高中数学 1章末 精品同步导学 新人教B版必修5
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 本章小结》76
第一章解三角形综合小结教学目标知识和技能：1．对解三角形全章进行复习、整合．2．会利用正弦定理、余弦定理解三角形，并能判断三角形的形状，解决生活中有关三角形的实际问题，体验高考题．过程与方法：通过对正弦定理、余弦定理和三角形面积公式及公式应用范围的复习，使学生对必修五第一章解三角形的基本知识有了系统的把握，然后通过课本习题的变式训练，使学生能够把握定理适用范围，灵活运用运用定理解决问题情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验教学重点、教学难点重点：利用正弦定理、余弦定理解三角形，并能判断三角形的形状，解决生活中有关三角形的实际问题，体验高考题。
难点：对解三角形全章进行整合，体验高考题。
学法与教学用具正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。
同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。
直角板、投影仪教学过程2、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、、b、c成等比数列，且,则等于A 14B34C24D23题1：由正弦定理，，即，所以或又，所以，不可能为钝角，因此题2：因为△ABC中，a、b、c成等比数列，=ac,且c=则b= a，coB= ，故4AB=90CAD=︒，由余弦定理和三角形面积公式可求43sin1204⎧()222243cos30432y x y xy︒+-=221CAB ∴∠=。
人教B版高中数学必修5同步练习题及答案全册汇编最新
人B版高中数学必修5同步习题目录第1章1.1.1第一课时同步练习第1章1.1.1第二课时同步练习第1章1.1.2第一课时同步练习第1章1.1.2第二课时同步练习第1章1.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1第一课时同步练习第2章2.2.1第二课时同步练习第2章2.2.2第一课时同步练习第2章2.2.2第二课时同步练习第2章2.3.1第一课时同步练习第2章2.3.1第二课时同步练习第2章2.3.2第一课时同步练习第2章2.3.2第二课时同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1同步练习第3章3.1.2第一课时同步练习第3章3.1.2第二课时同步练习第3章3.2第一课时同步练习第3章3.2第二课时同步练习第3章3.3第一课时同步练习第3章3.3第二课时同步练习第3章3.4同步练习第3章3.5.1同步练习第3章3.5.2第一课时同步练习第3章3.5.2第二课时同步练习第3章章末综合检测人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.8381B.2393C.393D ．27 解析：选B.由比例的运算性质知a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，故a sin A ＝1332＝2393. 3．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形5．在△ABC 中，已知b ＝16，A ＝30°，B ＝120°，求边a 及S △ABC .解：由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝16×sin30°sin120°＝1633.又C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1633×16×12＝6433.1．在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC 等于( ) A.3 B ．2 C. 5 D. 6解析：选D.∠BAC ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB＝3×sin 45°sin 60°＝ 6.2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.3．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.4．三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2B ．152cm 2C ．8 cm 2D ．10 cm 2 解析：选A.设其夹角为θ，由方程得cos θ＝－35，∴sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝m ∶(m ＋1)∶2m ，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞2 B ．m ＜0C ．m ＞－12D ．m ＞12解析：选D.由已知和正弦定理可得：a ∶b ∶c ＝m ∶(m ＋1)∶2m .令a ＝mk ，b ＝(m ＋1)k ，c ＝2mk (k ＞0)，则a ，b ，c 满足三角形的三边关系，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a .得m ＞12.6．△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则△ABC 中最长的边是( )A ．aB ．bC ．cD ．b 或c解析：选A.cos B b ＝cos Cc，∴tan B ＝tan C ，∴B ＝C ， sin A a ＝cos B b ＝cos B a sin B sin A＝sin A ·cos Ba sin B，∴tan B ＝1，∴B ＝4＝π4，A ＝π2，故a 最长．7．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 68．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R (sin A －2sin B ＋sin C )sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：29．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2 310．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.11．已知△ABC 中，A 、B 、C 分别是三个内角，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且C ＝π3，求△ABC 面积S 的最大值．解：S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝3R 2sin A sin B ＝32R 2[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝32R 2[cos(A －B )＋12]． 当cos(A －B )＝1，即A ＝B 时，(S △ABC )max ＝334R 2＝334×144＝108 3.12．在平面四边形OAPB 中，∠AOB ＝120°，OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，且AB ＝23，求OP 的长．解：如图，在平面四边形OAPB 中，∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴O 、A 、B 、P 四点共圆．∴OP 的长就是四边形OAPB 外接圆的直径．∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 在△AOB 中，∠AOB ＝120°，AB ＝23，∴2R ＝AB sin ∠AOB ＝23sin 120°＝4，∴△AOB 外接圆的直径为4， 即OP 的长为4.人教B 版必修5同步练习1．(2011年开封高二检测)在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则∠A 的大小为( )A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°解析：选D.∵∠B 为锐角，又c sin B ＜b ＜c ，∴三角形有两解．4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π65．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a sin B ＝b sin A C ．a cos A ＝b cos B D ．a cos B ＝b cos A解析：选B.由正弦定理得：a sin A ＝b sin B，故a sin B ＝b sin A . 2．(2009年高考广东卷)已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3解析：选A.sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12，由正弦定理得b ＝asin A ·sin B ＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.4．(2011年青岛高二检测)在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB的取值范围是( )A ．[33，6]B ．(2,43)C ．(33，43]D ．(3,6]解析：选D.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin B sin A ＝3·sin Bsin π3＝23sin B ，AB ＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23sin B ＋23sin C ＝23(sin B ＋sin C )＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B )＝23(32sin B ＋32cos B )＝23×3(32sin B ＋12cos B )＝6sin(B ＋π6)，∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴AC ＋AB ＝6sin(B ＋π6)∈(3,6]．