克劳修斯 克拉贝龙方程
克拉伯龙—克劳修斯方程
克拉伯龙—克劳修斯方程克拉伯龙-克劳修斯方程（Clausius-Clapeyron equation）是描述物质相变过程中蒸气压与温度之间关系的一种方程。
这个方程是由德国物理学家鲁道夫·莱昂哈德·克拉伯龙和法国工程师本杰明-勒昂·克劳修斯在19世纪提出的。
该方程为我们提供了研究物质相变过程以及预测蒸气压变化的重要工具。
克拉伯龙-克劳修斯方程的基本形式为：ln(P2/P1) = -ΔHvap/R * (1/T2 - 1/T1)其中，P1和P2分别为不同温度下的蒸气压，ΔHvap为物质的蒸发热（单位为焦耳/摩尔），R为气体常数（单位为焦耳/摩尔·开尔文），T1和T2分别为不同温度下的温度（单位为开尔文）。
这个方程是基于以下几个基本假设和理论基础：1.理想气体状态方程：克拉伯龙-克劳修斯方程假设物质为理想气体，即其分子之间没有相互作用力，并且分子之间的体积可以忽略不计。
这个假设使得我们可以使用理想气体状态方程来描述气体的性质。
2.凝聚相分子间距离变化不大：该方程假设在凝聚相和气相之间的相变过程中，分子之间的距离变化不大。
这个假设忽略了分子之间的非理想性。
3.蒸发热恒定：该方程假设相变过程中的蒸发热是恒定不变的。
这个假设在很大程度上是合理的，因为相变过程中的温度变化很小，可以认为蒸发热在这个温度范围内是恒定的。
基于这些假设，克拉伯龙-克劳修斯方程可以被推导出来。
当我们将两个不同温度下的蒸气压P1和P2带入方程中，并取自然对数，就可以得到上述的形式。
根据克拉伯龙-克劳修斯方程，我们可以用来研究物质的相变过程，比如液体的汽化、固体的升华等。
同时，通过测量两个温度点下的蒸气压，我们还可以预测其他温度下的蒸气压变化。
然而，需要指出的是，克拉伯龙-克劳修斯方程是一个简化的模型，它只适用于温度变化较小的情况下，同时不考虑分子之间的相互作用力和非理想性。
在高压、高温或其他特殊条件下，该方程可能不再适用，需要使用其他更复杂的方程或者模型来描述物质相变过程。
克劳修斯-克拉贝龙方程
图2-1 气-液平衡
2/8
dp dT
Sm* Vm*
(β (β
) )
Sห้องสมุดไป่ตู้* Vm*
(α (α
) )
Sm* Vm*
dp dT
H
* m
TVm*
上式称为克拉珀龙(Clapeyron)方程, 表明了相平衡压力随温 度的变化率, 适用于纯物质的任意两相平衡.
克拉珀龙方程应用于凝聚相之间的平衡(固-液, 固-固)
(1) ln p(30C) vap Hm T2 T1 34.17 103 (303.2 293.2) 0.4623
p(20C)
R T1T2
8.314 293.2 303.2
p(30C) 15.90kPa
(2)
ln p2 sub H m (T2 T1 )
单组分系统相平衡热力学——克拉珀龙方程
用热力学原理来解决纯物质两相平衡时系统温度和压力 之间的关系问题.
蒸发与冷凝
升华与凝华
凝固与熔化
B*(l) T, p B*(g) B*(s) T, p B*(g) B*(l) T, p B*(s)
p f (T ) ?
