随机过程Markov链 中科大
随机过程与马尔可夫链
随机过程是概率论和数理统计中的重要概念之一，它用来描述随机现象随时间的演变过程。
其中，马尔可夫链是描述随机过程特性的重要工具之一。
随机过程的定义是：对于一组状态集合{X(t)|t≥0}，如果对于任意的n个时间点0≤t1<t2<…<tn，随机变量(X(t1), X(t2), …, X(tn))的条件分布只依赖于X(tn)，则称随机过程为马尔可夫过程。
简单来说，马尔可夫过程的特点是未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
而马尔可夫链则是马尔可夫过程的特例，它的状态集合只有有限个或可数个。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即只与当前状态有关，与过去状态和未来状态都无关。
随机过程和马尔可夫链的研究在概率论和统计学中有着重要的应用。
首先，它们可以用来描述各种现实生活中的随机现象，如股市价格的涨跌、人口的增长等。
其次，它们可以被用于建立数学模型，对这些现象进行分析和预测。
例如，马尔可夫链可以用来建立天气预报模型，根据当前的天气状态（晴、阴、雨等）预测未来的天气状况。
此外，马尔可夫链还在自然语言处理、图像处理、机器学习等领域有着广泛的应用。
马尔可夫链具有很多重要的性质和特征。
首先，它具有马尔可夫性，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
这一性质使得马尔可夫链具有简洁的数学形式和较强的可计算性。
其次，马尔可夫链具有平稳分布（或者说稳态分布）的概念。
如果马尔可夫链的转移矩阵稳定下来，且与初始状态无关，那么这个稳态分布就是平稳分布。
平稳分布具有许多重要的应用，例如在排队论中，可以通过平稳分布来求解系统的性能指标。
此外，马尔可夫链还具有遍历性，即从任意一个状态出发，最终都有可能到达任意一个状态。
这一特性使得马尔可夫链可以被用来模拟复杂的随机过程。
马尔可夫链有许多重要的应用。
其中之一是在马尔可夫链蒙特卡洛方法中的广泛应用。
蒙特卡洛方法是一种基于统计学的模拟方法，用于求解复杂的数学问题。
马尔可夫链蒙特卡洛方法利用了马尔可夫链的平稳分布特性，通过对状态空间进行遍历和抽样，从而利用样本估计目标问题的解。
(解答)《随机过程》第二章习题
第二章 Markov 过程 习题解答1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。
（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===⋃===⋃===⋃⋃===⋃======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====⋃========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ∅====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。
随机过程第4章Markov过程（PDF）
第四章 Markov 过程本章我们先讨论一类特殊的参数离散状态空间离散的随机过程，参数为0{0,1,2,}T N ==L ，状态空间为可列{1,2,}I =L 或有限{1,2,,}I n =L 的情况，即讨论的过程为Markov 链。
Markov 链最初由Markov 于1906年引入，至今它在自然科学、工程技术、生命科学及管理科学等诸多领域中都有广泛的应用。
之后我们将讨论另一类参数连续状态空间离散的随机过程，即纯不连续Markov 过程。
§4.1 Markov 链的定义与性质一、Markov 链的定义定义 4.1设随机序列{;0}n X n ≥的状态空间为I ，如果对0n N ∀∈，及0110011,,,,,{,,,}0n n n n i i i i I P X i X i X i +∈===>L L ，有：11001111{,,,}{}n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======L （4.1.0)则称{;0}n X n ≥为Markov 链。
注1：等式（4.1.0）刻画了Markov 链的特性，称此特性为Markov 性或无后效性，简称为马氏性。
Markov 链也称为马氏链。
定义4.2 设{;0}n X n ≥为马氏链，状态空间为I ，对于,i j I ∀∈，称1{}()ˆn n i j P X j X i p n +===为马氏链{;0}n X n ≥在n 时刻的一步转移概率。
注2：一步转移概率满足：()0,,()1,i j i jj Ip n i j Ipn i I ∈≥∈=∈∑若对于,i j I ∀∈，有1{}()ˆn n i j i j P X j X i p n p +===≡即上面式子的右边与时刻n 无关，则称此马氏链为齐次（或时齐的）马氏链。
设{}0()(0),p i P X i i I ==∈，如果对一切i I ∈都有00()0,()1i Ip i p i ∈≥=∑，称0()p i 为马氏链的初始分布。
随机过程Markov链 中科大
个袋子中个随机取一个球, 并放入对方袋中. 若以Xn 表示第n次取球后甲袋中的黑球数, 则{Xn , n ≥ 0}为一Markov链.
