乘2列联表练习题
高中数学 《独立性检验》2×2列联表课件 新人教A版选修2
无效
40 31 71
合计
98 95 193
例3：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研 究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进 行对比，所得数据如图所示，问：它们的疗效 有无差异
复方江剪刀草 有效 184 无效 61 合计 245
胆黄片
合计
91
275
9
70
100
H0： 吸烟和患呼吸道疾病之间没有关系
吸烟与呼吸道疾病列联表 患呼吸道疾 不患呼吸道 病 疾病 吸烟 不吸烟 总计 a c a+c b d b+d
总计 a+b c+d a+b+c+d
a 吸烟的人中患肺癌的比例： a b c 不吸烟的人中患肺癌的比例： cd
若H0成立
a c ≈ , a+b c+d
未感冒
使用血清 未使用血清 258 216
感冒
242 284
合计
500 500
合计
474
526
1000
例2：为研究不同的给药方式（口服与注射） 和药的效果（有效与无效）是否有关，进行 了相应的抽样调查，调查的结果列在表中， 根据所选择的193个病人的数据，能否作出 药的效果和给药方式有关的结论？
有效
问题1：判断的标准是什么？ 吸烟与不吸烟，患病的可能性的大小是否有差异？ 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异， 吸烟者患肺癌的可能性大
问题2：差异大到什么程度才能作出“吸烟与患 病有关”的判断？ 问题3：能否用数量刻画出“有关”的程度？
独立性检验
通过数据和图表分析，得到 结论是：吸烟与患呼吸道疾 病有关 结论的可靠 程度如何？
新高考数学复习基础知识专题讲义22 回归方程和2×2联表(解析版)
新高考数学复习基础知识专题讲义 知识点22 回归方程和2×2联表知识理解 一．线性关系 1．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关． 2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程： 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程，其中是待定参数． 的计算公式.注意：回归方程必过样本中心(x,y)，这也是做小题的依据和检验所求回归方程是否正确。
(3)相关系数：当r ＞0时，表明两个变量正相关； 当r ＜0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 二．独立性检验y bx a =+1122()()()n n x y x y x y ，，，，，，a b 、a b 、1122211()()()()nni i i ii i n ni ii i x x y y x y nx yb x x xn x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑(1)2×2列联表设X ，Y 为两个变量，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：(2)独立性检验利用随机变量K 2(也可表示为χ2)的观测值22n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)-=++++(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．考向一 一次线性关系【例1-1】（2021·山东高三专题练习）某工厂的每月各项开支x 与毛利润y （单位：万元）之间有如下关系，y 与x 的线性回归方程 6.5y x a =+，则a =（ ）A ．17.5B ．17C ．15D ．15.5 【答案】A【解析】由题意，根据表中的数据，可得2456855x ++++==，3040605070505y ++++==，即样本中心为(5,50)，代入y 与x 的线性回归方程为 6.5y x a =+，解得17.5a =.故选：A . 【例1-2】（2021·全国高三专题练习）西尼罗河病毒（WNV ）是一种脑炎病毒，WNV 通常是由鸟类携考向分析带，经蚊子传播给人类．1999年8-10月，美国纽约首次爆发了WNV 脑炎流行．在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV 的复制，抑制其对细胞的致病作用．现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了提高生产效率，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x （千克）和利巴韦林含片产量y （百盒）的统计数据如下：由相关系数r 可以反映两个变量相关性的强弱，||[0.75,1]r ∈，认为变量相关性很强；||[0.3,0.75]r ∈，认为变量相关性一般；||[0,0.25]r ∈，认为变量相关性较弱． （1）计算相关系数r ，并判断变量x 、y 相关性强弱；（2）根据上表中的数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？ 25.69≈．参考公式：相关系数()()niix x y y r--=∑ˆˆˆybx a =+中，()()()121niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（1）0.97r =≈，x 与y 具有很强的相关性；（2）54.2千克． 【解析】（1）1(12345)35x =⨯++++=，()11620232526225y =⨯++++=， ()()51(13)(1622)(23)(2022)(33)(2322)ii i xx y y x =--=-⨯-+--+-⨯-∑(43)(2522)(53)(2622)25+-⨯-+-⨯-=，()52222221(13)(23)(33)(43)(53)10i i x x =-=-+-+-+-+-=∑，()522221(1622)(2022)(2322)i i y y =-=-+-+-∑22(2522)(2622)66+-+-=，则()()50.97iix x y y r --==≈∑ 所以x 与y 具有很强的相关性．（2）由（1）得，()()()5152125ˆ 2.510iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑， ˆˆ22 2.5314.5ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5yx =+． 当150y =（百盒）时，54.2x =（千克）故要使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入54.2千克利巴韦林． 【举一反三】1．（2021·全国高三专题练习）某工厂某产品产量x (千件)与单位成本y (元)满足回归直线方程77.36 1.82y x =-,则以下说法中正确的是( )A ．产量每增加1000件,单位成本约下降1.82元B ．产量每减少1000件,单位成本约下降1.82元C ．当产量为1千件时,单位成本为75.54元D ．当产量为2千件时,单位成本为73.72元 【答案】A【解析】令()77.36 1.82f x x =-,因为(1)()77.36 1.82(1)77.36 1.82 1.82f x f x x x +-=-+-+=-, 所以产量每增加1000件,单位成本约下降1.82元.2．（2021·安徽省六安中学高三开学考试）“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程ˆ0.35ymx =+，则预测2019年捐赠的现金大约是( )A ．5万元B ．5.2万元C ．5.25万元D ．5.5万元 【答案】C【解析】由已知得，3456 2.534 4.54.5, 3.544x y ++++++====，所以样本点的中心点的坐标为(4.5,3.5)，代入ˆ0.35ymx =+， 得3.5 4.50.35m =+，即0.7m =，所以ˆ0.70.35yx =+， 取7x =，得ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=， 预测2019年捐赠的现金大约是5.25万元.3．（2021·全国高三专题练习）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验、某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：(1)请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年2月份的市场占有率；(3)根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A、B两款车型报废年限各不相同，考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据、如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：621()17.5ii x x =-=∑，61()()35i i i x x y y =--=∑36.5≈参考公式：相关系数C ；回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中121()()ˆ()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- 【答案】（1）散点图见解析，可用线性回归模型拟合两变量之间的关系；（2）ˆ29y x =+，23%；（3）应选择B 款车型.【解析】(1)散点图如图所示，111316152021166y +++++==，∴621()76i i y y =-=∑，∴()()350.9636.5niix x y y r --====≈∑，∴两变量之间具有较强的线性相关关系， 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系；(2)121()()35217.5()ˆniii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑，又1234563.56x +++++==， ∴ˆˆ162 3.59ay bx =-=-⨯=，∴回归直线方程为ˆ29y x =+； ∴2020年2月的月份代码7x =，∴27923y =⨯+=， ∴估计2020年2月的市场占有率为23%；(3)用频率估计概率，A 款单车的利润X 的分布列为：∴()5000.100.35000.410000.2350E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(元)，B 款单车的利润Y 的分布列为：∴()3000.152000.47000.3512000.1400E Y =-⨯+⨯+⨯+⨯=(元)， 以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B 款车型.4．（2021·全国高三专题练习）近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心.某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，，统计结果如下表：（1）请根据上表提供的数据，用相关系数r 说明y 与x 的线性相关程度，线性相关系数保留三位小数.（统计中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱.若相应于变量x 的取值i x ，变量y 的观测值为i y (1i n ≤≤)，则两个变量的相关系数的计算公式为：.统计学认为，对于变量，如果[]1,0.75r -∈-，那么负相关很强;如果[]0.751r ∈，，那么正相关很强;如果(]0.75,0.30r ∈--或[)0.30,0.75r ∈，那么相关性一般;如果[]0.25,0.25r ∈-，那么相关性较弱）；（2）求出关于x 的线性y 回归方程，并预测2020年该网站“双11”当天的交易额.参考公式：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-43.1≈. 