5．在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝60°，a ＝1，则最短边的边长是( )A.63B.62C.12D.32解析：选C.由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝12，∵∠B 最小，∴最小边是b .6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝csin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.7．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：328．(2011年盐城高二检测)在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝bsin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 39．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：010．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sinB sinC ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.11．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.12．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解：因为2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以B ＝60°，A ＋C ＝120°. 所以0°＜A ＜120°，0°＜C ＜120°.又因为a ＋2b ＝2c ，所以sin A ＋2sin B ＝2sin C ， 所以sin(120°－C )＋2sin60°＝2sin C ，所以3sin C －cos C ＝2，即sin(C －30°)＝22.又因为0°＜C ＜120°且sin(C －30°)＞0， 所以0°＜C －30°＜90°. 所以C －30°＝45°，C ＝75°.所以sin C ＝sin75°＝6＋24.人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b22ab＞0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C.∵cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． 2．如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k ＝8 3 B ．0＜k ≤12 C ．k ≥12 D ．0＜k ≤12或k ＝8 3 解析：选D.设AB ＝x ，由余弦定理得 122＝x 2＋k 2－2kx cos60°，化简得x 2－kx ＋k 2－144＝0，因为方程的两根之和x 1＋x 2＝k ＞0，故方程有且只有一个根，等价于k 2－4(k 2－144)＝0或k 2－144≤0，解得0＜k ≤12或k ＝8 3.3．在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，那么a 、b 、c 的关系是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋c ＝2bC ．b ＋c ＝2aD ．a ＝b ＝c解析：选B.cos 2C 2＝1＋cos C 2，cos 2A 2＝1＋cos A2，代入已知条件等式，得a ＋c ＋a cos C ＋c cos A ＝3b ，a ＋c ＋a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc＝3b ，整理，得a ＋c ＝2b .4．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________.解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°5．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A，得AB ＝sin Csin ABC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.1．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c .3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．4．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.5．已知△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ＝c 2－(a －b )2，则tan C2等于( )A.12B.14C.18D ．1 解析：选B.依题意知S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －2ab cos C ＝12ab sin C ，得sin C ＋4cos C ＝4，即2sin C 2cos C 2＋4(2cos 2C2－1)＝4，即2sin C 2cos C 2＋8cos 2C 2sin 2C 2＋cos 2C 2＝8，得2tan C 2＋8tan 2C 2＋1＝8.解得tan C 2＝14或tan C2＝0(舍去)．6．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°解析：选B.设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或618．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)9．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3. 答案：2 310．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝cb.由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ， 因此△ABC 为等边三角形．11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，c ＝3b .求： (1)ac的值； (2)cot B ＋cot C 的值．解：(1)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(13c )2＋c 2－2·13c ·c ·12＝79c 2，故a c ＝73.(2)cot B ＋cot C ＝cos B sin C ＋cos C sin B sin B sin C ＝sin (B ＋C )sin B sin C ＝sin Asin B sin C，由正弦定理和(1)的结论得sin A sin B sin C ＝1sin A ·a 2bc＝23·79c 213c ·c ＝1433＝1439，故cot B ＋cot C ＝1439.12．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.证明：法一：右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝a ·cos B －cos A ·b c＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b 2＋c 2－a 22bc·bc＝a 2＋c 2－b 2－b 2－c 2＋a 22c c ＝a 2－b 2c 2＝左边．法二：左边＝sin 2A －sin 2Bsin 2C＝1－cos 2A 2－1－cos 2B2sin 2C＝cos 2B －cos 2A 2sin 2C＝－2sin (B ＋A )sin (B －A )2sin 2C＝sin C ·sin (A －B )sin 2C ＝sin (A －B )sin C＝右边．人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案： 35．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析：选B.易知c 最小，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. 又∵0＜C ＜π，∴C ＝π6.2．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)解析：选C.因为a 是最大的边，所以A >π3.又a 2<b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，所以A <π2，故π3<A <π2.3．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.4．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 等于( ) A ．30° B ．60° C ．45°或135° D ．120°解析：选C.由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)， 得(a 2＋b 2－c 2)2＝2a 2b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±22，所以C ＝45°或135°.5．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π3解析：选C.由a 2＝b 2＋bc ＋c 2得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， 即b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，联想到余弦定理，∴cos A ＝－12，∴∠A ＝2π3.