为止, 甲赢的概率为p, 输的概率为q . 现以Xn 表示第n局结束时甲所有的赌资, 则{Xn , n ≥
0}为马氏链. 试求甲输光的概率. 17. 考虑赌徒输光模型, 其中赌徒甲的初始赌资为a(> 10), 赌徒乙的初始赌资为b(> 10). 求
赌徒甲的赌资在减少到5 之前达到a + b − 3的概率.
15. 三种同类的商品(1, 2, 3)的市场占有率开始为1/3, 一个季度以后顾客的转移概率矩阵为 1 0.6 0.3 0.1 P = 2 0.3 0.2 0.5 . 3 0.1 0.2 0.7
试求
(a) 半年之后的三种商品的市场占有率; (b) 从状态2到状态3的平均首达时间; (c) 平稳状态下三种商品的市场占有率. 16. 甲有a元, 乙有b元(a, b为正整数). 二人进行赌博, 每局输赢为1元, 一直赌到其中一人输光
(n)
i ∈ I.
以q = 1 − p逆时针方向游动一格.
(a) 试求该Markov链的转移概率矩阵P ; (b) 对该链进行状态分类（关于可约、 周期、 常返、 正常返）; (c) 求该链的平稳分布. 问 lim P (n) 是否存在？
n→∞
提示 ： 注意N 的奇偶.
4. 考虑从0出发的简单对称随机游动 （见课本例子3.8） . 若以Nn 表示到时刻n为止过程返回
马尔可夫链随机过程
马尔可夫链随机过程（Markov chain）是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质表示在给定当前状态下，未来状态的概率只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
马尔可夫链由一组状态和状态转移概率组成。
每个状态表示系统可能处于的一种情况，状态转移概率表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔可夫链的数学描述如下：
状态空间：马尔可夫链中所有可能的状态的集合；
初始概率分布：描述系统初始状态的概率分布；
状态转移概率：描述从一个状态转移到另一个状态的概率分布；
转移矩阵：由状态转移概率组成的矩阵，用于表示状态之间的转移关系。
马尔可夫链可以用于模拟各种随机事件，例如天气预测、金融市场分析、蛋白质折叠等。
它在实际应用中有着广泛的应用，尤其在概率论、统计学和计算机科学领域。
通过分析马尔可夫链的状态转移概率，我们可以获得系统的稳定性、收敛性和平稳分布等重要特性。
此外，我们还可以利用马尔可夫链进行预测、推断和决策等任务。
总之，马尔可夫链随机过程是一种强大的数学工具，用于描述具有马尔可夫性质的随机系统。
它的简单性和广泛应用性使其成为概率模型、统计分析和计算机模拟中的重要组成部分。
应用随机过程markov链5.1例题
随机过程是概率论的一个重要分支，而Markov链则是随机过程中的一个经典模型。
在实际应用中，Markov链可以用来描述各种随机现象，比如金融市场的走势、气候的变化、信息的传递等等。
今天，我们就来探讨一下应用随机过程中的Markov链，并通过一个例题来深入理解这个概念。
让我们来简单回顾一下Markov链的基本概念。
在一个Markov链中，假设我们有一些状态，每个状态发生的概率只与其前一状态有关，而与其他状态无关。
这个性质就是所谓的“无记忆性”，也就是说，一个状态的发生只受到前一个状态的影响，而与更早的状态无关。
这种性质使得Markov链在描述许多现实问题时非常方便，因为它可以有效地简化问题的复杂度。
接下来，我们将以一个例题来具体说明Markov链的应用。
假设我们有一个赌徒，他每天的赌博结果只与前一天的输赢有关，如果前一天赢了，那么第二天继续赢的概率为0.6，输的概率为0.4；如果前一天输了，那么第二天继续输的概率为0.7，赢的概率为0.3。
现在我们要求这个赌徒在连续三天内至少赢两次的概率是多少。
根据上述情况，我们可以建立这个问题的Markov链模型。
假设赌徒的状态有两种，分别表示赢和输。