【答案】（1）0.998；变量y 与x 的线性相关程度很强；（2）ˆ 4.3 4.1yx =+；29.9百亿元. 【解析】（1）由题意，根据表格中的数据， 可得：1(12345)35x =++++=，1(912172126)175y =++++=，则1()()(13)(917)(53)(2617)43niii x x y y =--=--++--=∑，43.1=≈，所以()()430.99843.1niix x y y r --==≈∑ 所以变量y 与x 的线性相关程度很强.（2）由（1）可得3x =，17y =，1()()43niii x x y y =--=∑，又由2221222(13)(23)(3(3)(43)(53)1)0nii x x ==-+-+-+-+-=-∑，所以121()()43 4.30)ˆ1(niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑，则ˆˆ17 4.33 4.1a y bx=-=-⨯=， 可得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 4.3 4.1y x =+ 令6x =，可得ˆ 4.36 4.129.9y=⨯+=， 即2020年该网站“双11”当天的交易额29.9百亿元.考向二 独立性检验【例2】（2021·江苏泰州市·高三期末）2021年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲､乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A ”､“B ”､“C ”三个等级，A ､B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如下表所示：(表一)(表二)在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销.（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？（2）每件玩具的生产成本为30元，A ､B 等级产品的出厂单价分别为60元､40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A 等级，用样本的频率估计概率，试判断甲､乙两厂能否都能盈利，并说明理由.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关；（2）甲厂能盈利，乙不能盈利，理由见解析. 【解析】（1）2×2列联表如下()2220075352565 2.38 3.84110010014060K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关.（2）甲厂10件A 等级，65件B 等级，25件次品， 对于甲厂，单件产品利润X 的可能取值为30，10，34-.X 的分布列如下：()3010341010204E X ∴=⨯+⨯-⨯=>， ∴甲厂能盈利，对于乙厂有10件A 等级，55件B 等级，35件次品， 对于乙厂，单位产品利润Y 的可能取值为30，10，34-，Y 分布列如下：()30103401020205E Y ∴=⨯+⨯-⨯=-<，乙不能盈利. 【举一反三】1．（2021·山东高三专题练习）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2021年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”．（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表其中，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++【答案】（1）列联表见解析，有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为0.3．【解析】（1）补全的列联表如下：于是100a =，20b =，60c =，20d =，∴22200(100206020) 2.083 2.0721208016040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． （2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为20100%10%200⨯=， 即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵~(3,0.1)X B ，0,1,2,3X =∴3(0)(10.1)0.729P X ==-=，(1)0.243P X ==(2)0.027P X ==，3(3)0.10.001P X ===，∴X 的分布列为E X=⨯=．∴X的数学期望()30.10.3【举一反三】1．（2021·全国高三专题练习）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21 改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36 （1）完成下面的列联表，并判断能否有99％的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异?（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为T天(即从开工运行到第kT天，k∈N*)进行维护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元／次；保障维护费第一次为0.2万元／周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4．以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）见解析，有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）见解析；均值为2.275万元. 【解析】（1）列联表为：()224055151510 6.63520202020K ⨯-⨯∴==>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14P =. 设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ，则1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭；一个生产周期内的正常维护费为0.542⨯=万元，保障维护费为()()20.210.10.12ξξξξ⨯+=+万元.∴一个生产周期内需保障维护ξ次时的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元.设一个生产周期内的生产维护费为X ，则X 的所有可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4.()4181214256P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ()31411272.214464P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ()222411272.6144128P X C ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3341133.214464P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()41144256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以，X 的分布列为()2 2.2 2.6 3.242566412864256E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 162237.6140.438.44582.4 2.275256256++++===∴一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元.2．（2021·四川成都市·高三一模）一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面22⨯列联表：（1）根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系；（2）分布列见解析；期望为23． 【解析】（1）由题中22⨯列联表，可得()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系． （2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人， 男性人数为106230⨯=人；女性人数为206430⨯=人． 由题，随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．()022426620155CC P C ξ====，()1124268115C C P C ξ===，()2024261215C C P C ξ===， ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望()28110201251515153E ξ=⨯+⨯+⨯==． 考向三 非一次性回归方程【例3-1】（2021·全国高三专题练习）在一项调查中有两个变量x 和y ，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y 关于x 的回归方程的函数类型是( )A ．y a bx =+B ．y c =+C ．2y m nx =+D ．xy p qc =+（0q >）【答案】B【解析】散点图呈曲线，排除A 选项，且增长速度变慢，排除选项C 、D ，故选B ．【例3-2】．（2021·全国高三专题练习）根据公安部交管局下发的通知，自2021年6月1日起，将在全国开展“一盔一带”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔，为的就是让大家重视交通安全.某地交警部门根据某十字路口的监测数据，从穿越该路口的骑行者中随机抽查了200人，得到如图所示的列联表：（1）是否有97.5%的把握认为自觉带头盔行为与性别有关?（2）通过一定的宣传和相关处罚措施出台后，交警在一段时间内通过对某路口不带头盔的骑行者统计，得到上面的散点图和如下数据：观察散点图，发现两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数y ax=+对两个变量的关系进行拟合，通过分析得y与1有一定的线性相关关系，并得到以下参考数据（其中1w=）：请选择合适的参考数据，求出y关于x的回归方程.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.) 2k对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆni i i ni i u v nuvunu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 【答案】（1）没有；（2）100ˆ10yx=+. 【解析】（1）由列联表计算22200(30701090)754.68755.024120804016016K ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯.故没有97.5%的把握认为骑行者自觉带头盔行为与性别有关. （2）由1w x =，则by a x =+可转化为y a bw =+，又306516y ==， 得6162216173.860.415148.34ˆ1001.49260.16810.48346i ii ii w y wybww ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，则ˆˆ511000.4110ay bw =-=-⨯=. 