江苏省南通市2020-2021学年度高三年级第一学期期初调研数学试题附答案解析

2020-2021学年度高三年级第一学期期初调研数学2020.9.2一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．记全集U =，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22x B x =≥，则()U A B =( ).A ．[4,)+∞B ．(1,4]C ．[1,4)D ．(1,4)2．已知257log 2,log 2,0.5a a b c -===，则,,a b c 的大小关系为( ). A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<3．若()35cos ,sin ,,0,54132ππαββαβ⎛⎫⎛⎫+=-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ).A ．3365-B ．3365C ．5665D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( ). A ．30B ．60C ．90D ．1205．函数()2sin(),(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，且()f x 的图像过(),1,,12A B ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像( ).A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π 6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( ).A ．18B ．14C ．38D ．127．设12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与222:O x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若2PF x ⊥轴，则双曲线的离心率等于( ). AB ．2C ．D ．48．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2x f x e x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是( ). A ．()1,e ++∞B ．()2,e ++∞C ．1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是( ).A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，则(1)0.5P ξ>= 10．已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ，则下列结论正确的是( ). A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则OPQ △的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为210x y -+=D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点,M N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在ABC △中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111tan tan sin A B C+=，则( ). A ．,,a b c 成等比数列B．sin :sin :sin 2A B C =C ．若4a =，则ABC S =△D ．,,A B C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是( ). A ．1212()()0f x f x x x -<-B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211x x e>>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生 中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为__________.14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________.15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是__________. 16．椭圆与双曲线有相同的焦点12(,0),(,0)F c F c -，椭圆的一个短轴端点为B ，直线1F B 与双曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e =__________；且22123e e +的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-. (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2,,24f A C c π===，求ABC △的面积.18．(12分)2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.(1)完成2x2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；(2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ.求出ξ的分布列及期望值附公式及表22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.19．(12分)已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P 在椭圆C 上，动直线:l y kx m =+交椭圆于不同两点,A B ，且0OA OB ⋅= (O 为坐标原点). ()求椭圆的方程;(2)讨论22712m k -是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．(12分)已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[1,2]-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()2(1),(0)mf x x m m >--≥；(3)设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤，求M 的最小值21．(12分)已知221()(ln )x f x a x x x -=-+，. (1)讨论()f x 的单调性;(2)当1a =时，证明3()'()2f x f x >+对于任意的[1,2]x ∈成立，22．(12分)已知点P 是抛物线21:4C y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，(1)证明:直线AB 过定点，并求出定点的坐标;(2)若直线AB 交椭圆222:143x y C +=于C 、D 两点，12,S S 分别是,PAB PCD △△的面积,求12S S 的最小值.高三数学期初答案一、 单选题1-4 CACD 5-8 CCAB 二、多选题9.BD 10.BCD 11.BC 12.CD 三、填空题 13.1814. 2y x = 15. ()2,6- 16. 1四、解答题17． 解：（1）∵()221f x sin x =+-=x ﹣cos2x＝2sin （2x 6π-）， ……2分 令2k π2π-≤2x 6π-≤2k π2π+，k ∈Z ，解得k π6π-≤x ≤k π3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6π-，k π3π+]，k ∈Z ． ……4分（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2，∴sin （2A 6π-）＝1，∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，……6分∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 1c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===+8分 ∴S △ABC 12=ab sinC 12=（1=．……10分 18． 解：（1）因为男生人数为：11120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下：……4分根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. ……6分（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ-===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得1519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……12分 19. 解：（1）因为双曲线22221xy -=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110yx a a a +=>-，由点(P 在椭圆C 上得2311a =-，解得242a a =⇒=，则b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=.……4分（2）22712m k -为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx m k x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，由()()2222644344120m k k m∆=-+->得2234m k <+，……6分21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++，① ……8分 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=， 整理得()()22121210kx xkm x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m km k km m k k-+⋅-⋅+=++， 同时乘以234k +可化简得()()222222214128340k mk m m m k +--++=，所以22712=12m k -，即22712m k -为定值. ……12分20． 解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--； ……2分 （2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞， ……7分（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x xx g x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ……9分因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤，即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤， ……10分 而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516. ……12分21.解：（1）的定义域为； ……1分223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；② 时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减. ……5分综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增. ……6分 （2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号. ……8分又24326'()x x h x x--+=， 设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号， ……10分所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=， 即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立 ……12分22.解：（1）证明：设点()11,A x y 、()22,B x y ， 则以A 为切点的切线方程为()1112y y x x y -=-，即()112y y x x =+， 同理以B 为切点的切线方程为()222y y x x =+， ……2分两条切线均过点()1,P t -，()()11222121ty x ty x ⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩，即1122220220x ty x ty --=⎧⎨--=⎩， 所以，点A 、B 的坐标满足直线220x ty --=的方程， ……4分 所以，直线AB 的方程为220x ty --=，在直线AB 的方程中，令0y =，可得1x =，所以，直线AB 过定点()1,0；……6分（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PABPCDd AB ABS S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-， 由弦长公式可得()()222212121211441AB m y m y y y y m =+-=++-=+……8分由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=-==+.……10分()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立. ……12分 因此，12S S 的最小值为43.21.(1) 0,(0,1)(1,)012,(0,)22202,(0,1)(1,)(,)23(,1)(1,)a a a a aaa a≤+∞>=+∞<<+∞>+∞①②(2)原不等式等价于233125ln 02x x x x x ++---> ln 1x x -≥，令11,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，32()23s t t t t =-++，2'()623s t t t =-++存在01,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得2006230t t -++=，13,(1)222s s ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以2331232x x x +-≥，因为等号不同时取，所以233125ln 02x x x x x ++---> 22.(1)过焦点(1,0)(2)设倾斜角为α，则212224134sin 1123sin 34cos S AB S CD ααα⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭-。