数形结合在二次函数中的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用作者：黄贤琼来源：《学校教育研究》2020年第03期摘要：“数形结合”是一种重要的数学思想，在初中函数教学中有着重要的作用。
在二次函数教学中，渗透“数形结合”这种重要的数学思想，对于解决二次函数问题尤为重要。
“数形结合”的本质是：利用几何图形的性质反应数量关系，而数量关系决定了几何图形的性质，通过“以形助数”或者“以数解形”的方式来解决问题，起到事半功倍的效果。
关键词：数形结合数学思想二次函数著名数学家华罗庚说过：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直觉，形无数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。
“数形结合”是一种重要的数学思想，在初中函数教学中有着重要的作用。
二次函数是继一次函数后，初中学生学习函数的一个难点，也是中考的一个热点。
那么在二次函数教学中，渗透“数形结合”这种重要的数学思想，对于解决二次函数问题尤为重要。
“数形结合”的本质是：利用几何图形的性质反应数量关系，而数量关系决定了几何图形的性质，通过“以形助数”或者“以数解形”的方式来解决问题，起到事半功倍的效果。
笔者从以下几个角度来阐述二次函数教学中“数形结合思想”的应用。
一、“以形助数”，充分利用二次图像解决函数性质《二次函数》教学中，实现“数形结合”的途径是充分把握好二次函数图像与性质的关系。
“以形助数”是要根据问题的已知条件，解读暗含的数据信息，准确的画出函数的图像，然后直观的形象的分析，利于找出解决问题的思路。
例如，已知二次函数图像与x轴的交点的横坐标为1，当x=2时有最小值-1，求此二次函数的解析式。
解析：根据题目的已知条件，分析关键点，可以得到图像的特征。
二次函数的图像是抛物线，我们画出图形，如下图所示。
根据图形我们知道二次函数图像与x轴交点为（1，0），顶点为（2，-1），对称轴是x=2，利用抛物线的对称性，我们可以得出二次函数与x轴的另一个交点为（3，0）。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。
通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。
通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。
数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。
在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。
【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。
1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。
学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。
二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。
二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
二次函数教学的重要性不言而喻。
只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。
二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。
通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。
1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。
在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。
数形结合思想在二次函数中的应用
① a a a a
2 ①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③无实数根？ 思考： 抛物线 y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )与直线 y = kx + b 的交点个数？ m=4 m>4 m<4 2 b − 4ac > 0 ⇔ 有2个交点 2 b − 4ac = 0 ⇔ 有1个交点 直线y=m y b 2 − 4ac < 0 ⇔ 没有交点 4
x
图2
什么没变？ 什么没变？
3、如图2，把此抛物线先绕它的顶点旋转180°，则该抛物 y = ( x + 1) 2 + 4 线对应的解析式为________________； 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平移3个单位，
y = ( x − 1) 2 + 1 右 则此时抛物线对应的函数解析式为______________。 左“+”右
“－”
y
B 4
抛物线的平移本质上就是把握点的平移 点的平移 抛物线的平移
-1 o 1A源自x图2数形结合
1.若A(-1, y1 )，B（ − 2，y2）是抛物线y = a ( x − 1) 2 + c(a > 0)上的两点， 则y1 ___ y2 (填 >, < 或 =)。 <
变式1：若A(-1, y1 )，B（4，y2）是抛物线y = a ( x − 1) 2 + c(a > 0)上的两点， 则y1 ___ y2 (填 >, < 或 =)。 < 变式 2：若 A(m, y1 )，B（m + 2，y2）是抛物线 y = a ( x − 1) 2 + c ( a > 0)上的两点， 当m取何值时，则 y1 = y2 ? y1 > y2 ?
