巧用数形结合思想解二次函数中的问题

巧用数形结合思想解二次函数中的问题摘要：数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来。

通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”两个方面，已经成为当今数学的特色之一，它使复杂问题简单化，抽象问题具体化，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。

它兼有数的严谨与形的直观，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。

本文通过例题分析了解“数形结合思想”来解决二次函数中的问题，因为此类问题的特点是若仅进行代数推理,亦能解决, 但运算繁、技巧强、难度大若以形助数, 则运算简、技巧弱、难度小。

关键词：数形结合思想二次方程和不等式二次函数由于初中的“二次函数”的问题，历年来都是中考的热点，因此，我从用“数形结合”思维思想来谈一谈这些问题。

一、数形结合思想概述法国著名的自然辨证哲学家恩格斯曾经说过“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学”。

数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。

一方面。

借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。

另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。

这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简洁明快，而且可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径．因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法．而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。

而课堂教学中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法。

有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，营造愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学．“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面．一直就是一对矛盾体。

正如矛和盾总是同时存在一样．有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。

华罗庚先生曾说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休。

切莫忘，几何代数统一体。

永远联系．切莫分离!”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致．“数形结合”作为数学中的一种重要思想，它在初、高中都是解决许多问题得重要思想，特别是在高中数学中占有极其重要的地位，关于这一点，我们只要翻阅近年高考试卷就可以一目了然。

在多年来的高考题中，数形结合应用广泛．大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，与此同时“数形结合”思想在二次函数中的应用在中、高考命题中解决问题也成了必不可少的部分，也是平时学习二次函数解决应用问题的一个重点。

巧妙运用“数形结合”思想解题．可以化抽象为具体，达到事半功倍的效果。

二、二次函数与系数之间的关系（1）二次函数的一般式是：y=ax+bx+c,其中a≠0，此函数的对称轴是 22a ，顶点坐标是2a4a 。

（2）函数式中的参数a的正负决定开口方向，当a＞0时，开口向上，在对称轴右边的随函数图象y随x的增大而增大，左边的图象y随x 的增大而减小；当a＜0时，开口向下，在对称轴右边的函数图象y 值随x的增大而减小，左边的图象y随x的增大而增大，整个图形是对称的。

然而a的大小决定了二次函数的开口度的大小，a越大开口度越小，a越小开口度越大。

（3）与x轴交点的情况。

当y=0时，是二次方程，当△＞0时，则此二次函数都与x轴有两个交点；当△=0时，二次函数与x轴有且只有一个交点；当△＜0时，二次函数与x轴没有交点。

（4）二次函数的表达式还有以下几种：-b(-b,4ac-b2) 交点式：y=a（x-x1）（x-x2），其中a≠0，x1、x2是该函数y=0是的两个根；顶点式：y=a（x-k）+h，其中a≠0，而（k，h）是二次函数的顶点坐标。

x三、从方程的“数”到函数的“形”，以形象定性抽象的内容例1:已知方程|x2 -4x+3|= m 有4个根，则实数m的取值范围。

【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决。

解：方程|x2 -4x+3|= m 根的个数问题就是函数y= |x2 -4x+3|与y= m 函数图像的交点的个数。

如图所示：作出抛物线y= x2 -4x+3的图像，将x轴下方的图像沿x轴翻折上去，2 得到y= |x-4x+3|图像，再作直线y = m ，如图所示。

由图像可以看出，抛物线y= x2-4x+3的顶点坐标是（2，-1），经由x轴翻折后变成（2,1），所以当0<m<l时，两函数图像有4个交点，故m的取值范围是(0，1)。

例2:确定函数y=x|x|一2|x|的单调区间。

0，作出<0x≥2xx+-x⎩2⎨=x|x|-2|x|=x2-2x解：y⎧函数的图像如左图所示：由图像可知，函数的单调递增区间为)；∞，0]和『1，+∞(-函数的单调递减区间为[0，1]。

评注：数形结合可用于解决二次函数方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图像是解决这类问题的关键。

例3：若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间, 求k的取值范围。

分析 :令f (x )= x2 +2kx+3k, 其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解。

由y=f(x) 的图象可知,要使二根都在(-1,3)之间, 只需f(-1)= k+1> 0,f(3)= 9k+9>0,又因为-b/2a=-k介于-1与3之间,即-1<-k<3,且f (-k) =-k2+3k<0同时成立, 解得-1<k<0,故k ∈ (-1,0)。

