广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含答案
广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“∀x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x3﹣3x≤0 B．∀x∈R，x3﹣3x＜0 C．∃x∈R，x3﹣3x≤0 D．∃x∈R，x3﹣3x＞02．若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|∉N}，则M∩N等于（）A．{3，6} B．{4，5} C．{2，4，5} D．{2，4，5，7}3．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．24．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（）A．y=±4x B．y=±2x C．D．5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．56．若实数x，y满足，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．27．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．58．设Sn 为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于（）A．12 B．C．55 D．9．已知空间向量=（0，，﹣），=（x，0，﹣2），则“x=2”是“＜，＞=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．函数f（x）=的最大值为（）A．B．C．D．11．斜率为1的直线与抛物线y=ax2（a＞0）交于A、B两点，且线段AB的中点C到y轴的距离为1，则该抛物线焦点到准线的距离为（）A．B．C．1 D．212．设A（﹣3，0），B（3，0），若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，则点P到z轴的距离为（）A．B．C．或 D．或二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是．14．椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为平万千米．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的大小；（2）若a=5，b=8，求边c的长．18．设命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x|=5．命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥4．命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．（1）写出命题r的否命题；（2）判断命题￢p，p∨r，p∧q的真假，并说明理由．19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．20．设数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =nan2，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．21．在平面直角坐标系中，点P 为曲线C 上任意一点，且P 到定点F （1，0）的距离比到y 轴的距离多1．（1）求曲线C 的方程；（2）点M 为曲线C 上一点，过点M 分别作倾斜角互补的直线MA ，MB 与曲线C 分别交于A ，B 两点，过点F 且与AB 垂直的直线l 与曲线C 交于D ，E 两点，若|DE|=8，求点M 的坐标．22．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆C 上的点到椭圆右焦点F 的最小距离为﹣1．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且不与坐标轴平行的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OA ，OM ，OB 的斜率为k OA ，k OM ，k OB ，若k OA ，﹣k OM ，k OB 成等差数列，求直线l 的方程．广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“∀x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x3﹣3x≤0 B．∀x∈R，x3﹣3x＜0 C．∃x∈R，x3﹣3x≤0 D．∃x∈R，x3﹣3x＞0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，x3﹣3x≤0，故选：C2．若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|∉N}，则M∩N等于（）A．{3，6} B．{4，5} C．{2，4，5} D．{2，4，5，7}【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简M，再由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}={x∈N|1＜x＜7}={2，3，4，5，6}，N={x|∉N}，∴M∩N={2，3，4，5，6}∩{x|∉N}={2，4，5}，故选：C．3．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式，列出方程组，由此能求出公差d．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，∴，解得，d=．故选：A．4．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（）A．y=±4x B．y=±2x C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得m=4，求得双曲线的方程，可得渐近线方程为y=±x．【解答】解：双曲线的实轴长为4，可得2=4，可得m=4，即有双曲线的方程为﹣y2=1，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：C．5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．5【考点】正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．故选：D．6．若实数x，y满足，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=﹣x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即C（3，1），此时zmin=﹣3+1=﹣2．故选：B7．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7∴x1+x2=5，∴A、B到y轴的距离之和为5，故选：D．8．设Sn 为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于（）A．12 B．C．55 D．【考点】数列递推式．【分析】Sn+1=3Sn，可得数列{Sn}为等比数列，公比为3．可得．利用递推关系即可得出．【解答】解：∵Sn+1=3Sn，∴数列{Sn}为等比数列，公比为3．∴．∴a3=S3﹣S2==6，解得S1=1=a1．∴Sn=3n﹣1．∴a5=S5﹣S4=34﹣33=54．∴a1+a5=55．故选：C．9．已知空间向量=（0，，﹣），=（x，0，﹣2），则“x=2”是“＜，＞=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据空间向量数量积的定义结合向量夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：∵ =（0，，﹣），=（x，0，﹣2），∴•=（0，，﹣）•（x，0，﹣2）=×2=，则||==，||=，若＜，＞=，则cos＜，＞=cos=，即==，平方得，得x2=4，即x=±2，即“x=2”是“＜，＞=”的充分不必要条件，故选：A10．函数f（x）=的最大值为（）A．B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】当x≠0时，f（x）==，结合基本不等式，可得函数的最大值．【解答】解：当x=0时，f（0）=0，当x≠0时，f（x）==≤=，故函数f（x）=的最大值为，故选：B11．斜率为1的直线与抛物线y=ax2（a＞0）交于A、B两点，且线段AB的中点C到y轴的距离为1，则该抛物线焦点到准线的距离为（）A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直线斜率为1，可设方程y=x+b，与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得a的值，再求出抛物线焦点到准线的距离即可．【解答】解：设直线为y=x+b，与y=ax2联立方程组，即为，消y可得ax2﹣x﹣b=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=，∵线段AB的中点C到y轴的距离为1，∴=1，解得a=，∴y=x2，∴该抛物线焦点到准线的距离a即为，故选：A12．设A（﹣3，0），B（3，0），若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，则点P到z轴的距离为（）A．B．C．或 D．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件得到P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，求出双曲线的方程，联立方程组求出P的坐标即可得到结论．【解答】解：∵A（﹣3，0），B（3，0），P满足|PA|﹣|PB|=4＜|AB|，∴P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，其中c=3，2a=4，则a=2，b2=9﹣4=5，即双曲线方程为﹣=1，若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，则有消去y得16x2+90x﹣325=0，即（2x﹣5）（8x+65）=0，得x=或（x=﹣＜0舍），此时y=，即点P到z轴的距离为，故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是若x2≤1，则x≤1 ．【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是命题“若x2≤1，则x≤1”，故答案为：若x2≤1，则x≤114．椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆方程转化成标准方程，求得a，b的值，由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2．【解答】解：由题意可知：椭圆的标准方程：，焦点在y轴上，a2=7，b2=3，由c2=a2﹣b2=4，c=2，∴由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2，故答案为：2．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面D1EC的距离．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），D1（0，0，1），=（0，1，0），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣1，1），设平面D1EC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∴点B到平面D1EC的距离：d==．故答案为：．16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21 平万千米．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．