二次函数数形结合问题
数形结合学数学——以“二次函数与一元二次方程”为例
课程教育研究Course Education Research 2021年第15期一、一元二次方程与二次函数的关系首先我们需要理解二次函数y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数且a≠0)中x、y 的双重含义:代值计算时:x 表示自变量的值;y 表示函数值;在函数图像中:x 表示图像上点的横坐标;y 表示图像上点的纵坐标。
由此我们可以发现,当函数值y 赋值为0时函数问题则等价于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数且a≠0)问题,由特殊推广到一般情况,我们发现当函数值y 赋值为k(k 为常数)时,函数问题均可转化为一元二次方程ax 2+bx+c=k(系数要求同上)问题;从图像角度来看,二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数且a≠0)的根,同理,二次函数y=ax 2+bx+c 图像与函数y=k 图像的交点横坐标即为方程ax 2+bx+c=k(a,b,c 为常数且a≠0)的根。
二、从二次函数的角度看一元二次方程通过对二次函数的学习我们掌握了变量间的相关关系,二次函数的图像、性质并抽象概括出了相关定理,如此一来,我们重新回顾一元二次方程便会发现方程问题容易得多。
例1:观察y=x 2-8x+12、y=x 2-4x+4、y=x 2+3这三个二次函数的图像,并且分别说出x 2-8x+12=0、x 2-4x+4=0、x 2+3=0的根的情况。
分析:从三个函数图像中我们观察发现,第一个函数图像与x 轴交点横坐标为-2、-6,即方程x 2-8x+12=0的根分别为-2、-6,第二个图像与x 轴交点横坐标为2,即方程x 2-4x+4=0的根为2,y=x 2+3图像与x 轴无交点,则说明方程x 2+3=0无实数根,三种不同函数的图像与x 轴相交的情况不同,方程的根的个数也与之不同,以上三种图像让我们将方程的根的情况也大致分为以下三类:①如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个公共点即可等价于一元二次方程方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根;②如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有且仅有一个交点则等价于方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实根(按照方程的定义,一元二次方程都有两个根,故这里称有两个相等实根);③如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴没有公共点则说明方程ax 2+bx+c=0没有实根。
二次函数数形结合
二次函数数形结合1、已知抛物线过点（1，0），（―1，8）在y 轴上截距为5，若函数图象与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。
2、已知抛物线对称轴为x=―1，过点（0，―1），（2，1），函数图象与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。
3、已知抛物线与x 轴交点的横坐标为3，5，且有最大值21，函数图象与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。
4、已知抛物线图象顶点C 坐标（1，3），交x 轴于A 、B ，且△ABC 的面积为3，求函数解析式。
5、已知二次函数图象过点A （1，0）、B （3，0），顶点为C ，△ABC 的面积为2，求函数解析式。
6、抛物线A （2，8），B （0，–4）且在x 轴上截得的线段长为3，求函数解析式。
7、已知抛物线过点（4，6）（–2，6），在x 轴上截得的线段长为32，求函数解析式。
8、函数12-+-=k kx x y 与x 轴两交点A 、B 与顶点C 组成的三角形面积为8，求该函数的解析式。
9、抛物线12-+=kx x y 与 x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，且∠ACB=900，求函数解析式。
10、已知q px x y ++-=221的图象交x 轴于点A （–1，0），B 两点，B 点在A 点左边，P 是图象顶点，若△ABP 是Rt △，求此函数解析式。
11、已知抛物线b ax x y ++=221图象交x 轴于A （–4，0），B 两点，B 在A 右边，P 是顶点，且△ABP 是直角三角形，求函数解析式。
12、已知抛物线b ax x y ++=2图象在y 轴上的截距是1，交x 轴于A ，B 两点，P 是顶点，且抛物线对称轴在y 轴左侧，若△ABP 是等边三角形，求函数解析式。
例析二次函数问题解决的基本思想_分类讨论和数形结合
时
，M(a)∈(-
2 a
,0)（ 注 ：
M(a)在对称轴右边 ），所 以 f[M(a)]=-4，令 ax2+4x-2=-4，
解
得
x=
-2±
姨4-2a a
，故
M(a)=
-2+
姨4-2a a
；
（2）
当
-2-
4 a
≥-4，
即 a≥2 时 ，
M(a)<- 2 a
（注：
M(a)在对称轴 左 边 ）， 所 以 f[M(a)]=4，令 ax2+4x-2=-4，
题．
下面， 我们从一个具体例子出发， 给同学们详细
分析一下解决的基本过程．
例题． 已知函数 f(x)=3x2+a，g(x)=2ax+1(a∈R)．
（I） 证 明 ： 方 程 f(x)=g(x)恒 有 两 个 不 相 等 的 实 数
根；
（II） 若 函 数 f(x)在(0,2)上 无 零 点 ， 请 你 探 究 函 数
责任编校 徐国坚
高中 2011 年第 5 期
17
数学有数
点拨
例析二次函数问题解决的基本思想 —— —分类讨论和数形结合
■俞新龙
二次函数问题是同学们初中重点解决的一类函数
问题， 有范围限制的二次函数问题 （包括换元后可化
为二次函数） 是高中一类比较重要的函数问题， 此类
问题比同学们初中遇到的难度要大， 因此， 同学们经
常会感觉处理起来比较难．其实， 该类问题的解决还
优越性．
变式 1：
设
f(x)=1-
2 2x+1
，方程 f(x2-2x-a)=0 在(0,3)
数学人教版九年级上册数形结合求二次函数最值
数形结合求二次函数最值一、教学内容分析二次函数在中考中占有非常重要的地位，而二次函数在自变量给定区间内的最值在中考中频频出现，主要考察我们分类讨论和数形结合思想的应用。
这节课我们主要以二次函数为例，讨论影响二次函数在自变量给定区间的最值，主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴的位置。
而对称轴的位置是解决这类问题的关键。
二、教学目标设计知识与技能1、掌握运用数形结合求给定区间内的二次函数最值。
体会利用对称性比较函数值大小。
2、分类讨论思想求二次函数的最值。
过程与方法1、经历求最值、画图像，在给定区间内通过图像总结对称轴的位置与图像最值的关系，培养学生画图和推理能力。
2、结合图像与函数知识进行分类讨论求二次函数最值。
情感与价值1、渗透数形结合、分类讨论思想，培养学生总结推理能力。
2、了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。
三、教学重难点重点：通过数形结合总结在区间内求二次函数最值的方法，知道对称轴的位置最为关键。
难点：运用分类讨论思想求二次函数最值。
四、教学方法：讲授发现法、分类讨论法五、教学过程（典型例题分析）1、教师以数学家华罗庚先生的话引入本节课内容。
