测量误差及数据处理
合集下载
测量学第六章 测量误差及数据处理的基本
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的 容许值，称为容许误差。
6．4．4 相对误差
相对误差是中误差与观测值之比．是个无量纲数，在测 量上通常将其分子化为1，即用K＝1/N的形式来表示。 如：1/1000，1/5000等。 显然．相对中误差愈小(分母越大)．说明观测结果的精 度愈高，反之愈低。 相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称 为相对闭合差及相对容许误差。
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 偶然误差⊿的函数，记为f(⊿)。
f(⊿ i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的 容许值，称为容许误差。
6．4．4 相对误差
相对误差是中误差与观测值之比．是个无量纲数，在测 量上通常将其分子化为1，即用K＝1/N的形式来表示。 如：1/1000，1/5000等。 显然．相对中误差愈小(分母越大)．说明观测结果的精 度愈高，反之愈低。 相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称 为相对闭合差及相对容许误差。
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 偶然误差⊿的函数，记为f(⊿)。
f(⊿ i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。
第二章测量数据处理及测量误差分析
第二章测量数据处理及测量误差分析测量数据处理及测量误差分析是科学实验中非常重要的一个环节，它涉及到对实验数据进行整理、处理以及对测量误差进行分析、评估的过程。
本章主要包括数据的整理、数据处理的常用方法、误差分析和误差处理方法等内容。
一、数据的整理在进行数据整理之前，首先要明确实验的目的和要求，明确需要获得的数据类型和数据量，有针对性地进行数据测量和记录。
数据整理主要包括：1.数据记录：将实验过程中获得的原始数据按照一定的格式记录下来，包括数据名称、数据值、测量单位等。
2.数据清洗：对记录下来的数据进行初步的筛选和清理，去除明显的异常值和错误数据，保留有效和可靠的数据。
同时，要注意将数据转换为适当的统计量，如平均值、中位数、标准差等。
二、数据处理常用方法数据处理是对记录下来的数据进行统计、分析和加工的过程，常用的数据处理方法有：1.统计分析：包括计算数据的平均值、中位数、众数等统计量，分析数据的分布特征，进行图表的绘制和描述。
2.走势分析：通过时间序列数据的走势分析，观察数据的变化规律，判断数据是否存在趋势性、周期性等特征。
3.相关分析：用于研究两组或多组数据之间的相关性，包括相关系数的计算和相关关系的绘图等。
4.假设检验：通过已知的数据样本对一些假设的合理性进行检验，判断假设是否成立并进行统计推断。
三、误差分析误差是指测量结果与真实值之间的差异，它是不可避免的，但可以通过分析和处理来减小误差的影响。
误差分为系统误差和随机误差两种。
1.系统误差：主要源于测量仪器、测量方法和实验设计的不确定性，它会导致测量结果的整体偏移，常常是可检测和可纠正的。
调整测量仪器的零点、校正仪器的偏差、改进实验设计等方法可以减小系统误差的影响。
2.随机误差：主要源于测量过程中的各种随机因素，如环境的变化、测量操作的不精确等。
随机误差是不可避免的，通过多次重复测量可以获得多组数据，然后进行数据的平均处理和统计分析，可以减小随机误差的影响。
测量误差与数据处理
ε=n lim ∞
∑(x −m)
i=1 i
n
2
t
sx =
x
(xi − x)2 ∑
i=1
n
−
n
n −1
实验中先用贝塞尔公式计算测量列的标准偏差,然后,用t分布因 子对标准偏差进行修正,从而获得测量列的标准偏差.实验中常用 的t因子如表: 当n>6时,ε≈s 证明见后 ε=sχT0.683统误差大
准确度高
正确度好但精密度差 正确度好但精密度
不确定度(uncertainty) 不确定度
不确定度是测量结果带有的一个参数,用以表征合理赋予被测量值的分散性.不确定度提
供了测量分散范围的一个量度,它以很大的可能性包含了真值.它包含有A类不确定 度分量(随机误差统计分析所获)和B类不确定度分量(非统计方法所获).