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.22解析：选B.由b 2＝ac ，又c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.7．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19. 答案：－198．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋(k －1)2－(k ＋1)2＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：789．设△ABC 中，AB →＝(1,2)，AC →＝(－x,2x )(x >0)．若△ABC 的周长为65时，则x 的值为________．解析：c ＝5，b ＝5x ，∴a ＝(5－x )5，由余弦定理得cos A ＝5x －12x ，又cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝35， ∴x ＝3011.答案：301110．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，求边c 的长． 解：由题意得a ＋b ＝5，ab ＝2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝25－4＝21， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21－2＝19. ∴c ＝19.11．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.12．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.人教B 版必修5同步练习1．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a 和cB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α解析：选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC 即可看作基线，在△ABC 中，能够测量到的边角分别为b 和α.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 解析：选B.利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×(－12)＝3a 2.∴AB ＝3a .3．在200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.4003 mB.40033mC.20033 mD.2003m解析：选A.如图，设塔高为AB ，山顶为C ，在Rt △CDB 中，CD ＝200，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BC ＝200cos30°＝40033.在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝120°，BC sin120°＝ABsin30°，∴AB ＝BC ·sin30°32＝4003(m)．4．一河两岸有A 、B 两地，为了测出AB 的距离，在河岸上选取一点C ，测得∠CAB ＝60°，∠ACB ＝45°，AC ＝60 m ，则AB ≈________.(精确到1 m)．解析：在△ABC 中，先由三角形的内角和定理求出∠B ，再由正弦定理求出AB . 答案：44 m5．已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°方向，甲船从A 点以50海里/小时的速度向B 航行，同时乙船从B 点以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？解：如图所示，设航行x 小时以后，甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC ＝100－50x (海里)(0≤x ≤2)，BD ＝30x (海里)，∠CBD ＝60°，由余弦定理得： CD 2＝(100－50x )2＋(30x )2－2(100－50x )·30x ·cos60° ＝4900x 2－13000x ＋10000， 作为二次函数考虑，当x ＝130002×4900＝6549(小时)时，CD 2最小，从而得CD 最小．故航行6549小时，两船之间距离最小．1．海面上有A ，B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成30°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063海里C ．5 2 海里D ．5 3 海里解析：选D.在由A ，B ，C 三岛组成的△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°， 所以BC ＝AB ·sin60°＝5 3.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：选B.∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，又∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝180°－80°2＝50°，又90°－50°－30°＝10°， ∴塔A 在塔B 的北偏西10°.3．如图，D 、C 、B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D 、C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1)mD ．5(3＋1) m解析：选D.在△ACD 中，由DC sin (45°－30°)＝ACsin30°得AC ＝10×12sin (45°－30°)＝56－24＝5(6＋2)．在△ABC 中，AB ＝AC ·sin45°＝5(6＋2)×22＝5(3＋1)．4. 如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角θ为2°，若θ的弧度数很小时，可取sin θ为θ的弧度数，由此可估计该气球的高BC 约为( )A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m解析：选B.由题意，知∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC .又圆的半径为3 m ，sin1°＝sinπ180≈π180，所以AC ≈3×180π，即BC ＝12AC ≈270π≈86 (m)．5．(2011年温州质检)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)．旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度为50秒，升旗手应以多少米/秒的速度升旗( )A.15B.35C.35D.65 解析：选B.∠ABC ＝180°－60°－15°＝105°， ∠CAB ＝180°－105°－45°＝30°.∴AB ＝BC sin ∠CAB ·sin ∠BCA ＝106sin 30°·sin 45°＝20 3.在Rt △OAB 中，OA ＝AB sin ∠ABO ＝203·sin 60°＝30.∴v ＝3050＝35(米/秒)．故选B.6．在某个位置测得某山峰的仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后，测得仰角为原来的2倍，继续在地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 m解析：选B.如图所示，在三角形ABC 中，BC ＝AC ＝600.在三角形ADC 中，DC ＝AD ＝2003，所以AD sin2θ＝AC sin (180°－4θ)＝ACsin4θ，所以2003sin2θ＝6002sin2θcos2θ，所以cos2θ＝32，2θ＝30°，所以在三角形ADE 中，AE ＝AD sin4θ＝2003×32＝300(m)．7．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．解析：如图所示，AB ＝60 km ，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝180°－30°－105°＝45°.由MB sin30°＝AB sin45°，得MB ＝30 2 km. 答案：30 2 km8.某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°.在C 处测得距C 为31里的公路上有一人正沿公路向A 城走去，走了20里之后，到达D 处，此时CD 间的距离为21里，问此人还要走__________里路可到达A 城．解析：在△CDB 中，由余弦定理得cos ∠DBC ＝DB 2＋BC 2－CD 22·DB ·BC ＝2331，∴sin ∠DBC ＝12331，∴sin ∠ACB ＝sin[π－(∠DBC ＋∠DAC )]＝sin(∠DBC ＋π3)＝35362，在△CAB 中，由正弦定理得AB ＝BC ·sin ∠ACBsin ∠CAB＝35，∴AD ＝35－20＝15. 答案：159．如图所示的是曲柄连杆结构示意图，当曲柄OA 在水平位置时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针旋转α角时，P 和Q 之间的距离为x ，已知OA ＝25 cm ，AP ＝125 cm ，若OA ⊥AP ，则x ＝________(精确到0.1 cm)．解析：x ＝PQ ＝OA ＋AP －OP ＝25＋125－252＋1252 ≈22.5(cm)． 答案：22.5 cm10．在2008年北京奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出．由经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问游击手在这种布置下能否接着球？解：假设游击手能接着球，接球点为B ，游击手从A 点跑出，本垒为O 点，球速为v ，如图所示，则∠AOB ＝15°，OB ＝v t ，AB ≤v t4.