2019-2020学年福建省晋江市养正中学高二上学期第二次月考数学试题(解析版)
2019-2020学年福建省晋江市养正中学高二上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知平面α的法向量是()2,31-，，平面β的法向量是()4,2λ-，，若α// β ，则λ的值是（ ） A ．310-B ．-6C ．6D ．103【答案】C【解析】根据平面平行，则其对应法向量共线，结合向量共线的坐标运算，即可求解. 【详解】因为α//β，故可得法向量()2,31-，与向量()4,2λ-，共线， 故可得23142λ==--，解得6λ=. 故选：C. 【点睛】本题考查平面位置关系与法向量之间的关系，涉及空间向量的坐标运算，属基础题. 2．曲线ln y x x = 在点(,)M e e 处的切线方程为 A ．2y x e =+ B ．2y x e =- C ．y x e =+ D ．y x e =- 【答案】B【解析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可 【详解】由ln '1ln y x x y x =⇒=+，()'1ln 2y e e =+=，所以过点(,)M e e 切线方程为()22y x e e x e =-+=-答案选B 【点睛】本题考查在曲线上某一点()00,x y 切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为：先求曲线()f x 导数表达式()'f x ，求出()0'f x ，最终表示出切线方程()()000'y f x x x y =-+3．已知△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A 的轨迹方程为( )A ．22143x y +=B ．()221043x y x +=>C ．221(0)43x y x +=<D ．()2210,043x y x y +=>≠【答案】D【解析】通过等差数列推出，|AB|+|AC|=2|BC|=4 按照椭圆的定义，点A 的轨迹就是以B 、C 为焦点，到B 、C 距离之和为4的椭圆，从而进一步可求椭圆的方程． 【详解】已知AB 、BC 、CA 成等差数列，则：|AB|+|AC|=2|BC| ∵点B （-1，0），C （1，0），∴|BC|=2 所以，|AB|+|AC|=2|BC|=4按照椭圆的定义，点A 的轨迹就是以B 、C 为焦点，到B 、C 距离之和为4的椭圆 由已知有：c=1，a=2 所以，b 2=a 2-c 2=4-1=3 又已知|AB|＞|AC|所以点A 位于上述椭圆的右半部分，且点A 不能与B 、C 在同一直线（x 轴）上（否则就不能构成三角形）所以，点A 的轨迹方程是：2210,,043x y x y ＝（＞），+≠ 故选：D ．4．如图1，已知M N 和分别是四面体OABC 的边,OA BC 的中点，且23MP MN =u u u v u u u u v，若,,OA OB OC ===u u u v u u u v u u u v a b c ，则OP uuu v用,,a b c 表示为（ ）A ．111366++a b cB ．111633++a b cC ．211366++a b cD ．121636++a b c【答案】B 【解析】【详解】因为()2233OP OM MP OM MN OM MO OC CN =+=+=+++u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v()22211211113332333633OM MO OC CB OM OC OB OC u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v =+++⨯=+++-=++a b c， 故选B.5．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．13【答案】D【解析】试题分析：由题意可得7978828085869496868x ++++++++=,解得8x =;8180832y++=,解得5y =．8513x y ∴+=+=．故D 正确． 【考点】平均数,中位数．6．已知空间三点坐标分别为A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点P （x,-1,3) 在平面ABC 内，则x 的值 （ ） A ．-4 B ．1C ．10D ．11【答案】D【解析】利用平面向量的共面定理即可求出答案 【详解】(),1,3P x -Q 点在平面ABC 内,λμ∴存在实数使得等式AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r成立()()()4,2,02,2,21,6,8x λμ∴--=--+-- 42226028x λμλμλμ-=--⎧⎪∴-=+⎨⎪=--⎩，消去λμ，解得11x = 故选D 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，熟练掌握平面向量的共面定理是解决本题的关键，属于基础题。
7．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】【详解】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．【考点】平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．8．已知数列{}n a 是等差数列，若()()121122n n n T na n a a a n -=+-+⋯++≥，且237,16T T ==，则n a =A ．1n +B ．21n -C ．31n -D ．43n -【答案】A【解析】由题意可得：212121211237326416T a a a d T a a a a d =+=+=⎧⎨=++=+=⎩，解得：121a d =⎧⎨=⎩，则数列的通项公式：()111n a a n d n =+-=+.本题选择A 选项.9．直线y ＝－3x 与椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( ) A ．32B ．3－1C ．312- D ．4－23【答案】B【解析】以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A 、B 两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C 的离心率． 【详解】由题意，以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，如图所示，OA=OB=OF 1=OF 2，故这两个焦点A 、B 两点为顶点得一矩形．直线y 3的倾斜角为120°，所以矩形宽为c ，长为 3c ． 由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a ，即32c c a =． ∴3131c e a ===+， 故选B ． 【点睛】本题重点考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A 、B 两点为顶点得一矩形．10．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则（ ）A ．1212p p << B ．1212p p << C．2112p p << D ．2112p p << 【答案】 B【解析】由题意知，事件“12x y +≤”的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯，事件“12xy ≤”的概率02S p S=，其中10121111(1ln 2)222S dx x =⨯+=+⎰，111S =⨯=，所以021(1ln 2)112(1ln 2)1122S p S +===+>⨯，故应选B ．【考点】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域．11．已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线 相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据抛物线的定义，可得出射线的斜率，根据点斜式得出射线的方程，令求得焦点坐标，从而求得的值.【详解】根据抛物线的定义可知，的值等于到准线的距离，故射线的斜率为，由于，故射线的方程为，令，解得，故焦点坐标为，故.所以选A.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的方程以及抛物线标准方程的求法，属于中档题. 直线方程的常用形式有点斜式和斜截式，已知直线上一个点的坐标和直线的斜率，就可以求出直线的方程.抛物线的定义是动点到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹，解有关抛物线的题目时，这个知识点是经常要利用上的.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若122MF MF b -=，该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ） A ．2 B ．212+ C ．3222+ D ．51+ 【答案】D【解析】以线段12A A 为直径的圆方程为222x y c += ,双曲线经过第一象限的渐近线方程为by x a = ,联立方程222{x y c b y xa+== ,求得(,)M a b ,因为122MF MF b -= ,所以有2222()()2a c b a c b b ++--+= ,又222,cb c a e a=-=,平方化简得4210e e --= ,由求根公式有251e +=(负值舍去).选D. 点睛: 本题主要考查双曲线的离心率, 计算量比较大, 属于中档题. 本题思路: 由已知条件求出圆的方程和直线方程,联立求出在第一象限的交点M 坐标,由两点间距离公式,求出离心率的平方. 涉及的公式有双曲线中222,cb c a e a=-=,两点间距离公式, 求根公式等.二、填空题13．已知命题p ：x 满足220x x --<，命题q ：x 满足1m x m ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则m 的取值范围是______． 【答案】()1,1-【解析】试题分析：由条件知::,:1m x m ≤≤+,若是的必要条件,则,所以,解得11m -<<．故正确答案为11m -<<．【考点】1．充分必要条件；2．解不等式．14．函数()sin(42)f x x =-，则()f x '=__________． 【答案】4cos(42)x -【解析】根据复合函数的求导法则，即可求得. 【详解】因为()sin(42)f x x =-，故可得()()()()'cos 42424cos 42f x x x x -='=-⨯-. 故答案为：4cos(42)x -. 【点睛】本题考查复合函数的求导运算，属基础题.15．椭圆2221541x y a a +=+的焦点在x 轴上，则它的离心率e 的取值范围是__________．【答案】0,5⎛ ⎝⎦【解析】根据椭圆的焦点位置，得到a 的取值范围，将离心率表示为a 的函数，求该函数在区间上的值域即可. 【详解】因为椭圆的焦点在x 轴上，故可得2541a a >+， 解得1,14a ⎛⎫∈⎪⎝⎭.又e ==，又对勾函数14y a a =+在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又14a =时，5y =；12a =时，4y =；1a =时，5y =， 故[)144,5y a a=+∈，则111140,55a a ⎛⎫⎛⎤-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则0,5e ⎛∈ ⎝⎦.故答案为：⎛ ⎝⎦. 【点睛】本题考查椭圆离心率范围的求解，涉及由椭圆焦点所在位置求参数范围的问题，以及利用对勾函数的单调性求函数值域的问题，属综合中档题.16．为激发学生学习的兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：21{|0},{|340},x A x B x x x x -=<=--≤W 12log 1C x x ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“W”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件； 丙：A 是C 成立的必要不充分条件若老师评说这三位同学都说得对，则“W ”中的数为 ． 【答案】1【解析】先求出两个集合B ，C ，再根据三位同学的描述确定集合A 与两个集合B ，C 之间的关系，推测出的可能取值 【详解】由题意B={x|x 2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}，121=log 1{|0},2C x x x ⎧⎫⎪⎪>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭＜＜ ()11=0{|0}[]x A x x x x⎧⎫-⎪⎪<=⎨⎬⎪⎪⎩⎭＜＜由A 是B 成立的充分不必要条件知，A 真包含于B ，故14[]≤ ，再由此数为小于6的正整数得出1[]4≥， 由A 是C 成立的必要不充分条件得出C 包含于A ，故11 []2＞ ，得出[]2＜ ， 所以=1 故答案为1． 【点睛】本题考查集合中的参数取值问题，解题的关键是根据题设条件中三个同学的描述得出三个集合之间的包含关系，由这些关系得出所求的参数满足的条件，本题考查了推理论证的能力及运算能力．三、解答题17．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点F 为1A D 的中点．（1）求平面AFC 的法向量.（2）求二面角B AF C --的余弦值． 【答案】（1）(1,1,1)-（2）6【解析】（1）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出法向量，根据法向量与平面内不共线的两个向量垂直，即可列方程求得法向量；（2）根据（1）中所求，再求出平面BAF 的法向量，根据向量夹角与二面角夹角之间的关系，即可得二面角的余弦值. 【详解】以顶点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，如下图所示：则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,0,1)A ，110,,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,0,1)B （1）设n r(,,)x y z =是平面AFC 的一个法向量AF u u u r 110,,22⎛⎫= ⎪⎝⎭，AC u u ur (1,1,0)=，1A B u u u r (1,0,1)=- 因为00n AF n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 110220y z x y ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩ ∴取1x =，则11y z =-⎧⎨=⎩，故可得n r(1,1,1)=-，即平面AFC 的一个法向量为n r(1,1,1)=-（2）设m r()111,,x y z =是平面BAF 的一个法向量，AB u u u r(1,0,0)=因为00m AB m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 111011022x y z =⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ ∴取11y =-，则1z =m r(0,1,1)=-,?m n cos m n m n ⋅===r r r rr r 又m r 与n r所成的大小与二面角B AF C --的大小相等，故二面角B AF C --. 【点睛】本题考查平面法向量的求解，以及用向量法求解二面角的大小，属基础题.18．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（1）求1A 被选中的概率；（2）求1B 和1C 不全被选中的概率． 【答案】（1）13;（2）56.【解析】【详解】（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． （2）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． 