δ仪
-δ仪 δ
Δ仪
均匀分布
对于正态分布:仪器不确定度 对于正态分布 仪器不确定度 u仪与仪器误差限的关系为 与仪器误差限的关系为:u 仪=kp×δ仪/C 为置信因子, kp为置信因子,在一倍标准偏 差下的置信概率0.683,C=3, 差下的置信概率0.683,C=3, 故uB=δ仪/3.
综上所述,所谓 类不确定度应由贝塞尔公式 算出有限次测量的标准偏差,然后 综上所述 所谓A类不确定度应由贝塞尔公式 算出有限次测量的标准偏差 然后 所谓 类不确定度应由贝塞尔公式S算出有限次测量的标准偏差 用平均标准偏差S 作为A类不确定度 类不确定度u 再由u 乘以因子t 用平均标准偏差 X作为 类不确定度 A = S X 再由 A乘以因子 p来求得扩展不 n 确定度UA.所以 确定度 所以: UA=uA×tP 所以 B类不确定度的评估 类不确定度的评估: 类不确定度的评估
20第2章测量误差及数据处理
• 仪表的精度等级（精确度等级）是指仪表在规定的工作条 件下允许的最大相对百分误差。
• 按国家标准规定，用最大引用误差来定义和划分仪器仪表 的精度等级，将仪器仪表的精度等级分为： …… ， 0.05， 0.1，0.25，0.35，0.5，1.0，1.5，2.5，4.0，5.0……（以前 只有七种）
• 当计算所得的与仪表精度等级的分档不等时，应取比稍大 的精度等级值。仪表的精度等级通常以S来表示。例如， S=1.0，说明该表的最大引用误差不超过±1.0%。
•
最大满度相对误差是仪表基本误差最大值 程之比的百分数，即：
xm与基 仪器仪表量
om量 xm基 程10% 0
• 最大引用误差是仪表的绝对误差最大值 xm与绝仪器仪表量程 之比的百分数，即：
量xm程 绝100%
• 当仪表是在标准条件下使用的，则：
最大满度相对误差＝大 最引用误差
仪表精度等级的确定
即：
Axc
c) 可见，用修正值可以减小测量误差，得到更接近于被 测量真值的实际值。
d) 应该指出，使用修正值必须在仪表检定的有效期内。 修正值本身也有误差。
实际值相对误差
例 测量两个电压，实际值U1 100V，U2 5V，仪表的 示值分别为Ux1 101V，Ux2 6V。其绝对误差分别为：
c) 随机误差表征了测量结果的精密度，随机误差小，精 密度高，反之，精密度低。
服从正态分布规律的随机误差
d) 当测量次数足够多时，大多数随机误差是服从正态分布的。服从 正态分布规律的随机误差具有下列特点（如 图所示）： ① 单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，
在误差 0处，出现的概率最大。
• 掌握随机误差、粗大误差和系统误差的估算、判断和减小方法
• 按国家标准规定，用最大引用误差来定义和划分仪器仪表 的精度等级，将仪器仪表的精度等级分为： …… ， 0.05， 0.1，0.25，0.35，0.5，1.0，1.5，2.5，4.0，5.0……（以前 只有七种）
• 当计算所得的与仪表精度等级的分档不等时，应取比稍大 的精度等级值。仪表的精度等级通常以S来表示。例如， S=1.0，说明该表的最大引用误差不超过±1.0%。
•
最大满度相对误差是仪表基本误差最大值 程之比的百分数，即：
xm与基 仪器仪表量
om量 xm基 程10% 0
• 最大引用误差是仪表的绝对误差最大值 xm与绝仪器仪表量程 之比的百分数，即：
量xm程 绝100%
• 当仪表是在标准条件下使用的，则：
最大满度相对误差＝大 最引用误差
仪表精度等级的确定
即：
Axc
c) 可见，用修正值可以减小测量误差，得到更接近于被 测量真值的实际值。
d) 应该指出，使用修正值必须在仪表检定的有效期内。 修正值本身也有误差。
实际值相对误差
例 测量两个电压，实际值U1 100V，U2 5V，仪表的 示值分别为Ux1 101V，Ux2 6V。其绝对误差分别为：
c) 随机误差表征了测量结果的精密度，随机误差小，精 密度高，反之，精密度低。
服从正态分布规律的随机误差
d) 当测量次数足够多时，大多数随机误差是服从正态分布的。服从 正态分布规律的随机误差具有下列特点（如 图所示）： ① 单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，
在误差 0处，出现的概率最大。
• 掌握随机误差、粗大误差和系统误差的估算、判断和减小方法
互换性与技术测量 测量误差及数据处理
L L 2 t2 20 - 1 t1 20
测量误差的来源.4
（4）人为误差