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用数形结合思想在二次函数教学中的应用是非常重要的。
二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题时，往往需要将数学知识与几何图形相结合，才能更好地进行分析和解决。
在讲解二次函数的基本概念时，可以借助几何图形进行解释。
通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到二次函数的特点和性质。
可以引导学生观察图像的特点，如顶点、对称轴、开口方向等。
通过观察图像，学生可以更深入地理解二次函数的定义和性质。
数形结合思想在解决二次函数的最值问题时也能起到很大的帮助。
当需要求一个二次函数在一定区间内的最大值或最小值时，可以通过分析几何图像的形状来确定最值的位置。
如果是一个开口向上的抛物线，最小值即为顶点的纵坐标；如果是一个开口向下的抛物线，则最大值为顶点的纵坐标。
通过这种数形结合的思想，学生不仅可以快速找到最值的位置，还能够对最值的意义有更深入的理解。
数形结合思想在解决二次函数方程的根的个数和位置问题时也很有用。
通过绘制抛物线的图像，可以让学生观察到抛物线与x轴交点的个数和位置与方程的根的个数和位置是一致的。
如果抛物线与x轴只有一个交点，那么方程也只有一个实根；如果抛物线与x轴有两个交点，那么方程有两个实根；如果抛物线与x轴没有交点，那么方程没有实根。
通过这种数形结合的思想，学生可以更好地理解二次函数方程根的个数与位置的关系。
数形结合思想在解决二次函数的图像变换问题时也能起到很大的帮助。
在讲解平移变换时，可以通过移动抛物线的顶点，让学生理解平移变换对函数图像的影响；在讲解伸缩变换时，可以通过改变抛物线的开口程度，让学生理解伸缩变换对函数图像的影响。
通过这种数形结合的思想，学生可以更直观地理解各种函数变换的效果和特点。
浅析数形结合在初中数学二次函数教学中的应用
浅析数形结合在初中数学二次函数教学中的应用对于九年级的孩子来说，数学学习的难度加大，二次函数作为一个需要动用学生综合思考能力的难题，一直是数学教学的重点。
实际上，进行函数学习，不仅是日后更深层次的数学学习基础，也对于学生数学思维的培养，具有程度的影响。
数与形是数学中的两个基本概念，不同的图形蕴含着不同的数值，而不同的数量关系，又能够通过数学图形展现出来，通过数形结合图像与竖直进行对照，能够更加简单的进行数学问题的解决，这也是二次函数教学过程当中的主要思想。
本文也是基于数形结合的思想，对初中数学二次函数教学的具体应用进行举例说明，希望能够提高函数教学的质量和学生学习的效率。
关键词：数形结合二次函数初中数学在数学学习的过程当中，数形结合的思想是教师教学的重点，它直接影响着学生思维能力的养成，也影响着学生的数学实际能力。
数形结合的题目大多是以二次函数相关知识来呈现的。
因此，在进行二次函数教学的过程当中，我们应该以数形结合思想为核心，将图像与数据有机结合起来，化抽象为具象，化繁为简，提高学生的解题能力。
数形结合的具体体现就是，在教学过程当中，由数据绘制图形，完成对数据的解题，由图形推断，数据完成对数据的具体计算，而在中考时，我们也要通过数形结合的思想，用数形相互对照完成高难度的函数题目解答。
1.由数定形，确定坐标由数定形的教学思想是通过数据的明确来对二次函数图像进行推断性落实，用代数的方法来解决关于二次函数图形的问题。
它是通过对未知二次函数的推断性数据代入，来完成对二次函数图像性质的描述。
在进行教学时，我们需要让学生意识到由数定形的思想可以运用在哪些方面。
在解决二次函数相关习题时，碰到系数未定的二次函数，我们首先需要抓住题目中给出的数据，将其对应图像在坐标系中进行展示，之后完成对整个函数图像的大致推断。
对于这类问题，我们首先需要确定的是题目中所给出的具体条件，并与坐标系上展示出来，观察分析他是否与已经学过的一些二次函数图像相似，作出二次函数系数正负值的推断，再去完成题目的解答。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。
标签：数学结合；二次函数；应用著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。
二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。
“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。
数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。
因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。
数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。
一、二次函数中的形转数二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。
（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。
解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y 轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
专题(八) 数形结合思想在二次函数中的应用-2021年高考数学核心素养系列专题