故y 关于x 的回归方程为100ˆ1010010yw x=+=+ 【举一反三】1．（2021·河南周口市·高三月考）已知变量y 关于变量x 的回归方程为0.5ˆbx ye -=，其一组数据如下表所示：若9.1ˆye =，则x =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【解析】由0.5ˆbx ye -=，得n 0ˆl .5ybx =-，令ln z y =，则0.5z bx =-，由题意，12342.54x +++==，1346 3.54z +++==，因为(),x z 满足0.5z bx =-，所以3.5 2.50.5b =⨯-，解得 1.6b =， 所以 1.60.5z x =-，所以 1.60.5ˆx ye -=，令 1.60.59.1x e e -=，解得6x =.故选：B.2．（2021·全国高三专题练习）近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：表：根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内y a bx =+与xy c d =⋅（c ，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠，预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要()*n n N ∈年才能开始盈利，求n 的值.参考数据：其中lg i i v y =，7117ii v v ==∑ 参考公式：对于一组数据(),i i u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni i i n i i u v nuv u nuβ==-=-∑∑，a v u β=-.【答案】（1）xy c d =⋅；（2）0.253.4710x y =⨯，347；（3）7.【解析】（1）因为散点近似在指数型函数的图象上，所以xy c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型：（2）∵xy c d =⋅，两边同时取常用对数得：()lg lg lg lg xy c dc xd =⋅=+；设lg y v =，∴lg lg v c x d =+，∵4x =， 1.54v =，721140i i x ==∑， ∴717221750.1274 1.547lg 0.25140716287i i i ii x v xv d x x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，把样本中心点()4,1.54代入lg 0.25v c x =+，得：lg 0.54c =，∴0540.25v x =+，∴lg 0.540.25y x =+，∴y 关于x 的回归方程式：0.540.250.540.250.25101010 3.4710x x x y +==⨯=⨯； 把8x =代入上式：∴0.2583.4710347y ⨯=⨯=； 活动推出第8天使用扫码支付的人次为347；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；()20.1P Z ==；()11.80.30.152P Z ==⨯=；()11.60.60.30.73P Z ==+⨯=；()11.40.30.056P Z ==⨯= 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：20.1 1.80.15 1.60.7 1.40.05 1.66⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 由题意可知：1.661120.6612800n n ⨯⨯⋅-⨯⋅->，203n >，所以，n 取7；估计这批车大概需要7年才能开始盈利. 3．（2021·全国高三专题练习）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在[)50,70的适合托班幼儿使用（简称A 类产品），在[)70,90的适合小班和中班幼儿使用（简称B 类产品），在[]90,110的适合大班幼儿使用（简称C 类产品），A ，B ，C ，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用i x ，和年销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.表中ln i i u x =，ln i i y υ=，5115i i u u ==∑，5115i i υυ==∑.根据散点图判断，by a x =⋅可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程.（i ）建立y 关于x 的回归方程；（ii ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？ （收益=销售利润-营销费用，取 4.15964e =）. 参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii uu uuυυβ==--=-∑∑，ˆˆu αυβ=-. 【答案】（1）每件产品的平均销售利润为4元（2）（i ）1464y x =（ii ）该厂应投入256万元营销费. 【解析】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5，3.5，5.5， 由直方图可得，A ，B ，C 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4， 所以，()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==，()5.50.4P ξ==， 所以随机变量ξ的分布列为：所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i ）由by a x =⋅得，()ln ln ln ln by a xa b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.61ii i ii uu buuυυ==--===-∑∑， 则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=， 所以，ˆ 4.1590.25u υ=+，即14.1594ˆln 4.1590.25ln ln y x e x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭， 因为 4.15964e =，所以14ˆ64y x =， 故所求的回归方程为1464y x =；（ii ）设年收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-， 设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t'=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，f t 在()0,4单调递增， 当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，ft 在()4,+∞单调递减，所以，当4t =，即256x =时，z 有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.1．（2021·全国高三专题练习）给出下列说法：①回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，且至少过一个样本点； ②两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1； ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程ˆ20.5y x =-中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．②④ 【答案】B【解析】对于①中，回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，但不一定过一个样本点，所以不强化练习正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1，所以是正确的；对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程ˆ20.5y x =-中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，所以是正确的. 故选：B.2．（2021·全国高三专题练习）对两个变量x 、y 进行线性相关检验，得线性相关系数10.7859r =，对两个变量u 、v 进行线性相关检验，得线性相关系数20.9568r =-，则下列判断正确的是（ ） A ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关，变量x 与y 的线性相关性较强 B ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关，变量x 与y 的线性相关性较强 C ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关，变量u 与v的线性相关性较强D ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关，变量u 与v 的线性相关性较强 【答案】C【解析】由线性相关系数10.78590r =>知x 与y 正相关， 由线性相关系数20.95680r =-<知u 与v 负相关，又12r r <，所以，变量u 与v 的线性相关性比x 与y 的线性相关性强， 故选：C.3．（2021·河南新乡市·高三一模）2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区2019年11月至2020年11月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码113分别对应2019年11月2020年11月）根据散点图选择y a =+ln y c d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：注：x 是样本数据中x 的平均数，y 是样本数据中y 的平均数，则下列说法不一定成立的是（ ） A ．当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈正相关关系B ．根据0.9369y =+2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米C ．曲线0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+的图形经过点(),x yD ．0.95540.0306ln y x =+回归曲线的拟合效果好于0.9369y =+ 【答案】C【解析】对于A ，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈正相关关系，故A 正确；对于B ，令16x =，由0.9369 1.0509y =+=，所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米，故B 正确； 对于C ，非线性回归曲线不一定经过(),x y ，故C 错误； 对于D ，2R 越大，拟合效果越好，故D 正确.故选：C.4．（2021·全国高三专题练习）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A ．24310r r r r <<<<B ．42130r r r r <<<<C ．42310r r r r <<<<D ．24130r r r r <<<< 【答案】A【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，相关系数大于0， 题图2和题图4是负相关，相关系数小于0，题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以1r 接近于1，2r 接近于1-， 由此可得24310r r r r <<<<． 故选：A ．5．（2021·邵阳市第二中学高三其他模拟（文））某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）。