指测量人员的主观因素（技术熟练程度、疲 劳程度、测量习惯等）引起的误差。 总之，产生误差的因素很多，分析时应找出 主要因素，采取相应措施，设法消除减小其 影响，以保证测量结果的精确。
二、测量误差的分类及数据处理
0
100%
xi
100%
上例千分尺测量的相对误差为
0.007 100% 0.02% 35.012
注解1
在实际测量中，虽真值不能得到，但往往要
求分析或估算测量误差的范围，即求出真值 必落在测得值附近的最小范围，称之为测量 极限误差δlim。
它应满足
x-︱δlim︱≤μ0≤x+︱δlim︱
（1）绝对误差（Δ）
是指被测量的实际值x与真值μ0之差。 Δ=x -μ0 绝对误差是代数值，即它可能是正值、 负值或零。
如千分尺测得某轴35.005mm，高精度测量结 果35.012mm（看作是约定真值），千分尺 测量的绝对误差为-0.007mm。
（2）相对误差（ε）
定义：绝对误差的绝对值与被测量的真 值（或约定测得值xi代替）之比。
指在一定的条件下进行多次测量时，各测得 值与其真值的一致程度。 表示系统误差和随机误差对测量结果的综 合影响。
(a) (b) 靶示测量精度与测量误差 (c) (d)
精密度低 正确度低
精密度高 正确度高
四、等精度直接测量列的数据处理
等精度测量是指采用相同的测量基准、
测量工具与测量方法，在相同的测量 环境下，由同一个测量者进行的测量。
实际测量，被测真值μ0未知，δi也未知，故 无法求出标准偏差ζ。 假设有测量列x1、x2、……xn，则有 ① 算术平均值 x1 x2 ...... xn 1
3.2测量误差和数据处理
若误差落在区间（-∞，+ ∞ ）之中，则其概率 p=1； 若误差落在（-δ，+δ ）之中，则上式可改写为：
将上式进行变量置换，设： 则： =2Φ(t)
在实践中常认为δ=±3σ的概率约等于1， 从而将±3σ 称为随机误差的极限误差 随机误差的极限误差。 随机误差的极限误差 即：
δlim=±3σ
算术平均值的极限误差： 算术平均值的极限误差：δlimL=±3σ L
——若某一|υi|>3σ ，则该残余误差为粗大误差，应剔除。 该准则主要适有用于服从正态分布的误差，且重复测量 次数又比较多的情况。
（2）狄克逊准则 ） （3）格罗布斯准则 ） （4）t检验法等 ） 检验法等
§3.2.6 等精度测量结果的处理
步骤如下： （1）判断有无系统误差存在 （2）求算术平均值 （3）计算残余误差 （4）计算标准偏差 σ （5）判断粗大误差并将其剔除 |υ ∣≤3σ （6）求算术平均值的标准偏差 测量结果的表达式： （7）测量结果的表达式： 单次测量时： 单次测量时： L= li±3σ 多次测量时： 多次测量时： 例：（见书P.60）
二、随机误差的评定指标 1．算术平均值 ．
对某量进行等精度测量时，由于随机误差的存在，其 获得的测量值不完全相同，此时应以其算术平均值作为最 后的测量结果。即：
由正态分布的性质④可知，当测量次数ｎ增大时，算术平均 值愈趋近于真值。因此——用算术平均值作为最后的测
量结果比用其它任一测量值作为测量结果更可靠。
1、测量器具误差 、 2、方法误差 、 3、标准件误差 、 4、环境误差 、 5、人为误差 、
§ 3.2.2
1．误差分类 ．
误差的分类
(1)系统误差 系统误差 在相同条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号 保持不变或按一定规律变化着的误差。 系统误差可分为定值系统误差 变值系统误差 定值系统误差和变值系统误差 定值系统误差 变值系统误差。 (2)随机误差 随机误差 在相同条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可 预定的方式变化着的误差。误差的出现是无规律可循的。 (3)粗大误差 粗大误差 由于测量不正确等原因引起的大大超出规定条件下预计误差 限的那种误差。
测量误差及数据处理方法
测量误差及数据处理方法测量误差是指实际测量值与真值之间的差异。
由于任何测量都无法完全达到绝对准确，所以误差在科学研究和工程实践中都是不可避免的。
为了更好地理解和处理测量误差，人们开发了一系列数据处理方法。
本文将介绍测量误差及数据处理方法的基本概念和常用技术。
首先，我们需要了解测量误差的类型。
一般而言，测量误差可以分为系统误差和随机误差两种。
系统误差（systematic error）是由于装置的固有缺陷或使用不当而引起的误差。
它在一系列测量中始终存在，并导致整个数据集向其中一方向偏离真实值。