在△AOB 中，由正弦定理，得OB sin ∠OAB ＝ABsin15°，所以sin ∠OAB ＝OB sin15°AB≥v t v t 4·6－24＝6－ 2. 因为(6－2)2＝8－43>8－4×1.73>1， 即sin ∠OAB >1，所以∠OAB 不存在，即游击手不能接着球． 11．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是 3a n mile/h ，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解：如图，设经过t h 两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B， 得sin ∠CAB ＝BC sin BAC＝at ·sin120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°. 即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．12．(2011年济南调研)A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，在A 处看见塔在东北方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路的距离．解：如图所示，设BN ＝x，则PQ ＝x ，P A ＝2x ，∵AB ＝BC ，∴CM ＝2BN ＝2x ，PC ＝2PQ ＝2x . 在△P AC 中，由余弦定理，得： AC 2＝P A 2＋PC 2－2P A ·PC ·cos 75°，即4＝2x 2＋4x 2－42x 2·6－24，解得x 2＝2(4＋3)13.过P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，则线段PD 的长即为塔到直路的距离．在△P AC 中，由12AC ·PD ＝12P A ·PC sin 75°，得PD ＝P A ·PC ·sin 75°AC ＝22x 2·sin 75°2＝2·2(4＋3)13 ·6＋24＝7＋5313.故塔到直路的距离为7＋5313km.人教B 版必修5第1章章末综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011年福州高二检测)在△ABC 中，a ＝1，∠A ＝30°，∠B ＝60°，则b 等于( )A.32B.12C. 3 D ．2解析：选C.由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝1·sin60°sin30°＝ 3.2．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，∠A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解解析：选B.由a sin A ＝bsin B得sin B ＝100×sin45°80＝528＜1，又∵a ＜b ， ∴B 有两解．故三角形有两解．3．(2011年临沂高二检测)在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.c 2＝72＋82－2×7×8×1314＝9，∴c ＝3，∴B 最大．cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3解析：选A.由余弦定理cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠BAC ＝2π3.5．在△ABC 中，∠B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°解析：选 C.设最大角为∠A ，最小角为∠C .由∠B ＝60°得∠A ＋∠C ＝120°.根据正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝3＋12，所以2sin(120°－C )＝(3＋1)·sin C ，即3cos C ＋sin C＝3sin C ＋sin C ，所以tan C ＝1，又0°＜∠C ＜180°，所以∠C ＝45°，所以∠A ＝75°.6．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，∴23×12ab ·sin 60°＝a 2＋b 2－ab ，得2a 2＋2b 2－5ab ＝0， 即a ＝2b 或b ＝2a .当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2； 当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2. 故△ABC 为直角三角形． 7．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1523 mC ．15 3 mD ．45 m 解析：选B.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝180°－120°＝60°.∴AD ＝AC ·sin60°＝1532(m)．8．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A. 152B.15C ．2D ．3解析：选A.∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c .∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152.9．锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定 解析：选C.因为△ABC 为锐角三角形， 所以cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0， 所以b 2＋c 2－a 2＞0，a 2＋c 2－b 2＞0， a 2＋b 2－c 2＞0，所以1＋4－a 2＞0， a 2＋4－1＞0，a 2＋1－4＞0，即3＜a 2＜5，所以3＜a ＜ 5. 又c －b ＜a ＜b ＋c ，即1＜a ＜3.由⎩⎨⎧3＜a ＜5，1＜a ＜3.得3＜a ＜ 5.10．△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3解析：选C.2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33.11．在△ABC 中，下列结论：①a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.①a 2＞b 2＋c 2⇒b 2＋c 2－a 2＜0⇒b 2＋c 2－a 22bc＜0⇒cos A ＜0⇒A 为钝角⇒△ABC为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ⇒b 2＋c 2－a 2＝－bc ⇒b 2＋c 2－a 22bc ＝－12⇒cos A ＝－12⇒A ＝120°；③与①同理知cos C ＞0，∴C 是锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形． ④A ∶B ∶C ＝1∶2∶3⇒A ＝30°，B ＝60°，C ＝90° ⇒a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.12．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则ba的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，2)D ．(2，3)解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ＝sin2Asin A＝2cos A ，又∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝2A ＜90°A ＋2A ＞90°，∴30°＜A ＜45°，则ba＝2cos A ∈(2，3)．二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.解析：在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝cos120°＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ，即25＋AC 2－492×5×AC＝－12.解得AC ＝－8(舍去)或AC ＝3. 答案：3。
高中数学 1章高效整合 精品同步导学 北师大版必修5
• 数列是高考的必考内容：一般情况有以下两种形式： • (1)以选择、填空题考查等差、等比数列基本量的计算、等 差等比数列前n项和的相关计算，等差、等比数列及其前n项 和的性质． • (2)以解答题的形式考查数列与函数，向量，不等式的综合 题同时考查数列求通项和求和的方法．
• 数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式 一样，有解析式便可研究其性质，而有了数列的通项公式， 便可求出任何一项及前n项的和．现将求数列通项公式的几种 常见类型及方法总结如下：
由aa26＝＝48，， 可得ad1＝＝13，， ∴通项an＝3＋(n－1)×1＝n ＋2.
3．利用an与Sn的关系求an 数列的前n项和关系式有两种形式： (1)一种是Sn与n的关系式，即Sn＝f(n) 它可由公式an＝SS1n－n＝Sn1－1n≥2 直接求出an，但要注意 n＝1与n≥2两种情况是否统一． (2)另一种是Sn与an的关系式，记为f(an、Sn)＝0，求它 的通项公式an.
• 1．观察归纳法
• 观察归纳法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律 ，横向看各项之间的关系，纵向看各项与项数n的内在联系， 从而归纳出数列的通项公式．
•
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式
：
(1)12，45，190，1167，…； (2)1，－13，17，－115，311，…； (3)34，78，1156，3312，…； (4)21,203,2 005,20 007，…； (5)0.2,0.22,0.222,0.222 2，…； (6)1，32，13，54，15，76，….