【解答】解：由题意画出图象：且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米，AC=15里=7500米，在△ABC中，由余弦定理得，cosB===，所以sinB==，则该沙田的面积：即△ABC的面积S===21000000（平方米）=21（平方千米），故答案为：21．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的大小；（2）若a=5，b=8，求边c的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出．（2）利用余弦定理即可得出．【解答】解：（1）acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，sinC≠0，解得cosC=，C∈（0，π），∴C=．（2）由余弦定理可得：c2=52+82﹣2×5×8cos=49，解得c=7．18．设命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x|=5．命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥4．命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．（1）写出命题r的否命题；（2）判断命题￢p，p∨r，p∧q的真假，并说明理由．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）根据否命题的定义求出r的否命题即可；（2）分别判断p，q，r的真假，从而判断复合命题的真假即可．【解答】解：（1）命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．命题r的否命题是：若|x|+|y|＞1，则＞；（2）命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x|=5，是假命题，命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥2=4，是真命题，若|x|+|y|≤1，则则==﹣1+≥﹣1+=，故命题r是假命题；故命题￢p是真命题，p∨r是假命题，p∧q是假命题．19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB ∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB．…又，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD中点，∴FG∥EO，∴PB∥FG．…∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN，∴PB∥平面FMN．…解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，2，0），B（2，0，0），E（0，1，1），则，，…∵PA⊥平面ABCD，∴平面ABC的一个法向量n=（0，0，1）．…设平面AEC的法向量为n=（x，y，z），则，即，…令x=1，则y=﹣1，z=1，∴n=（1，﹣1，1），…∴．…由图可知，二面角E﹣AC﹣B为钝角，∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…20．设数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =nan2，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．可得2an+1+Sn﹣2=0，利用递推关系可得：an+1=．再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）bn =nan2=．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（1）解：（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．∴2an+1+Sn﹣2=0，∴n≥2时，2an +Sn﹣1﹣2=0，可得：2an+1﹣2an+an=0，∴an+1=．∴数列{an}是等比数列，公比为，首项为1．∴an=．（2）证明：bn =nan2=．∴数列{bn }的前n项和为Tn=1+++…+，∴=+…+（n﹣1）×+n，∴=++…+﹣n=﹣n，∴Tn=﹣＜．21．在平面直角坐标系中，点P为曲线C上任意一点，且P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．（1）求曲线C的方程；（2）点M为曲线C上一点，过点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B 两点，过点F且与AB垂直的直线l与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义得曲线C为抛物线，即可求曲线C的轨迹方程；（2）求出直线AB的斜率，可得直线DE的方程，利用抛物线的定义建立方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等∴由抛物线的定义得曲线C 为抛物线， =1 ∴轨迹方程为：y 2=4x ．（2）设M （x 0，y 0），直线MA 的斜率为k ，直线MB 的斜率为﹣k ，k ≠0，直线MA 的方程为y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），将y 2=4x 代入整理得到ky 2﹣4y+4y 0﹣4kx 0=0， 则y A =﹣y 0，又y A ﹣y 0=k （x A ﹣x 0），整理得到x A =﹣，将其中的k 换成﹣k ，得到x B =+，y B =﹣﹣y 0，那么直线AB 的斜率k=﹣，∴直线DE 的斜率为，方程为y=（x ﹣1），代入y 2=4x ，可得=0，∴x 1+x 2=2+，∵|DE|=8， ∴2++2=8，∴y 0=±2，x 0=1，∴M （1，±2）．22．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆C 上的点到椭圆右焦点F 的最小距离为﹣1．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且不与坐标轴平行的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OA ，OM ，OB 的斜率为k OA ，k OM ，k OB ，若k OA ，﹣k OM ，k OB 成等差数列，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立直线方程与椭圆方程，由一元二次方程的根与系数的关系结合kOA ，﹣kOM，kOB成等差数列求得直线的斜率，则直线方程可求．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）．则．∵kOA ，﹣kOM，kOB成等差数列，∴kOA +kOB+2kOM====4k==．即k=．∴直线l的方程为y=．。
中山市高三级2016-2017学年第一学期期末考试(理数)
中山市高三年级2016–2017学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足(1i)13i z +=-，则||=z （ ）A B ．2 C D ．1 2．设集合2{|340}A x x x =--<，{|lg(21)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．1(4,)2- B ．1(1,)2- C ．1(,1)2D ．1(,4)23．《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织的布为（ ）A ．错误！未找到引用源。
尺B ．2916尺C ．3116尺D ．158尺4．如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB AOB 内任取一点， 则该点在圆C 内的概率为（ ）A ．16 B ．13 C ．34 D ．235．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P ||1a b ->是命题5:[,)26Q ππθ∈的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分且非必要条件6．算法程序框图如右图所示，若2a π=，133b =，ln 3c =，则输出的结果是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．3a b c++ 7．已知函数()sin f x x x =⋅，则()12f π、1()2f -、()3f π-的大小关系是（ ）A ．1()()21)32(f f f ππ->-> B ．1())23(2(1)f f f ππ->-> C ．1()3()()122f f f ππ->>- D ．1()()12()32f f f ππ->>-8．曲线3()3f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则点P 的坐标为（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1,3)- 9．在三棱锥S ABC -中，AB BC ⊥，AB BC ==2SA SC ==，AC 的中点为M ，SMB∠S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A ．32π B ．2πC ．6πD10．对于下列命题：①若命题:p x ∃∈R ，使得tan x x <，命题:q x +∀∈R ，2lg lg 10x x ++>，则命题“p 且q ⌝”是真命题；②若随机变量(,)B n p ξ，()6E ξ=，()3D ξ=，则3(1)4P ξ==；③“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“2y xz =”成立的充要条件；④已知ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(11)0.3P ξ-≤<=，则(3)0.2P ξ≥=．其中真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 12．函数2()3f x x x a =-+-，2()2xg x x =-，若[()]0f g x ≥ 对[0,1]x ∈恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．(,]e -∞B ．(,2]-∞C ．(,ln 2]-∞D ．1[0,)2第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数,x y 满足212x y x y x+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，且数列4,,2x z y 为等差数列，则实数z 的最大值是 ．14．函数x x x x y 22sin cos cos sin 32+-=的图象在],0[m 上恰有两个点的纵坐标为1，则实数m 的取值范围是 ． 15．已知0a >，6)x -展开式的常数项为15，则2(a ax x dx -+=⎰ ．16．已知数列{}n a 满足：1(1)nn n a a n ---=(2n ≥)，记n S 为{}n a 的前n 项和，则40S = ．正视图俯视图侧视图2112111三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足2sin()6b C ac π+=+．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．18．（本小题满分12分）已知正项的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，点21(,)n n P a a +在曲线244y x x =++上．（1）求n a 和n S ；（2）若数列{}n b 满足1117,2n n b b b n +=-=最小的序号n 的值．19．