系统误差通常可通过标定、校正和调整仪器等方法来减小。
随机误差（random error）是由于测量过程中偶然因素的影响而产生的无规律误差。
这种误差在多次测量中可能出现正值和负值，且其分布符合统计学的其中一种规律，如正态分布。
随机误差通常不能被完全消除，但可以通过多次重复测量并采用统计方法求得平均值来减小。
为了进一步处理测量误差，我们可以使用一些常见的数据处理方法，包括：1.平均值：通过多次测量并求取平均值，可以减小随机误差的影响，使结果更接近真实值。
2.标准偏差：标准偏差反映了测量数据的离散程度，是衡量随机误差大小的指标。
较小的标准偏差代表测量精度较高。
3.系统误差的处理：系统误差通常可以通过校正方法来处理。
例如，可以使用已知标准值进行标定，然后根据标定曲线对测量结果进行修正。
4.误差传递规则：在多个测量量相互影响的情况下，可以使用误差传递规则来评估结果的误差。
误差传递规则可以根据各个变量的不确定度来计算结果的不确定度。
5.最小二乘法：最小二乘法是一种常用的拟合方法，用于分析变量之间的关系。
通过寻找使拟合曲线与观测数据之间误差平方和最小的参数，可以确定最优解。
6.置信区间：置信区间是用来估计未知参数真实值的区间范围。
通过统计方法，可以计算出参数的估计值和一定置信水平下的置信区间，从而提供了对结果可靠性的评估。
测量误差及数据处理
x0
x
相对误差ε是一个无量纲的数据，通常以百分数的形式表
示。相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。例如，
在上面的例子中，ε1＝0.002/20×100%＝0.01%，ε2＝ 0.02/250×100%＝0.008%，可以看出，后者的测量精度更高。
1.2 测量误差的来源
计量器具 误差
计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用
（2）随机误差的评定指标
① 算术平均值 。对同一被测量进行n次等精度测量，测
量结果为x1、x2、…、xn，则算术平均值x 为：
x
x1 x2 xn n
1 n
n i1
xi
测量次数n越大，算术平均值 越趋近于真值x0。因此，用
算术平均值 x 作为最后测量结果是可靠的、合理的。
② 标准偏差σ。
用算术平均值 x 表示测量结果虽然可靠，但不能全面反
映测量精度。例如，有两组测得值： 第一组：12.005，11.996，12.003，11.994，12.002； 第二组：11.90，12.10，11.95，12.05，12.00。
两组测得值的算术平均值 x1＝ x2＝12，但第一组测得
值比较集中，第二组测得值比较分散，也就是说，第一组的 每一个测得值比第二组的更接近于算术平均值，第一组测得 值的测量精度比第二组高。此时，算术平均值就不能准确地 反映测量精度了，而常用标准偏差σ来反映测量精度的高低。
源
误差
所引起的误差。环境条件主要包括温度、湿度、气压、振
动和灰尘等，其中，温度对测量结果的影响最大。
测量人员 误差
测量人员误差是指由测量人员的主观因素所引起的误
差。例如，测量人员技术不熟练、测量瞄准不准确、估读 判断错误和测量习惯等引起的误差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P
N N N N
（3）粗大误差—明显超出规定条件下预期的误差 特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。 产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、
使用仪器方法不对等。
4、 测量结果表示
（1）绝对误差
NN测N真
（2）相对误差（百分误差）
EN10% 0N测N真10% 0
N真
N真
结果表示：
N真N测N
N
E 100% N真
N ( fx)2x 2( fy)2y 2( fz)2z2 (1.4-6)
N(ln f)2
N x
x 2(l y n f)2
y 2(l zn f)2
2 z
(1.4-7)
三、不确定度的传递公式
不确定度 uN ( fx)2ux 2( fy)2u2 y( fz)2uz2
(1.4-8)
相对不确定度 u N N(l x n f)2ux 2(l y n f)2uy 2(l zn f)2uz 2 (1.4-9)
△未标明时，可取仪器及表盘上最小 刻度的一半作误差。 △ 电学仪器根据仪器的精度来考虑