19．已知抛物线2:4G x y =；（1）过点(2,1)P 作抛物线G 的切线，求切线方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线G 上异于原点的两动点，其中120x x >>，以A ，B 为直径的圆恰好过抛物线的焦点F ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于C ，D两点，若四边形ABCD 的面积为32，求直线AC 的方程. 【答案】（1）1y x =-（2）1y x =+【解析】（1）设出切线的点斜式方程，联立抛物线方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据0=n ，求得直线斜率，从而求得切线方程；（2）设出直线AC 的方程，联立抛物线方程，求得弦长AC ，同理得BD ，根据面积，代值计算即可. 【详解】（1）过点(2,1)P 的切线方程为1(2)y k x -=-由2412x y y kx k⎧=⎨=+-⎩得244(21)0x kx k -+-=由题可知0=n ，即21616(21)0k k --=解得1k =.∴所求的直线方程是1y x =-.（2）设直线AC 的方程为1y kx =+， 则直线BD 的方程为1y x 1k=-+ 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --= ∴124k x x +=，124x x =-∴()212|AC |41x k =-==+同理：22211||414k BD k k +⎛⎫=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭因为四边形ABCD 的面积为32∴1||||322AC BD =，即()22211414322k k k+⨯+⨯=. 解得：1k =或1k =- 又因为120x x >>，故1k =.∴直线AC 的方程是：1y x =+.【点睛】本题考查直线与抛物线相切时直线方程的求解，以及抛物线中四边形面积问题的处理，属综合基础题；本题第二问的难点在于，要根据AC BD ⊥，将四边形面积求解的问题转化为弦长求解的问题.20．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：x 元25 30 38 45 52销量为y （万份） 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0ˆybx =-．（ⅰ）求参数b 的值；（ⅱ）若把回归方程10.0ˆybx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费⨯销量． 【答案】（1）0.275;（2）（ⅰ）0.1b =;（ⅱ）99万元 【解析】试题分析：（1）根据平均值为0.275各组的组中值与面积的乘积之和，计算得；（2）（ⅰ）先求得38x =；6.2y =，由10y bx =-，得1038 6.2b -=．解得0.1b =；（ⅱ）易得这款保险产品的保费收入为()()()()220100.13600.140f x x x x =+-=--⇒当40x =，即每份保单的保费为60元时，保费收入最大为360万元⇒预计这款保险产品的最大利润为3600.27599⨯=万元．试题解析：（1）收益率的平均值为0.050.10.150.20.250.25⨯+⨯+⨯0.350.30.450.10.050.050.275+⨯+⨯+⨯=．（2）（ⅰ）25303845521903855x ++++===；7.57.1 6.0 5.6 4.831 6.255y ++++===由10y bx =-，得1038 6.2b -=．解得0.1b =．（ⅱ）设每份保单的保费为()20x +元，则销量为100.1y x =-． 则这款保险产品的保费收入为()()()20100.1f x x x =+-万元． 于是，()()2220080.13600.140f x x x x =+-=--．所以，当40x =，即每份保单的保费为60元时，保费收入最大为360万元． 预计这款保险产品的最大利润为3600.27599⨯=万元．21．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22,AD BC == 90BAD ABC ∠=∠=o .（1）证明：PC BC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30o ，求二面角B PC D --的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) 277-【解析】试题分析：（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，由正三角形性质得PO AD ⊥，由矩形的性质得CO AD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面POC ，从而可得结论；（2）,,OC OD OP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，分别求出平面PBC 的法向量与平面PDC 的法向量，利用空间向量夹角的余弦公式可得结果.试题解析：（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，PAD ∆Q 为等边三角形，PO AD ∴⊥.底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，CO AD ∴⊥，0,PO CO AD ⋂=∴⊥Q 平面POC ，PC ⊂平面,POC AD PC ⊥.又//AD BC ，所以AD PC ⊥.（2）由面PAD ⊥面,ABCD PO AD ⊥知，PO ∴⊥平面ABCD ，,,OP OD OC 两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为30o ，即30CPO ∠=o ，由2AD =，知3PO =，得1CO =.分别以,,OC ODOP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,3,P ()0,1,0,D ()()1,0,0,1,1,0C B -，()0,1,0,BC =u u u r()()1,0,3,1,1,0PC CD =-=-u u u r u u u r， 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r .030y x z =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，则()3,0,1n =r ，设平面PDC 的法向量为(),,m x y z =r ，030x y x z -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，则()3,3,1m =r ，27cos ,727m n m n m n r r r r r r ⋅===,∴由图可知二面角A SB C --的余弦值27-.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为(2,0),(2,0)A B -，点P 为椭圆C 上一动点，且直线,AP BP 的斜率之积为14-. （Ⅰ）求,a b 及离心率e 的值；（Ⅱ）若点M N 、是C 上不同于,A B 的两点，且满足//,//AP OM BP ON ，求证：MON ∆的面积为定值.【答案】（1）2,1,2a b e ===.（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据2212244AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--，得21b =，进而得到椭圆的方程为2214x y +=，离心率e =（2）联立直线和椭圆得到二次方程，根据韦达定理得到1212MONSt y y ∆=-=，根据121214y y x x =-，可得2224t m =+，得到定值.解析：（1）由左、右顶点分别为()20A -，，()20B ，，知2a =， 又知2212244AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， 又22214x y b+=，得21b =，所以椭圆的方程为2214x y +=.离心率2e =（2）设直线MN 的直线方程为x my t =+，设坐标()11,M x y ，()22,N x y ， 由//AP OM ，//BP ON ，14AP BP k k ⋅=-，得14OM ON k k ⋅=-，即得坐标关系121214y y x x =-； 直线MN 的方程x my t =+与椭圆方程2214xy +=联立，得()2224240m ymty t +++-=，利用韦达定理可得12224mt y y m +=-+，212244t y y m-=+， ()()2212122444t m x x my t my t m -=++=+， 代入121214y y x x =-，可得2224t m =+，而1212MONSt y y ∆=-=将2224t m =+代入化简得1MON S ∆==.MON ∆的面积为定值1.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．。
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福建省晋江市养正中学篇一：福建省晋江市养正中学2019-2019学年度高二第一学期第二次月考数学理试题晋江市养正中学2019-2019学年度第一学期第二次月考高二数学（理科）试卷（考试时间：120分钟试卷分值：150分）一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把答案填涂在答题纸的相应位置1．对于抛物线?42，下列描述正确的是（）开口向上开口向下开口向左开口向右2从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为()1000120013013003已知命题“如果?,那么2?2”的否命题是（）．如果?,那么2?2．如果2?2那么?．如果2?2，那么?如果?,那么2?24抛物线2?10的焦点到准线的距离是（）．515．5．．10222?2?1的渐近线方程是()5双曲线4??11??4????22422222?2?1和双曲线6已知椭圆那么2的值为（）?2＝1有公共的焦点，223231．2．4217如图，四面体中，设是的中点，则??2．．14?化简的结果是（）．．．．228“?0”是“方程??1表示双曲线”的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件非充分非必要条件9经过点(3,?1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是（）22222222??1??1??1??1Ａ10101010888810已知方程2?2?和??1?0（其中?0,?），它们所表示的曲线可能是（）ＡＢＣＤ二填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把正确答案写在题中横线上）11已知?(2,1,3),?(1,,2),??2，那么的值等于___________?612当?2时，右边的程序段输出的结果是413．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，那么椭圆的离心率等于___________12(第12题图)14有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3米，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，隧道高8米,宽16米为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为025米，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为_________________米（用分数表示）35822??1于，两点，使得15若动点在直线：??作直线交椭圆124||=||，再过作直线??,则?恒过定点，点的坐标为_____________．42(－，0)3三解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）2216．设关于的一元二次方程?2??0（）若,都是从集合?1,2,3,4?中任取的数字，记为(,)，列出所有的情况;并求方程有实根的概率；（）若是从区间中任取的数字，是从区间中任取的数字，求方程有实根的概率．解：（）所有的情况有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）……2分一共16种且每种情况被取到的可能性相同……3分22∵关于的一元二次方程?2??0有实根22??4?4?0??,……4分∴∴设事件为“方程有实根”，事件包含的基本事件有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共10种…5分?()?105?1681?3?33()??3?48………12分∴∴方程有实根的概率是3………13分（第（）题评分标准说明：画图正确得2分，求概率4分，本小题7分）17．如图，正方体?1111的棱长为1，点在棱上，且?111已知异面直线1与所成角的余弦值等于3，求的值15解以为坐标原点，以、、所在直线依次为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，?1分则(0,0,0)、1(1,1,1)、(0,1,0)、(1,,0)??3分所以1?(1,1,1),?(1,?1,0),???5分,???7分|1|?2?12?12?3,|1|??(?1)?0??2?222221??1?1?1?(?1)?0?所以?1,1???2?22?10分2依题意得,即12??1?0，??12分?23??2?21511或??（舍去）431因此，的值等于???13分4解得?18已知抛物线??2和抛物线上一点?1,?2?2||（）求抛物线的准线方程；（）过点作斜率为2,?2的直线1,2，分别交抛物线于?1,1?,?2,2?，设的中点?0,0?求证：线段的中点在轴上解：（）抛物线??2,???所以准线方程是?221221；????4分8（）直线1???2??2??1?，即?2?4代入??222?2?4?0,?2??2?0,???2或?1，即1＝-2同理直线2???2???2??1?，即??2代入??2，有222?2?0,?2??0,??0或?1，即2＝0所以0??11?2??1,?0?0，即?022即线段的中点在轴上???????????????13分22??1(?0)的离心率19已知命题：??,??1?0，命题：双曲线25?(,??)2（Ⅰ）写出命题的命题否定?；并求出的取值范围，使得命题?为真命题；（Ⅱ）如果“?”为真命题，“?”为假命题，求的取值范围2解（1）?：?0?，0?0?1?0?????2分2若?为真命题，则??2?4?0,解得：??2,或?2故所求实数的取值范围为：???,?2???2,???????5分（2）若??,??1?0为真命题时，由???4?022的取值范围为?2??2????6分1225??1的离心率?(,??)为真命题时，则??8分双曲线222由“?”为真命题，“?”为假命题，故命题、中有且仅有一个真命题当真假时，实数的取值范围为：??2,2??(0,]?(0,]????10分当假真时，实数的取值范围为：????,?2???2,??????,?????2,?????12分综上可知实数的取值范围：(0,]??2,??????13分20．四棱锥?中，底面是直角梯形，,?，侧棱1212?1?2??12?底面，且??1,??2，是的中点（）求证：平面；（）线段上是否存在一点，使得?平面？若存在，求出在，请说明理由的值；若不存篇二：晋江市养正中学2019届高三第一次月考数学理试题2019届高三上学期第一次月考2019830数学试卷(理科）(范围集合,简易逻辑,函数,函数与导数;命题郑明铿,审题尤琳琪，完卷时间：120分钟)一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1命题“对任意的?,3?2?1?0”的否定是(）存在?,3?2?1?0存在?,3?2?1?0不存在?,??1?0对任意的?,??1?02已知集合?{1,2}，?{|?2?1,?}，则??