（本小题满分12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2W/cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度i D 和声音能量i I （i =1，2，…，10）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（I ）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程lg D a b I =+；（Ⅱ）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是1I 和2I ，且10121410I I +=．已知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I之A 1C 1CB 1ABD和．请根据（I ）中的回归方程，判断P 点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据11(,)μν，22(,)μν，……(,)n n μν，其回归直线ˆˆˆναβμ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()ˆ(nii i nii μμννβμμ==--=-∑∑，ˆˆανβμ=-⋅． 20．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，111C B A ABC -为三棱柱，且⊥1AA 平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒． （Ⅰ）若AC AA =1，求证：1AC ⊥平面CD B A 11； （Ⅱ）若2CD =，1AA AC λ=，二面角11C A D C --的11C ACD -的体积． 21．（本小题满分12分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为1l 、2l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M 、N 为C 的两个端点，测得点M 到1l 、2l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到1l 、2l 的距离分别为20千米和2.5千米， 以2l 、1l 所在的直线分别为x 、y 轴，建立平面直角坐①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？并求出最短长度.22．（本题满分12分）已知函数()ln(1)f x x a x =-+ （1）试探究函数()f x 在(0,)+∞上的极值；（2）若对任意的[1,2]x ∈，2()f x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．xy1l2l。
广东省中山市第一中学2016-2017学年高二上学期理科数学期末复习试题三 含答案
高二理科数学复习题三一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．) 1设,,a b c 分别ABC △的内角,,A B C 所对的边，若1,3060A a b ==则是B =的（ ）A 。
充分不必要条件； B.必要不充分条件；C.充要条件； D 。
既不充分也不必要条件 2. 已知条件p::x ≤1，条件，q:x1<1，则⌝p 是q 的（ ）A 。
充分不必要条件； B.必要不充分条件；C 。
充要条件； D.既不充分也不必要条件 3。
设数列{}na 的前n 项和S n ，且12+-=n an,则数列}{nS n的前11项为（ ）A ．45-B ．50-C ．55-D ．66- 4。
设a ∈R ，函数()ee xx f x a -=+⋅的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数 . 若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为（ ）A 。
ln 22-B.ln 2-C.ln 22D 。
ln 25。
下列命题中不正确的命题个数是 （ ）①。
如果c b a ,,共面，d c b ,,也共面，则d c b a ,,,共面;②。
已知直线a 的方向向量a 与平面α，若a //α，则直线a //α； ③若P M A B 、、、共面,则存在唯一实数,x y 使MP xMA yMB =+,反之也成立;④.对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OCA.3 B 。
2 C 。
1 D 。
06。
命题“ax 2－2ax + 3 〉 0恒成立”是假命题， 则实数a 的取值范围是( )A. a < 0或a ≥3B. a ≤0或a ≥3 C 。
a < 0或a 〉3 D 。
0〈a 〈37。
数列1，1+2,1+2+22,1+2+22+23，…,1+2+22+…+2n －1，…前n 项和S n >1020，则n 的最小值是（ )A 、7B 、8C 、9D 、108。
广东省中山市第一中学2016-2017学年高二上学期理科数学期末复习试题二 含答案
高二理科数学期末总复习试题二班级 姓名 登分号 成绩_____________ 一、选择题：1、若b a ,为实数，则22b a >是0>>b a 的( ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 (D ）既不也不必要条件2、已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线01142=+-y x 上，此抛物线的方程是( )（A ）x y 222-=（B) x y 222= (C) x y 112-= (D ）x y 112=3、条件甲：⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ；条件乙：⎩⎨⎧<<<<3210y x ，则甲是乙的（ ） （A ）充分不必要条件 (B)必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不也不必要条件4、设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为（ ）（A) )9,3( （B) )9,3(- (C) (49,23） (D) （49,23-)5、若16,,,,1z y x 五个数成等比数列，则y 的值为（ )（A ）4 （B ）4- （C)4± （D ）26、设)(x f 满足)(3)(3)1(+∈+=+N n n n f n f 且1)1(=f ，则=)18(f （ ）(A ）20 （B ）38 (C ）52 （D ）357、已知三角形ABC 的面积2224a b c S +-=，则角C 的大小为（ ）(A ）030 （B ）045 (C ）060 （D)0758、在ABC 中，5,4==b a 且三角形的面积为35,若c 不是最大边,则=c (）（A)25 （21（22 （D 239、设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF = 4：3：2，则曲线C 的离心率等于A 。
1322或 B. 223或 C 。
广东省中山市第一中学2016-2017学年高二上学期理科数学期末复习试题一 Word版含答案
A 11高二上学期理科数学期末复习试题一．选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合A={1，a }，B={1，2，3}，则“a=3”是“A ⊆B “的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x ），且∥，则x=（ ）A. 5B. 4C.-4D. -2 3. 已知曲线2122y x =-上一点P 3(1,)2-，过点P 的切线必过点（ ） A.21,2(1-P B.21,3(2-P C.31,2(3-P D.31,3(4-P 4．如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与 BD 的交点，若11A B a =,11A D b =,1A A c =,则下列向量 中与1B M 相等的向量是（ ）A.1122a b c -++ B.1122a b c ++ C.1122a b c -+ D.1122a b c --+ 5. 抛物线()02≠=a ax y 的焦点坐标是（ ） A.⎪⎭⎫⎝⎛0,4a B.⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0a C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 41,0 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛a 41,06．已知点P 是双曲线22145x y -=上一点，若12PF PF ⊥，则△12PF F 的面积为（ ） A ．5/4B ． 5/2C ．5D ．107．等比数列{}n a 中，已知对任意自然数n ，12321-=++++n n a a a a ，则2232221na a a a ++++ 等于（ ） A. 21n- B.1(31)2n - C. )14(31-n D.以上都不对 8．设x>0 , y>0 ，且x+2y=202 则lgx+lgy 的最大值是（ ） A.9800lgB.7800lg C.2 D.3 9．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=900，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.1030 B.21 C.1530 D.101510．已知AB 是经过抛物线y 2=2px(P>0)的焦点的弦，若点A 、B 的横坐标分别为1和 ，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．x=-4B ．x=﹣2C ．x=﹣1D ．x=﹣11. 以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的顶点为焦点、焦点为顶点的双曲线方程为( )A. 222221x y a a b -=+B. 222221x y a a b -=-C. 222221x y a b b -=+D. 122222=--b y b a x12.函数31(x)443f x x =-+ 在区间[0，3]的最大值与最小值之积为（ ）A. 316-B.163-C. 43-D. 34- 二．填空题（每小题5分，共20分） 13． 若(x)x f xe =，则'(x)f = ．14．以y=±x 为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为 ． 15. 若数列{}n a 的前n 项的和122+-=n n S n ,则数列{}n a 的通项公式为 ．16．若原命题为：“若a 2+b 2=0，则a 、b 全为0”，那么以下给出的4个结论：①其逆命题为：若a 、b 全为0，则a 2+b 2=0；②其否命题为：若a 2+b 2≠0，则a 、b 全不为0；③其逆否命题为：若a 、b 全不为0，则a 2+b 2≠0；④其否定为：若a 2+b 2=0，则a 、b 不全为0． 其中正确的序号为 ．高二上学期理科数学期末复习试题答题页班别 登分好 姓名 成绩一． 选择题（每小题5分，共60分）二．填空题（每小题5分，共20分）13． 14．15. 16.三．解答题（本题共6小题，共70分） 17．（10分）已知命题p ：方程x 2+mx +1=0有两个不相等的负根；命题q ：方程4x 2+4（m ﹣2）x +1=0无实根．若p ∨q 为真，（p ∧q ）为假，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝128.(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n ＝n a 2log ，且数列{b n }的前n 项和为S n ＝360，求n 的值.19．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产一吨甲产品、一吨乙产品所需要的煤、电以及产值如表所示；又知道国家每天分配给该厂的煤和电力有限制，每天供煤至多56吨，供电至多45千瓦.问该厂如何安排生产，才能使该厂日产值最大？最大的产值是多少？20.（12分）如图，PD 垂直正方形ABCD 所在平面，AB ＝2， E 是PB 的中点，<cos ，>33=． （1）建立适当的空间坐标系，求出点E 的坐标； （2）在平面PAD 内求一点F ，使EF ⊥平面PCB ．21．（12分）某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶.公路的走向是M 站的北偏东40︒.开始时，汽车到A 的距离为31千米．