卫生统计学简答、分析、计算题
1. 为实验"736"对肉瘤S180的抑制作用，将长出黄豆大肉瘤的小白鼠１６只随机地分为两组。
实验组注射"736"，对照组注射等量的生理盐水。
10天后取瘤称重，结果如下表所示。
欲比较"736"对肉瘤S180是否有抑制作用，用何种假设检验方法对照组给药组2. 甲院收治肝癌238例，观察期间死亡88例；乙医院同期收治54例，死亡18例。
欲比较两院肝癌病死率有无差别，可用何种假设检验方法3．某作者根据以下资料认为乌鲁木齐缺铁性贫血患病率比贵阳低，是否正确说明理由。
住院病人缺铁性贫血的患病率地区住院人数贫血例数患病率(%)乌鲁木齐 20611 53贵阳 31860 1374．下表中的资料计算方法是否正确某医院各科病死率科别患者数死亡数病死率(%)外科 1500 180内科 500 20传染科 400 24合计 2400 2245．检验血磷含量有甲、乙两种方法，其中，乙法具有快速、简便等优点。
现用甲、乙两法检测相同的血液样品，所得结果如下表。
检验甲乙两法检出血磷是否相同，用何统计方法样本号 1 2 3 4 5 6 7乙法甲法6．某地1968年与1971年几种主要急性传染病情况如下表。
某医师根据此资料中痢疾与乙脑由1968年的％与％分别增加到1971年的％和％，认为该地1971年痢疾与乙脑的发病率升高了，值得注意！你的看法如何为什么1968年 1971年病种病例数％病例数％痢疾 4206 3079麻疹 2813 1465流脑 1650 824乙脑 327 310白喉 524 256合计 9520 59347．对某地200名20岁男子进行身高，体重测量。
结果是:身高均数为厘米,标准差为厘米；体重均数为公斤，标准差公斤。
有人据此资料认为:由于体重的标准差大于身高的标准差，所以该地20岁男子体重间的变异程度比身高的变异程度大。
你认为这样分析对吗8．某地抽样调查144名正常成年男子红细胞数(万/立方毫米), 此资料符合正态分布, 现计算其均数为（万/立方毫米），标准差为（万/立方毫米），标准误为（万/立方毫米）, 故该地正常成年男子红细胞的95％可信区间下限为（万/立方毫米）; 上限为＋×4 ＝（万/立方毫米）。
辽宁省朝阳市2021届高三数学第二次模拟考试试题含解析
辽宁省朝阳市2021届高三数学第二次模拟考试试题（含解析）一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝R，设A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{y|y＝}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，3）B．[1，3] C．（1，3）D．（1，3]2．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．4003．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1+x2＝，则弦AB的长为（）A．B．4 C．D．4．已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，则|2|＝（）A．2 B．2C．4 D．86．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（）A．15 B．30 C．6 D．97．函数y＝（e x﹣e﹣x）sin|2x|的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF 的面积为8，则C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝±2x D．y＝二、多项选择题（共4小题）.9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝，则下列结论中正确的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．△AEF的面积与△BEF的面积相等D．三棱锥E﹣ABF的体积为定值11．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为12．已知a＞0，m（x）＝e x﹣2﹣e2﹣x，f（x）＝am（x）﹣sinπx，若f（x）存在唯一零点，下列说法正确的有（）A．m（x）在R上递增B．m（x）图象关于点（2，0）中心对称C．任取不相等的实数x1，x2∈R均有D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分．13．在（x﹣2y+z）7的展开式中，所有形如x a y b z2（a，b∈N）的项的系数之和是．14．已知|z+i|+|z﹣i|＝6，则复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为．15．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直且AC＝，AB＝，此三棱锥的外接球的表面积为14π，则BC＝．16．函数y＝f（x），x∈[1，+∞），数列{a n}满足，①函数f（x）是增函数；②数列{a n}是递增数列．写出一个满足①的函数f（x）的解析式．写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac；②cos（A+B）＝sin（A﹣B）；③tan＝sin C这三个条件中任选两个，补充在下面问题中．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，______，______？若三角形存在，求b的值；若不存在，说明理由．18．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a n+1＝2a n+1．（1）证明{a n+1}为等比数列．（2）判断n，a n，S n是否成等差数列？并说明理由．19．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．关注没关注合计男女合计附：P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879，其中n＝a+b+c+d（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．20．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．21．设函数f（x）＝axlnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：f（x）＞﹣．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞1）的离心率e＝，其左、右顶点分别为点A，B，且点A关于直线y＝x对称的点在直线y＝3x﹣2上．（1）求椭圆E的方程；（2）若点M在椭圆E上，点N在圆O：x2+y2＝b2上，且M，N都在第一象限，MN⊥y轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断sin∠CND是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝R，设A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{y|y＝}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，3）B．[1，3] C．（1，3）D．（1，3]解：∵y＝ln（x﹣1），∴x﹣1＞0，∴x＞1，∴A＝（1，+∞），∵x2+2x+10＝（x+1）2+9≥9，∴y＝≥3，∴B＝[3，+∞），∴∁u B＝（﹣∞，3），∴A∩（∁U B）＝（1，3）．故选：C．2．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．400解：∵P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，∴P（90≤X≤120）＝1﹣0.4＝0.6，∴P（90≤X≤105）＝P（90≤X≤120）＝0.3，∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．故选：C．3．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1+x2＝，则弦AB的长为（）A．B．4 C．D．解：由题意知，p＝2，由抛物线的定义知，|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．故选：C．4．已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则当“x1＞1且x2＞1”时，整理得：“x1+x2＞2且x1•x2＞1”当x1＝0.99，x2＝2，满足：“x1+x2＞2且x1•x2＞1”但是“x1＞1且x2＞1”不成立，故“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的充分不必要条件，故选：A．5．已知向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，则|2|＝（）A．2 B．2C．4 D．8解：向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，可得：•＝2，|2|＝＝＝＝2．故选：B．6．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（）A．15 B．30 C．6 D．9解：根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为3×3＝9；故选：D．7．函数y＝（e x﹣e﹣x）sin|2x|的图象可能是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为R，f（﹣x）＝（e﹣x﹣e x）sin|﹣2x|＝﹣（e x﹣e﹣x）sin|2x|＝﹣f（x），为奇函数，故排除选项B，C；又，且是第一个大于0的零点，故排除选项D．故选：A．8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF 的面积为8，则C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝±2x D．y＝解：设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF'是矩形，∴S△ABF＝S△ABF'，即bc＝8，由，可得y＝±，则|MN|＝＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，∴a＝＝2，∴C的渐近线方程为y＝±x，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增解：函数f（x）＝|sin x||cos x|＝|sin x cos x|＝|sin2x|，画出函数图象，如图所示；所以f（x）的对称轴是x＝，k∈Z；所以x＝是f（x）图象的对称轴，A正确；f（x）的最小正周期是，B正确；f（x）是偶函数，没有对称中心，C错误；x∈[，]时，2x∈[，π]，sin2x≥0，所以f（x）＝|sin2x|是单调减函数，D错误．故选：AB．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝，则下列结论中正确的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．△AEF的面积与△BEF的面积相等D．