数形结合在二次函数中的应用解读
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。
通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。
通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。
数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。
在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。
【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。
1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。
学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。
二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。
二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
二次函数教学的重要性不言而喻。
只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。
二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。
通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。
1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。
在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。
“数形结合”在二次函数中的应用
“数形结合”在二次函数中的应用数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想，近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用。
1、“以形解数”例1：已知：点（-1，）（-3，） （2，）在1y 2y 3y y=3x 2+6x+2的图象上，则： 、 、的大小关系为（1y 2y 3y A. ＞ ＞ B. ＞＞ 1y 2y 3y 2y 1y 3y C. ＞＞ D. ＞＞2y 3y 1y 3y 2y 1y 分析：由y=3x 2+6x+2=3（x+1）2- 1画出图象1抛物线的对称轴为直线x=-1图1即：x=-1 时,y 有最小值, 故排除A 、B ，由图象可以看出：x=2时y 3的值,比x=-3时y 2的值大,故选c.例2: 已知抛物线y=2x 2+x-2m+1与x 轴的两个交点，在原点的两侧，则m 的取值范围是（）A m ＞B m ＜C m ＞-D m ＞121212716分析：按常规,此题要用判别式、根与系数的关系列出不等式组解之，若用数形结合的方法，先画出抛物线y=2x 2+x-2m+1的草图，易知当x=0时，y ＜0,因此，只要解不等式-2m+1＜0即可，即m ＞，故选A12例3：二次函数 y=ax 2+bx+c 象限,则此抛物线开口向 ，c 的取值范围，b 的取值范围，b 2-4ac 的取值范围。
解：由题意画出图象，如图： 从而判断：a ＞0, c ≥0∴对称轴：x=-＜0 ∴b ＞02ba图象与x 轴有两个交点：∴ ＞0∆即b 2-4ac ＞0注：以上各题是“以形助数”即图3将数量关系借于图形及其性质，使其直观化，形象化，从而使问题得以解决。
2、“以数助形”例4:已知：二次函数的图像与轴交m x m x y ----=1)1(22x 于A （，0）、B （，0），，与轴交于点C ，且满1x 2x 210x x <<y足求：这个二次函数的解析式；COBO AO 211=-解: ∵210x x <<∴AO=-x 1 OB= x 2∵a=1＞0 ∴CO= m+1＞0∴m ＞-1∵COBOAO211=-∴CO(OB-OA)=2AO OB ⋅即(m+1)(x 1+x 2)=-2 x 1x 2∵x 1+x 2=2（m-1），x 1x 2=-（1+ m ） 图4∴（m+1）2（m-1）=2（1+ m ）解得m=-1（舍去），m=2∴二次函数的解析式y=x 2-2x-3注：本题是“以数助形”即将线段长度关系COBOAO211=-转化为点的坐标，通过解方程求出m 的值，从而使问题轻易而举得以解决。
巧用“数形结合”思想进行二次函数教学
巧用“数形结合”思想进行二次函数教学发布时间：2022-03-30T15:26:34.416Z 来源：《中国教师》2022年4月下作者：刘浩东[导读] 在初中的数学中二次函数的知识内容占据主要的地位，，并且也是学生学习的重难点。
教师在讲解二次函数知识时，要灵活的运用数形结合的方法，这样会帮助学生理解二次函数的概念，并通过直观图像的形式让学生掌握二次函数的性质。
数形结合的思想方法可以将复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，而且利于学生养成抽象的思维意识，给学生学习数学知识提供了更好的思想方法。
刘浩东安徽省合肥市第三十八中安徽合肥 230000【摘要】在初中的数学中二次函数的知识内容占据主要的地位，，并且也是学生学习的重难点。
教师在讲解二次函数知识时，要灵活的运用数形结合的方法，这样会帮助学生理解二次函数的概念，并通过直观图像的形式让学生掌握二次函数的性质。
数形结合的思想方法可以将复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，而且利于学生养成抽象的思维意识，给学生学习数学知识提供了更好的思想方法。
【关键词】数形结合、二次函数、教学中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2022）4-152-01前言：在初中数学中函数属于重点学习内容，初中涉及到的函数学习分为三种：一次函数、反比例函数以及二次函数。
二次函数相对于另外两种函数而言，更具有复杂性和抽象性，增加了学习难度。
学生在学习中最大的阻碍就是对函数的概念缺乏认知和深度理解，不能简单的将函数间的关系进行转换。
因此，教师必须在进行二次函数教学中运用数形结合的思想方法，才能帮助学生解决这一障碍。
一、数形结合思想的内涵“数”和“形”的有效结合是以两者之间相互转换的形式来解决数学问题，它可以从两个方面来分析，一是“以形论数”，二是“以数论形”。
通过两者之间的互相转化和对应，将复杂转为简单，抽象转为具体，它将严谨的数和直观的长融合到一起，将复杂的解题过程变得简单化，是一种经常用到的数学思想方法。
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用发布时间：2022-08-11T18:15:02.792Z 来源：《中小学教育》2022年7月4期作者：鲍炜[导读]鲍炜安徽省芜湖市第二十九中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）7-179-021引言数学是一种既古老又年轻的文化，也是自然科学的基础学科。
人类从远古时代的结绳计数，到如今可以宇宙航行，无时无刻不受到数学思想的影响。
最近几年，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了深刻地变化，数学教学的主要目的和任务早已不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习培养学生的数学能力。
二次函数是初高中教材中一个重要的内容。
二次函数是中考命题的重点，同时也是省示范高中自主招生考试的重要考点。
如何让学生对二次函数了解更加的深刻透彻，本论文运用数形结合思想对初中二次函数做了更深一步的研究。
我们通过以下几个方面的阐述让学生更加深入理解二次函数的知识，更加体会到数形结合思想的运用：利用二次函数图象讨论一元二不等式的解（自主招生考试考点）、利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题（中考难点）、巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题自主招生考试考点）、巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题（中考重点）。
2 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了数形结合在教学、解题及函数中的应用，也给出了自己独特的见解。