然后我们可以根据给定的转移概率来构建状态转移矩阵，从而求出连续三天内至少赢两次的概率。
在实际操作中，我们可以通过矩阵乘法或者迭代法来得到最终的概率结果。
具体的计算过程可以参考相关的数学推导。
通过这个例题，我们不仅深入理解了Markov链的基本概念，还学会了如何将其应用到实际问题中。
我们也可以发现，在实际问题中，Markov链的应用往往需要一定的数学知识和计算技巧来解决。
对于这个主题，我们除了要了解其基本概念外，还需要具备一定的数学建模和求解能力。
应用随机过程中的Markov链是一个相当有趣且广泛应用的领域。
通过学习和掌握Markov链的相关知识，我们不仅可以更好地理解许多随机现象，还可以应用到实际问题中去解决各种复杂的情况。
随机过程中的马尔可夫链
随机过程中的马尔可夫链随机过程是描述随机演化的数学模型。
其中，马尔可夫链是一种广泛应用于许多领域的随机过程。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来的演化仅依赖于当前状态，而与历史状态无关。
本文将介绍马尔可夫链的基本概念和特性，并探讨其在不同领域中的应用。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一个离散状态的随机过程，其转移概率只与当前状态有关，与历史状态无关。
具体而言，设S为状态空间，P为状态转移概率矩阵，则对于任意的状态i和j，转移概率满足条件P(i, j) ≥ 0，且对于任意的i，ΣP(i, j) = 1。
二、马尔可夫链的特性1. 马尔可夫性质：马尔可夫链的核心特性是马尔可夫性质，即未来的状态只与当前状态有关。
这一性质使得马尔可夫链具有一种"无记忆"的特点，使得其在很多问题中提供了简化假设的可能。
2. 连通性：如果对于任意的状态i和j，存在一系列状态k1, k2, ..., kn，使得从状态i出发，通过这些状态最终能够到达状态j，则称该马尔可夫链是连通的。
3. 遍历性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态，则称该马尔可夫链是遍历的。
4. 非周期性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态的概率为1，则称该马尔可夫链是非周期的。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链被广泛应用于自然语言处理领域，用于语言模型的建模。
通过分析文本数据中的词语之间的转移概率，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场：马尔可夫链在金融市场中的应用较为广泛。
通过分析过去的市场数据，可以构建马尔可夫链模型，预测未来的市场状态，用于投资决策和风险管理。
3. 生物信息学：马尔可夫链在DNA序列分析和蛋白质结构预测等生物信息学问题中得到了应用。
通过建立马尔可夫链模型，可以推断基因序列中的隐藏状态和转移概率，进而揭示生物系统的运作机制。
4. 推荐系统：马尔可夫链在推荐系统中也有一定的应用。
随机过程与马尔可夫链理论
随机过程与马尔可夫链理论是概率论与数理统计领域中的重要概念和工具。
随机过程是指在不同时间点上变量值以某种概率规律变化的过程。
马尔可夫链则是一类特殊的随机过程，其未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链最初由俄国数学家马尔可夫提出，其名字也来源于此。
马尔可夫链的特点是具有马尔可夫性质，即未来状态的条件概率分布只与当前状态有关，与之前的状态无关。
这种性质使得马尔可夫链具有良好的统计特性和可计算性，广泛应用于概率论、统计学、电信工程、物理学、生物学等领域。
马尔可夫链的数学表达是一个序列，其中每一项表示系统的一个状态。
根据系统的状态空间和转移概率，可以构造转移矩阵，用来描述系统状态之间的转移规律。