三棱锥E﹣ABF的体积为定值解：由正方体的结构特征可知，DD1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，则D1D⊥AC，又ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵D1D∩BD＝D，且D1D、BD⊂平面DD1B1B，∴AC⊥平面DD1B1B，∵BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，故A正确；∵B1D1∥BD，BD⊂平面ABCD，B1D1⊄平面ABCD，∴BD∥平面ABCD，而EF在B1D1上，∴EF∥平面ABCD，故B正确；点B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故C错误；如图所示，连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥A﹣BEF的高，•EF•BB1＝××1＝，＝×＝，则为定值，故D正确．故选：ABD．11．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为解：A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍，故A 错误，B．从中任取3条共有4种，若三段能构成三角形，则只有3，5，7，一种，则构成三角形的概率是，故B正确，C．|r|→1，两个变量的线性相关性越强，|r|→0，线性相关性越弱，故C错误，D．由题意知P（）•P（）＝，P（）•P（B）＝P（A）•P（），设P（A）＝x，P（B）＝y，则，得得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，得x﹣1＝或x﹣1＝﹣，得x＝（舍）或x＝，即事件A发生的概率为，故D正确．故正确的是BD，故选：BD．12．已知a＞0，m（x）＝e x﹣2﹣e2﹣x，f（x）＝am（x）﹣sinπx，若f（x）存在唯一零点，下列说法正确的有（）A．m（x）在R上递增B．m（x）图象关于点（2，0）中心对称C．任取不相等的实数x1，x2∈R均有D．解：m′（x）＝e x﹣2+e2﹣x＞0，则m（x）在R上递增，故A正确，m（x）+m（4﹣x）＝e x﹣2﹣e2﹣x+e2﹣x﹣e x﹣2＝0，则m（x）图象关于点（ 2，0）中心对称，故B正确，m″（x）＝e x﹣2﹣e2﹣x，当x＞2时，m″（x）＞0，即m′（x）为增函数，即m（x）图象下凸，此时＞m（），故C错误，若f（x）存在唯一零点，则a（e x﹣2﹣e2﹣x）＝sinπx只有一个解，即g（x）＝a（e x﹣2﹣e2﹣x）与h（x）＝sinπx只有一个交点，g'（x）＝a（e x﹣2+e2﹣x），h'（x）＝πcosπx，由g（2）＝h（2）＝0，则g（x）、h（x）的图象均关于点（2，0）中心対称，在x＝2的右侧附近g（x）为下凸函数，h（x）为上凸函数，要x＞2时，图象无交点，当且仅当g'（2）≥h'（2）成立．于是2a≥π，即a≥成立，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分．13．在（x﹣2y+z）7的展开式中，所有形如x a y b z2（a，b∈N）的项的系数之和是﹣21 ．解：因为（x﹣2y+z）7＝[（x﹣2y）+z]7，所以展开式中含z2的项为C，令x＝y＝z＝1，则所求系数之和为C•（1﹣2）5•12＝﹣21，故答案为：﹣21．14．已知|z+i|+|z﹣i|＝6，则复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为+＝1 ．解：∵复数z在复平面内所对应点P（x，y），又|z+i|+|z﹣i|＝6，∴+＝6，即点P（x，y）到点A（0，﹣），和B（0，﹣）的距离之和为：6，且两定点的距离为：2＜6，故点P的运动轨迹是以点AB为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝2，故b＝＝2，∴复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为：+＝1，故答案为：+＝1．15．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直且AC＝，AB＝，此三棱锥的外接球的表面积为14π，则BC＝．解：由题意三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直可知，三棱锥S﹣ABC是长方体的一个角，如图：设SA＝x，SB＝y，SC＝z，由题意可得：x2+z2＝13，x2+y2＝5，y2+z2＝BC2，三棱锥的外接球的表面积为14π，三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径2R，所以2R＝，4πR2＝14π，可得x2+y2+z2＝14，解得x＝2，y＝1，z＝3，所以BC＝＝．故答案为：．16．函数y＝f（x），x∈[1，+∞），数列{a n}满足，①函数f（x）是增函数；②数列{a n}是递增数列．写出一个满足①的函数f（x）的解析式f（x）＝x2．写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式．解：由题意，可知：在x∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f（x）＝x2．第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：．则这个函数在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴在[1，+∞）上不是增函数，不满足①．而对应的数列为：在n∈N*上越来越大，属递增数列．故答案为：f（x）＝x2；．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac；②cos（A+B）＝sin（A﹣B）；③tan＝sin C这三个条件中任选两个，补充在下面问题中．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，______，______？若三角形存在，求b的值；若不存在，说明理由．解：①∵（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac，即b2﹣（a﹣c）2＝ac，∴a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理知，cos B＝＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝．③∵tan＝sin C，∴tan＝sin C，即＝2sin cos，∵C∈（0，π），∴cos＞0，∴2sin2＝1，即C＝．选择①②：由上知B＝，∵cos（A+B）＝sin（A﹣B），∴cos A﹣sin A＝sin A﹣cos A，即（1+）cos A＝（1+）sin A，∴tan A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝，sin A＝，由正弦定理知，，∴＝，∴b＝2．选择①③：B＝，C＝，∵a＝2，∴b＝2．选择②③：由上知C＝，∵cos（A+B）＝sin（A﹣B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C＝0，∴A﹣B＝0，即A＝B＝，∴b＝a＝2．18．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a n+1＝2a n+1．（1）证明{a n+1}为等比数列．（2）判断n，a n，S n是否成等差数列？并说明理由．解：（1）证明：a2＝3，a n+1＝2a n+1，可得a1＝1，即有a n+1+1＝2（a n+1），则{a n+1}为首项为1，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得a n+1＝2n，即有a n＝2n﹣1，S n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，由n+S n﹣2a n＝n+2n+1﹣2﹣n﹣2（2n﹣1）＝0，可得n，a n，S n成等差数列．19．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．关注没关注合计男女合计附：P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879，其中n＝a+b+c+d（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解：（1）2×2列联表如下：关注没关注合计男 30 30 60女 12 28 40合计 42 58 100所以＝ 3.941＞3.841，所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”；（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为＝，又因为X～B（3，），所以随机变量X的分布列为：X0 1 2 3P故E（X）＝np＝．20．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．21．设函数f（x）＝axlnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：f（x）＞﹣．解：（I）f′（x）＝alnx+a，则f（1）＝0，f′（1）＝a，故取消y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程y＝a（x﹣1），把点（3，2）代入切线方程可得，a＝1，（II）由（I）可得f′（x）＝lnx+1，x＞0，易得，当0时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝时，函数取得极小值f（）＝﹣，没有极大值，证明：（III）f（x）＞﹣等价于xlnx﹣＞0，由（II）可得f（x）＝xlnx（当且仅当x＝时等号成立）①，所以xlnx﹣，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）设g（x）＝，x＞0则，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，当且仅当x＝1时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当x＞0时，f（x）＞﹣．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞1）的离心率e＝，其左、右顶点分别为点A，B，且点A关于直线y＝x对称的点在直线y＝3x﹣2上．（1）求椭圆E的方程；（2）若点M在椭圆E上，点N在圆O：x2+y2＝b2上，且M，N都在第一象限，MN⊥y轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断sin∠CND是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．【解答】（1）解：点A（﹣a，0）关于直线y＝x对称的点（0，﹣a）在直线y＝3x﹣2上，∴﹣a＝0﹣2，解得a＝2．又＝，a2＝b2+c2，联立解得b2＝2＝c2．∴椭圆E的标准方程为：+＝1．（2）证明：设M（x0，y0），AM：y＝k（x+2）（k≠0），令x＝0，解得y＝2k，∴C（0，2k）．联立，化为：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4＝0（k≠0）．∴﹣2x0＝，解得x0＝．∴y0＝，即M（，），∴直线BM的斜率＝＝﹣．∴BM的方程：y＝﹣（x﹣2），令x＝0，解得y＝，∴D（0，）．设N（x N，y0），则＝（﹣x N，2k﹣y0），＝（x N，﹣y0）．∴•＝x N2+y02+2﹣y0．∵x N2+y02＝2，y0＝，∴•＝0．∴NC⊥ND．即∠CND＝90°．∴sin∠CND＝1．。
2乘2列联表练习题
试题解析:解(1):
患三高疾病
男
24
女
1２
合计 36
不患三高疾病 ６ 1８ ２４
合计 30 3０ 60
在患三高疾病人群中抽 9 人，则抽取比例为 9 1 36 4
∴女性应该抽取12 1 3 人.