(){1}{1,2}{1,2,3}?3已知()?|3|，则下列不等式成立的是（）．()?(2)323212．(?(3)．()?(．(2)?(3)?21314134设?23，?053，?3,则()．??．??．??．??5若“0??1”是“(?)[?(?2)]?0”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是()．[?1,0]．(?1,0)．(??,0]?[1,??)．(??,?1)?(0,??)6在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地?2?2?2(?1)?26127已知集合?{|2?2?0}，?{|?}，若?，则实数的取值范围是()．[2，＋∞)．(2，＋∞)．(－∞，0)．(－∞，0]8设???3?3?8,用二分法求方程3?3?8?0在??1,2?内近似解的过程中得?1??0,?15??0,?125??0,则方程必有一根落在区间（）9在同一直角坐标系中，函数()＝(≥0)，()＝的图像可能是()（1,125）（125,15）（15,2）不能确定10定义在上的偶函数?()满足(?1)??()，且当?(0,1]时单调递增，则（）153251．()?()?(?5)23．()?(?5)?()5215．(?5)?()?()32．()?()?(?5)1311已知曲线?3?3及点(2,2)，则过点可向曲线引切线，其切线共有()条．1．2．3．412定义在上的函数()可导，且()图像连续，当?0时?()??1()?0,则函数()?()??1的零点的个数为()．1．2．3．4二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分?2?,?0??0是奇函数,则(?2)的值为_________13已知函数()??0,??2?,?0?14如果对于任意实数，表示不超过的最大整数,例如327?3，06?0,那么,[2??????1]+[121]+[22]的值为_________35已知函数()??2?1(?0),定义函数()???(),?0,给出下列命题??(),?0①()?();②函数()是奇函数;③当?0时,若?0,??0,总有()?(?)成立0,其中所有正确命题的序号是16定义在上的可导函数(),已知则?()的增区间是三、解答题本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）22设集合??3?2?0，={|(?1)(??1)?0}，???2?0，??()的图像如图所示，????若??，??（Ⅰ）求实数的取值集合;（Ⅱ）求实数的取值集合．18（本小题满分12分）已知命题：函数()?2??1???0,且?命题：??,??1?0（Ⅰ）写出命题的命题否定?；并求出实数的取值范围，使得命题?为真命题；（Ⅱ）如果“?”为真命题，“?”为假命题，求实数的取值范围19（本小题满分12分）2??1??是增函数，2??2?已知定义域为的函数()??1是奇函数2?（Ⅰ）求实数,的值；（Ⅱ）若任意的?[?1,1]，不等式(2?)?(?2)?0恒成立，求实数的取值范围20（本小题满分12分）已知函数???2?,其中?0．（是自然对数的底数，=271828?）（）求??的单调区间；（）求??在?1,2?上的最大值21（本小题满分12分）已知函数()???的图像在?0处的切线方程为?（是自然对数的底数，=271828?）(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)若()??22（本小题满分12分）已知函数()?3?．（Ⅰ）求函数?()的零点的个数；??12?(?1)?1(?0)，求函数()?()?()的单调区间221（Ⅱ）设()?，若函数?()在(0，)内有极值，求实数的取值范围；1（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意?(1,??),?(0,1)，求证：()?()??2?2019届高三上学期第一次月考830数学试卷(理科）答案-6，-1，②③，(??,2)三、解答题本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）22设集合??3?2?0，={|(?1)(??1)?0}，???2?0，????若??，??（Ⅰ）求实数的取值集合;（Ⅱ）求实数的取值集合．解：（Ⅰ）由已知得={1，2}={|(?1)(??1)?0}由??，知?显见??当为单元素集合时，只需?2，此时={1}满足题意。
福建省晋江市2019年初中学业质量检查第二次数学试题含答案
晋江市2019年初中学业质量检查（第二次）数 学 试 题（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共21分.每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的， 请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分.） 1．9的算术平方根是（ ）． A ．3B ．3-C ．3±D ．9±2．计算()32b a 的结果是（ ）． A ．b a 23B ．32b aC ．35b aD ．36b a3．如图，数轴上表示的是某一不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）. A ．⎩⎨⎧>+>-0201x xB ．⎩⎨⎧>+-0201x xC ．⎩⎨⎧->+0 201x xD ．⎩⎨⎧<-+020 1x x 4．在四个实数2-，0，3-，5中，最小的实数是（ ）.A ．2-B ．0C ．3-D ．55．学校美术作品展中，九年级8个班参展的作品（单位：件）分别为：3、5、2、4、3、2、3、4，则这组数据的中位数是（ ）． A ．2 B ．3 C ．5.3 D ．4 6．如图，ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，点D 为斜边AC 的中点，6=BD cm ，则AC 的长为（ ）． A ．3B ．6C ．36D ．127．点O 是ABC ∆的外心，若︒=∠80BOC ，则BAC ∠的度数为（ ）. A ．40° B ．100° C ．40°或140° D ．40°或100° 二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 8．2016的相反数是 . 9．计算：___________2422=---m m m ． 10．崖城13-1气田是我国海上最大合作气田，年产气约为0000004003立方米，将数据0000004003用科学记数法表示为 .（第3题图）3210-1-2 A（第6题图）DBC≤ ≤ ≥11．如图，已知︒=∠115B ，如果BE CD //，那么︒=∠____1． 12．因式分解：__________3=-x x . 13．方程)4(35-=x x 的解为 .14．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=BC ，10=AB ，则=A tan .15．如图，在□ABCD 中，BD AE ⊥于点E ，︒=∠30EAC ，12=AC ，则AE 的长为 ． 16．已知二次函数c bx ax y ++=2中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x… 0 1 2 3 4 … y…343-5…则此二次函数图象的对称轴为直线 ；当0>y 时，x 的取值范围是 ． 17．如图1，将半径为2的圆形纸片沿圆的两条互相垂直的直径AC 、BD 两次折叠．．．．后，得到如图2所示的扇形OAB ，然后再沿OB 的中垂线EF 将扇形OAB 剪成左右两部分，则︒=∠OEF ；右边部分经过两次展开．．．．并压平后所得的图形的周长为.三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 18．（9分）计算：2)55(21841601----÷+⨯-．19．（9分）先化简，再求值:)34()32(2--+x x x ，其中51-=x ．(第11题图)ED CBA1α°（第20题图）12F AB CD E 20．（9分）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，BE 与CD 相交于点F ，且AE AD =，21∠=∠.求证：FCB FBC ∠=∠．21.（9分）将三张质地相同并分别标有数字1、2、3的卡片，背面朝上放在桌面上，洗匀后，甲同学从中随机抽取一张卡片．（1）甲同学抽到卡片上的数恰好是方程0342=+-x x 的根的概率为 ；（2）甲乙两人约定：甲先随机抽取一张卡片后，背面朝上放回桌面洗匀，然后乙再随机抽取一张卡片，若两人所抽取卡片上的数字恰好是方程0342=+-x x 的两个根．．．，则甲获胜；否则乙获胜．请你通过列表或画树状图的方法，说明这个游戏是否公平?22．（9分）某学校计划开设A 、B 、C 、D 四门校本课程供学生选修，规定每个学生必须并且只能选修其中一门，为了了解学生的选修意向，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下所示的两个不完整统计图表.选修课程所占百分比A a %B 25%C b %D20%请根据图表信息，解答下列问题： (1)参与调查的学生有 名；(2)在统计表中，=a ，=b ，请你补全条形统计图； (3)若该校共有2000名学生，请你估算该校有多少名学生选修A 课程？校本课程选修意向统计表 校本课程选修意向条形统计图 401510 20 30 40 50 A B CD 课程人数（名） 2523．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点)4,3(A ，C 在x 轴的负半轴，抛物线k x y +--=2)2(34过点A ． (1)求k 的值；(2)若把抛物线k x y +--=2)2(34沿x 轴向左平移m 个单位长度,使得平移后的抛物线经过菱形OABC 的顶点C .试判断点B 是否落在平移后的抛物线上，并说明理由.24．（9分）某微店销售甲、乙两种商品，卖出6件甲商品和4件乙商品可获利120元；卖出10件甲商品和6件乙商品可获利190元. (1)甲、乙两种商品每件可获利多少元？(2)若该微店甲、乙两种商品预．计．再次进货200件，全部卖完后总获利不低于2300元，已知甲商品的数量不少于120件.请你帮忙设计一个进货方案，使总获利最大.（第23题图）yO A B C x25．（13分）如图,在矩形ABCD 中，k AB 8=,k BC 5=（k 为常数，且)0>k ，动点P 在AB 边上（点P 不与A 、B 重合），点Q 、R 分别在BC 、DA 边上，且1:2:3::=DR BQ AP .点A 关于直线PR 的对称点为'A ，连接'PA 、'RA 、PQ . (1)若4=k ，15=PA ，则四边形'PARA 的形状是 ；(2)设x DR =，点B 关于直线PQ 的对称点为'B 点.①记'PRA ∆的面积为1S ，'PQB ∆的面积为2S .当21S S <时，求相应x 的取值范围及12S S -的最大值；（用含k 的代数式表示）②在点P 的运动过程中，判断点'B 能否与点'A 重合？请说明理由.26．（13分）如图，已知直线x y -=和双曲线x k y =(0>k )，点)0)(,(>m n m A 在双曲线xk y =上. (1)当2==n m 时，①直接写出k 的值；②将直线x y -=作怎样的平移能使平移后的直线与双曲线xky =只有一个交点. (2)将直线x y -=绕着原点O 旋转,设旋转后的直线与双曲线xky =交于点),(b a B（)0,0>>b a 和点C .设直线AB ，AC 分别与x 轴交于D ，E 两点，试问：AD AB 与AEAC的值存在怎样的数量关系？请说明理由.(以下空白作为草稿纸)yxA (m ,n )O y=-x(第26题图)yA (m ,n )y=-x (第25题图)y x(第A (m ,n )Oy=-xQ A'RP D CBA晋江市2019年初中学业质量检查(二)数学试题参考答案及评分标准说明：（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分． （二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数． 一、选择题（每小题3分，共21分） 1．A 2．D 3．C 4．A 5． B 6．D 7．C 二、填空题（每小题4分，共40分）8．2016- 9．2 10．9104.3⨯ 11．65 12．()()11-+x x x13．6-=x 14．4315．33 16．1=x ；31<<-x 17．90； 3434+π. 三、解答题（共89分） 18.（本小题9分） 解：原式=2134--+ …………………………………………………………………………………………8分 4= …………………………………………………………………………………………………… 9分19．（本小题9分） 解：原式=x x x x 34912422+-++ ……………………………………………………………………………4分=915+x ………………………………………………………………………………………………6分 当51-=x 时，原式95115+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯= ………………………………………………………………………7分6=………………………………………………………………………………………9分20．（本小题9分）证明：∵AE AD =，21∠=∠，A A ∠=∠，12FAB CDE∴ABE ∆≌ACD ∆， …………………………………………………………………6分 ∴AC AB =,∴ACB ABC ∠=∠ ，∴21∠-∠=∠-∠ACB ABC ，∴FCB FBC ∠=∠.……………………………………………………………………9分21．（本小题9分） 解：（1）32；……………………………………………………………………………3分 (2)方法一：画树状图如下：…………………………………………………………………………………………………………………6分由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜有2种，乙获胜有7种.∵P (甲获胜)=92，P (乙获胜)=97， ∴P (甲获胜)<P (乙获胜)，∴游戏不公平. ………………………………………………………………………………………………9分 方法二：列表如下：…………………………………………………………………………………………………………………6分由上表可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜有2种，乙获胜有7种. ∵P (甲获胜)=92，P (乙获胜)=97，1 231 ()1,1 ()2,1 ()3,12 ()1,2 ()2,2()3,2 3()1,3()2,3()3,31 23 1 2 3 1 23 甲 1 2 3 乙∴P (甲获胜)<P (乙获胜)，∴游戏不公平. ………………………………………9分22．（本小题9分）解：(1)100； ………………………………………3分 (2)40=a ，15=b ，补全条形统计图如图所示：…………………………………………………6分 (3)8002000%40=⨯（名）答：该校有800名学生选修A 课程. ………………9分23．（本小题9分） 解：（1）∵k x y +--=2)2(34经过点)4,3(A ∴4)23(342=+-⨯-k 解得，316=k ；………………………………………………………………………………………………3分 （2）设AB 与y 轴交于点D ，则y AD ⊥轴，3=AD ，4=OD ，5432222=+=+=OD AD OA∵四边形OABC 是菱形，5===∴OC AB OA ，2=-=AD AB BD ，∴)4,2(-B ，……………………………………………………5分 令0=y ，得0316)2(342=+--x ， 解得：01=x ，42=x ，∴抛物线316)2(342+--=x y 与x 轴交点为)0,0(O 和)0,4(E ，4=OE ， 当5==OC m 时，平移后的抛物线为316)3(342++-=x y ，401510 20 30 40 50 A B CD 课程人数（名） 2025校本课程选修意向条形统计图 yO ABC（第23题图）DxE令2-=x 得，4316)32(342=++--=y ， ∴点B在平移后的抛物线316)3(342++-=x y 上；…………………………………………………8分 当9==CE m 时，平移后的抛物线为316)7(342++-=x y ， 令2-=x 得，4316)72(342≠++--=y ， ∴点B 不在平移后的抛物线316)7(342++-=x y 上.