晶型的转化
B*(s,α ) T, p B*(s,β)
B*(β,T +dT, p + dp)
g Gm*(α,T,p) + dGm*(α)＝Gm*(β,T, p) + dGm*(β)
显然
dGm*(α)＝dGm*(β)
l
由热力学基本方程式 dG = - SdT + Vdp 可得
•气 - 液平衡
Sm*(α)dT+Vm*(α)dp =- Sm*(β)dT +Vm*(β)dp
克劳修斯-克拉伯龙方程
克劳修斯-克拉伯龙方程
克劳修斯-克拉伯龙方程（Clausius-Clapeyron Equation）是热力学学科中一个重要的方程式，用来表达物质受热后汽化压力（或汽化温度）关于温度（或汽化压力）随温度变化的关系。
该方程式由德国物理学家克劳修斯于1830年提出，后来法国物理学家克拉伯重新推导并于1834年发表。
克劳修斯—克拉伯龙方程的具体表达形式为：
$$ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T\cdot V_m} $$
其中$P$为汽化压力，$T$为温度，$L$为某一物质的汽化吸热，$V_m$为某一物质的摩尔容积。
根据克劳修斯—克拉伯龙方程，可以得出当温度变化时，汽化压力也会根据它们之间的关系发生变化。
克劳修斯—克拉伯龙方程可以应用于各种物质的汽化过程，例如水，甲烷，氧气等。
在水的汽化过程中，当温度变化时，由于汽化压力变化，极大地影响了大气中水汽的增减，从而影响着气候。
克劳修斯—克拉伯龙方程可以预测水蒸发和凝结的规律，有助于我们理解气候变化的本质。
克劳修斯—克拉伯龙方程在化学及物理学中也有重要的技术意义，它可以用来研究其它物质的汽化过程，以及汽液不完全稳定的熵，协同弛豫和热力学状态的变化等。
总之，克劳修斯-克拉伯龙方程是一个重要的物理学方程式，它提供了关于物质汽化压力与温度之间关系的重要结论，为我们理解气候变化提供了重要的科学支持，并且也在化学及物理学中发挥了重要的技术作用。
克劳修斯-克拉珀龙方程
克劳修斯-克拉珀龙方程
克劳修斯-克拉珀龙方程描述了理想气体在温度、压强变化下物质的浓度的变
化率，它是热力学里的基本方程之一。
此方程是德国科学家克劳修斯和法国科学家克拉珀龙根据理想气体状态方程和热力学第一定律，以及热力学相温度和相压的概念，独立地推导出来的。
克劳修斯-克拉珀龙方程公式如下：Ln (P2/P1) = ΔHvap/R (1/T1 - 1/T2)，其中
T1和T2是初始和最终的温度，P1和P2是初始和最终的压力，ΔHvap是汽化热，
R是理想气体常数。
值得注意的是，克劳修斯-克拉珀龙方程假设了压力和温度的
变化并没有改变系统的内能，即认为是在保持熵不变的条件下进行的。
应用克劳修斯-克拉珀龙方程我们可以研究蒸馏过程。
在蒸馏过程中，液体在
其沸点温度下汽化，这个过程需要吸收潜热。
由克劳修斯-克拉珀龙方程可以得知，如果提高系统的温度，那么液体的压强也将增大，这意味着需要更高的温度才能
使液体沸腾。
克劳修斯-克拉珀龙方程的适用性相对广泛，它既可以用于理想气体，也可以
适用于非理想气体，只要压力不太高或者温度不太低。
值得注意的是，虽然克劳修斯-克拉珀龙方程在理论上存在局限性，但在许多实际问题中，对于描绘物质的沸
腾和凝结等相变过程，它仍然能够给出相对准确的预测。
克劳修斯克拉伯龙方程
克劳修斯克拉伯龙方程d(ln P)/d(1/T)=ΔH/R其中，P为物质的蒸汽压力；T为温度；ΔH为相变热；R为气体常数。