6分
4
(2
）
∵
K 2 60(24 18 6 12)2
30 30 36 24
8分
10 7.879 , 那么，我们有 99.5% 的把握认为是否患三高疾病与性别有关系.
5
(1）请将上表补充完整(不用写计算过程);
（２)能否有 99.5 ﹪的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明
你的理由.
3．某班主任对班级２2 名学生进行了作业量多少的调查,数据 如下表:在喜欢玩电脑游戏的 12 中，有１0 人认为作业多,2 人 认为作业不多;在不喜欢玩电脑游戏的 1０人中，有３人认为作 业多，7 人认为作业不多。
∴报考理科的男生有１00-40=60 人,报考理科的女生有 10０-60=40 人
……4 分
所以 2×２列联表如下:
……6 分
文科
理科
总计
男
4０
60
１00
女
60
４0
１００
总计
100
100
200
(2）由公式计算 K 2 的 观测值：
k 200 (40 40 60 60)2 8 7.879 100 100 100 100
再查对临界值表，据此回答能否有 99.5 ﹪的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
试题解析:（1)列联表补充如下:
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生
20
用两步连乘解决实际问题 小学数学 测试卷
一、选择题1. 学校门口小卖部一共卖出12箱牛奶，每盒2元，要求“一共卖了多少元”，应补充条件（）。
A．每车40箱B．每升6元C．每盒100毫升D．每箱15盒2. 李阿姨每天制作12盒蜻蜓标本，每盒有7个蜻蜓标本。
照这样计算，李阿姨6月份可以制作（）个蜻蜓标本。
A．2604 B．84 C．504 D．25203. 1.某超市运回3车水果，每车装26箱，每箱重24千克，用“26×24”可以求出（），用“26×24×3”可以求出（）。
①运回水果的箱数②每车运水果的质量③一共运水果的质量A．①③B．②③C．①②4. 与125×16相等的算式是（）。
A．125×8＋8 B．125×8×2 C．125×（8＋2）5. 一辆货车每次能送12箱货物，每天可以运送5次，31天可以运送（）箱货物。
A．1860 B．1800 C．1550 D．1560二、填空题6. 倩倩买了9张练字纸，每张有12行，每行有16个格，这9张练字纸一共有( )个格。
7. 药店一周卖出5箱口罩，每箱装有6袋口罩，每袋口罩卖25元。
(1)算式“5×6×25”。
解决的问题是___________。
(2)每袋口罩( )只。
8. 牛奶厂将一批牛奶装箱。
18袋装一盒，5盒装一箱，一共装了20箱，这批牛奶一共有( )袋。
9. 一个游泳池长120米，涛涛游5个来回共游了( )米。
10. 啤酒24瓶一箱，每车可以运50箱，3车共可运啤酒( )瓶。
三、解答题11.（l）我校有16个班，平均每班45人，全校学生一学期可收集废纸多少千克？（2）按每5千克废纸可生产4千克再生纸，每千克再生纸可产生2元钱的效益计算，全校同学一学期收集的废纸产生的效益是多少元？12. 商店运来34箱饮料，每箱20瓶，每瓶买5元，如果这些饮料全部卖完，可以卖得多少钱？13. 学校图书馆有3个书架，每个书架有6层，每层可放书42本，图书馆共有多少本图书？14. 红星小学组织四年级学生进行研学旅行。
2-3期未复习题(二)(高二(下)数学同步测试题)
高二数学期未复习题（二）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知随机变量X ～B(6,0.4),则当η=-2X+1时,D(η)=( ). A.-1.88B.-2.88C.5.76D.6.762．已知一次考试共有60名同学参加,考生成绩X ～N(110,52),据此估计,大约有57人的分数所在的区间为( ).A.(90,100]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115] 3．满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆 D ．椭圆 4. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x)d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y)d xD ．S ＝⎠⎛01(y －y)d y5．样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A.105 B.305C. 2 D ．2 6．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－53)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°7．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n 粒，若这批米合格，则n 不超过( )A ．6粒B ．7粒C ．8粒D ．9粒8.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）Ａ．60 Ｂ．90 Ｃ．120 Ｄ．1809.一个电路如图所示， C 、D 、E 、F 为4个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A. 916B. 716C. 1316D. 31610．若0<x<π2，则2x与3sin x的大小关系( )．A．2x>3sin x B．2x<3sin x C．2x＝3sin x D．与x的取值有关11. 设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝12，P(X>2)＝p，则P(0<X<1)的值为( )A.12p B．1－p C．1－2p D.12－p12. 设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(x，y) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第一章 统计案例单元质量评估 新人教A版选修1-2
"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第一章统计案例单元质量评估新人教A版选修1-2 "一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.散点图在回归分析过程中的作用是( )A.查找个体个数B.比较个体数据的大小关系C.探究个体分类D.粗略判断变量的相关关系【解析】选D.散点图对相关关系的判断是粗略的,在一定程度上存在着误差.2.下列关于线性回归的说法,不正确的是( )A.变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫散点图C.线性回归方程最能代表观测值x,y之间的关系D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程【解析】选D.根据相关关系及散点图等概念知A,B,C均正确.3.(2014·广州高二检测)若身高与体重有关系,则下列选项中可以用来分析此关系的是( )A.残差B.回归分析C.等高条形图D.独立性检验【解析】选B.身高与体重的关系是相关关系,因此可用回归分析来确定其具体的数值关系,而残差分析是用来分析模型拟合效果的,等高条形图和独立性检验是用来判断两个分类变量是否有关的量.4.(2014·泰安高二检测)下列说法正确的个数是( )(1)将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变(2)设有一个回归方程=3-5x,变量增加一个单位时y平均增加5个单位(3)在一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为两个变量有关系A.0B.1C.2D.3【解析】选C.(1)方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据加上或减去同一常数后,方差恒不变,(1)正确.(2)变量x增加一个单位时,y平均减少5个单位,故(2)错.(3)对照临界值表可得在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为两个变量有关系,即在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为两个变量有关系是正确的,故(3)正确.5.(2014·永州高二检测)已知x,y的值如表所示,若y与x呈线性相关且回归直线方程为y=x+,则a=( )A.4B.5C.6D.7【解析】选A.由题意可得=×(4+6+8)=6,=(5+a+6),由于回归直线y=x+过点(,),故×(5+a+6)=×6+,解得a=4.【变式训练】已知x与y之间的一组数据如表所示,则y与x的线性回归方程=x+必过点( )A.(2,2)B.C.D.(1,2)【解题指南】回归直线过样本点的中心(,).【解析】选C.由表中数据可计算=(0+1+2+3)=,=(1+3+5+7)=4.因为回归直线过样本中心点(,),所以回归直线过点.6.(2014·铜陵高二检测)如果某地财政收入x(亿元)与支出y(亿元)满足线性回归方程y=bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.8,a=2,|e|≤0.5.如果今年该地区的财政收入为10亿元,则年支出预计不会超过( ) A.9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元【解题指南】将所给数据代入y=bx+a+e,利用|e|≤0.5,即可求得结论.【解析】选D.