汽车前进20千米后，汽车到A 的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？22．（12分）设双曲线C 方程为)0(12222>>=-b a by a x的右准线1l （方程为2a x c=）与两条渐近线分别交于P 、Q 两点，右焦点为F ，且△PQF 为等边三角形，若双曲线C 被直线2l ：b x y +=所截弦长为30，求双曲线C 的方程.高二上学期理科数学期末复习试题参考答案一． 选择题（每小题5分，共60分）二．填空题（每小题5分，共20分）13．(1)xx e + 14．22144x y -= 15. ⎩⎨⎧≥-==2,321,0n n n a n 16. ① 17．（10分）已知命题p ：方程x 2+mx +1=0有两个不相等的负根；命题q ：方程4x 2+4（m ﹣2）x +1=0无实根．若p ∨q 为真，（p ∧q ）为假，求实数m 的取值范围．解：命题p 为真时，实数m 满足△=m 2﹣4＞0且﹣m ＜0， 解得m ＞2，…………………2分命题q 为真时，实数m 满足△=16（m ﹣2）2﹣16＜0， 解得1＜m ＜3，…………………4分由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p ，q 一真一假；……5分①若q 真且p 假，则实数m 满足1＜m ＜3且m ≤2，解得1＜m ≤2；…7分 ②若q 假且p 真，则实数m 满足m ≤1或m ≥3且m ＞2，解得m ≥3…9分 综上可知实数m 的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．…………………10分 18．（12分）已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝128. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n ＝n a 2log ，且数列{b n }的前n 项和为S n ＝360，求n 的值.解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧====128241512q a a q a a …………2分解之得⎩⎨⎧a 1＝12q ＝4，……4分 ∴a n ＝a 1q n －1＝12·4 n －1 即 322-=n n a ；………5分(Ⅱ) b n ＝,322log log 3222-==-n a n n ……………………7分 ∵b n ＋1－b n ＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)＝2，又11-=b ，∴{b n }是首项为－1，公差为2的等差数列，……………………9分 ∴S n ＝n(－1＋2n －3)2＝360，……………………10分即 n 2－2n －360＝0，∴n ＝20或n ＝－18（舍去）， 因此，所求n ＝20. ……………………12分 19．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产一吨甲产品、一吨乙产品所需要的煤、电以及产值如表所示；又知道国家每天分配给该厂的煤和电力有限制，每天供煤至多56吨，供电至多45千瓦.问该厂如何安排生产，才能使该厂日产值最大？最大的产值是多少？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧27将z 变形为1111 ……………7分 当直线11118z x y +-=在纵轴上的截距11z达到最大值时，z 取最大值．从图中可知，当直线11118zx y +-=经过点M 时，z 达到最大值. (8)分由⎩⎨⎧=+=+45525637y x y x 得M 点的坐标为（5，7）……………………10分所以当7,5==y x 时，11711785max =⨯+⨯=z ……………………11分因此，该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，能使该厂日产值最大，最大的产值是117万元. ……………………12分20.（12分）如图，PD 垂直正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 是PB 的中点，<cos ，>33=． （1）建立适当的空间坐标系，求出点E 的坐标； （2）在平面PAD 内求一点F ，使EF ⊥平面PCB ．解：（1）分别以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系，如图，则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），……………2分 设P （0，0，2m ），则E （1，1，m ），……………3分∴ =AE （-1，1，m ），DP ＝（0，0，2m ）…4分 ∴ DP <cos ，1,33211222==++>=⋅m mm m 解得． ∴ 点E 坐标是（1，1，1）；………………6分 （2）∵∈F 平面PAD ， ∴ 可设F （x ，0，z ）EF ＝（x-1，-1，z-1），………………7分 又EF ⊥平面PCB ，∴ ⇒⊥CB EF 1(-x ，-1，)1-z (⋅2，0，)0=0，解得, 1x =；…………10分 又∵⊥ ∴ 1(-x ，-1，()1⋅-z 0，2，-200)=⇒=z ……………11分 ∴ 点F 的坐标是（1，0，0），即点F 是AD 的中点．………………12分21．（12分）某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处， 观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶.公路的走向是M 站的北偏东40︒.开始时，汽车到A 的距离为31千米．汽车前进20千米后，汽车到A 的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？解：由题意可设汽车前进20千米后到达B 处, 在∆ABC 中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=BC AC AB BC AC ⋅-+2222=3123,………………3分则sin 2C =1- cos 2C =231432, sinC =31312,………………6分 所以 sin ∠MAC = sin （120︒-C ）= sin120︒cosC - cos120︒sinC =62335 ………………8分在∆MAC 中，由正弦定理得 MC =AMC MAC AC ∠∠sin sin =2331⨯62335=35 , ………10分 从而有MB= MC-BC=15. ……11分答：汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站. ………………12分22．（12分）设双曲线C 方程为)0(12222>>=-b a by a x 的右准线1l 与两条渐近线分别交于P 、Q 两点，右焦点为F ， 且△PQF 为等边三角形，若双曲线C 被直线2l ：b x y +=所截弦长为30，求双曲线C 的方程.解：易求得P,(,22cabc a Q c ab c a -（，………………2分 由于△PQF 为等边三角形，故cabPQ c a c 223||232⋅==-，即a b 3=.………………4分 将b x y +=代入双曲线方程并整理得：022)222222=---b a bx a x a b （ ………………6分将a b 3=代入上式并化简得：03322=--a ax x ，………………7分012322>+=∆a a ，………………8分221213,3a x x a x x -=⋅=+，………………9分 221221212154)()(a x x x x x x =⋅-+=-，设直线2l 截双曲线C 所得弦长为d ，则115230||22221=⇒⨯=⇒-=a a x x d ，∴32=b ，………………11分∴所求双曲线C 的方程为1322=-y x .………………12分。
2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
2016-2017高二年级第一学期期末考试数 学 （理科）本试卷共100分．考试时间90分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01=+-y x 的斜率是 （ ）A ．1B ．1-C ．4π D ．43π 2．方程2240x y x +-=表示的圆的圆心和半径分别为（ ）A ．(2,0)-，2B ．(2,0)-，4C ．(2,0)，2D ．(2,0)，43．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=垂直，则a 的值为 （ ）A ．4B ．4-C ．1D ．1-4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -关于坐标平面xOy 的对称点为 （ ）A ．(1,2,3)--B ．(1,2,3)---C ．(1,2,3)--D ．(1,2,3)5．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下面说法正确的是（ ）A ．//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．//m l m n n l ⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．////m l l m ββ⎫⇒⎬⊥⎭D ．//m n m n γγ⎫⇒⊥⎬⊥⎭6．“直线l 的方程为)2(-=x k y ”是“直线l 经过点)0,2(”的 （ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）A ．53B ．103C ．203D ．2538．实数x ，y 满足10,1,x y x y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，若2u x y =-的最小值为4-，则实数a 等于（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．双曲线2214y x -=的渐近线方程为_________．10．点P 是椭圆22143x y +=上的一点，1F 、2F 分别是椭圆的左右焦点，则∆21F PF 的周长是_________． 11．已知命题p ：1x ∀>，2210x x -+>，则p ⌝是_________．12．在空间直角坐标系中，已知点)1,,0(),0,1,2(),2,0,1(a C B A ，若AC AB ⊥，则实数a 的值为_________． 13．已知点P 是圆221x y +=上的动点，Q 是直线:34100l x y +-=上的动点，则||PQ 的最小值为_________．14．如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且//1P A 平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为_________．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知圆M 过点A ，(1,0)B ，(3,0)C -． （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)的直线l 与圆M 相交于D 、E 两点，且32=DE ，求直线l 的方程．16. （本小题满分10分）已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，定点(5,0)M . （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求△ABM 的面积；（Ⅱ）若AMB ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的方程．17. （本小题满分12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P ABC -中，D 为PC 的中点，1PA AB ==，PB PC ==．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求BD 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角D AB C --的余弦值．