如电表： in s 量 程 数 仪 器 精 度 级 别 %
例: 如用一个精度为0.5级，量程为10 μA 的电流表，单次测量某一电流值为 2.00μA，试用不确定度表示测量结果。
解：u=10 μA ×0．5 ％=0．05 μA I=（2 ．00±0 ．05 ）μA
N
K Ni N2
i1
K 1
（2）平均值的标准偏差：
K
N N K
Ni N 2
i1
KK1
拓：标准偏差σ是一个描述测量结果离散程度的参
量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。 理解： 若随机误差服从正态分布，在距平均值σ 处，
是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为1， σ越小，曲 线越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之 精密度越低。
2、误差来源 （1） 仪器误差 （2） 环境误差 （3） 测量方法误差 （4） 人员误差
3、 误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）
（1）系统误差—同一被测量的多次测量过程中，保持 恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量
特点：确定性 产生原因：仪器本身的缺陷、测量方法的不完 备、测量者的不良习惯等。
5、精密度、正确度与准确度（又称精确度） 精密度—反映随机误差（测量值离散程度） 正确度—反映系统误差（测量值偏离真值程度） 准确度—反映综合误差
(a)
正确度较高、 精密度低
(b)
精密度高、 正确度低
(c) 准确度高
§1.2测量结果误差估算及评定方法
对N进行K次测量，得N1，N2……Nk．用算术
N=f(x,y,z)
绝对误差 Nf xf yf z （1.4-3）
x
y
z
相对误差 Nln f xln f yln f z (1.4-4)
N x
y
z
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计 算绝对误差较方便
当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计 算相对误差较方便
二、 标准偏差的传递公式（方和根合成）
问:有了绝对误差，为什么还要引入相对 误差呢？
答:绝对误差反映的是误差本身的大小，但 它不能反映误差的严重程度。
例:两个绝对误差如下，哪个大,哪个严重？
2m
20m
我们不知道它们是在什么测量中产生的，所 以难以回答。
如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？
100米 跑道
地 月
2m 20m
注意：绝对误差大的，相对误差不一定大
P
N N N N
当系统误差、粗大误差已消除，随机误 差服从正态分布
范围
N—N
N2— N2
N3— N3
P
置信概率（包含真值的概 率）
68.3% 95.4% 99.7%
N N N N
3．不确定度
A类分量（用统计的方法计算）uＡ： N N
B类分量（用其他方法计算）uＢ：
uj
ins K
ins
测量
直接测量 间接测量
直接测量--指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系 的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；
间接测量--指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关 系经过计算从而得到被测量值的测量
二、 误差
1、误差的定义
测量误差=测量值-真值 NN测N真
N真是客观存在的但无法测得，因为测量与误差是形影不离的。
二、多次测量结果的误差估算及 评定程序：
1、求平均值 N 。
2、求 或 或 u。
3、表示结果。（例如用u， 则结果为 NNu）
NNu 今后我们约定结果写成：
式中 u 2 N2ins
这种表示方法的置信概率大约为95%左右
例（书P20）
§1.4间接测量结果误差的估算及评定 一、 一般的误差传递公式
第一章 测量误差及数据处理方法
§ 1.1测量与误差关系 § 1.2测量结果误差估算及评定方法 § 1.3直接测量结果误差估算及评定方法 § 1.4间接测量结果误差估算及评定方法 § 1.5 有效数字及其运算 § 1.6常用数据处理方法