综上，当5=m 时，点B 在平移后的抛物线上；当9=m 时，点B 不在平移后的抛物线上.…………………………………………………9分24．（本小题9分）解：（1）设甲商品每件获利x 元、乙商品每件获利y 元，由题意，得 ⎩⎨⎧=+=+19061012046y x y x ，解得：⎩⎨⎧==1510y x .答：甲商品每件获利10元，乙商品每件获利15元．……………………………………………………4分(2)设甲商品进货a 件，总获利为w 元，由题意，得 )200(1510a a w -+=30005+-=a 由230030005≥+-a 解得：140≤a .∴a 的取值范围为140120≤≤a ，且a 是整数； ∵05<-，∴w 随a 增大而减小，∴当120=a 时，w 最大，此时80200=-a . ∴进货方案为甲商品进货120件，乙商品进货80件.…………………………………………………9分25．（本小题13分）（1）正方形；………………………………………………………………………………………………3分（2）解：①由题意可知，x BQ 2=，x PA 3=，x k AR -=5，x k BP 38-=，∵2111153(5)32222PRA S S AR AP k x x kx x ∆==⋅=-⋅=-， (第25题图)ABCDPQRA' (B' )22382)38(2121x kx x x k BQ BP S S PQB -=⋅-=⋅==∆， 由21S S <可得，223823215x kx x kx -<-，∵0>x ,∴x 取值范围为k x 310<<.kx x S S 2123212+-=-22241)6(23k k x +--=∴当6k x =时，12S S -有最大值，最大值为2241k .…………………………………………………8分②点'B 不能与点'A 重合.理由如下：如图, 假设点'B 与点'A 重合，则有︒=∠+∠+∠+∠180''BPQ PQ B PR A APR ， 由对称的性质可得，APR PR A ∠=∠'，BPQ PQ B ∠=∠'，∴︒=︒⨯=∠+∠9018021BPQ APR ， 由︒=∠90A 可得，︒=∠+∠90PRA APR ，∴PRA BPQ ∠=∠， 又∵︒=∠=∠90B A ∴PAR Rt ∆∽QBP Rt ∆，∴BPARQB PA =，即QB AR BP PA ⋅=⋅. ∴x x k x k x 2)5()38(3⋅-=-，解得，01=x （不合题意舍去），k x 22=， (11)分又∵'PA PA =，''PA PB PB ==， ∴PB PA =，∴x k x 383-=，解得k k x 234≠=故点'B 不能与点'A重合.…………………………………………………………………………………13分26．（本小题13分）解：(1)① 4=k ； …………………………………………………………………………………………3分② 设平移后的直线为1b x y +-=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x k y b x y 1可得，x b x 41=+-， 整理可得，0412=+-x b x .当0414)(21=⨯⨯--=∆b ,即41±=b 时,方程0412=+-x b x 有两个相等的实数根,此时直线1b x y +-=与双曲线只有一个交点,∴只要将直线x y -=向上或向下平移4个单位长度,所得到的直线与双曲线只有一个交点.………8分（2）2=±ADAB AE AC ,理由如下：……………………9分 分两种情况讨论：由双曲线的对称性可知，),(b a C -- i)当点A 在直线BC 的上方时，如图所示， 过A 、B 、C 分别作y 轴的垂线，垂足分别为F 、G 、H . 则n OF =，b OH OG ==， ∴bn OG OF FG -=-=，b n OH OF FH +=+=，∵x BG AF ////轴， ∴nb n FO FG AD AB -==. ∵x AF //轴CH //， ∴nb n FO FH AE AC +==. ∴2=++-=+nb n n b n AD AB AE AC .…………………11分 ii) 当点A 在直线BC 的下方时，同理可求：n n b AD AB -=，nn b AE AC +=， ∴2=--+=-nn b n n b AD AB AE AC . 综上所述，2=±ADAB AE AC .…………………………………………………………………………………13分y x HGF E D CB (a ,b )(第26题图）A (m ,n )O y=-x。
2019学年福建省高二上第二次月考文数学卷【含答案及解析】
2019学年福建省高二上第二次月考文数学卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列命题中不是全称命题的是（）A．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数2. 焦点在轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线方程为（）A ．B ．C ．D ．3. 下列结论正确的是（）A．_________B．_________C．_________D ．4. 已知双曲线实轴的一端点为，虚轴的一端点为，且，则该双曲线的方程为（）A． B． ________C ．___________D ．5. 已知函数的单调递减区间为（）A ．_________B ．_________C ．_________D ．6. 抛物线上一点到焦点的距离是10，则（）A ． 1 或 8______________B ． 1 或9______________C ． 2 或8______________D ． 2 或 97. 已知函数的导函数图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）______________8. 设是两非零向量，则“ ” 是“ 夹角为锐角” 的（）A．充分不必要条件B ．必要不充分条件______________C．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知函数有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A． B．C ．____________________D ．10. 如果方程表示椭圆，则实数a的取值范围是（）A．_________B．_________C．_________D ．11. 以椭圆的左右焦点，为直径的圆若和椭圆有交点，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．________B ．_________C ． ________D ．12. 函数的定义域为R，，对任意，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13. 命题“若，则”的否命题是____________________________ ．14. 双曲线的焦点到其渐近线的距离是____________________________ ．15. 已知椭圆的焦距为6，则k的值是____________________________ ．16. 已知，记，则________________________ ．三、解答题17. 命题：方程表示双曲线，命题：函数的定义域为，若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围．18. 已知为实数，函数，若．（ 1 ）求的值及曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最大值．19. 已知抛物线过点．（1）求抛物线的方程；（2）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与的距离为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．20. 已知函数．（1）若函数在或处取得极值，试求的值；（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围．21. 已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点、，当时，求的取值范围．22. 已知函数图象上点处的切线方程为．（1）求函数的单调区间；（2）函数，若方程在上恰有两解，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
晋江养正中学(高二年上学期期中考数学试卷
晋江养正中学高二数学（理科）试卷（ 考试时间：120分钟 试卷分值：150分）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1.在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 2.设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则4321a a a a ++的值为（ ）A ．41 B ．21 C ．81D ．1 3.如果0<<b a ，则下列不等式中，不成立．．．的是（ ） A ．b a 11> B ．ab a 11>- C.||||b a > D.22b a > 4.如图，不等式220x y -<表示的平面区域是（ ）5.已知向量3(sin ,),(cos ,1).2a xb x ==-若//a b ，则x tan 的值为（ ）A. 23-B. 32-C. 23D. 326.已知数列{}n a 的前n 项和12+-=n n S n ，则这个数列的通项公式为（ ）A ．12-=n a nB ．12-=n n a C ．22-=n a n D ．⎩⎨⎧≥-==2,221,1n n n a n7.设0,0>>y x 且x 2+y8=1，则xy 有（ ） A ．最小值8 B ．最大值32 C ．最小值64 D ．最大值64 8.设}{n a 为等比数列,其中==652143,5a a a a a a 则（ ）A.25B.10C.25-D. 10-9．观察下面的数阵，容易看出，第1+n 行最右边的数1+n a 与第n 行最右边的数n a 满足11+=-+n a a n n (*N n ∈)，则第10行的最右边的数10a 为（ ）1 2 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15 … … … … … …A ．36 B.45 C.55 D.6610.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,30==a A，3=c ，且c 是最大边，则ABC ∆的面积等于( )A ．233 B ．433 C ．833 D ．33 11.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且87665,S S S S S >=<，则下列结论错误的是（ ）A ．0<dB ．07=aC ．59S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值 12.已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，如果)4()2(-≥+x f ax f 在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是( )A. (,5]-∞-B. [1,)+∞C. [5,1]-D.(,5][1,)-∞-⋃+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，满分16分.请把答案填在答题纸的相应位置.13.设c b a ,,为ABC ∆的三边长，若ab c b a =-+222，则角C 大小为_________． 14. 若数列122++m 、m m 、是等比数列，则m 等于_________．15.若实数y x ,满足线性约束条件50,3,0x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数y x z 2-=的最大值为 .16.某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．若扣除投资及各种经费，即为纯利润，记前n 年的年平均获取纯利润为n b 万美元，则数列}{n b 中最大项等于___________．三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）设不等式.0)12)(18(M x x 的解集为≤--(Ⅰ)求出集合M ；(Ⅱ)设M x ∈，求函数)31(x x y -=的最大值和最小值. 18．（本题满分12分） 已知||p =22,||q =3,p、q的夹角为4π，如图，若=5p +2q ,=p -3q ,D 为BC 的中点.(Ⅰ)证明q q p ⊥-)32(； (Ⅱ)求|AD |的值.19．（本题满分12分）已知数列}{n a 是首项为1，公差为d )0(>d 的等差数列，数列}{n b 是首项为1,公比为q的等比数列，设n n n c a b =*()n ∈N ，且数列}{n c 的前三项依次为1、4、12.(Ⅰ)求d 和q 的值;(Ⅱ) 设10321...c c c c S ++++=,求S 的值.20．（本题满分12分）如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于C ，D ，已知△ACD 为边长等于a 的正三角形．当目标出现于B 时，测得∠CDB ＝45°,∠BCD ＝75°，试求炮击目标的距离AB ．（结果保留根式形式）21. （本题满分12分） 己知数列{}n a 、{}n b 满足：2111,1,41nn n n n a b b b a a -==+=+, *N n ∈.(Ⅰ)试写出1+n b 与n b 之间的递推关系式； (Ⅱ)设11-=n n b c ,求证：数列{}n c 是等差数列； (Ⅲ)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，若n n b aS <4，*N n ∈，求实数a 的取值范围．22. （本题满分14分）已知函数)(4)(a x x f -= )(R a ∈，4)(2+=x x g . （Ⅰ）解关于x 的不等式 0)()(>-⋅x f x g a ；（Ⅱ）若方程2210x ax --=的两根为,αβ（βα<），设)()()(x g x f x F =，证明：函数)(x F 在[,]αβ上是单调函数．晋江养正中学高二数学（理科）答案一、选择题：CABDA DCACB CDA CD B二、填空题:13．60; 14.-1或4; 15. 9; 16．16三、解答题:本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）解：(Ⅰ) 0)12)(18(≤--x x2181≤≤∴x 即}2181|{≤≤=x x M …………………………………………4分 (Ⅱ)解法一： M x ∈，2181≤≤∴x121]2)31(3[31)31(331)31(2=-+≤-⋅=-=∴x x x x x x y当且仅当x x 313-=，即61=x M ∈时，等号成立.所以当61=x 时，函数取最大值121…………………………………………………8分当81=x ，645=y ；当21=x ，41-=y所以当21=x ，函数取最小值41-………………………………………………12分解法二： M x ∈，2181≤≤∴x ，121)61(32+--=x y ，所以当61=x ，函数取最大值121；下面同上。
高二年级上学第二次月考数学试题原卷版
提到自己中考冲刺的体会,状元A的方法很简单:劳逸结合,放松心态。状元A说:“学习是一个技巧活,不能蛮干。中考的结果固然很重要,但初中三年我们收获的不仅仅只是最后的一个考分,享受过程才是首选。
状元A说:“面对中考,建议大家不要轻易否定自己,始终不要放弃,坚持自己的追求。此外,还有一点很重要,冲刺阶段的复习更要劳逸结合,经过三年的长跑,其实大家都已经付出了很多,在最后阶段,依然拼命苦学、死学会更加让人疲惫不堪,这时更应适当地放松休息,把自己的临考状态调整到最佳状态。
15. 在 中，若 ， ， ，则 _______．
16. 函数 的单调递增区间为__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）
17
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由．
18. 已知圆 经过三点 ， ， .