通过矩阵的乘法和幂次运算，可以得到系统在不同时间点上的状态分布，从而分析系统的演化规律和性质。
马尔可夫链的核心是转移概率矩阵，它描述了状态之间的转移概率。
转移概率矩阵需要满足一些性质，例如每一行之和为1，表示从一个状态转移到其他状态的概率之和为1。
根据转移概率矩阵，可以计算出平稳分布，即系统在长时间演化后的稳定状态分布。
平稳分布是马尔可夫链的一个重要特性，可以用来研究系统的稳定性和平衡性。
马尔可夫链理论在实际应用中有广泛的应用。
在信息传输领域，例如通信网络、数据压缩、编码等，马尔可夫链可以用来描述信道的状态演化和信号的传输过程，从而提高通信系统的性能。
在金融领域，马尔可夫链可以用来分析股票价格的变化趋势和市场的状态转移规律，从而帮助投资者进行风险管理和决策。
在生物学领域，马尔可夫链可以用来模拟分子的随机运动和化学反应等，从而研究生物分子的行为和系统的动力学性质。
总之，随机过程与马尔可夫链理论是概率论与数理统计领域中的重要理论和工具。
马尔可夫链作为一种特殊的随机过程，具有马尔可夫性质，可以用来描述系统状态的演化规律和性质。
马尔可夫链理论在实际应用中有广泛的应用，可以用来分析和模拟各种复杂系统的行为和性质。
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15. 三种同类的商品(1, 2, 3)的市场占有率开始为1/3, 一个季度以后顾客的转移概率矩阵为 1 0.6 0.3 0.1 P = 2 0.3 0.2 0.5 . 3 0.1 0.2 0.7
试求
(a) 半年之后的三种商品的市场占有率; (b) 从状态2到状态3的平均首达时间; (c) 平稳状态下三种商品的市场占有率. 16. 甲有a元, 乙有b元(a, b为正整数). 二人进行赌博, 每局输赢为1元, 一直赌到其中一人输光
1 p< 2 , 而以q = 1 − 2p留在原处. 设0为吸收壁, N 为反射壁 （即PN,N −1 = 1） . 若以Xn 表示
时刻n质点所处的位置, 则{Xn , n ≥ 0}为一Markov链.
(a) 试求该链转移矩阵P ; (b) 若该质点从n出发, 求它被0吸收的概率un , 以及它被吸收的平均步数vn , n = 1, 2, . . . , N . 7. 某车间有两台相同的机器, 每天之多使用其中的一台, 工作着的机器在一天内损坏的概
2
数据可得转移概率矩阵为：
−1 P = 0 1 0.35 0.3 0.35 0 0.2 0.8 0.6 0.4 0 .
试比较稳定经济条件下增长趋势与减少趋势的期望长度.
10. 设马氏链转移概率矩阵为： 1 0 0 1 0 2 1 0 0 0 P = . 3 1/2 1/2 0 0 4 1/3 1/3 1/3 0 (a) 状态分类; 对正常返的状态求出平均常返时; (b) 求出平稳分布; (c) 极限 lim P (n) 是否存在？为什么？
n→∞
11. 设河流每天的BOD（生物耗养量）浓度为一个齐次马氏链, 状态空间I = {1, 2, 3, 4}是
按BOD的浓度为极低, 低, 中, 高分别表示的, 其一步转移概率矩阵(以一天为单位)为
1 0.5 0.4 0.1 0 2 0.2 0.5 0.2 0.1 P = . 3 0.1 0.2 0.6 0.1 4 0 0.2 0.4 0.4
(n)i ∈ I.源自以q = 1 − p逆时针方向游动一格.
(a) 试求该Markov链的转移概率矩阵P ; (b) 对该链进行状态分类（关于可约、 周期、 常返、 正常返）; (c) 求该链的平稳分布. 问 lim P (n) 是否存在？
n→∞
提示 ： 注意N 的奇偶.
4. 考虑从0出发的简单对称随机游动 （见课本例子3.8） . 若以Nn 表示到时刻n为止过程返回
Markov 链 1. 考虑一个状态为{1, 2, 3}的Markov链, 其转移矩阵为 0.6 0.4 0 P = 0.35 0.3 0.35 0 0.2 0.8
.