由y=0.8x+2+e知当x=10时,y=0.8x+2+e=10+e,因为|e|≤0.5,所以-0.5≤e≤0.5,所以9.5≤y≤10.5,所以今年支出预计不会超过10.5亿元.7.(2014·江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表2表3表4A.成绩B.视力C.智商D.阅读量【解题指南】根据独立性检验公式分别求出相应的K2,数据大的与性别有关联的可能性大.【解析】选D.()222152852(6221410)K ,2032163620321636⨯-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯()22225211252(4201612)K ,2032163620321636⨯-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯222352(824128)52(128)K ,2032163620321636⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯222452(143062)52(686)K .2032163620321636⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯分析判断K 42最大，所以选D.8.根据如图所示的列联表得到如下四个判断:①在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肝病与嗜酒有关;②在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患肝病与嗜酒有关;③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为0.001%;④没有证据显示患肝病与嗜酒有关.其中正确命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由K 2=得K 2的观测值k ≈56.632>10.828>6.635,①②均正确,故选B.9.下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比,从图可以看出( )A.性别与喜欢理科无关B.女生中喜欢理科的百分比为80%C.男生比女生喜欢理科的可能性大些D.男生不喜欢理科的百分比为60%【解析】选C.由条形图可知,女生中喜欢理科的百分比约为1-0.8=0.2=20%,男生中喜欢理科的百分比约为1-0.4=0.6=60%,因此男生比女生喜欢理科的可能性大些.10.(2014·太原高二检测)变量x,y具有线性相关关系,当x取值为16,14,12,8时,通过观测得到y的观测值分别为11,9,8,5,若在实际问题中,y最大取值是10,则x的最大值不能超过( )A.14B.15C.16D.17【解析】选B.根据题意y与x呈正相关关系,由最小二乘法或计算器求得回归系数=-0.857,=0.729,所以线性回归方程为=0.729x-0.857,当=10时得x≈15.11.两个分类变量X和Y可能的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数满足a=10,b=21,c+d=35,若认为X 与Y有关系的犯错误的概率不超过0.1,则c的值可能等于( )A.4B.5C.6D.7【解题指南】根据条件可知2.706≤k<3.841.再由K2的公式进行估算可得c值.【解析】选B.若认为X和Y有关系的犯错误的概率不超过0.1,则K2的观测值k所在的范围为2.706≤k<3.841,根据计算公式K2=,其中n=a+b+c+d,及a=10,b=21,c+d=35可估算出c的值,选B.12.有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表:根据以上数据,用线性回归的方法,求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程=x+的系数=-2.4,则预测平均气温为-8℃时该商品销售额为( )A.34.6万元B.35.6万元C.36.6万元D.37.6万元【解题指南】先求出横坐标和纵坐标的平均数,写出样本中心点,根据所给的的值,写出线性回归方程,把样本中心点代入求出的值,再代入数值进行预测.【解析】选A.==-4,==25,所以这组数据的样本中心点是(-4,25).因为=-2.4,把样本中心点代入线性回归方程得=15.4,所以线性回归方程是=-2.4x+15.4.当x=-8时,y=34.6.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知方程=0.85x-82.71是根据女大学生的身高预报体重的回归方程,其中x的单位是cm,y的单位是kg,那么针对某个体(160,53)的随机误差是.【解析】因为回归方程为=0.85x-82.71,所以当x=160时,=0.85×160-82.71=53.29,所以针对某个体(160,53)的随机误差是53-53.29=-0.29.答案:-0.2914.为了均衡教育资源,加大对偏远地区的教育投入,调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年教育支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的线性回归方程:=0.15x-0.2.由线性回归方程可知,家庭年收入每增加1万元,年教育支出平均增加万元.【解析】因为线性回归方程=0.15x-0.2,y=0.15(x+1)-0.2,所以1y-=0.15(x+1)-0.2-0.15x+0.2=0.15.所以1答案:0.1515.下表是关于男女生喜欢武打剧的调查表:则列联表中A= ,B= ,C= ,D= .【解题指南】依据列联表中数据的关系,进行加减运算即可.【解析】A=105-39=66,B=100-39=61,C=66+34=100,D=105+95=200.答案:66 61 100 200【互动探究】在本题中条件不变的情况下,在犯错误的概率不超过多少时认为性别与喜欢武打剧有关? 【解析】由表中数据可计算得k=≈14.617>10.828.因P(K2≥10.828)=0.001,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与喜欢武打剧有关.16.(2014·三明高二检测)某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)调查,y与x具有相关关系,回归方程为=0.66x+1.562,若A城市居民人均消费水平为7.765(千元),估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为.【解析】因为y与x具有线性相关关系,满足回归方程=0.66x+1.562,A城市居民人均消费水平为y=7.765,所以可以估计该城市的职工人均工资水平x满足7.765=0.66x+1.562,所以x≈9.4,所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.答案:83%三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1月至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率.(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预报当温差为9℃时的种子发芽数.【解题指南】(1)根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况,每种情况都是等可能出现的,满足条件的事件包括的基本事件有6种,根据等可能事件的概率得出结果.(2)根据所给的数据,先得出x,y的平均数,即得出本组数据的样本中心点,根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程并进行预报.【解析】(1)设抽到不相邻的两组数据为事件A,从5组数据中选取2组数据共有10种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),其中数据为12月份的日期数,每种情况都是等可能出现的,事件A包括的基本事件有6种,所以P(A)=,所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是.(2)由数据,求得=12,=27,由公式,求得=,=-=-3,所以y关于x的线性回归方程为=x-3.由此可以预报当温差为9℃时的种子发芽数为19或20颗.18.(12分)一项关于A、B两国失业情况的抽样调查结果如下:1512个A国人中有130人曾经被解雇过,其余人未曾被解雇过;而2900个B国人中有87人曾经被解雇过,其余人未曾被解雇过.(1)根据以上数据,建立一个2×2列联表.(2)根据表中数据,你能得到什么结论?【解析】(1)列联表如下:(2)K2的观测值k=≈66.595>10.828,P(K2≥10.828)≈0.001,故在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否解雇与国家有关.19.(12分)(2013·吉林高二检测)调查某桑场采桑员桑毛虫皮炎发病情况结果如下表:利用2×2列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关?认为两者有关系会犯错误的概率是多少?K2=【解析】由题意知,a=18,b=12,c=5,d=78,所以a+b=30,c+d=83,a+c=23,b+d=90,n=113.所以K2==≈39.6>10.828.所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系.