第01讲 函数的定义域常见求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 Word版 含解析
必修一专题：定义域、值域解析式求法(经典题型全面)
专题：函数的定义域、值域、解析式的求法一、定义域 128)(2++=x x x f 43-)(2++=x x x f 143)(2+--=x x x x fx y 311l o g 7-= 抽象函数的定义问题1. 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数()12+x f 的定义域为2.已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，求函数()f x 的定义域3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是二、值域1、直接法：1y =+12+=x yy =2.二次函数223y x x =+- ()x R ∈ 223y x x =+-[1,2]x ∈242y x x =-++[1,1]x ∈-3.分离常数法：132x y x -=- 4.换元法：2y x =+0()f x =)2(log 221x y -=1x x y -+=三．解析式的求法1、配凑法23)1(2+-=+x x x f 221)1(xx x x f +=+ 2.换元法x x x f 2)1(+=+ 11)11(2-=+xx f 3.待定系数法例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。
例2：设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．4.赋值（式）法例1：已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。
(1)求)0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。
例2：已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ．5、构造方程组法1.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x2.设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ．。
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版函数是一个数学概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
函数解析式则用代数表达式的形式表示函数的输入和输出之间的关系。
定义域是函数中所有可能的输入值的集合，而值域是函数中所有可能的输出值的集合。
常见的函数解析式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面将逐个介绍这些函数解析式的定义域和值域的求法。
1. 线性函数：线性函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的定义域是实数集，即(-∞, +∞)，而值域也是实数集。
2. 二次函数：二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
对于一般的二次函数，定义域是实数集，即(-∞, +∞)。
值域则取决于二次函数的开口方向和开口点的位置。
-当a>0时，二次函数的开口向上，值域为[y0,+∞)，其中y0是二次函数的最小值。
-当a<0时，二次函数的开口向下，值域为(-∞,y0]，其中y0是二次函数的最大值。
3.指数函数：指数函数的一般形式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的常数。
指数函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a>1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a=1时，指数函数的值域为{1}。
4. 对数函数：对数函数的一般形式是y=log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数。
对数函数的定义域是正实数集，即(0, +∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
-当a>1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
5.三角函数：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于具体的三角函数类型。
-正弦函数的值域为[-1,1]。
-余弦函数的值域为[-1,1]。
函数的定义域和常见求解方法
函数的定义域和常见求解方法函数的定义域（domain）是指函数能够接受的实际输入值的集合。
换句话说，定义域是使函数有意义的所有可能的输入值的集合。
在数学中，函数一般表示为f(x)，其中x是函数的自变量，而f(x)则是自变量x所对应的函数值。
常见的函数定义域包括实数域（-∞,+∞），有理数集，整数集，自然数集，以及其他特定的定义域，如正数集，三角函数等。
在确定函数的定义域时，我们需要注意以下几点：1.分式函数的定义域：分式函数的定义域由分母不等于零的值所构成。
我们需要找出使分母不等于零的x的值，将这些值作为定义域的一部分。
2.平方根函数的定义域：平方根函数的定义域要求被开方数非负，即要求根号内的数大于等于零。
3.对数函数的定义域：对数函数的定义域要求底数大于零，并且对数函数的参数值必须大于零。
常见的函数求解方法包括图像法、方程法、函数变量代换法、函数性质法等。
1.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来找出函数的解。
我们将函数的图像与坐标系结合起来，寻找函数与x轴的交点，即函数的解。