“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数统一体。
永远联系．切莫分离!”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致．教师以二次函数y=-2x2-4x+6为例通过让学生求顶点坐标画草图，让学生复习二次函数基本知识，接下来教师通过给定自变量范围：（1）当-4≤x≤-2时的最值情况（2）当-2≤x≤12时的最值情况y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8设计意图：学生复习求二次函数顶点坐标的方法和画草图的基本方法。
通过画草图体会准确图像的重要性。
让学生明确在自变量区间内对应的图像是抛物线的一部分从而找到对应的最值。
学生通过自变量的不同区间得出不同最值。
尝试得出结论：（1）当自变量区间在对称轴同侧时可根据函数增减性得出最值。
二次函数中的数形结合
二次函数中的数形结合一、选择题1．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0 没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A． 0 B．1C． 2 D．34．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c ＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B． 3个C． 2个D． 1个5．已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h可能为 ( )A．1 B．3 C．5 D．77．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（﹣3，7）B．（﹣1，7）C．（﹣4，10）D．（0，10）8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．B．或C．2或D．2或﹣或9．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b10．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1 0 1 3y﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个二.填空题11．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y…10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范围是．14．如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是．15．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．16．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= _______．三.解答题17．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．18．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？19．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．20．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1 与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．21．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．22．抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？。
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用发布时间：2022-08-11T18:15:02.792Z 来源：《中小学教育》2022年7月4期作者：鲍炜[导读]鲍炜安徽省芜湖市第二十九中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）7-179-021引言数学是一种既古老又年轻的文化，也是自然科学的基础学科。
人类从远古时代的结绳计数，到如今可以宇宙航行，无时无刻不受到数学思想的影响。
最近几年，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了深刻地变化，数学教学的主要目的和任务早已不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习培养学生的数学能力。
二次函数是初高中教材中一个重要的内容。
二次函数是中考命题的重点，同时也是省示范高中自主招生考试的重要考点。
如何让学生对二次函数了解更加的深刻透彻，本论文运用数形结合思想对初中二次函数做了更深一步的研究。
我们通过以下几个方面的阐述让学生更加深入理解二次函数的知识，更加体会到数形结合思想的运用：利用二次函数图象讨论一元二不等式的解（自主招生考试考点）、利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题（中考难点）、巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题自主招生考试考点）、巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题（中考重点）。
2 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了数形结合在教学、解题及函数中的应用，也给出了自己独特的见解。
在所查阅到的国内外参考文献中，教育者们对数形结合在二次函数中只针对二次函数中的某一问题作了相应的介绍，并未给出较为深入系统的研究。
数形结合思想在初高中二次函数中的应用非常广泛，对数形结合在初高中二次函数中的综合应用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用数形结合思想在二次函数教学、解题及其在中考以及自主招生考试中的应用具有重要的意义。
3 提出问题数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且是一种基本的数学思想，同时二次函数也是初高中比较重要的一个内容，为了促进学生对这种思想方法的掌握，我们初中老师在依据教材对标课程标准的前提下，要适当提高二次函数的教学难度，这样学生到了高中才能较好的掌握二次函数内容，能起到承上启下的作用。
巧用“数形结合”求解二次函数问题
巧用“数形结合”求解二次函数问题作者：徐超凡来源：《中小学教学研究》2010年第06期摘要:二次函数是初中数学知识的重中之重,它与其他知识紧密相关,中考命题者钟爱有加。
如何把脉二次函数,让学生学而不厌,知难而进呢?可以把数形结合作为解决二次函数问题的武器,逐一破解“残缺型抛物线”、灵活解决“四点”“五距”,化解二次函数的探究应用问题中难点。
关键词:数形结合;残缺型抛物线;探究应用数形结合的思想,它是指把代数的精确刻划与几何的直观形象相统一,将抽象思维与直观形象水乳交融的一种思想方法。
数形结合是学好数学的一个魔法棒:它可将一些看似复杂的问题简单化,一些难于入手的问题迎刃而解。