在所查阅到的国内外参考文献中，教育者们对数形结合在二次函数中只针对二次函数中的某一问题作了相应的介绍，并未给出较为深入系统的研究。
数形结合思想在初高中二次函数中的应用非常广泛，对数形结合在初高中二次函数中的综合应用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用数形结合思想在二次函数教学、解题及其在中考以及自主招生考试中的应用具有重要的意义。
3 提出问题数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且是一种基本的数学思想，同时二次函数也是初高中比较重要的一个内容，为了促进学生对这种思想方法的掌握，我们初中老师在依据教材对标课程标准的前提下，要适当提高二次函数的教学难度，这样学生到了高中才能较好的掌握二次函数内容，能起到承上启下的作用。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。
标签：数学结合；二次函数；应用著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。
二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。
“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。
数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。
因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。
数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。
一、二次函数中的形转数二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。
（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。
解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y 轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
“数形结合”在解题中的应用——二次函数与平行四边形
“数形结合”在解题中的应用——二次函数与平行四边形摘要：二次函数是初中数学教材中非常重要的内容之一，是中考的必考内容。
在中考考卷往往结合种数学容，将二次函数与四边形结合，提升思维综合度，使学生整个答卷在此出现分水岭，此题只要抓住解题要领对学生的解题能力起到了一定的锻炼作用。
数形结合思想是数学函数解题中的法宝，利用数形结合来实现学生对数学题的直观认知，提高解题效率。
本文首先阐述了数形结合在解题中的重要性，然后分析数形结合在解题中的应用，将二次函数与四边形进行有效结合，并进行解题思路的强调，点播学生进行解题，最后总结解题规律。
旨在能够利用数形结合的思维进行题目的分析，从而实现数学题的分析，达到解题的目的，同时也可以加强学生数学思维能力的提升。
关键词：数形结合；二次函数；平行四边形引言：数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习中解决函数问题常用方法。
解题中经常会出现二次函数与四边形同时出现的题型。
陕西中考中截止2020年前近10年考查了6次二次函数与特殊平行四边行，涉及平行四边形4次。
让学生在解题中摸不到头绪，通过数形结合方法可以有效解决此难题。
那么如何在初中数学解题中进行数形结合的应用呢，下面通过具体例题来进行分析和研究。
一、数形结合在解题中的重要性数形结合指的是数字与图形进行有效结合，能够实现数形之间的转化，通过图形的展示让学生在解题中更加具有直观性，可以直接看到解题要点，有效提高解题效率。
与此同时，通过数形结合思想还可以帮助学生打开数学解题思路，能够通过多种方法进行数学题目的运用，促进学习质量的提升[1]。
二、数形结合在解题中的应用分析陕西省中考对二次函数与平行四边形的考察非常重视，教师在教学的过程中可以通过对中考题目进行分析，在例题分析中对学生进行解题思维点拨，从而能够促进学生进行数学问题的思考，进而不断培养学生在处理二次函数与平行四边形的解题思路。
在最后的过程中还需要对类型的问题解决方法进行大总结，这样能够让学生在遇到类似的问题可以随机应变，提高学生的解题能力。
数形结合思想在二次函数问题中的应用探析
2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建 南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。
在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。
初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。
一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。
在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。
有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。
华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。
数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。
通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。
二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常 量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。
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数形结合在二次函数中的应用
作业1：（06泸州）如图12，已知二次函数34)1(2-+-=x x m y 的图象与x 轴交于点A 和B ，与y 轴交于点C 。
(1) 求点C 的坐标；
(2) 若点A 的坐标为(1，0)，求二次函数的解析式；
(3) 在(2)的条件下，在y 轴上是否存在点P ，使以P 、O 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
作业2：连接着汉口集家咀的江汉三桥(晴川桥)，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥。
它
犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观。
桥的拱肋ACB 视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB 为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF 的长度为42米。
以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图②所示的平面直角坐标系。
（1）求抛物线的解析式； （2）正中间系杆OC 的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的一
半？请说明理由。
作业3：（06上海）如图8，在直角坐标系中，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，2tan =∠OAB ，二次函数
22++=mx x y 的图像经过点A 、B ，
顶点为D 。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将上述二次函数图像沿y 轴向上或向下平移后经过点C ，请直接写出点C 的坐标和平移后所得图像的函数解析式；
（3）设（2）中平移后所得二次函数图像与y 轴的交点为1B ，顶点为1D 。
点P 在平移后的二次函数图像上，且满足△1PBB 的面积是△1PDD 面积的2倍，求点P 的坐标。
作业4:
如图，抛物线E ： 交 x 轴于点A 、B
两点，交 y 轴于 M 点， 抛物线E 关于原点成中心对称的抛物线F 交 x 轴于C 、D 两点 （1）求F 的解析式
（2）在抛物线F 或E 上是否存在一点N ，使以A 、C 、N 为顶点的三角形是等腰三角形（或是直角三角形），若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由。
（3）若将抛物线E 的解析式改为 ,试探索问题(2)
第23题图②
第23题图①
x
y =。