18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，△12BF F 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点2F 的直线l ，交椭圆于两点P 、Q ，使得1//PA QF ，如果存在，试求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由．高二年级第一学期期末练习参考答案数 学 (理科)阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 2y x =±10. 6 11. 1x ∃>，2210x x -+≤ 12. 1- 13. 114.43三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解：（Ⅰ）设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，则3021009303F D D F E D F F ⎧+==⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==-⎩⎩………………………………………………………………（3分）故圆M ：22230x y x ++-=，即22(1)4x y ++= …………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，(1,0)M -.设N 为DE 中点，则MN l ⊥，1||||2DN EN ==⋅=5分） 此时||1MN ==. …………………………………（6分）当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1MN =，符合题意 …………（7分）当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，由题意1= ……………………………（8分）解得：34k =， ……………………………（9分） 故直线l 的方程为324y x =+，即3480x y -+=………………………………（10分）综上直线l 的方程为0x =或3480x y -+=16. 解：（Ⅰ）解法1：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2244401y xy y y x ⎧=⇒--=⎨=-⎩………………………………………………（2分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->故121244y y y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ……………………………………………………………（3分）有12||y y -==………………………………………（4分）有121211||4||42||22AMB AMF BMF S S S y y y y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅-=…………………………（5分）解法2：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2246101y xx x y x ⎧=⇒-+=⎨=-⎩……………………………………………（2分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->126x x +=，1228AB x x =++= ……………………………………（3分） 点M 到直线AB的距离d ==4分）182ABM S ∆=⨯⨯…………………………………（5分）（Ⅱ）解法1：易得，直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+2244401y xy my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩ ………………………………………………………（6分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由216160m ∆=+>，得121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩………………………………………………………………（7分） 由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=， ………………（8分）即1212(4)(4)0my my y y --+=整理得：21212(1)4()160m y y m y y +-++=此时有：2(1)(4)4(4)160m m m +⋅--⋅+=，解得m =9分） 故l 的方程为15x y =+或15x y =-+即550x -=或550x -=………………………………………（10分）解法2：易知直线l x ⊥时不符合题意.可设直线l 的方程为)1(-=x k y .⎩⎨⎧=-=x y x k y 4),1(2，消去y ，可得0)42(2222=++-k x k x k . …………………………（6分） 则0)1(162>+=∆k .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22142k x x +=+，121=x x . …………………………………………（7分）由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=，………………………（8分）即：0425)(5212121=-++-x x x x x x ， 即：0425)42(512=-++-k ，解得315±=k . …………（9分） 故l 的方程为0535=--y x 或0535=-+y x .………………………………………（10分）17.解：（Ⅰ）∵ 1PA AB ==，PB =∴ PA AB ⊥ ……………………………………………（1分） ∵ 底面是正三角形 ∴ 1AC AB ==∵ PC =∴ PA AC ⊥ ……………………………………（2分） ∵ AB AC A = ,AB AC ⊂平面ABC ∴ PA ⊥平面ABC ．………………………………………（3分）（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AP 为z 轴，平面ABC 中垂直于AB 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，1(,22C ，(0,0,1)P …………………………………………………………………………………………（4分）所以11()42D ，31()42BD =- ． ………………………………（5分）平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，…………………………………（6分）记BD 与平面ABC 所成的角为θ，则1sin cos ,BD θ=<> n =12……………………………（7分） ∴ 6πθ=．…………………………（8分）（Ⅲ）设平面ABD 的法向量为2(,,)n x y z =，由2n AD ⊥ 得：11042x y z ++=， ……………………………（9分） 由2n AB ⊥得：0x =代入上式得，z y =． ………………………（10分）令2y =，则z =2(0,2,n =． …………………………………（11分）记二面角D AB C --的大小为α，则12cos |cos ,|n n α=<>= ．………（12分）18. 解：（Ⅰ）由题意可得2,1a b c === ……………………………………（2分）所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，……………………………………（3分）椭圆的离心率12c e a ==.……………………………………………（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y显然直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+，则 ……………………………（5分）222213(1)412431x y my y x my ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩………………（6分）整理得：22(34)690m y my ++-=，此时21441440m ∆=+>，故122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩……………………………………（7分） 注意到1111(2,)(1,)AP x y my y =-=- ，12222(1,)(2,)FQ x y my y =+=+…………………………（8分）若1//PA QF ，则1221(1)(2)my y my y -⋅=+⋅，即212y y =- ……………（9分）此时由21212122212222627234612(34)3434m y y y m m y y m m m y y y m m ⎧=-=⎧⎪⎪⎪+⇒⇒=-⎨⎨++=-⎪⎪=-+⎩⎪+⎩， ………………………（10分）故2222729(34)34m m m -=-++，解得254m =，即m =……………（11分）故l的方程为1x y =+或1x y =+，20y -=20y += …………………………………（12分）解法2： 由（Ⅰ）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A . 直线l x ⊥时，212221F F AF QF PF ≠=，则1//PA QF 不成立，不符合题意..………………………………（5分）可设直线l 的方程为)1(-=x k y . .……………………………（6分）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134),1(22y x x k y ，消去y ，可得()01248342222=-+-+k x k x k ………………（7分） 则0)1(1442>+=∆k .设11(,)P x y ，22(,)Q x y则3482221+=+k k x x ①，341242221+-=k k x x ② .…………………（8分）),2(11y x -=，),1(221y x F +=. 若1//PA QF ，则F 1//，则0)1)(1()1)(2(1221=-+---x x k x x k .化简得03221=-+x x ③. ………………………（9分）联立①③可得3494221++=k k x ，3494222+-=k k x ， ………………………（10分） 代入②可以解得25±=k . …………………………（11分） 故l20y -=20y +=. ……………（12分）。
广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题Word版含答案
