〔1〕平均不等式：如果a,b都是正数，那么211abababa2b2〔当仅当.22a=b时取等号〕即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均〔a、b为正数〕：2222abababab22特别地，ab(〔当a=b时，())ab〕2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322...an幂平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).常用不等式的放缩法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)〔2〕柯西不等式：假设a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;那么〔a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)〔3〕琴生不等式〔特例〕与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数f(某),对于定义域中任意两点某1,某2(某1某2),有f(某1某2f(某1)f(某2))或22f(某1某2f(某1)f(某2)).22那么称f(某)为凸〔或凹〕函数.5.不等式证明的几种常用方法比拟法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法〔1〕整式不等式的解法〔根轴法〕.步骤：正化，求根，标轴，穿线〔偶重根打结〕，定解.特例①一元一次不等式a某>b解的讨论；②一元二次不等式a某+b某+c>0(a≠0)解的讨论.〔2〕分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么f(某)0f(某)g(某)0;g(某)f(某)g(某)0f(某)0g(某)g(某)0〔3〕无理不等式：转化为有理不等式求解○1f(某)g(某)g(某)0定义域f(某)g(某)f(某)0○2f(某)0f(某)0○3f(某)g(某)g(某)0或g(某)02f(某)[g(某)]f(某)0f(某)g(某)g(某)02f(某)[g(某)]〔4〕.指数不等式：转化为代数不等式af(某)ag(某)(a1)f(某)g(某);af(某)ag(某)(0a1)f(某)g(某)af(某)b(a0,b0)f(某)lgalgb〔5〕对数不等式：转化为代数不等式f(某)0logaf(某)logag(某)(a1)g(某)0;f(某)g(某)f(某)0logaf(某)logag(某)(0a1)g(某)0f(某)g(某)〔6〕含绝对值不等式1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化○g(某)0|f(某)|g(某)g(某)f(某)g(某)g(某)0|f(某)|g(某)g(某)0(f(某),g(某)不同时为0)或f(某)g(某)或f(某)g(某)注：常用不等式的解法举例〔某为正数〕：①某(1某)(1某)(1某)()2(1某2)(1某2)②y某(1某)y()y类似于ysin某cos某sin某(1sin某)，③|某1||某||1|(某与1同号，故取等)2内容总结（1）○2应用数形思想。
2013版高考数学人教A版一轮复习课件第6单元-不等式(理科)
第六单元 │ 使用建议
(2)从高考的客观情况看，二元一次不等式(组)所表示 的平面区域和简单的线性规划问题，是高考必考的两个知 识点，我们把探究点不是设置为简单的线性规划问题，而 是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性 规划)，含有参数的平面区域以及生活中的优化问题，这样 在该讲就覆盖了高考考查的基本问题． (3)在各个讲次穿插了不等式的应用，但不涉及过度综 合的题目，其目的是使学生认识到不等式应用的广泛性， 不等式更多的、更综合的应用我们留在其余各讲中．
第六单元 │ 网络解读
x－a (3)简单的分式不等式 >0可以转化为一元二次不等式 x－b x－a (x－a)(x－b)>0，在解这类不等式时，如果是 >c(c≠0)，那 x－b 么应把一端化为零再进行转化．
第六单元 │ 网络解读
3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划问题 (1)一个二元一次不等式表示一个半平面，几个二元一次不 等式组成的不等式组就表示这些半平面的交集，也就是一个平 面上的区域，要会根据特殊点的位置确定不等式表示的半平 面，正确求出不等式组表示的平面区域． (2)简单的线性规划问题有两类，一类是不含实际背景的线 性规划问题，一类是必须首先建立模型的含有实际背景的线性 规划问题，难点是后者，在解这类试题时要注意准确提炼线性 规划模型，不要忽视了必要的限制条件．
新课标·人教A版
第六单元
不等式
第六单元 │ 知识网络 知识网络
第六单元 │ 网络解读
网络解读
本单元包括不等关系与不等式、一元二次不等式、二元一 次不等式(组)表示的平面区域和简单的线性规划问题、基本不 等式． 1．不等关系和不等式，主要内容是不等式的概念、不等 式的性质、两个数式比较大小
高考数学一轮总复习第6章6.1不等关系与不等式课件理159.ppt
延伸探究 1 将本例条件改为－1<x<y<3，求 x－y 的取 值范围．
解 ∵－1<x<3，－1<y<3， ∴－3<－y<1， ∴－4<x－y<4.① 又∵x<y，∴x－y<0，② 由①②得－4<x－y<0.故 x－y 的取值范围为(－4，0)．
延伸探究 2 若将本例条件改为“－1<x＋y<4,2<x－ y<3”，求 3x＋2y 的取值范围．
④中，因为 b<a<0，根据 y＝x2 在(－∞，0)上为减函数， 可得 b2>a2>0，而 y＝ln x 在其定义域上为增函数，
所以 ln b2>ln a2，故④错误． 由以上分析，知①③正确，故选 C.