• 1．数列的概念和简单表示法 • (1)了解数列的概念和几种简单的表示法(列表、图像、通项 公式)． • (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数． • 2．等差数列、等比数列 • (1)理解等差数列、等比数列的概念． • (2)掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式． • (3)能在具体情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用 相关知识解决相应的问题． • (4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．
人教B版高中数学必修五新课标同步导学精品课件
叫做 的过程
• 画三角形使得a＝14，b＝16，∠A＝45°，你 能画出几个？
• 【提示】 作45°角为∠A，在∠A的一边上 取一点C，使AC＝16，以点C为圆心，以14为 半径画弧，因为16sin 45°＝8＜14，所以能作 出两个三角形．
• 已知两角和一边解三角形
• 已知在△ABC中，c＝10，∠A＝45°，∠C＝ 30°，求a，b和∠B.(精确到1)
• ④在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.
• 其中正确的个数是( )
• A．1
B．2
• 2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是
()
• A．直角三角形
B．等腰三角形
• C．锐角三角形
D．钝角三角形
• 【答案】 B
• 3．在△ABC中，a＝2，b＝6，∠A＝30°，则 ∠A＝________.
∵A→C＝A→B＋B→C， ∴i·A→C＝i·(A→B＋B→C) ＝i·A→B＋i·B→C＝i·B→C， ∴bcos(90°－∠CAB)
＝acos(90°－B)，得 bsin∠CAB＝asinB， 即sin∠aCAB＝sibnB.同理可证sibnB＝sincC， ∴sin∠aCAB＝sibnB＝sincC， ∴对于锐角三角形 ABC，有sianA＝sibnB＝sincC， 当△ABC 为钝角三角形时，类似地可证．
2．正弦定理的变形形式 设三角形的三边长为 a，b，c，外接圆半径为 R，正弦 定理有如下变形： (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. (2)sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR. (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC. (4)sianA＝sibnB＝sincC＝sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC.
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 1.1.2 余弦定理》8
余弦定理一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。
通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。
二、学生学习情况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。
三、设计思想新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。
本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
四、教学目标继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。
通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。
五、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。
人教B版人教B版高中数学必修五第1章 1.1 第2课时
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第1章 1.1 第2课时基础巩固基础巩固一、选择题1．在△ABC中，已知b＝6，A＝60°，C＝15°，则()A．a＝4 2 B．a＝4 3C．a＝92－ 6 D．a＝92－3 62．△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是() A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°B．a＝30，b＝25，∠A＝150°C．a＝7，b＝8，∠A＝98°D．a＝14，b＝16，∠A＝45°3．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC 的面积为()A．18 3 B．18 2C．9 3 D．9 24．不解三角形，确定下列判断中正确的是()A．a＝7，b＝14，∠A＝30°，有两解B．a＝30，b＝25，∠A＝150°，有一解C．a＝6，b＝9，∠A＝45°，有两解D．b＝9，c＝10，∠B＝60°，无解5．△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，则B＝()A．105°B．60°C．15°D．105°或15°6．在钝角三角形ABC中，若sin A<sin B<sin C，则()A．cos A·cos C>0B．cos B·cos C>0C．cos A·cos B>0D．cos A·cos B·cos C>0二、填空题7．在△ABC中，a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝________.8．已知三角形的两角分别是45°、60°，它们夹边的长是1，则最小边长为________．三、解答题9．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝6，判断三角形解的情况．10．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，求△ABC的面积．能力提升一、选择题1．在△ABC中，A>B，则下列等式中不一定正确的是()A．sin A>sin B B．cos A<cos BC．sin2A>sin2B D．cos2A<cos2B2．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A 、B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3二、填空题3．(2010·山东理)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．4．在△ABC 中，a ：b ：c ＝：：5，则2sin A －sin Bsin C的值为________．三、解答题5．(2010·大纲全国卷Ⅰ)已知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足a ＋b ＝a cot A ＋b cot B ，求内角C .6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．7．已知△ABC 的面积为3－3，B ＝60°，又最大角与最小角的正切值恰为方程x 2－3x ＋2＝3(x －1)的根，求△ABC 的另外两个角和三条边．