2.方程法：方程法是通过将函数等式转化为方程的形式，然后通过解方程来找出函数的解。
在方程法中，我们可以使用各种方法来解方程，如因式分解法、配方法、根号消去法等。
3.函数变量代换法：函数变量代换法是通过引入新的变量来转化函数，从而简化函数的形式。
通过选择适当的变量代换，我们可以将原函数转化为更简单的函数，进而求解出函数的解。
4.函数性质法：函数性质法是通过利用函数的性质来求解函数的解。
例如，通过函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，我们可以得到函数的一些特殊解。
在实际问题中，常常需要综合运用以上多种方法来求解函数的解。
根据具体的函数形式和问题的要求，选择最合适的方法进行求解。
同时，在进行函数求解时，我们也需要注意函数定义域的范围，以保证求解出的函数解在定义域内有效。
函数的定义域和常见求解方法
函数的定义域和常见求解方法一、函数的定义域在一般的函数定义中，常见的定义域包括实数、有理数和整数等。
例如，函数$f(x)=\sqrt{x}$的定义域为非负实数集合即$[0,+\infty)$，因为负数的平方根是没有意义的。
又如，函数$g(x)=\dfrac{1}{x}$的定义域为除0以外的所有实数，即$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，因为0不能作为除数。
当给定一个复合函数时，可以通过多个函数的定义域的交集得到整个函数的定义域。
例如，对于函数$h(x)=\sqrt{\log(x)}$，先看到内层函数$\log(x)$的定义域是正实数，而外层函数$\sqrt{x}$的定义域是非负实数。
所以整个函数$h(x)$的定义域即正实数集合$[0,+\infty)$。
二、常见的求解方法1.方程求解法方程求解法是指通过解方程的方式求解函数的取值范围。
常见的方程求解法包括代数法和计算法。
代数法是通过对方程进行变形或利用数学性质来求解，而计算法是通过运算符和数值的计算来求解。
举例来说，对于函数$f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}$，要求函数的定义域，需要解方程$(x-3)^2\neq 0$。
通过解这个方程，可以得到$x \neq 3$，即函数的定义域为整个实数集合除去32.不等式求解法不等式求解法是通过对不等式进行变形或运算，得出函数的定义域。
常见的不等式求解法包括分段法和绝对值法。
对于分段函数，可以对每一段函数的定义域进行求解，然后将这些定义域的并集作为整个函数的定义域。
对于函数$f(x) = \sqrt{a-x}$，当$a>x$时，根式内部大于等于0，所以函数的定义域为$(-\infty, a]$。
3.图像法图像法是通过观察函数的图像来确定函数的定义域。
对于一元函数，可以通过绘制函数的图像来判断函数在何种区间内有定义。
例如，为了求解函数$f(x) = \sqrt{x^2-4}$的定义域，可以考虑到根式内部的取值不能小于0。
专题：函数定义域的求法及常见题型-(定稿)
专题一：函数定义域的求法及常见题型一、函数定义域求法（一）常规函数函数解析式确定且已知，求函数定义域。
其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。
例1.求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得或。
③由②解得或④③和④求交集得且或x>5。
故所求函数的定义域为（－∞，-11）U(-11,-3] U(5,+∞)。
注意点：分母、偶次方根被开方数，多条件求交集，定义域写法，仅可写成区间或集合形式，不能写成不等式。
例2.求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得③由②解得④由③和④求公共部分，得故函数的定义域为(-4,-π] U(0,π]。
提示点：③和④怎样求公共部分？（二）抽象函数1.有关概念定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围；对应法则：通过“工厂”或“模具”观点进行类比，以此深入理解函数()y f x=的对应法则“f”。
把函数()y f x=的对应法则“f”看作“工厂”或“模具”，把自变量“x”的取值看作“原料”，把相应函数值“y”看作“成品”。
该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对应法则。
如（1）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域。
可以把f(x)看成工厂的生产加工，f是加工工序，x是原料。
（1）中f(x)的原料就是初级产品，所以原料或初级产品满足的条件就是[0,4]；在f(2x+1)中，初级产品是2x+1，它必须满足[0,4]，由此求出f(2x+1)的原料x满足的条件（即自变量）。
因为(2）中f(2x+1)的定义域是[0,4]，即原料x满足[0,4]，变成初步产品2x+1,那么初步产品的限制条件就成了[1,9], 所以f(x)的原材料就是 [1,9]，这样好不好理解？值域：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区间；显函数：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；隐函数：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的；复合函数：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。
函数的定义域及常见求解方法
⑸已知 y f x 的定义域为 1,1 ，
求 F x f x2 3 f 2sin 2x 1
的定义域；
4、实际问题中的函数的定义域
_______除使解析式有意义外，还要保证
a 问题有实际意义。
例4：如图，在边长为
的正 ABC 的边
BC, CA, AB 上各取一点P、Q、R，使
y f x的 定义域指的是自变量 的x
取值范围，实质上是指被法则 f直接作 用的对象的取值范围。故要用集合表示.