解法二：因为1a<1b<0，故可取 a＝－1，b＝－2. 因为|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误； 因为 ln a2＝ln (－1)2＝0，ln b2＝ln (－2)2＝ln 4 >0，所以 ④错误． 综上所述，②④错误，选 C.
解法二：设xy34＝xy2m(xy2)n， 则 x3y－4＝x2m＋ny2n－m，
所以22mn－ ＋mn＝ ＝3－，4， 即mn＝ ＝－ 2，1. 又∵16 ≤xy22≤81，18≤(xy2)－1≤13， ∴2≤xy34≤27，故xy34的最大值为 27.
4．[2017·金版创新]设 c>0，则下列各式成立的是(
)
A．c>2c C．2c<12c
B．c>12c D．2c>12c
解析 c>0 时，2c>1，12c<1，所以 2c>12c.
板块二 典例探究·考向突破
高三数学一轮复习教案第六章不等式汇总
不等式【知识图解】【方法点拨】不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.1.掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。
2.一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。
3.线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。
同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。
第1课 基本不等式【考点导读】1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。
2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。
【基础练习】1.“a >b >0”是“ab <222a b +”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)2.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为12-3.已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②21,0≥+>x x x 时当；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值。
则其中正确的个数为1个4.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为1615.已知lg lg 1x y +=，则52x y+的最小值是2 【范例导析】 【例1】 （1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. （2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值． 分析：问题（1）中由于450x -<，所以首先要调整符号；问题（2）中要注意利用基本不等式时等号成立条件. 解： （1）∵54x <∴540x -> ∴y=4x-2+145x -=154354x x ⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭≤-2+3=1当且仅当15454x x-=-，即x=1时，上式成立，故当x=1时，max 1y =. （2）求22242y x x =--+的最大值解:2226(2)2y x x =-+++ (若由2222262(2)22y x x x ≤-+=+=+则即无解“=”不成立) 令2222,6()u x y u u=+≥=-+则,可以证明y(u)在)+∞递减∴u=2,即x=0时,y max =3点拨：在运用均值不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三等”.凑出定值是关键!“=”成立必须保证,若两次连用均值不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且1a b+=x y，求x+y 的最小值。
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2.对于实数a，b，c，有下列命题：①若ac2 bc2， 则a b；②若a b，则ac2 bc2；③若a b 0， 则a2 ab b2；④若a b，c d，则a c b d.
是 12, 42 .
解析：设S6 6a1 15d ma5 na6 m n a1 4m 5n d，
分类讨论
【例3】
已知m R，a b 1，f x＝ mx ，
x 1
试比较f a与f b的大小．
【解析】因为f x＝ mx ＝m( x 1 1)＝m(1＋ 1 )，
其中正确的命题共有 3 个．
解析：当c 0时，②不正确，其余都正确．
3.已知a
1，则与1 a的大小关系是
1 1 a
1 a
解析：因为a 1，所以a 1 0.
又因为 1 1 a 1 1 a2 a2 0，
1 a
1 a 1 a
所以 1 1 a. 1 a
则 4BA2 BA
4 2
,即
A
B
1 3 8 3
所以f (2) 1 f (2) 8 f (1).