[分析] 首先利用根与最大、最小角的关系解出A 、C ，再用正弦定理a sin A ＝c sin C 及面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 建立关于a 、c 的方程使问题迎刃而解．1[答案] D[解析]∵A＝60°，C＝15°，∴B＝180°－60°－15°＝105°.由正弦定理，得a＝b sin Asin B＝6×sin60°sin105°＝6×sin60°sin75°.又sin75°＝sin(45°＋30°)＝22×32＋22×12＝6＋24，∴a＝6×3 26＋2 4＝336＋24＝92－36，故选D.2[答案] D[解析]A中已知两角与一边，有唯一解，B中，a>b，且∠A＝150°，也有唯一解，C中b>a，且∠A＝98°为钝角，故解不存在，D 中由于b·sin45°<a<b，故有两解．3[答案] C[解析]∵∠A＝30°，∠B＝120°，∴∠C＝180°－30°－120°＝30°，∴BC＝AB＝6，∴S△ABC＝1 2BA·BC·sin B＝12×6×6×32＝9 3.4[答案] B[解析]b sin A＝14sin30°＝7＝a有一解，故A错；A＝150°为钝角，b＝25<30＝a，故有一解，∴B对；b sin A＝9sin45°＝922，∵922>6，∴b sin A>a，故无解．∴C错；c sin B＝10sin60°＝53<9，∴c sin B<b<c，故有两解．∴D错．5[答案] D[解析] ∵a sin A ＝csin C ，∴52sin30°＝10sin30°，∴sin C ＝22，∵c >a ，c sin A ＝5<52＝a ，∴角C 有两解． ∵C ＝45°或135°，∴B ＝105°或15°. 6[答案] C[解析] ∵sin A <sin B <sin C ， ∴a 2R <b 2R <c2R，a <b <c ， 又△ABC 为钝角三角形，∴∠C 为钝角．∴cos A >0，cos B >0，故选C. 7[答案] 36－12 6[解析] 由正弦定理得，asin60°＝12－a sin45°，解之得a ＝36－12 6. 8[答案]3－1[解析] 不妨假定△ABC 内角A ＝45°，B ＝60°，则C ＝75°. ∵C >B >A ，∴最小边长为a . ∵c ＝1，∴由正弦定理得， a ＝c ·sin A sin C ＝1×sin45°sin75°＝3－1.∴最小边长为3－1.9[解析] 解法一：由题意知：c sin A ＝4·sin60°＝23， ∵23>6，∴c sin A >a ，∴此题无解． 解法二：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin Aa ＝4·326＝2>1，∴此题无解．10[解析]由正弦定理，得c＝a sin Csin A＝1×sin45°sin30°＝2212＝2，又B＝180°－A－C＝105°，∴S△ABC＝12ac sin B＝12×1×2×sin105°＝12×1×2×sin(30°＋45°)＝12×1×2×2＋64＝3＋14.能力提升1 [答案] C[解析]由A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，∴A成立．又y＝cos x在[0，π]上为减函数，∴A>B⇒cos A<cos B，∴B成立．∵cos2A<cos2B⇔1－2sin2A<1－2sin2B⇔sin2A>sin2B ⇔sin A>sin B，∴D成立，故选C.2[答案] C[解析]∵m·n＝0，∴3cos A－sin A＝0，∴tan A＝3，又∵0<A<π，∴A＝π3.又∵a cos B＋b cos A＝c sin C，由正弦定理，得sin A cos B＋sin B cos A＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，∴sin C＝sin2C，∵sin C≠0，∴sin C＝1，∴C＝π2，∴B＝π6.3[答案]π6[解析] ∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝1. 又0<B <π， ∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12. 又a <b ，∴A <B ，故A ＝π6.4[答案] －15[解析] ∵a ：b ：c ＝1：3：5，∴b ＝3a ，c ＝5a . 由正弦定理得sin B ＝3sin A ，sin C ＝5sin A ， ∴2sin A －sin B sin C ＝2sin A －3sin A 5sin A ＝－15.5[解析] 由a ＋b ＝a cot A ＋b cot B 及正余弦定理，得 sin A ＋sin B ＝cos A ＋cos B ， sin A －cos A ＝cos B －sin B ，从而sin A cos π4－cos A sin π4＝cos B sin π4－sin B cos π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B ， 又0<A ＋B <π，故A －π4＝π4－B ，A ＋B ＝π2，∴C ＝π2.6[解析] (1)∵角A 、B 、C 为△ABC 的内角，且B ＝π3，cos A ＝45，∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.(2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又∵B ＝π3，b ＝3，∴在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝65. ∵△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.7[解析] 假设A 角最小，C 角最大，由方程x 2－3x ＋2＝3(x －1)解得两根x 1＝1，x 2＝3＋2，则tan A ＝1，tan C ＝3＋2.∴A ＝45°，C ＝75°. 又∵S ＝3－3＝12ac sin B ＝34ac ，即ac ＝4(3－1)．将A ＝45°，C ＝75°代入a sin A ＝csin C ，得2a ＝(6－2)c ，由⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝4(3－1)2a ＝(6－2)c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2(3－1)c ＝2.又由正弦定理，得b ＝a sin Bsin A＝32－6，∴△ABC 另外两角为45°和75°，三边分别为2(3－1)，32－6和2.。
高中数学 1章末 精品课件同步导学 新人教B版必修5
【解析】 设 E 为 BC 的中点，连接 DE， 1 2 6 则 DE∥AB，且 DE＝ AB＝ ， 2 设 BE＝x，在△BDE 中，利用余弦定理可得 BD2＝BE2＋ED2－2BE· EDcos∠BED，
8 2 6 6 5＝x ＋ ＋2× × x， 3 3 6
2
7 解得 x＝1 或 x＝－ (舍去)． 3 故 BC＝2，从而 28 AC ＝AB ＋BC －2AB· BCcos∠ABC＝ ， 3
在△ABC 中，已知 b＝6 3，c＝6，∠C＝30° ，求 a.
b c bsinC 3 【解析】 由正弦定理得 ＝ ，sinB＝ ＝ . sinB sinC c 2 因为 b＞c，所以∠B＞∠C＝30° ，所以∠B＝60° 或∠B ＝120° ， csinA 当∠B＝60° 时，∠A＝90° ，则 a＝ ＝12. sinC csinA 6sin30° 当∠B＝120° 时，∠A＝30° ，则 a＝ ＝ ＝6. sinC sin30° 所以 a＝6 或 a＝12.