克劳修斯克拉伯龙方程的推导依靠了两个重要的理论基础，即热力学第二定律和熵的概念。
在热力学中，熵代表了系统的混乱度或不可逆性，而热力学第二定律则表明热量不可能从低温物体自发地流向高温物体。
这些基本概念可以用来推导出克劳修斯克拉伯龙方程。
具体来说，考虑一个物质从液态转变为气态的过程。
这个过程可以看作是由液态到气态的相变热所推动的。
根据热力学第二定律，相变的方向在于熵增加，即系统的混乱度增加。
因此，相变过程需要吸收热量才能发生，这个热量就是相变热。
而根据熵的概念，相变热越大，液态到气态的过程就越不可逆，因为需要吸收更多的热量才能将液态转变为气态。
另一方面，液态到气态的相变也会受到压力的影响，因为气态的分子会更加分散，相变需要克服气态分子之间的相互作用力，因此需要更高的压力才能发生。
这些考虑可以转化成数学形式，从而推导出克劳修斯克拉伯龙方程。
具体来说，我们可以将相变热ΔH表示为:ΔH=TΔS其中，ΔS代表了相变过程中系统熵的变化。
因此，我们可以说，在相变过程中，熵的变化和温度的变化是有关系的。
相变的方向取决于相变热，而热量的吸收或放出又取决于系统熵的变化，而系统熵的变化又取决于系统温度的变化。
因此，我们可以将这个过程描述为：dS=dq/T其中，dq代表了在相变过程中吸收或放出的热量。
现在我们可以将两个方程组合起来，得到：dq=TdS=ΔH这个方程表明，在相变过程中，热量的吸收（或放出）是由相变热决定的。
这个方程可以转化为以温度和压力为变量的形式：d(ln P)/d(1/T)=ΔH/R这就是克劳修斯克拉伯龙方程的表达式。
这个方程可以用来计算相变热、蒸汽压力和温度之间的关系。
对于许多物质来说，这个方程在研究相变过程中非常有用。
例如，对于水、氯气、二氧化碳等物质，在克劳修斯克拉伯龙方程中都有相应的参数，可以用来解释这些物质的相变过程。
克劳修斯-克拉贝龙方程
A C D 熔化时体积的变化△V可
以大于零或小于零,故压力 增加时熔点不一定7/8增高.
dp dT
H
* m
TVm*
已 知 固 态 苯 的 蒸 气 压 在 0℃ 时 为 327kPa, 20℃ 时 为 1230kPa, 液态苯的蒸气压在20℃时为1002 kPa, 液态苯的摩 尔蒸发焓为3417 kJ·mol1. 求(1)在30℃时液态苯的蒸气压; (2) 苯的摩尔升华焓; (3)苯的摩尔熔化焓.
8.314 273.2 293.2 293.2 273.2
ln 12.30 103 3.27 103
J·mol1
44.12k J·mol1
(3) subHm = fusHm + vapHm
fusHm = subHm－ vapHm = (4412－3417)kJ·mol1
= 995 kJ·mol1
B*(β,T +dT, p + dp)
g Gm*(α,T,p) + dGm*(α)＝Gm*(β,T, p) + dGm*(β)
显然
dGm*(α)＝dGm*(β)
l
由热力学基本方程式 dG = - SdT + Vdp 可得
•气 - 液平衡
Sm*(α)dT+Vm*(α)dp =- Sm*(β)d2T/8 +Vm*(β)dp
•不同温度下液体具有不同的蒸气压
装有丙酮的烧瓶与U形压差计相连, 压差计的开口端和烧瓶活塞均打开, 汞柱高度持平(左); 然后关闭活塞,并 用热水浴加热丙酮, 丙酮蒸气压随温 度升高而增大. 当丙酮温度恒定后, 压差计两管的汞柱差也稳定下来, 该 压1差/8 即该温度下丙酮的饱和蒸气压.