（二）．常见函数定义域的类型及求解
1．基本函数的定义域________熟记（理解记忆） ２．合成函数的定义域： （１）定义：合成函数______由若干个基本函数通过
四则运算所形成的函数，其定义域为使得每一 部分都有意义的公共取值范围。 （２）求解：求解过程中坚持以下几个原则： （１）分式的分母不能为0； （2）偶次方根 内部必需非负 即大于等于零。
解法：解不等式 g x D1
例2：已知 y f x 的定义域 D1 1,2
。
，求 y f x2 2 的定义域D2
（Ⅱ）已知 y f g x 的定义域
，D求1 y f的x定 义域 。D2
解法：令 u g x, xD1，求函数
g x 的值域。
例3：已知 y f 2x 1 的定义域为 1,2
，求 y f x 的定义域。
练习：
⑴已知 y f x 的定义域为 1, 2
，求 f x2 2 的定义域；
⑵已知 y f x 的定义域为 ,0
，求
f
log
2
x2
2
的定义域；
⑶已知 y f x2 2x 3 的定义域为
高中数学根据函数定义域解题技巧整理
高中数学根据函数定义域解题技巧整理在高中数学中，函数的定义域是解题过程中一个非常重要的概念。
定义域指的是函数可以接受的输入值的范围，也就是使函数有意义的自变量的取值范围。
在解题过程中，我们需要根据函数的定义域来确定自变量的取值范围，从而解决问题。
本文将介绍一些根据函数定义域解题的技巧，并通过具体的题目进行说明。
一、分段函数的定义域确定对于分段函数，我们需要根据每个分段的定义域来确定整个函数的定义域。
例如，考虑函数$f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ 2x, & x \geq 0 \end{cases}$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。
对于第一个分段$x < 0$，函数$f(x)$的定义域为负无穷到0，即$(-\infty, 0)$。
对于第二个分段$x \geq 0$，函数$f(x)$的定义域为0到正无穷，即$(0, \infty)$。
因此，整个函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$。
二、有理函数的定义域确定有理函数是指由多项式函数相除得到的函数。
在确定有理函数的定义域时，我们需要注意分母不能为零。
例如，考虑函数$f(x) = \frac{1}{x-2}$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。
由于分母$x-2$不能为零，所以$x$不能等于2。
因此，函数$f(x)$的定义域为$x \neq 2$，即$(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$。
三、指数函数和对数函数的定义域确定对于指数函数和对数函数，我们需要注意底数和真数的取值范围。
例如，考虑函数$f(x) = 2^x$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。
由于指数函数的底数为正数，真数可以是任意实数，所以函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, \infty)$。
对于对数函数，底数必须大于0且不等于1，真数必须大于0。
求函数定义域(知识点+例题+习题)精编word版
求函数的定义域
1．常见函数的定义域和值域：
2．函数的定义域的求法
函数的定义域就是使得整个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合． （1）求定义域注意事项：★
①分式分母不为0； ②偶次根式的被开方数大于等于0；
③零次幂底数不为0； ④对数的真数大于0； ⑤tan x 中，{|,}2
x x k k π
π≠+
∈Z ； ⑥实际问题对自变量的限制；
⑦若函数由几个式子构成，定义域要满足各式都有意义（取交集）．
（2）抽象函数的定义域：
①定义域是x的取值范围★
②括号内范围等同★
练习题：
答案解析：
当0a ≠时，则2
40a a a >⎧⎨∆=-≤⎩
，得04a <≤成立 综上04a ≤≤． 答案：C
5
解析：由已知得1210x -<+<，解得1
12x -<<-
故函数(21)f x +的定义域为1
(1,)2
--．
答案：B
6
解析：21log 2x ≤≤，24x ∴≤≤
故()g x 满足2
224
24
x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得22x ≤≤．
答案：A
7
解析：由240x -≥得22x -≤≤，故(2)f x -括号内范围为[0,4] 则在()f x 中，04x ≤≤，得016x ≤≤． 答案：B
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【知识要点】
一、函数的定义域的定义
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.
二、求函数的定义域的主要依据
1、分式的分母不能为零.
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.
3、指数函数的底数必须满足.
4、对数函数的真数必须大于零，底数必须满足.
5、零次幂的底数不能为零，即中.
6、正切函数的定义域是.
7、复合函数的定义域的求法
（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.
（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据
求出函数的值域，即得原函数的定义域.
8、求函数的定义域
一般先分别求函数和函数的定义域和，再求，则
就是所求函数的定义域.
9、求实际问题中函数的定义域
不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义.
三、函数的定义域的表示
函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.
四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.
五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.
研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便.
【方法讲评】
【例1】求函数的定义域.
【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域.
【反馈检测1】求函数的定义域.
函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为
一般先分别求函数和的定义域再求就是函数【例2】求函数+的定义域.
【解析】由题得
所以函数的定义域为
【点评】（1）求函数的定义域，一般先求和函数
的定义域和，再求，则就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）
求的解集时，只需给参数赋几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真.
【例3】求函数的定义域.
【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.
【例4】求函数的定义域.
【解析】由题得
【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数的取值范围，一般要分类讨论.
【反馈检测2】求函数的定义域.
的定义域为
的定义域：只需解不等式
的定义域为
求原函数
的定义域：只需根据
求出函数
的值域，即得原函数
的定
【例5】求下列函数的定义域： （1）已知函数的定义域为
，求函数
的定义域； （2）已知函数的定义域为
，求函数
的定义域；
（3）已知函数
的定义域为
，求函数
的定义域.
【点评】（1）已知原函数
的定义域为
，求复合函数
的定义域：只需。