5. 椭圆 焦距为2，则 的值等于（ ）.
A. 5B. 8C. 5或3D. 5或8
6. 与向量 平行的一个向量的坐标是( )
A B. (-1,-3,2)
C. D. ( ,-3,-2 )
7. 直线 同时要经过第一、第二、第四象限，则 应满足（ ）
A. B. C. D.
8. 已知变量 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围是
人与人之间的关系如何,当然会影响到一个人的心情,而情绪的好坏直接影响到一个人的学习和工作效率,每天有个好心情,做事干净利落,学习积极投入,效率自然高。另一方面,把个人和集体结合起来,和同学保持互助关系,团结进取,也能提高学习效率。
总之,只有合理安排时间、注意劳逸结合,你才能真正提高效率,才能考出个好成绩。
福建省泉州市养正中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷(含答案解析)
福建省泉州市养正中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. R 表示实数集，集合M ={x|0≤x ≤2}，N ={x|x 2−3x −4>0}，则下列结论正确的是( )A. M ⊆NB. (∁R M)⊆NC. M ⊆(∁R N)D. (∁R M)⊆(∁R N)2. 已知复数z =2i 1+i ，则z 的共轭复数为( ) A. 1+i B. 1−i C. 2+2i D. 12−12i 3. sin20°sin10°−cos10°sin70°=( )A. √32B. −√32 C. 12 D. −12 4. 下列函数为偶函数的是( )A. y =x 2,x ∈(−1,1]B. y =3x +13xC. y =x +1xD.5. 为了得到函数y =sin(2x +2π5)的图象，只要把函数y =sin(x +π5)的图象( )A. 横坐标伸长到原来的2倍，向左平移π10个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍，向左平移π5个单位长度C. 横坐标缩短到原来的12倍，向左平移π10个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12倍，向左平移π5个单位长度6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=4，则a 3+a 8=( ) A. 2 B. 12 C. 45 D. 85 7. 设实数x 、y ，满足约束条件{x +y ≤10x −y ≤2x ≥4，则z =2x +3y +1的最小值为( )A. 27B. 25C. 17D. 158. 由曲线y =x 2+1，直线y =−x +3及坐标轴所围成图形的面积为( )A. 73B. 83C. 103D. 3 9. 已知函数的部分图象如图所示，则φ等于( )A. −π6B. π6C. −π3D. π3 10. 在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −√52 B. √52 C. −1 D. 111. 若数列{a n }满足a n+1=a n +2，且a 3+a 15=14，则其前17项和S 17= ( )A. 85B. 102C. 119D. 136 12. 已知函数f(x)=x −lnx +k ，在区间[1e ,e]上任取三个数a,b,c ，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则k 的取值范围是( )A. (−∞ ，e −3 )B. (e −3 ，+∞ )C. (−1 ，+∞ )D. (−∞ ，−1 )二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知α∈(0,π4)，sin(α+π4)=45，则tanα=__________．14. 已知a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b ⃗ |=3，则a ⃗ ⋅b ⃗ =____________．15. 若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足：a n+1=a 1S n +1(n ∈N ∗)，则a 1=______．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cosA =b sinB ，则A = ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x +2√3sinxcosx +1．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及f(x)的最小值；(Ⅱ)若f(α)=2，且α∈[π4,π2]，求α的值．18.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且(1+a n)2=4S n+4，等比数列{b n}的首项为1，公比为q(q≠1)，且3b1，2b2，b3成等差数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n项和T n．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PB⊥平面PAC，四边形ABCD为平行四边形，且AD=√2AB=4，∠BAD=135°．(1)证明：AC⊥平面PAB；(2)当直线PC与平面PAB所成角的正切值为√2时，求二面角A−PC−D的余弦值．20. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2−a 2=bc ，(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)设函数f(x)=sinx +2cos 2x 2，a =2，f(B)=√2+1时，求边长b ．21. 已知函数f(x)=x 2lnx ．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：lnx >1e x −34x 2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos(θ−π4)=√2．(Ⅰ)求C 1和C 2交点的极坐标；(Ⅱ)直线l 的参数方程为：{x =−√3+√32t y =12t(t 为参数)，直线l 与x 轴的交点为P ，且与C 1交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|．23.已知f(x)=|2x−1|+|2x+3|．(1)解不等式f(x)≥6；(2)若f(x)≥a−5对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．a。
晋江市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
晋江市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-22． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 已知圆C ：x 2+y 2﹣2x=1，直线l ：y=k （x ﹣1）+1，则l 与C 的位置关系是（ ） A ．一定相离 B ．一定相切C ．相交且一定不过圆心D ．相交且可能过圆心 4． 如图，程序框图的运算结果为（ ）A ．6B ．24C ．20D ．1205． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）A．7 B．15 C．31 D．636．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．7．设函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为T，最大值为A，则（）A．T=π，B．T=π，A=2 C．T=2π，D．T=2π，A=28．下面的结构图，总经理的直接下属是（）A．总工程师和专家办公室B．开发部C．总工程师、专家办公室和开发部D ．总工程师、专家办公室和所有七个部9． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,511．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是（ ）A ． =B ．∥C ．D ．12．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线， =（2，4），=（1，3），则等于（ ）A ．（2，4）B ．（3，5）C ．（﹣3，﹣5）D ．（﹣2，﹣4）二、填空题13．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）14．已知函数f （x ）=恰有两个零点，则a 的取值范围是 ．15．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ．16．若命题“∀x ∈R ，|x ﹣2|＞kx+1”为真，则k 的取值范围是 ．17．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ▲ ．18．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题： ①当i=1，j=3时，x=2； ②当i=3，j=1时，x=0；③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值； ④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值； ⑤M 中的元素之和为0．其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）三、解答题19．在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点．（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥AE ．20．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数()1ln 1f x a x x=+-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当102a <<时，求证：对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有1e x aa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭．21．已知f （x ）=|﹣x|﹣|+x|（Ⅰ）关于x 的不等式f （x ）≥a 2﹣3a 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若f （m ）+f （n ）=4，且m ＜n ，求m+n 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知等差数列｛n a ｝满足：n n a a >+1（*∈N n ），11=a ，该数列的 前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且1log 22-=+n n b a . （1）求数列｛n a ｝，｛n b ｝的通项公式； （2）求数列｛n n b a ⋅｝的前项和n T .23．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）已知函数f（x）=x+，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；（2）已知函数g（x）=和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h（x2）=g（x1）成立，求实数a的值．24．全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，（1）求A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）若集合C={x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．晋江市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】考点：向量共线定理．2．【答案】A【解析】解：几何体如图所示，则V=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．3．【答案】C【解析】【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，∴圆心C（1，0），半径r=，∵≥＞1，∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，∴直线l与圆相交且一定不过圆心．故选C4．【答案】B【解析】解：∵循环体中S=S×n可知程序的功能是：计算并输出循环变量n的累乘值，∵循环变量n的初值为1，终值为4，累乘器S的初值为1，故输出S=1×2×3×4=24，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．5．【答案】D【解析】解：模拟执行算法框图，可得A=1，B=1满足条件A≤5，B=3，A=2满足条件A≤5，B=7，A=3满足条件A≤5，B=15，A=4满足条件A≤5，B=31，A=5满足条件A≤5，B=63，A=6不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．6．【答案】B【解析】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．7．【答案】B【解析】解：由三角函数的公式化简可得：=2（）=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+），∴T==π，A=2故选：B8．【答案】C【解析】解：按照结构图的表示一目了然，就是总工程师、专家办公室和开发部．读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．故选C．【点评】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．9．【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=0满足条件n＜i，s=2，n=1满足条件n＜i，s=5，n=2满足条件n＜i，s=10，n=3满足条件n＜i，s=19，n=4满足条件n＜i，s=36，n=5所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．10．【答案】D【解析】试题分析：分析题意可知：对应法则为31y x =+，则应有42331331a a a k ⎧=⨯+⎪⎨+=⋅+⎪⎩（1）或42313331a k a a ⎧=⋅+⎪⎨+=⨯+⎪⎩（2），由于*a N ∈，所以（1）式无解，解（2）式得：25a k =⎧⎨=⎩。
福建晋江市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高二上学期期末四校联考数学试题 PDF版含答案
A. 50
B. 32
C. 31
D.30
4．“ k 9 ”是“曲线 x2 + y2 = 1 为双曲线”的（
）
k −3 9−k
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知 f (x) = ln(2x +1) − ax ，且 f '(2) = −1，则 a = （ ）
用该校就业部统计的这 100 人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费 用？
20.(本小题满分 12 分)已知正方形的边长为 4, E, F 分别为 AD, BC 的中点，以 EF 为棱将正方
形 ABCD 折成如图所示的 60 的二面角，点 M 在线段 AB 上． （1）若 M 为 AB 的中点，且直线 MF 与由 A, D, E 三点所确定平面的交点为 G ，试确定点 G 的