例4：已知b,c为整数，方程5x2+bx+c=0的两根都大于-1且小于0，求b和c的值。

（99年初中联赛）解：设f(x)=5x2+bx+c,则由题可知，此抛物线与x轴的交点设为（x1,0）和（x2，0），其中-1＜x1＜0，-1＜x2＜0，并且开口向上，画出的大致图像（如图所示），则有：⎨⎨0即≥0b-20c≥∆⎪2⎪2a10⎪⎪0<-<-1＜-＜0-1⎧⎧bb0>f(-1)⎪0>c+5-b⎪，⎩，⎩0>0c>f(0)⎪⎪10<b<0⎧⎨20c所以≥b⎪2⎪c+5<b⎪0>c⎩⎪2①②③④。

由①、②、④得20c≤b≤100,0<c<5,所以当c=1时，有②、③得：0<b<6且b2≥20，得b=5；2当c=2时，0<b<7且b≥40，此时b无整数解；当c=3时，0<b<8且b2≥60，此时b无整数解；当c=4时，0<b<9且b2≥80，此时b无整数解；所以b=5，c=10。

四、数形结合可以求得平移后的抛物线解析式，比较函数值的大小。

例1：如图2，把此抛物线线绕顶点旋转180°，则该抛物线对应的解析式为：。

若把新的抛物线再向右平移2个单位，向下平移3个单位，则此时抛物线对应的函数解析式为：。

解：1、由于是绕顶点旋转180°，所以顶点的坐标不变，对称轴不变，所以设原抛物线的解析式为：Y=a（x+1）2+4，又因为过了A点（1,0），带入解析式得到：a=-1，所以原函数的解析式为：Y=-（x+1）2+4，故绕顶点旋转180°后，只有开口变了，所以新函数的解析式为：Y=（x+1）2+4。

2、因为抛物线图象的平移本质上是把握点的平移。

只要把握好规律，结合图形的变换，做到做“+”右“-”，上“-”下“＋”这样就很容易得到此时的函2数解析式：Y=（x-1）-1。

例2：若Ａ（－１，ｙ１），Ｂ（－２，ｙ２）是抛物线上ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｃ（ａ＞０）上的两点，则ｙ１＜ｙ２（填＜，＞或＝）。

变式１：若Ａ（－１，ｙ１），Ｂ（４，ｙ２）是抛物线上ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｃ（ａ＞０）上的两点，则ｙ１＜ｙ２（填＜，＞或＝）。

变式２：若Ａ（ｍ，ｙ１），Ｂ（ｍ＋２，ｙ２）是抛物线上２ｙ＝ａ（ｘ－１）＋ｃ（ａ＞０）上的两点，当ｍ取何值时，ｙ１＝ｙ２？ｙ１＞ｙ２？解：因为ａ＞０，开口向上，又从图中看到ｘ＝１是函数的对称轴，又因为函数图象与ｙ轴的交点在ｙ轴的负方向，所以ｃ＜０，所以得出：当ｘ≥１时，ｙ随ｘ的增大而增大；当ｘ＜０时，ｙ随ｘ的增大而减小。

因此：（１）因为－２＜－１＜０，所以ｙ１＜ｙ２；（２）因为－１＜０＜４，所以ｙ１＜ｙ２；（３）要使ｙ１＝ｙ２，则｜ｘ１－ｘ２｜＝１，即是ｘ１、ｘ２关于ｘ＝１对称，所以就有：ｍ－（ｍ－２）＝１，解得：ｍ∈Ｒ，所以无论ｍ取何值，ｙ１＝ｙ２；很明显ｍ＜ｍ＋２，要得到ｙ１＞ｙ２，从图像可知：在对称轴的右侧，则只要ｍ≥１就行。

五、从函数的“形”到方程的“数”，使推理判断更准确例1．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为，小孩将球抛出了约米(精确到0．1m)。

解：由题意和图像可可知，设二次函数的解析式为：y=a(x-8)2 +9，将点A(0，1)代入，得a=-1/8。

所以该二次函数的解析式为：y=-1/8(x-8)2+9=-1/8x2+2x+1,令y=0,则有-1/8x2+2x+1=0，解得：62，+62,所以C（8±8=A 0）, x16.5(米)O≈62+8=OC注：从“形”到“数”的问题时，应注意观察函数图像的形状特征，充分挖掘图像的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的性质来解。

六、“数形结合”在二次函数中的综合应用例1：市“健益”超市购进一批20元／千克的绿色食品，如果以30元／千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量v(千克)与销售单价x(元)(x≥30)存在如下图所示的一次函数关系式。

(1)试求出v与x的函数关系式；(2)设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元．现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围。

解：(1)设y=kx+b，由图像可知,1000=b⎩⎩200=b+40k⎨⎨-20,解得=k⎧400=b+30k⎧所以一次函数的表达式为：y=-20x+1000,(30≤x≤50)。

(2)p=(x-20)y=(x-20)(-20x+lO00) =-20x2+1400x-20000又因为a=一20<0，所以P有最大值。