四、几何计算 求解三角形中的几何计算问题，要首先确定与未知量之 间相关联的量，利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 1 1 1 S△ABC＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA 及平面几何知识来解决． 2 2 2
•
如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9
，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
π 3．在△ABC 中，a ＋b ＜c ⇔ ＜∠C＜π，a2＋b2＝c2 2
2 2 2
π π 2 2 2 ⇔cosC＝0⇔∠C＝ ，a ＋b ＞c ⇔cosC＞0⇔0∠C＜ . 2 2
4 已知△ ABC 中， cosA ＝ ，且 (a －2)∶b∶(c ＋2) ＝ 5 1∶2∶3，试判断三角形的形状．
2012新课标同步导学数学(人教B)必修5：1章末 课后练习
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)一、选择题(每题5分，共50分)1．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 ∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14＜0.则△ABC 是钝角三角形． 【答案】 A2．(2009广东高考)已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c 若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( ) A ．2 B ．4＋2 3 C ．4－2 3D.6－ 2【解析】 △ABC 中，易知∠B ＝30°，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos 30°，∴b 2＝2(6＋2)2－2(6＋2)2×32＝(2－3)(6＋2)2＝4(2＋3)(2－3)＝4，∴b ＝2， 【答案】 A3．在△ABC 中，若sin ∠A ＞sin ∠B ，则∠A 与∠B 的大小关系为( ) A ．∠A ＞∠B B ．∠A ＜∠BC ．∠A ≥∠BD ．∠A 、∠B 的大小关系不能确定【解析】 由正弦定理a b ＝sin Asin B，∵sin A ＞sin B ，∴a ＞b ，又在三角形中大边对大角， ∴∠A ＞∠B . 【答案】 A4．在锐角△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝2，△ABC 的面积为23，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4 【解析】 由S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝23，得sin A ＝32.∵A 是锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝12.∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos<AB →，AC →>【答案】 C5．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不能确定【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b ·sin A a ＝24sin44°18＜1.∵b ＞a ，∴此三角形有两解． 【答案】 B6．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A 的值为( )A.8381B.2633C.2339 D ．27【解析】 ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ·sin60°.∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－4＝13. ∴a sin A ＝13sin60°＝2339. 【答案】 C7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(3b －c )cos A ＝a ·cos C ，则cos A 的值等于( )A.32 B.33 C.34D.36【解析】 由正弦定理得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ⇒3sin B cos A ＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos A ＝33，故选B. 【答案】 B8．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积为( )A ．2B ．3 C.152D.15【解析】 由b 2－bc －2c 2＝(b ＋c )(b －2c )＝0，得b ＝2c . 由余弦定理(6)2＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c ×78，故S △ABC ＝12bc sin A ＝152.【答案】 C9．在400 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( ) A.8003 m B.80033 mC.40033mD.4003m 【解析】 如图所示，∵AB ＝400 m ， ∴BC ＝400sin 60°＝8003(m)，又BD ＝DC ，∴D ＝120°，∴CD ＝12BC ·1cos 30°＝8003(m)．【答案】 A10．△ABC 中，∠A ∶∠B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把三角形面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )A.13 B.12 C.34D ．0 【解析】 因为CD 是∠ACB 的平分线， 所以S △ACD S △BCD ＝12AC ·CD ·sin∠ACB 212BC ·CD ·sin ∠ACB2＝AC BC ＝sin B sin A ＝32. 因为∠B ＝2∠A ，所以sin B sin A ＝sin2A sin A ＝2cos A ＝32.所以cos A ＝34.【答案】 C二、填空题(每题5分，共20分)11．(2009年盐城高二检测)△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠A ＝60°，ab＝3，则∠B 的度数为________． 【解析】 由正弦定理得：a b ＝sin A sin B ＝sin60°sinB＝3，∴sin B ＝12，∴∠B ＝30°或150°，又∵∠A ＝60°，∴∠B ＝150°(舍去)，∴∠B ＝30°. 【答案】 30°12．在△ABC 中，A ，B ，C 分别是三个内角，a ，b ，c 为对边，已知22(sin 2A －sin 2C )＝(a －b )sin B ，△ABC 的外接圆的半径为2，则角C ＝________.【解析】 ∵22(sin 2A －sin 2C )＝(a －b )sin B ，又2R ＝22，∴由正弦定理得22⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫c 2R 2＝(a －b )b 2R. ∴a 2－c 2＝ab －b 2，∴a 2＋b 2－c 2＝ab .结合余弦定理，得 2ab cos C ＝ab .∴cos C ＝12，又∵0＜C ＜π.∴C ＝π3.【答案】 π313．在△ABC 中，∠A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2 cm ，BC ＝2 3 cm ，则△ABC 的面积为________．【解析】 ∵3sin A ＋cos A ＝1， ∴2sin(A ＋π6)＝1，∴∠A ＋π6＝5π6，即∠A ＝2π3.又由正弦定理可知BC sin A ＝ABsin C ，∴sin C ＝AB sin ABC ＝2×3223＝12，∴∠C ＝π6，从而∠B ＝π6.故S △ABC ＝12AB ·BC sin B＝12×2×23×12＝3(cm 2)． 【答案】3 cm 214．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°的方向上，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为____km.【解析】 如图，由已知条件，得AC ＝60 km ，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∠ABC ＝45°. 由正弦定理，得BC ＝AC ·sin ∠BAC sin ∠ABC ＝302(km)．【答案】 30 2三、解答题(共4个小题，50分)15．(12分)已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，∠B ＝60°，求边c 及S △ABC . 【解析】 由余弦定理知， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，即12＝64＋c 2－4916c， ∴c 2－8c ＋15＝0， ∴c ＝3或c ＝5.当c ＝3时，S △ABC ＝12ac sin B＝12×8×3×32＝63； 当c ＝5时，S △ABC ＝12ac sin B＝12×8×5×32＝10 3. 16．(12分)(2009天津高考)在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BCsin A .于是AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理， 得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 17．(12分)(2009辽宁高考)如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449)．【解析】 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 km.故B ，D 的距离约为0.33 km.18．(14分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足b 2＝ac ，cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求三边a 、b 、c 的长度．【解析】 (1)由cos B ＝34可得，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵b 2＝ac ，∴根据正弦定理可得sin 2B ＝sin A sin C . 又∵在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋cos C sin Asin A sin C＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得|BA →|·|BC →|＝32得|BA →|·|BC →|cos B ＝ca cos B ＝32，又∵cos B ＝34，∴b 2＝ca ＝2，又由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2.得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3ac ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1， 又∵b 2＝ca ＝2，∴b ＝ 2.∴三边a ，b ，c 的长度分别为1，2，2或2，2，1.。
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∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是
sin∠BAD＝－sin∠ABC＝190.