3
3
因为1 f (－2) 2，所以1 1 f (－2) 2 .
33
3
又3 f 1 4，所以 24 8 f 1 32 .
【变式练习1】
a ln 2，b ln 3，c ln 5，
2
3
5
则a，b，c大小顺序是 _c____a___b__
【解析】(作商比较法)
b 2 ln 3 ln 9 a 3ln 2 ln 8 log8 9 1, 又a 0，所以b a.
a 5ln 2 ln 32 c 2 ln 5 ln 25 log25 32 1, 而c 0，所以a c， 从而b a c.
4.若 ，则a b的取值范围是 (，0) .
2
2
解析：因为 ，
2
2
所以 ， .
2
22
2
又 ，所以 0.
5.若p x2 y2 2，q 2x 4y x2 y2 4，
33
3
所以 25 f 2 34 .故f 2的取值范围是[ 25 34 ]
3
3
33
本题是用同向不等式相加性求取值范围问 题．一不小心就会产生如下错误：由
1 3
4a 2b ab
4
2 ,
得
7 6
a
10，10 66
b
15，再代入 6
f 2＝4a＋2b，求得8 f 2 35.错误的原因是没
3
有考虑到4a－2b与a＋b中的a，b不是独立的，而是
相互制约的，以上解法无形中将所求变量的范围
改变了．正确的思路应该是：将f 2用4a－2b和a
＋b来表示，再两边分别乘以相应的系数即可．
【变式练习2】
(2011 苏锡常镇一模卷)设等差数列an 的前n项、
和为Sn，若1 a5 4, 2 a6 3，则S6的取值范围
求取值范围
【例2】 设二次函数y＝f(x)的图象过原点， 且 1≤f( － 2)≤2,3≤f(1)≤4 ， 求 f(2) 的 取 值范围．
【 解 析 】 依 题 意 ， 设 f(x) ＝ ax2 ＋ bx(a≠0)， 则f(－2)＝4a－2b，f(1)＝a＋b，f(2) ＝4a＋2b. 设f(2)＝Af(－2)＋Bf(1)＝(4A＋B)a ＋(B－2A)b，
aabb与abba的大小．
【解析】1 (x2＋y2 )(x－y)－(x2－y2 )(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2 )－(x＋y)2 ] ＝－2xy(x－y)． 因为x y 0，所以xy 0，x－y 0， 所以－2xy(x－y) 0. 所以(x2＋y2 )(x－y) (x2－y.
解析：p 2，q x 12 y 22 1 1，
故p q.
比较大小
【例1】
1若x y 0，试比较(x2＋y2 )(x－y)
与(x2－y2 )(x＋y)的大小；
2设a 0，b 0，且a b，试比较
2
aabb abba
＝a
a－bbb－a＝(
a b
)a－b
.
①当a b 0时，a 1，a－b 0， b
则( a )a－b 1，于是aabb abba . b
②当b a 0时，0 a 1，ab 0 b
则( a )a-b 1，aabb abba . b
1.现给出三个不等式：①a2 1 2a；②a2 b2
2(a b 3)；③ 7 10 3 14.其中恒 2
成立的不等式共有 2 个．
解析：因为a2 2a 1 a 12 0，所以①不恒 成立；对于②，a2 b2 2a 2b 3 a 12 b 12 1 0，所以②恒成立；
综上，当a 0，b 0，且a b时，
总有aabb abba .
比较两个代数式的大小往往可以首先将两 个式子相减，再因式分解，将式子变形为几个 因式的乘积的形式，而后判断各因式的符号， 进而确定差的符号，最终达到比较大小的目 的．当然，当比较大小的两个式子是幂的形式 时，也可以将两个代数式作商，但要注意两代 数 式a 是 同 时 为 正 还 是 同 时 为a负 ， 然 后 利 用 “ b >1，a，b>0 a>b”或“ b >1，a，b<0 a<b”来解决 .