试求
n; (a) lim Pi,j n→∞
(b) 每个状态的平均返回时间; (c) 初始分布为何时, 该链为平稳序列. 2. 设Markov链{Xn , n ≥ 0}的状态空间I = {0, 1, 2, . . .}, 转移概率为 1 P0,0 = Pi,i+1 = Pi,0 = , 2 (a) 试求f00 和f00 ; (b) 从0出发首次返回0的平均步长µ0 ; (c) 证明此链不可约遍历. 3. 一质点在圆周上作随机游动, 圆周上共有N (≥ 2) 格, 质点以概率p 顺时针方向游动一格,
4
率为p. 车间里有一名修理工, 他一次只能修理一台机器, 且要花两天时间才能修复. 当 一台机器损坏之后, 当天即停止生产. 若另一台机器是好的, 则第二天使用这台好的, 并 修理那台坏的. 系统的状态可用数对(x, y ) 来表示, 其中x是一天结束时仍未损坏的机器 数, 而当损坏的机器已经修理了一天时y 取1, 否则取0. 试用一个Markov链{Xn , n ≥ 0} 来 描述这个系统（状态空间I = {a = (2, 0), b = (1, 0), c = (1, 1), d = (0, 1)}）. 试求该链的
为止, 甲赢的概率为p, 输的概率为q . 现以Xn 表示第n局结束时甲所有的赌资, 则{Xn , n ≥
0}为马氏链. 试求甲输光的概率. 17. 考虑赌徒输光模型, 其中赌徒甲的初始赌资为a(> 10), 赌徒乙的初始赌资为b(> 10). 求
赌徒甲的赌资在减少到5 之前达到a + b − 3的概率.
若BOD浓度高, 则称河流处于污染状态.
(a) 证明该链遍历; (b) 求该链极限分布和平稳分布; (c) 求河流再次达到污染的平均时间. 12. 独立连续地掷一枚骰子, 现以Xn 表示前n次所掷出的最大点数, 则{Xn , n ≥ 1}为一马氏
链,
(a) 试求一步转移概率矩阵P ; 3
(b) 状态分类(几个等价类, 周期, 常返, 正常返); (c) 试求该链的n步转移概率矩阵P (n) ; (d) 试求极限 lim P (n) =?
n→∞
13. 设{Xn , n ≥ 0}为[0, 3]上的随机游动, 其转移概率矩阵如下： 0 1 0 0 0 1 1/4 1/2 1/4 0 P = . 2 0 1/4 1/2 1/4 3 0 0 1 0
试求质点由点k出发被0吸收的概率pk 以及平均步数vk .
(a) 试求该链转移矩阵P ; (b) 证明该链不可约遍历; (c) 试求极限 lim Pi,j .
n→∞ (n)
9. 一个国家在稳定经济条件下其商品出口可用三状态的马氏链来描述. 其中“1”表示今年
比去年增长≥ 5%, “-1”表示今年比去年减少≥ 5%, “0”表示波动低于≥ 5%. 由以往的统计
14. 从数1, 2, 3, . . . , N 中任取一数作为X1 . 对n > 1, 从1, 2, 3, . . . , Xn−1 中任取一数作为Xn , 则Xn 为
一马氏链.
(a) 试写出该链的转移矩阵P ; (b) 对该链进行状态分类; (c) 极限 lim P n 是否存在？为什么？
n→∞
(a) 转移矩阵P ; (b) 状态分类（关于可约、 周期、 常返、 正常返）; (c) 极限分布. 8. 2N 个球（N 个白球N 个黑球）随机装到甲、乙两个袋子里, 每袋各装N 个球, 每次从两
个袋子中个随机取一个球, 并放入对方袋中. 若以Xn 表示第n次取球后甲袋中的黑球数, 则{Xn , n ≥ 0}为一Markov链.
到0的次数. 证明：
(a) 问过程回到0的平均返回时间是？ (b) E N2 n ) 2n −2n = (2n + 1) 2 − 1; n 1 (
√ (c) 当n充分大时, ENn 与 n成比例. 5. 考虑从0出发的简单对称随机游动. 现以Xn 表示质点在时刻n所处的位置. (a) 试求期望E[Xn ]和协方差Cov(Xm , Xn ); (b) 试求Xn 的分布律(n = 1, 2, 3, . . .); (c) {Xn , n ≥ 0}是否为平稳过程? 6. 一质点在区间[0, N ]的整数点上作随机游动, 每次往正向和反向移动一格的概率为p, 0 <