点，则△PF1F2 的形状是 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随 m，n 的变化而变化
11．利用一半径为 4cm 的圆形纸片(圆心为 O)制作一个正四棱锥．方法如下：
(1)以 O 为圆心制作一个小的圆；
(2)在小的圆内制作一内接正方形 ABCD；
(3)以正方形 ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)； (4)将正方形 ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧
令 f ' (x) = 0 可得 x1 = −1, x2 = 3
……………5 分
当 x 变化时， f '(x), f (x) 的变化如下表
x
(−,−1)
-1
(−1,3)
3
(3,+ )
2023-2024学年福建省泉州市晋江市高三上学期第二次月考数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年福建省泉州市晋江市高三上学期第二次月考数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}{}22,0,20A B x x x =-=-=，则以下结论正确的是（）A ．A B =B ．{}0A B ⋂=C ．A B A⋃=D ．A B⊆【正确答案】B【分析】由题得{0,2}B =,再判断得解.【详解】由题得{0,2}B =,所以A B ≠，{}0A B ⋂=，A B A ≠U ，A 不是B 的子集，故选：B2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若25a =，645S =，则5a =（）A ．8B ．10C ．16D ．20【正确答案】B【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组，求得1,a d 的值，结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由25a =，645S =，可得11561545a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1105,33a d ==，所以51105441033a a d =+=+⨯=.故选：B.3．若(21)n x ＋的展开式中3x 项的系数为160，则正整数n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】C【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】由二项式定理知：含3x 项为()()()333312C 218321n n n n n x x ---=⨯⨯⨯ ，由题意()()4121603n n n ⨯--=，()()12120n n n --=，解得6n =；故选：C.4．设sin32k = ，则1tan16tan16+=（）A ．2kB ．1kC ．2kD ．k【正确答案】A【分析】化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解.【详解】解：1sin16cos16tan16tan16cos16sin16︒︒=+︒︒︒+︒22sin 16cos 16sin16cos16︒+︒︒⋅︒=11sin 322=︒2k=.故选：A.5．国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为3613P =，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为8010Q =，则下列数中最接近数值PQ的是（）（参考数据：lg 30.477≈）A ．8910B ．9010C ．9110D ．2109【正确答案】D【分析】利用对数的运算法则计算361lg 3后可得．【详解】361lg 3361lg 33610.477172.197=≈⨯=，lg lg lg 172.1978092.197PP Q Q=-≈-=，因此PQ最接近于9210．故选：D ．6．已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+ ，则AP BC ⋅的值为（）A ．116-B ．72C ．4D ．6【正确答案】C【分析】由,,D P C 三点共线求出λ，再由11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ 得出AP BC ⋅的值.【详解】,,D P C 三点共线，111,22λλ∴+==，11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ ，221118134263AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-⋅-=--= 故选：C7．已知双曲线E 的左､右焦点分别为1F ，2F ，M ，N 是以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 的两交点.若2212MF NF F F =+，则E 的离心率是（）A BC ．2D【正确答案】C【分析】根据题意及双曲线的定义建立关于a ，c 的方程，进而可得双曲线的离心率.【详解】∵2212MF NF F F =+，∴2121MF F F MF >=，∴点M 在双曲线的左支上，又由22122MF NF F F NF =+≠，根据对称性可得点N 在双曲线的右支上，不妨设点M 在第二象限，点N 在第四象限，如图所示，根据双曲线的定义可得122MF MF a -=，122NF NF a -=，又∵M ，N 在以1F 为圆心，12F F 为半径的圆上，∴112MF NF c ==，∴222MF a c =+，222NF c a =-，又∵2212MF NF F F =+，∴22222a c c a c +=-+，∴2c a =，即E 的离心率是2ca=.故选：C.双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).8．已知函数()2x f x =，()3g x x ax =+.若不等式()()()()22f x g x f x g x x ++-≥在[)0,+∞上恒成立，则a 的取值范围为（）A ．[)6,-+∞B ．[)2,-+∞C ．[)0,+∞D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】先根据绝对值将原不等式转化为()(){}2max ,f x g x x ≥，进而分别讨论每个函数与2x 的大小关系，通过导函数的单调性讨论得到当()2,4x ∈时，22xx <，所以必须有()2,4x ∈时，2x a x +≥，分离参数求得a 的取值范围.【详解】∵()()()()22f x g x f x g x x ++-≥，∴()(){}22max ,2f x g x x ≥，即()(){}2max ,f x g x x ≥，∴对任意的[)0,x ∈+∞，22x x ≥或32x ax x +≥，当0x =时，两式均成立；当0x >时，有22xx ≥或2x a x +≥，令()22x m x x =-，0x >，()()240m m ==，()2n 21122l x m x '=-，()2202log ln 2m x x >>⇒'，()22002log ln 2x m x ⇒<<'<，∴()m x 在220,2log ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在222log ,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而()222log 2,4ln 2∈，且()()240m m ==，∴当(]0,2x ∈时，()m x 单调递减，()()20m x m ≥=，即22xx ≥，当222log l 2,n 2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()m x 单调递减，()()20m x m <=，即22x x <，当222log ,4ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()m x 单调递增，()()40m x m <=，即22x x <，当[)4,x ∈+∞时，()m x 单调递增，()()40m x m ≥=，即22xx ≥故只有当()2,4x ∈时，22xx <，所以此时必须有2x a x +≥，即221124a x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭，()2,4x ∈，∴2222a ≥-=-.故选：B.函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多选题9．四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，AA 1⊥平面ABCD ，则（）A ．直线AD 与直线B 1D 1所成角为45°B ．直线AA 1与直线CC 1异面C ．平面ABB 1A 1⊥平面ADD 1A 1D ．CA 1⊥AD【正确答案】AC【分析】根据异面直线所成的角，,AD BD 所成的角即为直线AD 与直线B 1D 1所成角，由此可判断A;根据棱台的几何特征可判断B;利用面面垂直的判定定理可判断C;利用线面垂直可判断1BD CA ⊥，由此判断D.【详解】如图，连接BD ,则11BD B D ∥,则,AD BD 所成的角即为直线AD 与直线B 1D 1所成角，在正方形ABCD 中，45ADB ∠= ,故直线AD 与直线B 1D 1所成角为45°，故A 正确；由于棱台的每条侧棱延长后会交于同一点，故直线AA 1与直线CC 1是相交直线，故B 错误；由AA 1⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥,又11,=AB AD AA AD A AA AD ⊥⊂，， 平面11ADD A ,故AB ⊥平面11ADD A ,而AB ⊂平面11ABB A ，故平面ABB 1A 1⊥平面11ADD A ，故C 正确；连接AC,BD ,由题意知AC BD ⊥,而1AA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ,故11,BD AA AA AC A ⊥= ,BD ⊥平面11,C A CA A ⊂平面1AAC ，故1BD CA ⊥而,,AD BD D AD BD =⊂ 平面ABCD ,故AD 不可能垂直于1CA ，即D 错误，故选：AC10．设函数()sin()(0)f x A x A πϕ=+>，若106f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为1B ．16f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 在[0，6]上恰有6个零点D ．()f x 在12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【正确答案】BCD【分析】A.()f x 的最小正周期为2，所以该选项错误；B.分析得到1=sin 6f x A x π⎛⎫+± ⎪⎝⎭是奇函数，所以该选项正确；C.令()0f x =，所以11,,,6x k k k k Z ππππ+-=∈得到116x k k =+-,求出()f x 在[0，6]上恰有6个零点所以该选项正确；D.当x ∈12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，[],.622x k k k k Z πππππππ+-∈-+∈因为0A >,所以()f x 在12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以该选项正确.【详解】A.()f x 的最小正周期为2=2ππ，所以该选项错误；B.10sin()0,,,6666f A k k Z k πππϕϕπϕπ⎛⎫=∴+=∴+=∈∴=- ⎪⎝⎭，,11=sin[(k sin()sin 666f x A x A x k A x ππππππ⎛⎫∴+++-=+=± ⎪⎝⎭是奇函数，所以该选项正确；C.令()0f x =，所以1111,,,66x k k k k Z x k k ππππ+-=∈∴=+-,当1=0k k -时，16x =；当1=1k k -时，76x =；当1=2k k -时，136x =；当1=3k k -时，196x =；当1=4k k -时，256x =；当1=5k k -时，316x =；当1=6k k -时，3766x =>.所以()f x 在[0，6]上恰有6个零点，所以该选项正确；D.当x ∈12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，[],.622x k k k k Z πππππππ+-∈-+∈因为0A >,所以()f x 在12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以该选项正确.故选：BCD方法点睛：解答本题的难点是判断选项C 的真假，对于零点问题的处理，常用的方法有：（1）方程法；（2）图象法；（3）方程+图象法.要根据已知条件灵活选择方法求解.11．设点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过点F 斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于,M N 两点（点M 在第一象限），直线l 交抛物线C 的准线于点P ，若34MF FN ==，则下列说法正确的是（）A ．4p =B ．0FP FM +=C ．k =D ．MON △的面积为O 为坐标原点）【正确答案】BC【分析】设()()1122,,,M x y N x y ，利用焦半径公式求出1244,232p px x =-=-，进而求出22221288,3py p p y p =-=-，并结合113MF MM NF NN ==，求出p ，即可判断A ；求出,,F P M 三点的坐标，从而求出向量FP ，FM的坐标，即可判断B ；已知,F M 两点坐标，且MF k k =，利用斜率公式可得k ，即可判断C ；由OMN OFM OFN S S S =+ ，求出MON △的面积，即可判断D.【详解】如图，设()()1122,,,M x y N x y ，1244,223p p MF x NF x =+==+= ，1244,232p p x x ∴=-=-，22221288,3py p p y p ∴=-=-，又113MF MM NF NN ==，21229y y∴=，即228983p p p p -=-，解得：2p =；故选项A 不正确；由上述分析可知(1,,3M N ⎛ ⎝⎭，又容易知()(1,0,1,F P --，则(2,FP =--uu r，(2,FM =uuu r，故0FP FM +=成立；故选项B正确；MF k k ===故选项C正确；114112233OMN OFM OFN S S S △△△+=⨯=⨯⨯，故选项D 不正确；故选：BC ．12．已知函数()e x f x x m =--（x ∈R ），()sin cos g x x x =-（0x ≥），则下列说法正确的是（）A ．若()f x 有两个零点，则1m >B ．若12x x ≠且()()12f x f x =，则120x x +<C ．函数()y g x =在区间5π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个极值点D ．过原点的动直线l 与曲线()y g x =相切，切点的横坐标从小到大依次为：1x ，2x ，…，n x .则πtan 4n n x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【正确答案】ABD【分析】A 项：方法1：分离参数画图即可求得m 的范围；方法2：研究原图的图象与x 轴交点即可；B 项：由极值点偏移的证明步骤即可证得结果；C 项：应用辅助角公式化简()g x ，求()g x 的极值点可得；D 项：由'()(0)()0n n n g x g k g x x -==-化简可得.【详解】A 项：方法1：∵()e x f x x m =--有两个零点，即：方程e x x m -=有两个根.