克拉伯龙—克劳修斯方程
克拉伯龙—克劳修斯方程克拉伯龙—克劳修斯方程（Clausius-Clapeyron equation）是描述气体相变时蒸气压与温度之间的关系的方程。
该方程由克勞修斯 (Benjamin Paul Émile Clapeyron)和克拉伯龙 (Rudolf Clausius) 两位物理学家分别于1834年和1864年独立提出。
克拉伯龙—克劳修斯方程的基本形式为：ln(P2/P1) = (ΔHvap/R) \left(\frac{1}{T1}-\frac{1}{T2}\right)其中，P1和P2分别为相变前和相变后的蒸气压，ΔHvap为相变的摩尔焓变，R为气体常数，T1和T2分别为相变前和相变后的温度。
该方程的推导基于理想气体状态方程和热力学第二定律，假设相变前和相变后的气体均为理想气体。
克拉伯龙—克劳修斯方程可以用来计算蒸气压关于温度的变化。
利用该方程，可以推导出不同物质的蒸气压随温度变化的特征曲线。
一种常见的应用是计算液体的沸点。
根据该方程，当蒸气压等于环境大气压（常常为标准大气压）时，液体开始沸腾。
因此，通过测量液体在不同温度下的蒸气压，可以得到该液体的沸点。
该方程也可用于预测物质的气化和凝结条件。
当两个物质的蒸气压相等时，它们处于饱和状态，蒸气和液体达到动态平衡。
根据克拉伯龙—克劳修斯方程，可以计算出不同温度下两种物质的蒸气压，从而判断它们是否会发生气化或凝结。
在气候学和大气科学中，克拉伯龙—克劳修斯方程也被用于计算水的饱和水汽压和相对湿度之间的关系。
通过测量气温和精确的水汽压力，可以使用克拉伯龙—克劳修斯方程来计算相对湿度。
这对于气象预测、大气湿度监测和气候研究非常重要。
总结而言，克拉伯龙—克劳修斯方程是物理化学中非常重要的一种方程。
它描述了气体相变时蒸气压与温度之间的关系，并可以应用于计算沸点、预测气化和凝结条件，以及研究大气湿度等相关问题。
克劳修斯 克拉佩龙方程
克劳修斯克拉佩龙方程克劳修斯-克拉佩龙方程是描述气体稀疏流动的一种经典模型。
它是通过对气体分子在碰撞过程中的动量和能量传递进行平均处理得到的，能够用来描述气体稀薄流动的物理规律。
克劳修斯-克拉佩龙方程的基本假设是：气体分子之间的碰撞是完全弹性的，碰撞前后分子的动能和动量守恒。
在这个模型中，气体分子被认为是点状无体积的，它们只能穿过彼此，并且没有相互作用力。
这种假设在气体的密度较小时是合理的，因为分子间的相互作用力可以忽略不计。
克劳修斯-克拉佩龙方程的基本形式是：∂f/∂t + v · ∇f = Q[f]其中f是气体分子在速度空间中的分布函数，描述了不同速度和位置的气体分子的相对概率。
t是时间，v是速度，∇是空间梯度算子，Q[f]是碰撞项。
克劳修斯-克拉佩龙方程的左侧表示了分布函数f随时间和空间坐标变化的速率。
右侧表示的是碰撞项Q[f]，它描述了气体分子之间的碰撞对分布函数的影响。
克劳修斯-克拉佩龙方程是一个非线性偏微分方程，它通常不能直接求解。
因此，研究者们通常通过对其进行一系列近似和简化来求解。
最简单的近似是单组分气体的玻尔兹曼方程，它忽略了分子之间的相互作用力和分子大小的影响。
在这种情况下，克劳修斯-克拉佩龙方程可以简化为：∂f/∂t + v · ∇f = 0这是一个线性偏微分方程，可以通过方法如特征线法进行求解。
除了对单组分气体的近似，还有一些其他的近似方法，如BGK (Bhatnagar-Gross-Krook)模型、ES (Enskog)模型和Chapman-Enskog展开等。
这些近似方法考虑了分子之间的相互作用力和分子大小的影响，适用于研究复杂气体流动的问题。
克劳修斯-克拉佩龙方程的研究在气体动力学、稀薄气体流动和等离子体物理等领域具有重要的意义。
它对于理解气体的宏观运动规律、计算气体的物理性质以及设计气体流动方案等方面都有着重要的应用价值。
在近年来，随着计算机技术的发展和数值方法的进步，对克劳修斯-克拉佩龙方程的研究也取得了很大的进展，为气体稀疏流动的数值模拟提供了重要的理论基础。
第2节 克劳修斯-克拉佩龙方程
dp vapHm dT TvapVm
蒸发过程吸热， ΔvapHm>0， ΔvapVm>0， 当温度升高，液体的饱和蒸气压增大。
.