同理，在△ABD 中，AB＝5，sin∠BAD＝190，∠ADB＝
四、几何计算 求解三角形中的几何计算问题，要首先确定与未知量之 间相关联的量，利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA 及平面几何知识来解决．
• 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9 ，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
• 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向的B处 ，距A有9海里，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行 驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多 少小时能最快追上乙船？(精确到度)
【解析】 假设用 t 小时，甲船在 C 处追上乙船， 在△ABC 中， AC＝28t，BC＝20t，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°， 由余弦定理， 得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC， 即(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×－21， 整理，得 128t2－60t－27＝0， 即(4t－3)(32t＋9)＝0. ∴t＝43或 t＝－392(舍去)，
已知△ABC 中，cosA＝45，且(a－2)∶b∶(c＋2)＝ 1∶2∶3，试判断三角形的形状．
【解析】 令a－1 2＝2b＝c＋3 2＝k， 则 a＝k＋2，b＝2k，c＝3k－2， 又 cosA＝45，由 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝54， 得 k＝0(舍去)或 k＝4. 此时，a＝6，b＝8，c＝10. ∴c2＝a2＋b2，∴△ABC 为直角三角形．
【解析】 设 E 为 BC 的中点，连接 DE， 则 DE∥AB，且 DE＝21AB＝236， 设 BE＝x，在△BDE 中，利用余弦定理可得 BD2＝BE2＋ED2－2BE·EDcos∠BED，
5＝x2＋83＋2×236× 66x， 解得 x＝1 或 x＝－73(舍去)． 故 BC＝2，从而
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝238，
• 从近几年高考命题的形式看，本节知识是高考必考内容． • 1．内容上重点为正弦定理及三角形的面积公式，考题灵活 多样． • 2．题型方面选择和填空题型以考查用正、余弦定理解三角 形为主，难度不大，有时与其他知识综合命题，涉及了数列 内容．解答题型主要与三角函数相结合实现边角互化或用以 解决实际问题，难度中等． • 3．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．
即 AC＝2 321，又 sin∠ABC＝ 630，
2 21
故si2nA＝
3 30
，sinA＝
70 14 .
6
• 三、判断三角形的形状 • 判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统 一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角 的关系，用三角知识求解，在解三角形时常用的结论有：
1．在△ABC 中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sinA＞sinB ⇔cosA＜cosB. 2．在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝π，∠A＋∠B＝π－ ∠C，∠A＋2 ∠B＝π2－∠2C，则 cos(A＋B)＝－cosC.sin(A＋B) ＝sinC，sinA＋2 B＝cosC2. 3．在△ABC 中，a2＋b2＜c2⇔π2＜∠C＜π，a2＋b2＝c2 ⇔cosC＝0⇔∠C＝π2，a2＋b2＞c2⇔cosC＞0⇔0∠C＜π2.
• 一、正弦定理的应用
• 正弦定理主要有两方面的应用：一是已知三角形的任意两 个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另 一个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；二是已知 三角形的任意两边与其中一边的对角，应用正弦定理，可以 计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其 他的边和角，值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一 边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不唯一，可结合三 角形中大边对大角的性质或结合图形来判断解的个数．
45°，
解得
BD＝9 2
2 .
• 五、正、余弦定理的实际应用
• 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用． 常见的测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，解决 的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意 图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪 个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注 意近似计算的要求．
• 1．正弦定理和余弦定理 • (1)了解正弦定理的几何意义，了解余弦定理的几种变形公 式． • (2)掌握正弦定理及正弦定理的推导，掌握余弦定理及余弦 定理的推导． • (3)会利用正、余弦定理解决一些简单的正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问题． • (2)通过定理的推导和应用，培养分析、综合、归纳等思维 能力，渗透数形结合、化归等数学思想，以及从特殊到一般 、类比等方法．
在△ABC 中，已知 b＝6 3，c＝6，∠C＝30°，求 a.
【解析】
由正弦定理得sibnB＝sincC，sinB＝bsicnC＝
3 2.
因为 b＞c，所以∠B＞∠C＝30°，所以∠B＝60°或∠B
＝120°，
当∠B＝60°时，∠A＝90°，则 a＝cssiinnCA＝12.
当∠B＝120°时，∠A＝30°，则 a＝cssiinnCA＝6ssiinn3300°°＝6. 所以 a＝6 或 a＝12.
• 二、余弦定理的应用 • 余弦定理有三个方面的应用：一是已知三角形的两边和它 们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角 ；二是已知三角形的三边求三角；三是利用余弦定理列方程 ．
在△ABC 中，已知 AB＝436，cos∠ABC＝ 66，AC 边 上的中线 BD＝ 5，求 sinA 的值．