广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“3,30x R x x ∀∈->”的否定为（ ）A ．330x R x x ∀∈-≤，B ．330x R x x ∀∈-<，C ．330x R x x ∃∈-≤，D ．330x R x x ∃∈->， 2.若集合{}28703x M x N x x N xN ⎧⎫=∈-+<=∉⎨⎬⎩⎭，，则M N 等于（ ） A ．{}3,6 B ．{}4,5 C ．{}2,4,5 D ．{}2,4,5,73.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5261S a ==，，则公差d 等于（ ） A ．15 B ．35 C ．65D ． 2 4.若双曲线221x y m-=的实轴长是4，则此双曲线的渐近线方程为（ ）A ．4y x =±B ．2y x =± C.14y x =±D ．12y x =± 5.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，若2cos cos ,2b A a B c a b +===，则ABC ∆的周长为（ ）A ．5B ．6 C.7 D ．7.56.若实数,x y 满足270,2,1,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-+的最小值为（ ）A ．-3B ．-2 C.1 D ．27.抛物线24y x =上有两点A B 、到焦点的距离之和为7，则A B 、到y 轴的距离之和为（ ） A ．8 B ．7 C. 6 D ．58.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，36a =且13n n S S +=，则15a a +等于（ ）A ．12B ．1643 C. 55 D ．17039.已知空间向量()550,,,0,244a b x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，，则“2x =”是“,3a b π= ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10.函数()f x =的最大值为（ ）A ．14 B ．13 C. 12D11.斜率为1的直线与抛物线()20y axa =>交于A B 、两点，且线段AB 的中点C 到y 轴的距离为1，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ） A ．14 B ．12C.1 D ．2 12.设()()3,03,0A B -，，若直线)5y x =-上存在一点P 满足4PA PB -=，则点P 到x 轴的距离为（ ） ABD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若1x >，则21x >”的逆否命题是 ．14.椭圆227321x y +=上一点到两个焦点的距离之和为 ．15.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 为AB 中点，则点1B 到平面1D EC 的距离为 ．16.我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田城类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为 平方千米.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=. （1）求角C 的大小；（2）若58a b ==，，求边c 的长.18. （本小题满分12分）设命题()002,65p x x ∃∈-+∞+=：，.命题()224,04q x x x∀∈-∞+≥：，.命题r ：若1x y +≤,则122y x ≤+. （1）写出命题r 的否命题；（2）判断命题,,p p r p q ⌝∨∧的真假，并说明理由.19. （本小题满分12分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，,PA CD BC ⊥⊥平面PAB ,且E M N 、、分别为PD CD AD 、、的中点，3PF FD = .证明：(1）//PB 平面FMN ;（3）若2PA AB ==，求二面角E AC B --的余弦值.20. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且对任意正整数n ，点()1,n n a S +都在直线220x y +-=上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：169n T <.21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点P 为曲线C 上任意一点，且P 到定点()1,0F 的距离比到y 轴的距离多1. （1）求曲线C 的方程；（2）点M 为曲线C 上一点，过点M 分别作倾斜角互补的直线MA ，MB 与曲线C 分别交于A ，B 两点，过点F 且与AB 垂直的直线l 与曲线C 交于,D E 两点，若8DE =，求点M 的坐标.22. （本小题满分10分）已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：，且椭圆C 上的点到椭圆右焦点F 的最小距离为1-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且不与坐标轴平行的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线,,OA OM OB 的斜率分别为OA OM OB k k k -，，若成等差数列，求直线l 的方程.广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题参考答案（理科）一、选择题1-5:CCADA 6-10:BDCAB 11、12：CA二、填空题13. 若21x ≤，则1x ≤14.三、解答题17.解：（1）由cos cos 2cos a B b A c C +=及正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 即sin 2sin cos C C C =,1cos 2∴=，又C 为三角形的内角，3C π∴=. （2）由余弦定理22212cos 2564258492c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=， 得7c =.18.解:（1）命题r 的否命题为:1x y +>,则122y x >+. （2）若()002,,66,x x ∈-+∞+≥∴命题p 为假命题.()2224,0,0,4x x x x ∀∈-∞>+≥=当且仅当22x =时取等号，故命题q 为真命题.设,m x n y ==，则0,10,1,m x y n m n ≥⎧⎪+≤⇔≥⎨⎪+≤⎩作出不等式组表示的可行域，2nm +表示点(),m n 与点()2,0-两点连线的斜率， 由图可知112022n m ≤=++，故r 为真命题.p ∴⌝为真命题，p r ∨为真命题，p q ∧为假命题.19.证明：连接BD ，分别交AC MN 、于点O G 、，连结EO FG 、，O 为BD 中点，E 为PD 中点，//EO PB ∴， 又3PF FD =，F ∴为ED 中点，又CM MD =，AN DN G =∴为OD 的中点，//,//FG EO PB FG ∴.FG ⊂平面FMN ，PB ⊄平面FMN . //PB ∴平面FMN.（2）解：∵BC ⊥平面,,,PAB BC PA PA CD BC CD C ∴⊥⊥= ，PA ⊥平面ABCD .如图，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则()()()()0,0,0,2,2,0,2,0,00,1,1,A C B E则()()2,2,0,0,1,1AC AE ==，PA ⊥平面ABCD ，∴平面ABC 的一个法向量()00,0,1n =设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =则0,0,n AE n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即0,220,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =，则()1,1,1,1,1y z n =-=∴=-0cos ,n ∴ 由图可知，二面角E AC B --为钝角， 二面角E AC B --的余弦值为20.解：（1）因为点()1,n n a S +,在直线220x y +-=上，所以1220n n a S ++-=， 当1n >时，1220n n a S -+-=，两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=，即1220n n n a a a +-+=，112n n a a +=， 又当1n =时，2121211122220,22a S a a a a +-=+-===， 所以{}n a 是首项11a =，公比12q =的等比数列， 数列{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）证明：由（1）知，214n n n nb na -==，则 22123114444n n n n nT ---=+++++ ， 3231442444n n n n nT ---=+++++ ．两式相减得32111113544441634334n n n n n n T n ----=++++-+=-⨯134160,349n n n T -+>∴<⨯. 21.解：（1）设(),P x y222y x x ∴=+，此即为C 的方程，（2）当M 的横坐标小于零时，20y =，即0y =，不合题意，当M 的横坐标不小于零时，24y x =，设200,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭则102022220012,4444MA MB y y y y k k y y y y --==--. 直线,MA MB 的倾斜角互补，MA MB k k ∴=即1020222200124444y y y y y y y y --=---，化简得1202y y y +=-， 212221210424AB y y k y y y y y -∴===--+. 故直线l 的方程为()012y y x =-，即0022y yy x =-，代入24y x =得，()22220002160y x y x y -++=， 20162D E x x y ∴+=+又2016228D E DE x x p y =++=++=，即20164y =，解得02y =± 故点M 的坐标为()1,2或()1,2-.22.解：（1）点F 的坐标为(),0c，由题意可得：1,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，得1,a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2221b a c ∴=-=椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，又()1,0F ，故直线l 的方程可设为()10x ty t =+≠，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210t y ty ++-=， 12122221,22t y y y y t t +=-=-++ ()()()()()()221221121212122122212121212122222112222111122OA OB t ty ty y ty ty y y y y y y x y x t t k k t t x x x x ty ty t y y t y y t t ---+++++++++=+====+++++--+++221t t =- 又1200022002,1,2222OMy y t y x ty t t y t k x +==-∴=+=++∴==-,,OA OM OB k k k - 成等差数列，2OM OA OB k k k ∴-=+，即22,0,1tt t t t =≠∴=-故直线l 的方程为1x =+，即10x -=。
广东省中山市2016-2017学年高二数学上册综合测试题9
2016-2017学年上学期高二数学综合测试题11一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．“(1)(2)0x x --=”是“10x -=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．命题2:,10p x R x x ∀∈-+>的否定是（ ）A ．2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≤B ．2:,10p x R x x ⌝∃∈-+≤C ．2:,10p x R x x ⌝∀∈-+<D ．2:,10p x R x x ⌝∃∈-+<3．椭圆2213616x y +=上的一点P ，它到椭圆的一个焦点1F 的距离是7，则它到另一个焦点2F 的距离是（ ）A ．B ．C ．12D ．5 4．已知等差数列{}n a ，151,15,a S ==则它的公差是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若1a >，则11a a +-的最小值是（ ）A ．a BC ．2D ．36．动点在圆x 2＋y 2=1上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点轨迹方程是（ ）A ．（x ＋3)2＋y 2=4B ．（x －3)2＋y 2=1C ．（2x －3)2＋4y 2=1D ．（x ＋32)2＋y 2=127．若直线220ax by -+=（0,0a b >>）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为( )A ．14B ．12C ．2D ．48．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是 ( )A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦9． 等差数列{}n a 中，10120S =，则29a a +的值是（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．4810．已知双曲线221169x y -=，则它的渐近线的方程为（ ）A ．35y x =± B ． 34y x =± C ．43y x =± D ．54y x =±11．已知椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>的长轴长为10，离心率35e =，则椭圆的方程是（ ） A ．2212516x y +=或2211625x y +=B ．221169x y +=或221916x y +=C ．221259x y +=或221925x y +=D ．22110025x y +=或22125100x y += 12．已知点(1,2)M -在直线220(0,0)ax by a b -+=>>上，则41ab+的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