∵ Vm(g) Vm(l)
ΔvapVm≈ Vm(g)
Vm(g)=RT/p 把饱和蒸气看作理想气体
则原方程变为：
dp vapHm dT RT2 / p
.
得
dlnp vapHm dT RT2
.
作业：P150：习题7，9 P151：习题12
.
T
T1
fusVm fusHm
p
.
T1>0, Δp>0, 熔化过程吸热， ΔfusHm>0。如果 ΔfusVm>0，即熔化后体积变大，则ΔT>0，熔点升 高；如果ΔfusVm<0，即熔化后体积变小，则ΔT<0， 熔点下降；
在01 MPa下硫到硫的转换温度为96℃，此温 度下硫与硫的体积质量(密度)分别为203 g·cm-3 与198 g·cm-3。转变过程中吸热322 J·mol-1。问在 1 MPa下的转变温度与01 MPa下的转变温度相差 多少。已知S的摩尔质量M = 3206 g·mol-1。
对固 - 液平衡和固 - 固平衡而言，变化前后都
为凝聚态， Hm 和 Vm 可近似认为与温度、
压力无关：
.
将原方程变形后积分(以熔化平衡为例)： dT fuVs m dp T fusHm
.
lnT2 T1
ffuusH V s m m(p2
p1)
因为熔点随压力的变化影响不大，令 ΔT=T2-T1，ln(T2/T1)=ln(1+ ΔT /T1) ≈ ΔT /T1。
这就是克劳修斯-克拉佩龙方程的微分式。
克拉贝龙克劳修斯方程式
克拉贝龙克劳修斯方程式
克拉贝龙克劳修斯方程式（Claber-Paassens-Klauber-Krauthammer equation），也被称为CPKK方程式，是一种用
于计算和描述气体或液体扩散过程的方程式。
该方程式是由克拉贝龙、克劳修斯、克劳伯和克劳特哈默等科学家独立提出的。
克拉贝龙克劳修斯方程式可以用来描述扩散过程中物质浓度随时间和空间的变化。
该方程式的一般形式如下：
∂C/∂t = D * (∂²C/∂x²),
其中C表示物质的浓度，t表示时间，x表示空间坐标，D表
示扩散系数。
该方程式描述了物质浓度随时间的变化率与物质浓度在空间上的变化率之间的关系。
具体而言，该方程式表明，物质浓度随时间的变化率正比于物质浓度在空间上的二阶导数。
克拉贝龙克劳修斯方程式在化学、物理、工程等领域中被广泛应用。
例如，在化学反应动力学中，该方程式可以用来描述反应物在反应体系中的扩散过程；在地理学中，该方程式可以用来描述土壤中养分的扩散过程。
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B*(β,T +dT, p + dp)
Gm*(α,T,p) + dGm*(α)＝Gm*(β,T, p) + dGm*(β)
显然
dGm*(α)＝dGm*(β)
由热力学基本方程式 dG = - SdT + Vdp 可得
Sm*(α)dT+Vm*(α)dp =- Sm*(β)dT +Vm*(β)dp
•气 - 液平衡
8
2
dp dT
Sm* Vm*
(β) (β)
Sm* Vm*
(α (α
) )
Sm* Vm*
dp dT
H
* m
TVm*
上式称为克拉珀龙(Clapeyron)方程, 表明了相平衡压力随温 度的变化率, 适用于纯物质的任意两相平衡.
克拉珀龙方程应用于凝聚相之间的平衡(固-液, 固-固)
(1) ln p(30C) vap Hm T2 T1 34.17 103 (303.2 293.2) 0.4623
p(20C)
R
T1T2
8.314 293.2 303.2
p(30C) 15.90kPa
(2)
ln p2 sub H m (T2 T1 )
p1
R
T1T2
sub H m
8.314 273.2 293.2 12.30 103 293.2 273.2 ln 3.27 103
J·mol
1
44.12kJ·mol 1
(3) subHm = fusHm + vapHm fusHm = subHm－ vapHm = (4412－3417)kJ·mol1 = 995 kJ·mol1
•不同温度下液体具有不同的蒸气压
装有丙酮的烧瓶与U形压差计相连, 压差计的开口端和烧瓶活塞均打开, 汞柱高度持平(左); 然后关闭活塞,并 用热水浴加热丙酮, 丙酮蒸气压随温 度升高而增大. 当丙酮温度恒定后, 压差计两管的汞柱差也稳定下来, 该 压差即该温度下丙酮的饱和蒸气压.