令()e x h x x=-∴()e x h x x y m ⎧=-⎨=⎩有两个交点.∵'()e 1x h x =-∴令'()0h x =，解得0x =，当0x <，'()0h x <，()h x 在(,0)-∞单调递减，当0x >，'()0h x >，()h x 在(0,)+∞单调递增.当x →+∞，()h x →+∞，当x →-∞，()h x →+∞.()h x如图所示，又∵0e ()010h =-=∴1m >，A 正确.方法2：()e x f x x m =--，则'()e 1x f x =-，令'()0f x =，解得0x =，当0x <，'()0f x <，()f x 在(,0)-∞单调递减，当0x >，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞单调递增，所以0x =是()f x 的极小值点同时也是最小值点，即min ()(0)1f x f m ==-，当1m >时，(0)10f m =-<，()e 0m f m --=>，所以()f x 在(,0)-∞只有一个零点，又因为()e 2m f m m =-，只需证明()e 20m f m m =->恒成立，即可得到()f x 在(0,)+∞内只有一个零点.令()e 2m t m m =-，∵'()e 20,(1)m t m m =->>∴()t m 在(1,)+∞上单调递增.∴()()1e 20t m f >=->∴()e 20m t m m =->恒成立得证.∴()f x 在R 上有两个零点，A 正确；B 项：方法1：由A 项知∵()()12f x f x =∴()()12m h x h x ==且m >1且()h x 在(,0)-∞单调递减，()h x 在(0,)+∞单调递增.不妨设：10x <，20x >要证：120x x +<只需证：12x x <-又∵10x <，20x >∴120x x <-<又∵()h x 在(,0)-∞单调递减.∴只需证：()()12h x h x >-又∵()()12h x h x =∴只需证：()()22h x h x >-，20x >令()()()H x h x h x =--∴只需证：()0H x >，0x >∵()()'''()H x h x h x =+-=e 1e 1e e 2x x x x ---+-=+-当0x >，e e 20x x -+->恒成立，所以'()0H x >，∴()H x 在(0,)+∞上单增∴()(0)0H x H >=∴原命题得证.B 正确.C 项：∵()sin cos )4g x x x x π=-=-∴42x k πππ-=+，Z k ∈解得：34x k ππ=+，Z k ∈即为()g x 的极值点.∴()g x 在区间5[0,4π有1个极值点为34π.C 项错误.D.∵()sin cos g x x x =-，[0,)x ∈+∞，则'()cos sin g x x x =+，设切点坐标为()(),n n x g x ，则切线斜率为()'cos sin n n n k g x x x ==+，则sin cos 0cos sin 0n n n n n x x x x x --=+-，即sin cos tan 1πtan cos sin 1tan 4n n n n n n n n x x x x x x x x --⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，D 正确.故选：ABD.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．极值点偏移问题的解法：(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论120()2x x x +><型，构造函数0()()(2)F x f x f x x =--；对结论2120()x x x ><型，构造函数20()()x F x f x f x⎛⎫=-⎪⎝⎭，通过研究F (x )的单调性获得不等式．(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换12x t x =化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．三、填空题13．写出一个存在极值的奇函数______________.【正确答案】()sin f x x =（答案不唯一，满足条件即可）【分析】根据基本初等函数的奇偶性及极值的定义即可求解.【详解】根据题意，函数可以为()sin f x x =，当=+2,2x k k Z ππ∈时，()sin f x x =取得极大值,当=+2,2x k k Z ππ-∈时，()sin f x x =取得极小值.又()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-，所以函数是奇函数，故()sin f x x =（答案不唯一，满足条件即可．14．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________【正确答案】2【分析】将复数带入1z -，再利用模长公式化简即可得出答案.【详解】由题意知;1cos 1isin z θθ-=-+当cos 1θ=-时，max 12z -=.故2.15．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，60,PBA QAB AQ QP PB ∠=∠=== ，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP 最长时，该奖杯比较美观，此时AOB ∠=_______________________．【正确答案】2π【分析】作OM QP ⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，求出AB 、OC ，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，可得出10sin x θ=，10cos 53OM OC CM θθ=+=+，由勾股定理可得()()2222210cos 53sin 5sin OP OM MP θθθ=+=++然后求最值可得答案.【详解】作OM QP ⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，则20sin θ=AB ，10cos OC θ=，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，因为60PBA QAB ∠=∠= ，所以12AE BF x ==，32CM PF x ==，EF QP x ==，所以2AB x =，所以20sin 2AB x θ==，即10sin x θ=，310cos 10cos 532OM OC CM θθθ=+==+，所以()()2222210cos 53sin 5sin OP OM MP θθθ=+=++222100cos 75sin 1003cos 25sin 10032θθθθθθ=+++=+，因为[]sin 21,1θ∈-，所以当sin 21θ=即4πθ=时2OP 最大，也就是OP 最长时2AOB π∠=.故答案为.2π本题考查了用三角函数解决几何问题，关键点是作出辅助线利用勾股定理求出2OP ，考查了学生分析问题、解决问题的能力.16．三棱锥-P ABC 中，PA PB PC ==，底面ABC 是边长为2的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，且CE EF ⊥，若M 为三棱锥-P ABC 外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为___________.【正确答案】3【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解；【详解】,PA PB PC ABC == △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又,E F 分别为PA AB ､中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又,,EF CE CE AC C ⊥⋂=EF ∴⊥平面,PAC PB ⊥平面,90,PAC APB PA PB PC ∴∠=∴=== P ABC ∴-为正方体一部分，故2R =R =，∵M 为三棱锥-P ABC 外接球上的动点，∴当M 位于正方体的如图所示的顶点处，点M 到平面ABC 距离最大，设为h ，∴可求得三棱锥M ABC -11432-⨯=∴212343h ⨯⋅=，解得：h263求解立体几何外接球问题，根据题目特征作出辅助线，找到球心，求出半径，或补形为长方体或正方体，进而求出表面积或体积.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在①2218n n n n b a a +=，②2nn n b a =，③()1n n n b S =- 这三个条件中任选一个．补充在下面的问题中，并求解该问题．若，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)21n a n =-；(2)若选①，()21121n T n =-+；若选②，()16232n n T n +=+- ；若选③，()()112n n n n T +=-.【分析】(1)运用递推公式1=n n n a S S --即可求出{}n a 的通项公式；(2)若选①，则用裂项求和，若选②，则用错位相减法求和，若选③，则对n 分奇数和偶数讨论，再分组求和.【详解】（1）∵()221=,=1n n S n S n -∴-()2n ≥，∴当2n ≥时，1==21n n n a S S n ---，当=1n 时，111a S ==也满足上式，∴=21n a n -；（2）若选①：∵()2+18=n n n nb a a =()()()()2222811=212+1212+1nn n n n ---∴()()()22222221111111=+++=11335212+12+1n T n n n ----- ；若选②：∵()=2=212n nn n b a n - ，∴()()231=12+32+52++232+212n nn T n n ---⨯⨯⨯ 则()()234+12=12+32+52++232+212n n n T n n --⨯⨯⨯ ∴两式相减可得：23=2+22+22n T -⨯⨯+()+1+22212n n n -- =()+2+1822+21212n n n ---- =()+16232n n --- ，∴()+1=6+232n n T n - ；若选③：∵()()2=1=1n nn n b S n -- ，∴当n 为偶数时，()222222=1+23+41+n T n n ----- ，()222222=21+43++1n n ---- ()()()32112372122nn n n n +-+=+++-==，当n 为奇数时，21=n n T T n --=()212n n n --=()+12n n -，∴()()+1=12nn n n T -；综上，=21n a n -，选①()21=12+1n T n -，选②()+1=6+232n n T n - ，选③()()+1=12n n n n T -.18．近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业女性2535男性525(1)根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.()2P k αχ=≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【正确答案】(1)有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；(2)分布列见解析，()1E X =，2()3D X =.【分析】（1）求出2χ，比较临界值可得；（2）求得某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P ==，X 的所有可能取值为0，1，2，3，由二项分布求得概率的分布列，再由二项分布的期望公式、方差公式计算期望与方差．【详解】（1）2290(2525355) 5.625 3.84160303060χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.（2）某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P ==，X 的所有可能取值为0，1，2，3，1~3,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭328(0)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131241C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()2231222C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，311(3)327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，∴X 的分布列如下：X0123P8274929127()1313E X ⨯==，112()31333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.19．ABC 的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23B π=，b ．(1)若2cos cos 3A C =，求ABC 的面积;(2)试问111a c+=能否成立?若能成立，求此时ABC 的周长;若不能成立，请说明理由．【正确答案】(1)3；(2)不成立，理由见解析【分析】(1)根据条件先算出sin sin A C ，再运用正弦定理和三角形面积公式即可算出ABC 的面积；(2)运用反证法，先假设111a c+=能成立，再运用余弦定理和基本不等式推出悖论即可.【详解】（1）1（）由23B π=，可得3A C π+=，所以cos cos cos sin sin A C A C A C +=-（），即1cos cos sin sin 2A C A C =-，又因为2cos cos 3AC =，所以1sinsin 6A C =，因为sin sina c A C ==，所以a A c C ==，，所以11sin 4sin sin sin 426ABC S A C B A B C =⋅==⨯=；（2）假设111a c+=能成立，所以a c ac +=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，所以226a c ac =++，所以26a c ac +-=（），故260ac ac --=（），解得3ac =或2ac=-（舍），此时3a c ac +==，不满足a c+≥所以假设不成立，故111a c+=不成立；综上，3ABC S =△，111a c +=不成立.20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，且22PA PB AB AD BC =====，设平面PAB 与平面PCD 的交线为l ．(1)作出交线l （写出作图步骤），并证明l ⊥平面PAD ；(2)记l 与平面ABCD 的交点为Q ，点S 在交线l 上，且(01)PS PQ λλ=<<，当二面角S AC B --的λ的值．【正确答案】(1)直线PQ 即为所求作的直线l ，证明见解析(2)13λ=【分析】（1）延长AB 、DC 交于Q 点，即可得到交线，通过证明PQ PD ⊥，AD PQ ⊥即可证明线面垂直；（24=，解方程即可.