数形结合思想例题分析

数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：
例1 已知x 、y 、z 、r 均为正数，且
222,x y z +=222z x r x ⋅-= 求证：.rz xy =
分析：由222,x y z +=自然联想到勾股定理。

由
222.z x r x ⋅-=可以联想到射影定理。

从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。

对照图形，由直角三角形面积的两种
算法，结论的正确性一目了然。

证明：（略）
小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。

2、证明不等式：
例2 已知：0＜a ＜1，0＜b ＜1. 求证
22222222(1)(1)(1)(1)2 2.a b a b a b a b ++-+++-+-+-≥
证明：如图，作边长为1的正方形ABCD ，在AB 上取点E ，使AE=
a ；在AD 上取点G ，使AG=
b ，
过E 、G 分别作EF//AD 交CD 于F ；作GH//AB 交BC 于H 。

设EF 与GH 交于点O ，连接AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD.
由题设及作图知△
AOG 、△BOE 、△COF 、△DOG 均为直角三角形，因此
22
OA a b =+
22
(1)OB a b =-+
22(1)(1)OC a b =-+-
22
(1)OD a b =+-
且
2AC BD ==
由于 ,.OA OC AC OB OD BD +≥+≥ 所以：
B
A
C
x
y
z
r
y=1
x y
22222222(1)(1)(1)(1)2 2.a b a b a b a b ++-+++-+-+-≥
当且仅当1
2
a b ==时，等号成立。

小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。

3、求参数的值或参数的取值范围：
例3 若方程
2
210ax x -+= （a ＞0）的两根满足：1x ＜1，1＜2x ＜3，求a 的取值范围。

解析：画出与方程对应的二次函数
2
21y ax x =-+ （a ＞0）的草图： 0123
x
y
0123
x
y
由图可知：当
x =1时，y ＜0； 当x =3时，y ＞0.
即 2
1
211a ⨯-⨯+＜0 ； 23231a ⨯-⨯+＞0.
解得：5
9
＜a ＜1.
例4 若关于x 的不等式2021x mx ≤
++≤ 的解集仅有一个元素，求m 的值。

解：如图：在同一坐标系内，作出1y =与
2
2y x mx =++的图象。

题设条件等价于抛物线
22y x mx =++在直线0y =与
1y =之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。

由图形的直观
性质可知：这个交点只能在直线
1
y =上，故方程组
212y y x mx =⎧
⎨=++⎩
仅有一组解。

2410m ∴∆=-⨯= 即 2.m =±
小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。

4、求最值问题：
例5 已知a 、b 均为正数，且 2.a b +=求
2241a b +++的最小值。

解：如图，作线段AB=2，在AB 上截取AE=a ，
EB=b ，过A 作AC ⊥AB ，且AC=2，过B 作BD ⊥AB ，且BD=1。

由勾股定
理：CE=
24a +，BD=21b +，原题即求CE+ED 的最小值。

又如图，延长CA 至G,使AG=AC ，连接GE ，由三角形两边之和大于第三边，则G 、E 、D 三点共线时，GE+ED=DG 最短。

作出图形，延长DB 至F ，使BF//AG 且BF=AG ，连接GF.
则在Rt △DGF 中，DF=1+2=3，GF=AB=2
22223213DG DF GF ∴=+=+=
∴CE+DE 的最小值是13.
即
2241a b +++的最小值是13.
小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。

二、用代数与三角方法解决几何问题：
例6 如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，CF 、BE 分别是AB 、AC 边上的高。

试证：
AB CF AC BE +≥+
证法一：（三角法）因为0sin 1A ≤≤，
()sin AB AC AB AC A ∴-≥-⋅
sin sin AB AC A AC AB A ∴+
⋅≥+⋅
(90)AB CF
AC BE A ∴+≥+∠=当时取等号
证法二：（代数法）由AB ＞AC ＞CF ，AB ＞BE 及S △ABC
11
22
AB CF AC BE =⋅=⋅ .AB AC AC CF BE CF AC
-∴
==AB-BE 变形得：AB
AB BE ∴-＞AC CF -
A B C D E F
G
a
b
22122A
B
C
E
F
A
y
z
x
P
F
E
D
C
B
AB CF ∴+＞AC BE +
90A ∠=当时,AB CF +=AC BE +.
综上：
.AB CF AC BE +≥+
小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。

例7 如图，在正△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别有点D 、E 、F.若DE
⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成
立，求点D 在AB 上的位置.
分析：先假设符合条件的点 D 、E 、F 已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。

解：设AB=1，AD=
x
因为△ABC 为正三角形， 且DE
⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，
故, 282BD BE x ==- 而 ,即 (82)
1x x +-=
解得：
1
.3x =1AD BD += 2AF x = , 12CF x =- , 224CD CF x ==- 141BE CE x =-=-即点D 位于AB 边上1
3
分点处.
小结：几何中存在着这样一类问题，即几何图形中的某些点的位置或线段的长度或角度的大小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出。

而
求那些量的
方法，常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解。

例8 如图，△ABC 三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC
内的
点P 向△ABC 的三边分别作垂线PD 、PE 、PF （D 、E 、F 为垂足）. 若27.BD CE AF ++=求：BD BF +的长.
解：设BD x =
，CE y = ，AF z = ，则
17DC x =- ，18AE y =- ，19FB z =-
连接PA 、PB 、PC.
在Rt △PBD 和Rt △PFB 中， 2
222(19)x PD z PF +=-+
同理：
2222(17)y PE x PD +=-+
2
222(18)z
PF y PE +=-+
A
D
E
F
C
B
将以上三式相加，得：
222222(17)(18)(19)x y z x y z ++=-+-+-
171819487x y z
∴++= (1)
又已知： 27x y z +
+= (2)
由（1）（2）得： 1x z -=-
18.BD BF +=即(19)18x z +-=
即。