二次函数中的数形结合。

4. a + b + c 的作用
当x=1时,y=a+b+c
（1）抛物线与 x轴交于（1，0）则a + b + c = 0； （2）若x=1时y > 0，则a + b + c >0
（3）若x=1时y < 0，则a + b + c < 0
5. a - b + c 的作用
当x=-1时,y=a-b+c
（1）若抛物线与 x轴交于（-1，0)则a - b + c = 0． （2）若x=-1时 y > 0，则a - b + c >0；增减性最值来自当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

3. 二次函数增减性
例3 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的 两点，则y1与y2的大小关系是（ C ） A. y1＜ y2 B. y1＝ y2 ． C．y1 ＞y2 D．不能确定
（09深圳）
练习3 下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增 大而增大的是（ C ） （2010 浙江衢州）
5 . 由图象信息求抛物线的解析式 例5如图，抛物线 y=x2+bx+c 与x轴交于A（-1，0）， B（3，0） 两点．
求该抛物线的表达式；

解法一 ∵抛物线 y=x2+bx+c过点A（-1，0）和点B（3，0） ∴
1 b c 0 9 3b c 0
b 2 解得 c 3
∴所求抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3
解法二 依题意得抛物线的对称轴为：直线x=1 ∴设所求抛物线的解析式为y=(x-1)2+k ∵该抛物线 过点B（3，0） ∴ 4+k=0 ∴ k=-4 ∴ y=(x-1)2-4 即y=x2﹣2x﹣3 解法三 抛物线 y=x2+bx+c 与x轴交于A（-1，0）， ∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2﹣2x﹣3 B（3，0） 两点．
b的作用与抛物线的顶点及a有关
（1）若b与a同号, 则顶点在y轴的左边； （2）若b与a异号， 则顶点在y轴的右边； （3）若b = 0 , 则顶点在y轴上， 左同右异
3.c的作用 c是抛物线与y轴交点的纵坐标．
（1）抛物线与y轴交于正半轴 c > 0 ； （2）抛物线与y轴交于负半轴 c < 0 ； （3）抛物线过原点 c = 0
2.（江西省中考题） 2 y x 2x m 已知二次函数 的部分图象如图所示 则关于的一元二次方程
，
；
x 2x m 0 1, x 2 3 的解为 x1 ．
2

3．（2010 河北）如图，已知抛物线的对 称轴x=2，点A， B均在抛物线上，且AB与 x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则 点B的坐标为 （ D） A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
化，从而起到优化解题途径的目的。
二次函数图象的几何特征与数量特征
紧密结合，体现了数形结合的思想与方法. 二次函数的图象、性质蕴含信息丰富，能
培养收集、整理和加工信息的能力，因此
成为近年来中考的热点.
信息从图象中来
____二次函数中的数形结合
一．二次函数的图象特征与系数符号的关系 1. a的作用 (1) 决定开口方向： a > 0开口向上；a < 0开口向下； (2) 决定开口的大小： ∣a∣越大，抛物线的开口越小． 2. b的作用：
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
（h ，k） 直线x=h
由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k） 直线x=h
由h和k的符号确定
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
（3）若x=-1时 y < 0，则a - b + c < 0．
6. b2－4ac 的作用
确定图象与x轴是否相交． (1)抛物线与x轴有两个交点 △＞0

(2)抛物线与x轴有一个交点 (3)抛物线与x轴没有交点

△=0 △＜0

二. 二次函数图象与性质的应用 1. 由抛物线的位置确定a，b，c的符号；
由a，b，c符号确定抛物线的位置.
例1 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下 列关系判断正确的是（ D ） A．ab < 0 B．bc < 0 C． a + b + c > 0 D． a - b + c < 0
x
b 0 2a
练习1．已知 ：a＜0 ,b＞0,c ＞0 那么抛 物线y=ax2+bx+c的顶点在（ A ） A. 第一象限 B. 第二象限
独立 作业
知识的升华
补充提高题
A类《分层》P38---P39 的选择题及填空题;
B类《分层》P38---P39 的选择题及填空题
祝你成功！
数学缔造完美
谢谢指导!
课后练习： 1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图 所示，则下列结论正确的是( D ) （2010福建福州） A．a＞0 B．c＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＞0
平移：形状和开口方向不变，即a不变. 规律：“左加右减”；“上加下减”．

练习4把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平
移3个单位，再向下平移2个单位，所得 图象的解析式为y=x2－4x＋5， 则b、c的取值为（ A ）
（2010年贵州毕节改编题）
A．b=2，c=4 C．b= –10，c=28
B．b=1，c=2 D.b=–10，c=24

练习5（四川成都） 如图所示的抛物线是二次函数 y ax2 3x a 2 1 的图象， 那么抛物线的解析式
2 y x 3x 为 ．

小结：
回 头 一 看 ， 我 想 说 …
1.二次函数的图象特征与系数符号的关系 2.二次函数图象与性质的应用 3.巧妙地进行“数”与“形”的相互转化 4.重视图形信息的收集、整理和加工
4.
抛物线的平移
例4把抛物线y= – x2向左平移1个单位，然后向上 平移3个单位，则平移后抛物线的表达式 （B） （2010宁夏回族自治区) A. y= – (x –1)2 +3 B. y= – (x +1)2 +3 C. y= – (x –1)2 – 3 D. y= – (x +1)2 – 3
我用心所以我快乐 学习虽然辛苦
但其乐无穷……
“数”与“形”是数学中的两个最古老，也是 最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转 化。 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系 与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以 形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思
维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体
C. 第三象限
D. 第四象限
2 .判断同一直角坐标系的函数图象 例2抛物线 y=ax2+bx+c 图象如图所示，则 一次函数 y=-bx-4ac+b2与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（ D ） （2010甘肃兰州）

练习2.
在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可 能为( A )
4. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，
c 则点 M b, a 在（
D
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
5.培养思维能力,形成良好的数学思维习惯
提高题 1.(山西)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示. 有下列结论: ① b2－4ac ＜0 ②ab＞o ③ a-b+c=0 ④4a+b=0 ⑤当y=2时,x只能等于0. 其中正确的是( B ) A. ① ④ B. ③④ C. ②⑤ D. ③⑤
2. 二次函数的图象如图所示，下列几个结论 ①对称轴为直线x=2; ②当y≤0时,x＜0或x＞4； ③函数解析式为y=－x(x－4)； ④当x≤0时，y随x的增大而增大. ①③④ 其中正确的结论有________