认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%.【变式训练】巴西医生马廷思收集各种犯有贪污、受贿罪的官员和廉洁官员寿命的调查资料:500名贪官中有348人的寿命小于平均寿命,152人的寿命大于或等于平均寿命;590名廉洁官员中有93人的寿命小于平均寿命,497人的寿命大于或等于平均寿命.这里,平均寿命是指“当地人均寿命”.试分析官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间是否有关系?【解析】根据题意列2×2列联表:由公式计算K2的观测值:k=≈325.635.因为325.635>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为官员在经济上是否清廉与他们的寿命长短有密切关系.20.(12分)想象一下一个人从出生到死亡,在每个生日都测量身高,并作出这些数据的散点图,这些点将不会落在一条直线上,但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析.下表是一位母亲给儿子作的成长记录:(1)年龄(解释变量)和身高(预报变量)之间具有怎样的相关关系?(2)若年龄相差5岁,则身高有多大差异?(年龄在3～16岁之间)(3)如果身高相差20cm,其年龄相差多少?【解析】(1)散点图如图所示.由散点图可知样本点落在一条直线附近.设年龄x(岁)与身高y(cm)之间的回归直线方程是=x+,由公式计算得=≈6.314,=-≈72.003,所以=6.314x+72.003.(2)若年龄相差5岁,则预报变量变化6.314×5=31.57.(3)如果身高相差20cm,年龄相差Δx=≈3.168≈3(岁).21.(12分)某运动员训练次数与训练成绩之间的数据关系如下:(1)在图1坐标系中作出散点图.(2)求出回归方程.(3)在图2中作出残差图.(4)计算相关指数R2.(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩.【解析】(1)作出运动员训练次数x与成绩y的散点图,如图所示,由散点图可知,它们之间具有相关关系.(2)列表计算如图所示:所以==≈1.0415,=-=-0.00302,所以回归直线方程为=1.0415x-0.00302.(3)残差分析:下面的表格列出了运动员训练次数和成绩的原始数据以及相应的残差数据.作残差图,如图所示,由图可知,残差点比较均匀地分布在水平带状区域内,说明选择的模型比较合适.(4)计算相关指数R 2=1-82i i i 182ii 1y y y y ==--∑∑（）（）=0.9855.(5)作出预报:由上述分析可知, 回归直线方程=1.0415x-0.00302.将x=47和x=55分别代入该方程可得=49,=57,故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57. 22.(12分)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:(1)试建立y 与x 之间的回归方程.(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于平均值的0.8倍为偏瘦,则这个地区一名身高为175cm、体重为82kg的在校男生的体重是否正常?【解析】(1)根据表格中的数据画出散点图,如图所示.从图可以看出,样本点分布在某条指数型函数曲线y=c1的周围,于是令z=lny,得到x与z的数据如表:根据上表中的数据作出散点图,如图所示.由表中数据可计算得z与x之间的回归方程为=0.693+0.020x,则有=e0.693+0.020x.(2)当x=175时,预测平均体重为=e0.693+0.020×175≈66.22,因为66.22×1.2≈79.46<82,所以这名男生偏胖.。
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患三高疾病
不患三高疾病
合计
男
24
6
30
女
12
18
30
合计
36
24
60
在患三高疾病人群中抽 人，则抽取比例为
∴女性应该抽取 人． 6分
（2）∵ 8分
， 10分
那么，我们有 的把握认为是否患三高疾病与性别有关系． 12分．
考点：1．分成抽样；2．独立性检验．
2．（1）详见解析；（2）有 ﹪的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
5．解：（1）由男女生各100人及等高条形图可知报考文科的男生有100×=40人，报考文科的女生有100×=60人 ……2分
∴报考理科的男生有100-40=60人，报考理科的女生有100-60=40人 ……4分
所以2×2列联表如下： ……6分
文科
理科
总计
男
40
60
100
女
60
40
100
总计
100
100
5．某高中课外活动小组调查了100名男生与100名女生报考文、理科的情况，下图为其等高条形图：
（1）绘出2×2列联表；
（2）利用独立性检验方法判断性别与报考文、理科是否有关系若有关系，所得结论的把握有多大
参考答案
1．（1）3人;（2）有 的把握认为是否患三高疾病与性别有关系．
【解析】
试题分析：（1）根据题中所给数据，通过2×2连列表，直接将如图的列联表补充完整；通过分层抽样求出在患三高疾病的人群中抽9人的比例，即可求出女性抽的人数．（2）通过题中所给共识计算出 ，结合临界值表，即可说明有多大的把握认为三高疾病与性别有关．
合计
（2）
有 ﹪的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
考点：独立性检验.
3．(1)认为作业多Biblioteka 认为作业不多总 计
喜欢玩电脑游戏
10
2
12
不喜欢玩电脑游戏
3
7
10
总 计
13
9
22
(2)有%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有
【解析】
试题分析：(1)根据给出的数据建立 列联;(2)计算卡方变量 ，<<,所以有%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关.
（2）能否有 ﹪的把握认为喜爱打篮球与性别有关说明你的理由.
3．某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：在喜欢玩电脑游戏的12中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多。
求：（1）根据以上数据建立一个 列联表；
（2）试问喜欢电脑游戏与认为作业多少是否有关系
200
（2）由公式计算的观测值：
……10分
又由临界值表知
所以我们有%的把握认为报考文理科与性别有关系 ……12分
【解析】略
4．有甲、乙两个工厂生产同一种产品，产品分为一等品和二等品．为了考察这两个工厂的产品质量的水平是否一致，从甲、乙两个工厂中分别随机地抽出产品109件，191件，其中甲工厂一等品58件，二等品51件，乙工厂一等品70件，二等品121件．
(1)根据以上数据，建立2×2列联表；
(2)试分析甲、乙两个工厂的产品质量有无显著差别(可靠性不低于99%)．
试题解析：（1）根据题中所给数据，得到如下列联表：
认为作业多
认为作业不多
总 计
喜欢玩电脑游戏
10
2
12
不喜欢玩电脑游戏
3
7
10
总 计
13
9
22
（2） ，<<
∴有%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关.
在犯错误的概率不超过的前提下不能认为成绩与班级有关系。
考点：×2列联表;2.独立性检验
4．（1）
甲工厂
乙工厂
合计
一等品
58
70
128
二等品
51
121
172
合计
109
191
300
（2）见解析
【解析】
解：(1)
甲工厂
乙工厂
合计
一等品
58
70
128
二等品
51
121
172
合计
109
191
300
(2)提出假设H0：甲、乙两个工厂的产品质量无显著差别．
根据列联表中的数据可以求得
χ2＝ ≈ 4＞.
因为当H0成立时，P(χ2＞≈，所以我们有99%以上的把握认为甲、乙两个工厂的产品质量有显著差别．
1．近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
患三高疾病
不患三高疾病
合计
男
6
30
女
合计
36
（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽 人，其中女性抽多少人
【解析】
试题分析：（1）首先通过全班 人中随机抽取 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为 ，得出喜爱打篮球的共有 人，进而完善此表；（2）通过列联表代入计算公式，得到 的值，再查对临界值表，据此回答能否有 ﹪的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
试题解析：（1）列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
女生
（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量 ，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关
2．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 人进行了问卷调查得到了如下列表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
女生
合计
已知在全班 人中随机抽取 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为 .
（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；