二次函数是初中数学知识的重中之重,它与其他知识紧密相关,中考命题者钟爱有加。
如何把脉二次函数,让学生学而不厌,知难而进呢?巧妙运用数形结合可以达到四量拨千斤的效果,让学不得法的学生忘了烦恼忘了忧。
一、巧用数形结合求残缺型抛物线问题何谓“残缺型抛物线”,顾名思义,就是不完整的抛物线。
虽然抛物线不完整,但是利用已知条件及抛物线的轴对称性,可以达到既可意会,也可言传的功效,从而轻而易举解决相关问题。
例1(2007南充).如图1是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1。
给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a②其中正确结论是().A ②④B ①④C ②③D ①③解析:图象开口向下,顶点在第二象限想象到抛物线一定与x轴有两个交点,所以①正确;对称轴为x=-■=-1 得2a-b=0,所以②错误;顶点在第二象限,当x=-1,a-b+c>0,所以③错误;抛物线开口向下,a例2(2009德城).如图2是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3 ,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是_________解析:根据图象可知抛物线开口向上,与x轴有两个公共点,对称轴右边的交点B与对称轴相距2个单位长度。
二次函数数形结合题专练
1、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）2、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2-x-2 B 、y=121212++-x C 、y=121212+--x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图4A ．B ．C ．D ．xxxx5、如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，则阴影部分的面积是 .6、图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）7、某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ （3）请画出上述函数的大致图象．8、如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．9、如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
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二次函数与图形专题 姓名：
图象型 经典例题
例1.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h
=4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交
AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ ）
D
O
4
2
4O
424
O 4
24
O 4
24
A
y
x
B
C
C
A E
F B
D
例2.(2013年南京建邺区一模)矩形ABCD 中，AD =8 cm ，AB =6 cm ．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：cm 2
)，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的 （ ）
变式训练*举一反三
1.如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点， 且∠ACD =45°，DF ⊥AB 于点F ,EG ⊥AB 于点G ,当点C 在AB 上运动时，设AF =x ，DE =y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的
图象大致是（
）
2.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）
A ． 2
425
y x =
B ．225y x =
C ．2225y x
= D ．2
45
y x =
3．（赵州二中九年七班模拟）点E 为正方形ABCD 的BC 边的中点，动点F 在对角线AC 上运动，连接BF 、
EF ．设AF ＝x ，△BEF 的周长为y ，那么能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
第3题
A
B
C
D
4、（2012年浙江省杭州市一模） 如图所示，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点，设AC=2，BD=1，AP=x ，则△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
5．如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE =BF =CG =DH ， 设小正方形EFGH 的面积为，AE 为，则关于的函数图象大致是（ ）
9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，B D=6，P 是BD 上的任一点，过P 作EF ∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E ，F ．设BP =x ，EF =y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为……………（ ）
求最值型
O
x O
O
O
x x x
y y y y A
B
C
D
A
B
C
D
F
E
A B
C
D
E
F
P
例1．(2012•扬州)如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 ．
例2．已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=，10BC CD ==，4sin 5
C =点
E,F 分别是BC,CD 上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ．求EFC △面积的最大值为 ．
变式训练*举一反三
运动型
例1.在△ABC 中，AB =AC =12cm ，BC =6cm ，D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动．设运动时间为t 秒，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t 的值为 .
例2. 如图, 正方形 ABCO 放在平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，A 、 C 两点分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（-4，4）。
已知点E 、点F 分别从A 、点B 同时出发，点E 以每秒2个单位长度的速度在线段AB 上来回运动. 点F 沿B →C →0方向，以每秒1个单位长度的速度向点O 运动.,当点F 到达点O 时，E 、F 两点都停止运动.在E 、F 的运动过程中，存在某个时刻，使得△OEF 的面积为6.那么点E 的坐标为 。
A
D
C
F
B
E 例2。