一、 测量
测量：就是用一定的测量工具或仪器，通过 一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。
合成不确定度
或 u u A 2 u B 2 2 (N ) u 2 j 2 (N ) u 2 j
测量结果表示为： N u
相对不确定度： E u 100%
N
§1.3直接测量误差估算及评定
一、单次测量误差估算及评定
单次测量结果的误差估算常以测量仪 器误差来评定。 仪器误差： △ 已标明（或可明确知道）的误差
（2）随机误差—同一量的多次测量过程中，以不可
预知方式变化的测量误差的分量 特点:(a)测量次数不多情况下随机误差没有规律; (b)大量测量时随机误差服从统计规律。
很多服从正态分布，曲线下面积为1，曲线越窄，峰 越高，随机误差越小。用多次测量取平均的方法可 以减小随机误差。
产生原因：环境的影响等。
平均值：
N K 1N 1N 2 N i N kK 1i k1N i
作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。
1．算术平均偏差
K 1N 1 N N 2 N N i N N k N
1
K
K i1
Ni
N
结果可表示为： N
2．标准偏差（均方根偏差） （1）测量列的实验标准差：
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),用（1.4-8）较 方便
当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（N=x2y/z), 用（1.4-9）较方便
N N N N
（3）粗大误差—明显超出规定条件下预期的误差 特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。 产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、
使用仪器方法不对等。
4、 测量结果表示
（1）绝对误差
NN测N真
（2）相对误差（百分误差）
EN10% 0N测N真10% 0
N真
N真
结果表示：
N真N测N
N
E 100% N真
N ( fx)2x 2( fy)2y 2( fz)2z2 (1.4-6)
N(ln f)2
N x
x 2(l y n f)2
y 2(l zn f)2
2 z
(1.4-7)
三、不确定度的传递公式
不确定度 uN ( fx)2ux 2( fy)2u2 y( fz)2uz2
(1.4-8)
相对不确定度 u N N(l x n f)2ux 2(l y n f)2uy 2(l zn f)2uz 2 (1.4-9)
△未标明时，可取仪器及表盘上最小 刻度的一半作误差。 △ 电学仪器根据仪器的精度来考虑
如电表： in s 量 程 数 仪 器 精 度 级 别 %
例: 如用一个精度为0.5级，量程为10 μA 的电流表，单次测量某一电流值为 2.00μA，试用不确定度表示测量结果。
解：u=10 μA ×0．5 ％=0．05 μA I=（2 ．00±0 ．05 ）μA
N
K Ni N2
i1
K 1
（2）平均值的标准偏差：
K
N N K
Ni N 2
i1
KK1
拓：标准偏差σ是一个描述测量结果离散程度的参
量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。 理解： 若随机误差服从正态分布，在距平均值σ 处，
是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为1， σ越小，曲 线越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之 精密度越低。
2、误差来源 （1） 仪器误差 （2） 环境误差 （3） 测量方法误差 （4） 人员误差
3、 误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）
（1）系统误差—同一被测量的多次测量过程中，保持 恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量
特点：确定性 产生原因：仪器本身的缺陷、测量方法的不完 备、测量者的不良习惯等。
5、精密度、正确度与准确度（又称精确度） 精密度—反映随机误差（测量值离散程度） 正确度—反映系统误差（测量值偏离真值程度） 准确度—反映综合误差
(a)
