上海交通大学附属中学2018学年高二数学校本作业专题-数列专题4_ 7.4 数学归纳法

7.4 数学归纳法
1. 数学归纳法证明：),1(111*32
2
N n a a
a a
a a n n ∈≠--=+⋯+++++，在验证1=n 成立时，左边计算所得的项是
2. 利用数学归纳法证明：“不等式在n 从某个自然数0n 0n 开始，总有3
3n n
>成立”，则验证
不等式成立的初始值0n 的最小值是
3. 利用数学归纳法证明不等式)2,(1
21
31211*≥∈<-+⋯+++
n N n n n 的过程中，由“假设k n =时命题成立”到“证明1+=k n 时命题成立”，左边增加了 项。

4. 若2
2
2
2
)2(321)(n n f +⋯+++=，则+=+)()1(k f k f )(*
N k ∈
5. 利用数学归纳法证明“))(12(312)()3)(2)(1(*
N n n n n n n n n
∈-⨯⋯⨯⨯⨯=+⋯+++”
时，从“k n =”变到“1+=k n ”，左边应添加的因式是
6. 已知21
21111)(n
n n n n f ++++++=
，则…………………………………………（ ） A. )(n f 中共有n 项，当2=n 时，3
1
21)2(+=
f ； B. )(n f 中共有1+n 项，当2=n 时，413121)2(++=
f ； C. )(n f 中共有n n -2
项，当2=n 时，3
121)2(+=
f ； D. )(n f 中共有12
+-n n 项，当2=n 时，4
13121)2(++=
f ； 7. 某个命题与自然数n 有关，如果当)(*
N k k n ∈=时，该命题成立，那么可措得1
+=k n 时命题也成立。

现在己知当5=n 时，该命题不成立，那么可推得…………………………（ ）
A. 当6=n 时该命题不成立；
B. 当6=n 时该命题成立；
C. 当4=n 时该命题不成立；
D. 当4=n 时该命题成立。

8. 用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，n
n
y x +能被y x +整除”，在第二步时，正确
的证法是………………………………………………………………………………………（ ）
A. 假设)(*
N k k n ∈=，证明1+=k n 时命题成立；
B. 假设)(是正奇数k k n =，证明1+=k n 时命题成立；
C. 假设)(12*
N k k n ∈+=，证明1+=k n 时命题成立； D. 假设)(是正整数k k n =，证明2+=k n 时命题成立；
9. 设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2
)(k k f ≥成立时，总可推出
2)1()1(+≥+k k f 成立那么，下列命题总成立的是……………………………（ ）
A. 若9)3(≥f 成立。

则当1≥k 时，均有2
)(k k f ≥成立 B. 若25)5(≥f 成立，则当5≤时，均有2)(k k f <成立 C. 若49)7(<f 成立，则当8≥k 时，均有2)(k k f ≥成立 D. 若25)4(=f 成立，则当4≥k 时，均有2)(k k f ≥成立
10. 用数学归纳法证明126422
++=+⋯+++n n n ，下面证法对吗？如果不对，错在哪里？ 证明：假设k n =时，等式成立，即126422
++=+⋯+++k k k ，那么当1+=k n 时，
1)2)(1(1)1(2)1()1(21)1(226422+++=++++=++++=+++⋯+++k k k k k k k k k k 1)1()1(]1)1)[(1(2++++=+++=k k k k 所以当1+=k n 等式也成立，由此可知，此等式对
n 为一切自然数都成立。

11. 用数学归纳法证明)()12(531*
2
N n n n ∈=-+⋯+++，下面证法对吗？如果不对，错
在哪里？
证明：（1）当1=n 时，左边=1，右边=1，所以等式成立。

（2）假设k n =时，等式成立，即
)()12(531*2N k k k ∈=-+⋯+++，那么当1+=k n 时，
=
++-+⋯+++)12()12(531k k 2)1(2
)
1()]12(1[+=+⨯++k k k 所以当1+=k n 时，等式
也成立。

由（1）、（2）可知，此等式对n 为一切自然数都成立。