【详解】（1）延长AB ，DC 交于点Q ，连结PQ ，则直线PQ 即为所求作的直线l ：因为90ABC BAD ∠=∠=︒，所以AD BC∥又因为22PA PB AB AD BC =====，所以B ，C 分别为AQ ，DQ 中点，且PAB 为正三角形，所以PQ PA ⊥，又AD AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD 且交线为AB ，且AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB ，且PQ ⊂面PAB ，所以AD PQ ⊥，又AD PA A ⋂=，且AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ,所以PQ ⊥平面PAD ，即l ⊥平面PAD ：（2）取AB 的中点O ，连结PO ，则PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD 且交线为AB ，且PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OB ，OP 所在直线为x ，z轴建立如图空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,2,0)D -，P ，(3,0,0)A ，由PS PQ λ=，得(3)S λ，所以(3)AS λ=+，(2,1,0)AC = ，显然平面SAC 的一个法向量为(0,0,1)k =，设平面SAC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n AS n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即())20310x y x z λ+=⎧⎪⎨++=⎪⎩取31z λ=+，则1)x λ=-，)y λ=-，所以平面SAC的一个法向量为1),),31)n λλλ=--+，所以|||cos ,|4||||n k n k n k ⋅〈〉=== ，解得13λ=所以当二面角S AC B --13λ=21．（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动.月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加.社团活动积极分子甲同学参加了活动.①第一个月有18个中签名额.甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签.求这三名同学同时中签的概率.②理学社设置了第n (N n +∈)个月中签的名额为216n +，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束.求甲同学参加活动时间的期望.（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动.报名和抽签时间与（1）中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中.每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同.出版集团设置了第n (N n +∈)个月中签的概率为19(1)180nn p +-=，活动进行了2()k k N +∈个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于9.5个月.【正确答案】（1）①2041015②697455（2）证明见解析；【分析】（1）①设甲乙丙中签为事件,,A B C ，则()181716302928P ABC =⨯⨯，计算得到答案.②甲参加活动的时间X 的可能取值为1,2,3,4，计算概率得到数学期望.（2）设甲中签为事件A ，则4()15kP A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，114(21)(2)105m P X m P X m -⎛⎫=-===⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到42195()2415kk k E X ⎛⎫⎪⎝⎭=-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得到证明.【详解】（1）①设甲乙丙中签为事件,,A B C ，则()()181716204()()3029281015P ABC P A P B A P C AB ==⨯⨯=.②()2163021n n +=--，故4n =，则甲参加活动的时间X 的可能取值为1,2,3,4，则183(1)305P X ===；18202(2)(1)30287P X ==-⨯=；18202244(3)(1)(1302826455P X ==-⨯-⨯=；1820228(4)(1)(1(1)1302826455P X ==-⨯-⨯-⨯=.则甲参加活动的时间的期望为32448697()123457455455455E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设甲中签为事件A ，则9898984()111091091095kP A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ，设,m k m N +≤∈，甲在第21,2m m -个月中中签的概率为114(21)(2)105m P X m P X m -⎛⎫=-===⋅ ⎪⎝⎭，则甲在事件A 发生的条件下，第21,2m m -个月中中签的概率为114105()m P A -⎛⎫⎪⎝⎭，则甲在事件A 发生的条件下，甲参加活动时间的均值为()()211444()1234(56)(212)10()555k E X k k P A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，设214443711(41)555k S k -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，则214444437(45)(41)55555k kS k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，所以211444434(41)55555k kS k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，4451912055k kS k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以444191425519195()224421155k kkk k k k E X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭==-<⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.本题考查了概率的计算，数学期望，错位相减法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在平面直角坐标系中，12,A A 两点的坐标分别为(2,0),(2,0)-，直线12,A M A M 相交于点M 且它们的斜率之积是34-，记动点M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过点(1,0)F 作直线l 交曲线E 于,P Q 两点，且点P 位于x 轴上方，记直线12,AQ A P 的斜率分别为12,k k ．①证明：12k k 为定值；②设点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，求1PFQ △面积的最大值．【正确答案】（1）221(2)43x y x +=≠±；（2【分析】（1）根据条件列出方程化简即可求出曲线方程；（2）设直线l 的方程为1122121,(,),(,)(0,0)x my P x y Q x y y y =+><，直接表示出斜率12,k k ，消元为关于12,y y 的式子，再联立直线与椭圆利用韦达定理可得12,y y 的和、积，代入化简即可求证12k k 为定值；由题意1Q 坐标为22(,)x y -，可得直线1PQ 恒过点D (4,0),11||PFQ PFD Q FD S S S =- ，化简后利用均值不等式求最值.【详解】（1）设点M 坐标为(,)x y ，则直线12,A M A M 的斜率分别为,,222y yx x x ≠±+-，依题意知3224y y x x ⋅=-+-，化简得221(2)43x y x +=≠±；（2）①设直线l 的方程为1122121,(,),(,)(0,0,0)x my P x y Q x y y y m =+><≠，则21212122121211222112121111212(2)(1)(),(2)(3)233y k x x y my y my y y my y y y y y k x y my y my y y my y y x +----++=====++++-，又221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)690m y my ++-=，得1221226,349,34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩因此112221211229631343434993333434m m my y k m m m m k y y m m -++-++++==-+-+++，故12k k 为定值13；②1Q 坐标为22(,)x y -，则直线1PQ 方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =解得:2112112211212112121212()(1)(1)21x x y x y x y my y my y my y x x y y y y y y y y -++++=+===+++++2292()3414634m m m m -+=+=-+，即直线1PQ 恒过(4,0)D 点，故111212121133|||3||3|||||||||||2222PFQ PFD Q FD S S S y y y y y y =-=⨯-⨯=-=+ 236||234m m =⨯+943||||m m =+4≤，当243m =，即3m =±时，等号成立，此时1PFQ △关键点点睛：求1PFQ △面积的最大值，首先要表示出三角形面积，根据本题条件，转化为11||PFQ PFD Q FD S S S =- 是解题的关键，表示出三角形面积236||234m S m =⨯+后，选择合适的方法求最大值，是解题的一个难点，本题可采用分子分母同除以||m 后，利用均值不等式求解.。
福建省泉州市晋江养正中学2019-2020学年高二数学文模拟试卷含解析
福建省泉州市晋江养正中学2019-2020学年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆与的（）A．长轴相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.顶点相同参考答案：B2. 设则复数为实数的充要条件是（）A. B. C. D.参考答案：D3. 在R上定义运算：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2参考答案：C4. 已知双曲线中，给出的下列四个量，①渐近线；②焦距；③焦点坐标；④离心率.其中与参数无关的是（）A.①②B.②③C.③④ D.①④参考答案：D略5. 当时，下面的程序段输出的结果是（）A． B． C．D．参考答案：D6. 在中，角A、B 、C所对的边分别为、、且，则( )A、 B、 C、 D、参考答案：A试题分析：,选A.考点：正弦定理7. 函数y=x2co sx的导数为（）A. y′=2x co sx－x2s i nx B. y′=2x co sx+x2s i nxC. y′=x2co sx－2xs i nxD. y′=x co sx－x2s i nx参考答案：A略8. 设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．③④D．①④参考答案：A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明．【解答】解：①由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确．②设三棱柱的三个侧面分别为α，β，γ，其中两条侧棱为m，n，显然m∥n，但α与β不平行，故②错误．③∵α∥β∥γ，∴当m⊥α时，m⊥γ，故③正确．④当三个平面α，β，γ两两垂直时，显然结论不成立，故④错误．故选：A．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．9. 函数的图象大致为A B C D参考答案：C10. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，，则点A1到平面AB1D1的距离是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】计算的面积，根据可得点到平面的距离．【详解】中，，，∴的边上的高为，∴，设到平面的距离为，则，又，∴，解得．故选：A．【点睛】本题涉及点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，也可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是．参考答案：x﹣2y﹣1=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题．【分析】光线关于直线y=x对称，直线y=2x+1在x、y轴上的截距互换，即可求解．【解答】解：∵入射光线与反射光线关于直线l：y=x对称，∴反射光线的方程为y=2x+1即x﹣2y﹣1=0．故答案为：x﹣2y﹣1=0．【点评】光线关于直线对称，一般用到直线到直线的角的公式，和求直线的交点坐标，解答即可．本题是一种简洁解法．12. 在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c= ．参考答案：1：：2【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由三角形的内角和以及三个角的比例关系，求出三个角，利用正弦定理即可求出比值．【解答】解：∵A：B：C=1：2：3，A+B+C=180°∴A=30°，B=60°，C=90°，∴由正弦定理，得：．∴a：b：c=1：：2故答案为：1：：2．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．13. 沿对角线AC 将正方形A B C D折成直二面角后，A B与C D所在的直线所成的角等于；参考答案：【知识点】异面直线及其所成的角，【答案解析】60°解析：解：如图所示，分别取AC、AB、BD边的中点O、E、F，连接DO、BO、EO、FO、EF，则有EF∥AD，OE∥BC∴∠FEO就是直线AB与CD所成的角．设正方形边长为2a，则DO=BO=AC＝a，且DO⊥AC，BO⊥AC即∠DOB为二面角D-AC-B所成的角，由于DB=2a可得DO⊥BO，∴OF=DB=a=EF=EO，即得∠FEO=60°，即得直线AB与CD所成的角的大小为60°．故答案为：60°．【思路点拨】分别取AC、AB、BD边的中点O、E、F，连接DO、BO、EO、FO、EF，根据三角形中位线定理，易得∠FEO就是直线AB与CD所成的角，解三角形FEO，即可求出直线AB与CD所成的角的大小．14. 过直线L：x+y﹣2=0上一动点P作圆O：x2+y2=1两切线，切点分别为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为．参考答案：1【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】四边形PAOB为2个对称的直角三角形构成，由OA与OB为圆的半径，其值固定不变，得到当PO最小值，四边形PAOB的面积最小，即圆心到直线的距离最小，利用点到直线的距离公式求出PO的长，利用勾股定理求出此时AP的长，利用三角形的面积公式求出两直角三角形的面积，即为四边形PAOB面积的最小值．【解答】解：由圆x2+y2=1，得到圆心O坐标为（0，0），半径r=1，又直线x+y﹣2=0，∴|PO|min==，又|OA|=1，∴在Rt△AOP中，利用勾股定理得：|AP|=1，则四边形PAOB面积的最小值S=2××|OA|×|AP|=1．故答案为：1．【点评】此题考查了直线与圆方程的应用，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，勾股定理，以及三角形面积的求法，其中根据题意得到|PO|的最小时，Rt△APO 面积最小是解本题的关键．15. 实数x，y适合方程4 x2– 2 x y2 + 2 x y–y3 = 0，则点( x，y )在平面直角坐标系内的轨迹是。