正确度较高、 精密度低
(b)
精密度高、 正确度低
(c) 准确度高
§1.2测量结果误差估算及评定方法
对N进行K次测量，得N1，N2……Nk．用算术
N=f(x,y,z)
绝对误差 Nf xf yf z （1.4-3）
x
y
z
相对误差 Nln f xln f yln f z (1.4-4)
N x
y
z
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计 算绝对误差较方便
当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计 算相对误差较方便
二、 标准偏差的传递公式（方和根合成）
问:有了绝对误差，为什么还要引入相对 误差呢？
答:绝对误差反映的是误差本身的大小，但 它不能反映误差的严重程度。
例:两个绝对误差如下，哪个大,哪个严重？
2m
20m
我们不知道它们是在什么测量中产生的，所 以难以回答。
如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？
100米 跑道
地 月
2m 20m
注意：绝对误差大的，相对误差不一定大
P
N N N N
当系统误差、粗大误差已消除，随机误 差服从正态分布
范围
N—N
N2— N2
N3— N3
P
置信概率（包含真值的概 率）
68.3% 95.4% 99.7%
N N N N
3．不确定度
A类分量（用统计的方法计算）uＡ： N N
B类分量（用其他方法计算）uＢ：
uj
ins K
ins
测量
直接测量 间接测量
直接测量--指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系 的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；
间接测量--指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关 系经过计算从而得到被测量值的测量
二、 误差
1、误差的定义
测量误差=测量值-真值 NN测N真
N真是客观存在的但无法测得，因为测量与误差是形影不离的。
二、多次测量结果的误差估算及 评定程序：
1、求平均值 N 。
2、求 或 或 u。
3、表示结果。（例如用u， 则结果为 NNu）
NNu 今后我们约定结果写成：
式中 u 2 N2ins
这种表示方法的置信概率大约为95%左右
例（书P20）
§1.4间接测量结果误差的估算及评定 一、 一般的误差传递公式
第一章 测量误差及数据处理方法
§ 1.1测量与误差关系 § 1.2测量结果误差估算及评定方法 § 1.3直接测量结果误差估算及评定方法 § 1.4间接测量结果误差估算及评定方法 § 1.5 有效数字及其运算 § 1.6常用数据处理方法
一、 测量
测量：就是用一定的测量工具或仪器，通过 一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。
合成不确定度
或 u u A 2 u B 2 2 (N ) u 2 j 2 (N ) u 2 j
测量结果表示为： N u
相对不确定度： E u 100%
N
§1.3直接测量误差估算及评定
一、单次测量误差估算及评定
单次测量结果的误差估算常以测量仪 器误差来评定。 仪器误差： △ 已标明（或可明确知道）的误差
（2）随机误差—同一量的多次测量过程中，以不可
预知方式变化的测量误差的分量 特点:(a)测量次数不多情况下随机误差没有规律; (b)大量测量时随机误差服从统计规律。
很多服从正态分布，曲线下面积为1，曲线越窄，峰 越高，随机误差越小。用多次测量取平均的方法可 以减小随机误差。
产生原因：环境的影响等。
平均值：
N K 1N 1N 2 N i N kK 1i k1N i
作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。
1．算术平均偏差
K 1N 1 N N 2 N N i N N k N
1
K
K i1
Ni
N
结果可表示为： N
2．标准偏差（均方根偏差） （1）测量列的实验标准差：
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),用（1.4-8）较 方便
当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（N=x2y/z), 用（1.4-9）较方便