核心素养系列（八）数形结合思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结合图象进行．对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，还要进行分类讨论．【典例1】[典例] 设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【素养指导】根据题意做出图像，分别讨论区间落到不同位置上.【解析】f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋ 2.综上可知，f (x )min ＝221,0,1,01,22,1t t t t t t ⎧+≤⎪<<⎨⎪-+≥⎩【素养点评】解二次函数定区间问题的两点关注(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．【素养专练】若函数g (x )＝x 2＋2mx －m 2在[1，2)上存在最小值2，求实数m 的值．【解析】g (x )＝x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )2－2m 2，此二次函数图象的对称轴为直线x ＝－m .(ⅰ)当－m ≥2，即m ≤－2时，如图①g (x )在[1，2)上单调递减，不存在最小值；(ⅱ)当1<－m <2，即－2<m <－1时，如图②g (x )在[1，－m )上单调递减，在(－m ，2)上单调递增，此时g (x )min ＝g (－m )＝－2m 2≠2；(ⅲ)当－m ≤1，即m ≥－1时，如图③g (x )在[1，2)上单调递增，此时g (x )min ＝g (1)＝1＋2m －m 2，令1＋2m－m2＝2，解得m＝1.综上，m＝1.。
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课题：数形结合在二次函数中的应用
公主岭四中 曹立华
教学目标：
1． 知识目标：理解二次函数解析式与二次函数图像间的关系。
通过解析式本身蕴含的信息以及函数图像的直观表示，解决有关的问题。
2． 能力目标：通过本节课的学习，进一步掌握数形结合的数学思想以及数形互检的方法。
3． 情感目标：通过小组讨论活动，培养学生的团队协作精神。
教学过程：
数形结合思想就是将几何与代数有机地结合，用数的观念来解决形的问题；或者用形的方法解决数的问题，是中考数学中的一个重要的思想方法。
今天我们着重研究数形结合在二次函数中的应用。
一、数促形，让感性的形多一分理性
思考：从图中获取信息：学生可能从以下几方面考虑：
（1）a 、b 、c 的符号
（2）2
4b ac -的符号
（3）顶点位置
例1 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，
下列结论 ①0<++c b a ②0>+-c b a ③0>abc ④3c a >-
中正确的个数是( )
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
分析：仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及解析式中
各系数与图形性质的对应关系，再做出判断。
归纳：我们解题时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，我们就可以寻找出处理“形”的方法，来达到“数促形”的目的。
图形问题可以转化为数量问题。
同样有时数量问题也可以转化为图形问题。
二、形帮数，让理性的数多一些感性。
x
… -3 -2 -1 0 1 2 … y … 12 5 0 -3 -4 -3 …
（1）该抛物线对称轴的直线方程是 。
（2）若抛物线与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，求S △ABC
分析：此题若先求解析式，后求对称轴，计算较繁，通过“形”利用对称性简单明了。
练习1：抛物线开口向上，顶点在坐标原点，将该抛物线向下平移15个单位后，与x 轴相交的两交点间的距离是15，则平移后的抛物线解析式为 。
分析：此题用两点距离公式计算较繁，通过“形”用对称性求解，计算简单。
练习2：已知二次函数1432
+-=x x y 。
求当40≤≤x 时，y 的值的变化范围是______ 分析：此题用代数推理求值时，需分类讨论，过程较繁琐；画图观察求解时，简明直观，迅速准确。
练习3：已知如图所示的抛物线2y ax bx c =++，则关于x 的方程230ax bx c ++-=的根的情况是（ ）
（A ） 有两个不相等的正根 （B ）有两个异号的实数根
（C ） 有两个相等的实数根 （D ）没有实数根
分析：此题通过根的判别式进行选择举步艰难。
但通过观察函数与
方程的关系，进一步将“形”转化为“数”（顶点纵坐标为3）再转
化为“形”（相当于将2
y ax bx c =++的图象向下平移3个单位，
此时新的抛物线顶点落在x 轴上）继而转化为“数”（有两个等根）
回顾：已知关于x 的方程2(21)(6)0x m x m +-+-=有一根大于1，另一根小于1，试求m 的取值范围。
例3：二次函数2(21)(6)y x m x m =+-+-的图象与x 轴的两个交点A 、B 分别位于 （－1，0）点左侧，（1，0）点右侧，试求m 的取值范围。
（此题的设计，让学生感受利用根与系数求解计算得复杂性，从而感受形的简捷性）
这两题都可以利用根与系数关系求解，但利用数形结合思想，更简便明了。
归纳：我们解题时常常会发现数学中大量“数”的问题后面都隐含着“形”，我们可以将抽象、复杂的数量关系形象、直观地揭示出来，以达到“形帮数”的目的。
三、小结：
著名数学家华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边非；数无形时少直觉，形少数时难以入微，数形结合白般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离。
”这段话正说明了数形结合的作用。
在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于同学们分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高同学们分析问题和解决问题的能力；同时，通过数形互检更有利于提高同学们解题的正确率。
（一段名言，两个归纳，三个有利于）
四、作业：
（1） 完成练习卷
（2） 整理二次函数中从“形”获取信息的题目。