中山市高二级2016-2017学年第一学期期末考试(理数)
中山市高二年级2016–2017学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．5、不可以使用计算机（器）．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设命题p ：(0,)∃∈+∞x 2log x ，则⌝p 为A ．(0,)∀∈+∞x 2log xB ．(0,)∀∈+∞x 2log <xC ．(0,)∃∈+∞x 2log xD ．(0,)∃∈+∞x 2log x2. 双曲线C : 22221-=x y a b（0>a ，0>b ）的一条渐近线方程为2=y x ，则C 的离心率是A B C ．2 D 3. 等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝14．已知集合2{|280}=+-≥A x x x ，{|15},=<<=B x x U R ，则()=U C A B U A ．(4,1]- B ．[4,1)- C ．(2,1]- D ．[2,1)-错误！未找到引用源。
5. 已知0>a ，0>b ，11+=+a b a b，则12+a b 的最小值为A ．4B ．C ．8D ．166. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若161116117a a a b b b ⋅⋅=-++=,则39481b b a a +-⋅的值是A.74 B. 74- C . 73 D. 73-7. 已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是A ．(1，－1，0)B ．(－1，1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)8. 数列{}n a 满足：11λ+=-n n a a （*∈N n ，R λ∈且0λ≠），若数列{}1-n a 是等比数列，则λ的值等于A ．1B ．1-C ．12D ．2 9. 某同学利用图形计算器探索两个函数图像的位置关系，如下图所示.该同学发现改变参数a 值，两函数图像的位置关系有相交与相离，试问当两函数图像相离时，实数a 的取值范围是A. )2,2(-B. ]2,2(-C. ()(),22,-∞-+∞UD. )2,(-∞ 10．设曲线1()n y xn +=∈*N 在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则201712017220172016log log log x x x +++g g g 的值为A ．2017log 2016-B ．2017log 20161-C ．1-D ．111．不等式组2503020≤≥≤+-⎧⎪-⎨⎪-⎩x y x y x y 的解集记为D ，11+=+y z x ，有下面四个命题：p 1：(,)∀∈x y D ，1≥z p 2：(,)∃∈x y D ，1≥z p 3：(,)∀∈x y D ，2≤z p 4：(,)∃∈x y D ，0<z 其中的真命题是 A ．p 1，p 2B ．p 1，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 312. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)+=>>x y a b a b，则椭圆在其上一点00(,)A x y 处的切线方程为00221+=x x y ya b，试运用该性质解决以下问题：椭圆22122:1(0)+=>>x y C a b a b，其焦距为2，且过点．点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则∆OCD面积的最小值为 AB．2C ．D ．2二、填空题（本大题共4小题，考每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上） 13. 若函数3()xx f x e -=在0=x x 处取得极值，则0x = . 14. 倾斜角为45︒的直线l 经过抛物线28=y x 的焦点F ，且l 与抛物线交于A ，B 两点，则||AB = .15. 已知实数,x y 满足401010+-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩x y y x ，则2=y z x 的最大值是 .16. 在ABC V 中角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c，且sin sin sin sin sin +-=a A b B c C B C，=a [1,3]∈b ，则c 的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，A 是锐角，且B a b sin 23=.(1)求A ； (2)若7a =，ABC ∆的面积为103，求b c +的值．18. （本小题满分10分）某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限（年平均费用最小的年限）是多少年？并求出年平均费用的最小值．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S *()∈n N ，且满足21+=+n n a S n ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：21223111112223++++<n n n a a a a a a L ．20. （本小题满分12分）用空间向量方法解决下列问题.如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点． （1）求证：BM ∥平面D 1AC ； （2）求证：D 1O ⊥平面AB 1C ； （3）求二面角B -AB 1-C 的大小．21. （本小题满分12分）已知函数2()(21)ln =-++f x x a x a x . （1）若()f x 在区间[]1,2上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）函数()(1)=-g x a x ，若0[1,]∃∈x e 使得00()()≥f x g x 成立，求实数a 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)+=>>x y C a b a b 的一个焦点与抛物线22:2(0)=>C y px p 的焦点F 重合，且点F 到直线10-+=x y，1C 与2C 的公共弦长为（1）求椭圆1C 的方程及点F 的坐标；（2）过点F 的直线l 与1C 交于,A B 两点，与2C 交于,C D 两点，求11||||+AB CD 的取值范围.中山市高二年级2016–2017学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题： BABAB DADAC DC 二、填空题：13．4； 15． 16； 15．9； 16．3. 三、解答题：17. 解：（1） 由B a b sin 23=⇒2sin sin B A B =⇒sin 2A =, ……4分 又A 是锐角，所以60A =︒ . ……6分（2）由面积公式1sin 24S bc A ===40bc ⇒=， ……9分 又由余弦定理得：2222cos 4913a b c bc A b c =+-=⇒+=. ……12分18. 解：设这台机器最佳使用年限是n 年，则n 年的保养、维修、更换易损零件的总费用为：230.20.30.40.1(1)20n nn ++++⋅⋅⋅++=， ……2分 ∴ 总费用为：22n 3770.20.2n 7.22020n n n+++++=+. ……4分 2n 77.27.220:y 0.35(),20n n n n n++∴==++年的年平均费用为 ……6分7.2 1.2,20n n +≥ 等号当且仅当7.2n 12.20n n ==即时成立 ……8分 ∴ m i n y 0.35 1.2 1.55(=+=万元） ……9分答：这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元 ……10分19. 解：（1）∵21+=+n n a S n ，令1=n ，得123=a ，132=a ．----2分 ∵21+=+n n a S n ，∴112(1)1--+=-+n n a S n ，*(2,)≥∈n n N两式相减，得122--=n n a a ，整理1112-=+n n a a ---------------------4分 112(2)2--=-n n a a ，(2)≥n∴数列{2}-n a 是首项为1122-=-a ，公比为12的等比数列∴12()2-=-n n a ，∴122=-n n a ．------------------------------6分（2）∵1121212111121121212(21)(21)2121222+++++++++===-------⋅⋅n n n n n n n n n n n n n a a --8分 212231111222+∴+++nn n a a a a a a L 233412111111()()()212121212121++=-+-++-------n n L 21113213+=-<-n ． ------------------------------12分20. 解：(1) 证明：建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz . 连接D 1O ，则点O (1，1，0)，D 1(0，0，2)， 则OD 1→＝(－1，－1，2)．又点B (2，2，0)，M (1，1，2)， ∴BM →＝(－1，－1，2)， ∴OD 1→＝BM →，且OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又D 1O ⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC . ……4分(2) 证明：∵B 1(2，2，2)，A (2，0，0)，C (0，2，0)， ∴OD 1→·OB 1→＝(－1，－1，2)·(1，1，2)＝0，OD 1→·AC →＝(－1，－1，2)·(－2，2，0)＝0，∴OD 1→⊥OB 1→，OD 1→⊥AC →，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC .又OB 1∩AC ＝O ， ∴D 1O ⊥平面AB 1C . ……8分 (3) ∵CB ⊥AB ，CB ⊥BB 1， ∴CB ⊥平面ABB 1， ∴BC →＝(－2，0，0)为平面ABB 1的法向量． ∵OD 1→⊥OB 1→，OD 1→⊥AC →， ∴OD 1→＝(－1，－1，2)为平面AB 1C 的法向量．∴二面角B -AB 1-C 的大小等于BC →与OD 1→的夹角．∵cos 〈BC →，OD 1→〉＝BC →·OD 1→|BC →||OD 1→|＝（－2，0，0）·（－1，－1，2）（－2）2×（－1）2＋（－1）2＋（2）2＝12， ∴BC →与OD 1→的夹角为60°，即二面角B -AB 1-C 的大小为60°. ……12分21. 解：⑴ '(21)()()--=x x a f x x⋅L L L L L 2分当导函数'()f x 的零点=x a 落在区间(1,2)内时， 函数()f x 在区间[]1,2上就不是单调函数，所以实数a 的取值范围是：1,2或≤≥a a ； ⋅L L L L L 6分 （也可以转化为恒成立问题。
2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学(理)试题Word版含答案