1
1. 克拉珀龙方程
纯物质在一定温度压力T, p下处于两相平衡时, T, pG＝0, 可知纯物质B*在两相的摩尔吉布斯函数必相等, 即
Gm* (α, T, p)＝ Gm* (β, T, p)
当温度发生微变时, 压力将按一定函数关系随之变化, 并
在 T + dT, p + dp 下 继续保持平衡
平衡
B*(α,T +dT, p +dp)
对于熔化过程,
(少数物质除外),
, 即熔点随外压增大而升高.
但由于Vm=Vm(l) Vm(s) 0, 故熔点受外压的影响是很小的.
3
2. 克劳修斯-克拉珀龙方程
克拉珀龙方程应用于液-气(或固-气)平衡
以液-气平衡为例
dp dT
vap
H
* m
T{Vm* (g) Vm*
(l)}
vap
vap
H
* m
R
1 T1
1 T2
对固 -气两相平衡
ln
p2 p1
Байду номын сангаас
sub
H
* m
R
1 T1
1 T2
特鲁顿规则
vap
H
* m
Tb*
88J K 1 mol1
Tb*—为非极性纯液体的正常沸点.
以上积分式是以假定蒸发热不随温度改变为前提的, 在 温度间隔不太大时可近似满足, 精确计算时应将蒸发焓的温 度表达式代入积分.
单组分系统相平衡热力学——克拉珀龙方程
用热力学原理来解决纯物质两相平衡时系统温度和压力 之间的关系问题.
蒸发与冷凝
升华与凝华
凝固与熔化
B*(l) T, p B*(g) B*(s) T, p B*(g) B*(l) T, p B*(s)
p f (T ) ?
晶型的转化
B*(s,α ) T, p B*(s,β)
4
ln( p /[ p])
vap
H
* m
B
RT
若以 ln(p/[p]) 对 1/T 作图, 可得一直线, 由实验数据得出
直线斜率m,
可求液体的蒸发焓
vap
H
* m
.
m
vap
H
* m
R
ln(p/[p])
K
•ln(p/[p]) - 1/T 关系 T
5
克-克方程的定积分式为
ln
p2 p1
6
克拉珀龙方程的应用条件是__纯__物__质__的__任__意__两__相__平__衡___; 克劳修斯-克拉珀龙方程的应用条件是__纯__物__质__的__气__-_液__或__气__-_固_ ___两__相__平__衡__.
下列关于纯物质两相平衡的描述中正确的是 ( ).
A. 沸点随压力增加而升高
H
* m
TVm* (g)
p
vap
H
* m
RT 2
dlnp dT
vap
H
* m
RT 2
此式称为Clausius- Clapeyron方程, 简称克-克方程.
假定蒸发焓与温度无关, 作不定积分:
dlnp
vap
H
* m
1 dT C
R
T2
ln(
p
/[
p])
vap
H
* m
B
RT
B. 熔点随压力增加而升高 C. 升华温度随压力增加而升高 D. 蒸气压随温度增加而升高
A C D 熔化时体积的变化△V可
以大于零或小于零,故压力 增加时熔点不一定增高.
dp dT
H
* m
TVm*
7
已 知 固 态 苯 的 蒸 气 压 在 0℃ 时 为 327kPa, 20℃ 时 为 1230kPa, 液态苯的蒸气压在20℃时为1002 kPa, 液态苯的摩 尔蒸发焓为3417 kJ·mol1. 求(1)在30℃时液态苯的蒸气压; (2) 苯的摩尔升华焓; (3)苯的摩尔熔化焓.