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学（理）试题一、选择题1．命题“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题“”的否定是“”.故选B.2．若直线经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（）A. 同号B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】因为直线经过第一、二、三象限，所以，将化成，则，即，.故选B.3．已知直线平面，直线平面，下面有三个命题：①；②；③.则真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】若直线平面，，则直线平面，又因为直线平面，所以，故①正确；若直线平面，，则或直线平面，则可能平行、相交或异面，故②错误；若直线平面，，则直线平面，又因为直线平面，所以，故③正确；故选C.4．“”是“表示的曲线是双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“表示的曲线是双曲线”的充要条件是“”，即“或”，则“”是“表示的曲线是双曲线”的充分不必要条件.故选A.点睛：处理四种条件（充分条件、必要条件、必要条件、既不充分也不必要条件）的判定时，往往转化为数集间的包含关系，利用“小范围是大范围的充分不必要条件”进行判定.5．若圆关于直线对称，则直线的斜率是（）A. 6B.C.D.【答案】A【解析】将化为，因为圆关于直线对称，所以直线过圆心，则，解得，则直线的斜率是.故选D.6．如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题解析：根据向量的减法可知，因为点在上，且是的中点，所以，,所以，故选B.【考点】向量的线性运算．【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了共线向量定理与平面向量基本定理及向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，属于中档题.题目给出了空间的一个基底，要求用基向量表示向量，先根据向量减法的三角形法则表示为，再根据共线向量定理和三角形的中线向量表达式表示出,最后用基向量表示出式中各向量即可.7．下列命题中正确的是（）A. 若为真命题，则为真命题；B. 若直线与直线平行，则C. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是或D. 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”【答案】C【解析】若为真命题，则至少有一个为真命题，则不一定真命题，即选项A错误；若直线与直线平行，则，即，即选项B错误；若命题“”是真命题，则,解得或，即选项C正确；命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，即选项D错误；故选C.8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成（如图所示），其中圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，取的中点，连接，则该几何体的表面积为 .故选B.9．圆上到直线的距离等于1的点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】圆的圆心到直线的距离，且圆的半径为3，所以圆上到直线的距离等于1的点有3个.故选C.点睛：处理圆上的点与某条直线间的位置关系或直线与圆的位置关系时，一般先研究该圆的圆心到该直线的距离问题.10．如图，三棱锥中，，，点分别是中点，则异面直线，所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：连结ND，取ND的中点E，连结ME，则ME∥AN，∴∠EMC是异面直线AN，CM所成的角，∵AN=，∴ME==EN，MC=，又∵EN⊥NC，∴，∴cos∠EMC=，∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值为．【考点】异面直线所成角11．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则，又因为以为直径的圆的方程为，所以，解得.故选B.点睛：涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量.12．在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（）A. 36B.C. 24D.【答案】B【解析】试题分析：因平面，则，同理平面，则，，则，，则，下面研究点在面的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设，设，因为，所以，化简得：，该圆与的交点纵坐标最大，交点为，三棱锥的底面的面积为18，要使三棱锥体积最大，只需高最大，当在上切时，棱锥的高最大，，.，本题应选,与原答案有出入.【考点】1.直线与平面垂直的性质定理；2.三棱锥的体积；二、填空题13．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________．【答案】【解析】设该球的半径为，则，所以此球的表面积为.14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是__________．【答案】【解析】将化为，两圆方程相减得，即，即直线的方程是.15．是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线，是双曲线的两个顶点，若在上存在一点，使，则双曲线离心率的最大值为__________．【答案】【解析】由题意，设，则，因为在上存在一点，使，所以关于的方程有实数根，即关于的方程有实数根，则，解得，即，即双曲线离心率的最大值为.16．已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：①；②；③；④与的交点在轴上；⑤与交于原点.其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）【答案】①②③④⑤【解析】因为在抛物线上，由抛物线的定义，得，又分别为在上的射影，所以，即①正确；取的中点，则，所以，即②正确；由②得平分，所以，又因为，所以，即③正确；取轴，则四边形为矩形，则与的交点在轴上，且与交于原点，即④⑤正确；故填①②③④⑤.点睛：要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取轴）.三、解答题17．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）命题是一元二次不等式，解得，即.命题是分数不等式，解得，为真，也就是这两个都是真命题，故取它们的交集得；（2）是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件，即是的真子集，故，即.试题解析：（1）由得,又,所以,当时,1<,即为真时实数的取值范围是1<.为真时等价于,得,即为真时实数的取值范围是.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件,即,且, 等价于,且,设A=, B=, 则B A;则0<,且所以实数的取值范围是.【考点】一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性的判断．18．已知圆，直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点.（1）当与垂直时，求出点的坐标；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）先利用与垂直得出直线的斜率和方程，再联立直线与的方程进行求解；（2）设出直线方程，利用直线和圆的弦长公式和圆心到直线的距离公式进行求解.试题解析：（1）由题意，直线的方程为，联立得，所以.（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由，得，解得.故直线的方程为或.点睛：在解决平面解析几何问题时，合理设出直线方程往往是关键的第一步，在设直线方程时要注意该直线是否存在斜率，如本题中斜率不存在时也符合题意.19．如图，直三棱柱中，，为中点，.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先利用平面几何知识证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）利用线面平行合理转化点到直线的距离，再利用几何体的体积公式进行求解.试题解析：（1）证明：在矩形中，为的中点，且，∴，，∴，∴.又，，∴平面.（2）∵，面，面，∴面，∴.由（1）知面，∴，又，且，∴平面，又，∴，，∴.点睛：在求三棱锥的体积，往往可以合理转化顶点和底面，再作出顶点到底面的垂线，如本题中的.20．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，直线过点，且与交于两点.（1）求曲线的方程；（2）若为中点，求三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义进行求解；（2）利用点差法求出直线的的斜率和直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用弦长公式、点到直线的距离公式和三角形的面积公式进行求解.试题解析：（1）设曲线上任意一点，由抛物线定义可知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）设，，则，，所以，因为为中点，所以，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，此时直线与抛物线相交于两点.设为与轴交点，则，由消去得，所以，，所以三角形的面积为.21．如图，已知四棱锥中，平面，，且，是边的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值大小．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先利用三角形的中位线和平行四边形及平行公理证明线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明：取中点，连接，，∵是边的中点，∴，且，又∵，∴，又∵，即，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，又面，面，∴面.（2）解：在底面内过点作直线，则，又平面，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，则，，，，设面的一个法向量为，则，即，令，则，∴.同理可求面的一个法向量为，，由图可知，二面角是钝二面角，所以其平面角的余弦值为.22．如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于，.（1）若点在第一象限，且直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，求的值；（3）试问是否为定值？若是，求出该值.【答案】（1）；（2）；（3）36.【解析】试题分析：（1）圆的半径,直线，互相垂直，且和圆相切, 所以，即，又点在椭圆上，适合椭圆的方程，联立方程组，解之求出圆心坐标即可；（2）写出直线的方程，由圆心到直线的距离等于半径，,化简、整理得，又点适合椭圆的方程，代入化简即可;（3）由（2）知,从而可得，将，代入椭圆方程求得，，代入得，并可求得，即可求得.（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，试题解析：即①又点在椭圆上，所以②联立①②，解得，所以，所求圆的方程为．（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，即，所以．（3）方法一（1）当直线、不落在坐标轴上时，设，，由（2）知，所以，故，因为，，在椭圆上，所以，，即，，所以，整理得，所以，所以.方法（二）（1）当直线，不落在坐标轴上时，设，，联立，解得，所以.同理，得，由（2），得.所以.（2）当直线、落在坐标轴上时，显然有.综上：.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系.。