高二数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则测试题1
高中数学1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则同步测试新人教A版选修2-2
基本初等函数的导数公式典题探究例1、已知函数()6f x =，则'()f x =___________例2、已知函数6()f x x =，则'()f x =___________例3、已知函数()sin f x x =，则'()f x =___________例4、已知函数()cos f x x =，则'()f x =___________演练方阵A 档（巩固专练） 1．已知函数32()f x x =，则'()f x =___________2．已知函数21()f x x=，则'()f x =___________ 3．已知函数()f x x =，则'(4)f =___________4．已知函数()f x x =，则'()f x =___________5．已知函数()3x f x =，则'()f a =___________6．已知函数()cos f x x =，则'()f α=___________7．已知函数()2x f x =，则'()f x =___________8．已知函数()x f x e =，则'()f x =___________9．已知函数3()log f x x =，则'()f x =___________10．已知函数()ln f x x =，则'()f x =___________B 档（提升精练）1．已知函数()8f x =，则'(8)f =___________ 2．已知函数1()f x x=，则'()f x =___________ 3．已知函数()f x x =，则'()f x =___________4．已知函数8()f x x =，则'(6)f =___________5．已知函数()sin f x x =，则'()f α=___________6．已知函数()cos f x x =，则'()f α=___________7．已知函数()2x f x =，则'(0)f =__________ 8．已知函数()x f x e =，则'(1)f =___________9．已知函数()lg f x x =，则'()f x =___________10．已知函数()ln f x x =，则'()f e =___________C 档（跨越导练）1．已知函数2()f x x =，求()f x 在(1(1))f ,处切线方程的斜率为___________2．已知函数()f x x =，求()f x 在(4(4))f ,处切线方程的斜率为__________ 3．已知函数1()f x x=，求()f x 在(2(2))f ,处切线方程的斜率为___________ 4．已知函数()sin f x x =，求()f x 在(0(0))f ,处切线方程的斜率为___________5．已知函数()cos f x x =，求()f x 在(())22f ππ,处切线方程的斜率为___________ 6．已知函数2()2x f x =，求()f x 在(1(1))f --,处切线方程的斜率为___________7．已知函数()x f x e =，求()f x 在(1(1))f ,处切线方程的斜率为___________8．已知函数()lg f x x =，求()f x 在(10(10))f ,处切线方程的斜率为___________9．已知函数()ln f x x =，求()f x 在(1.5(1.5))f ,处切线方程的斜率为___________10．已知函数3()f x x =，求()f x 在(1(1))f ,处的切线方程为___________基本初等函数的导数公式答案典题探究例1．0例2．56x例3．cos x例4．sin x -演练方阵A 档（巩固专练） 1．1323x - 2．32x --3．144．15．ln33a ⋅6．sin α-7．ln 22x ⋅8．x e9．1ln 3x ⋅10．1xB 档（提升精练） 1．02．21x -3．1212x -4．786⨯5．cos α6．sin α-7．ln 28．e 9．1ln10x ⋅10．1eC 档（跨越导练） 1．22．143．14- 4．15．-16．ln 447．e8．110ln10⋅ 9．2310．32y x =-。
2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 答案
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1． 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x .2． 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(21)x ；(3)y ＝x ；(4)y ＝log x .3． 判断下列计算是否正确. 求y ＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下： y ′|3π=x ＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； 解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝23x ，∴y ′＝3221x ；(4)y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.4． 求函数f (x )＝13x 在x ＝1处的导数.5． 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大.解 设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图.由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x ，由题意知k AB ＝12.∴k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，∴y 0＝1.∴P (1,1).6．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离.解 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图.则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即0x x y ='＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1).利用点到直线的距离公式得距离为22. 7．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4； ②若y ＝3x ，则y ′＝133x ； ③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3. 其中正确的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4∴①③④正确.解 f ′(x )＝(13x )′＝(x 31-)′＝－13x 131--， ＝－13x 34-＝－133x 4， ∴f ′(1)＝－1331＝－13，。
人教版高二数学《基本初等函数的导数含答案解析》练习
5.2.1 基本初等函数的导数[A级 基础巩固]1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定解析：选B ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．2．曲线y＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A．1 B．2 C．e D.1 e解析：选A 由条件得y′＝e x，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1. 3．曲线y＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是( )A.π2B.π3C.π6D.π4解析：选D 由题意知，y′＝cos x，∴y′Error!＝cos 0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π)，∴α＝π4 .4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝5t，则质点在t＝4时的速度为( )A.12523 B.110523C.25523 D.110523解析：选B ∵s′＝15t45－.∴当t＝4时，s′＝15×1544＝110523.5．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2解析：选C ∵y＝ln x的导数y′＝1 x ，∴令1x＝12，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．代入直线y＝12x＋b，得b＝ln 2－1.6．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．解析：∵y′＝(ln x)′＝1x，∴y′|x＝e＝1e.∴切线方程为y－1＝1e(x－e)，即x－e y＝0.答案：1e x－e y＝07．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________．解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y′＝(ln x)′＝1x，∴1x＝2，解得x＝12.∴切点的坐标为(12，－ln 2).故切线方程为y＋ln 2＝2(x－12).即2x－y－1－ln 2＝0.答案：2x－y－1－ln 2＝08．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q2上的两点．过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝4－12＋1＝1，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝12，所以切点M(12，14)，与PQ平行的切线方程为：y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.[B级 综合运用]11．(多选)在曲线f(x)＝1x上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A．(1,1) B．(－1，－1) C.(12，2) D.(2，12)解析：选AB 因为f(x)＝1x，所以f′(x)＝－1x2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f′(x)＝－1x2＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，f(1)＝1；当x＝－1时，f(1)＝－1，则点的坐标为(1,1)或(－1，－1)．12．设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1·x2·…·x n的值为( )A. 1nB.1n＋1C.nn＋1D．1解析：选B 对y＝x n＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)x n. 令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得x n＝nn＋1，∴x1·x2·…·x n＝12×23×34×…×n－1n×nn＋1＝1n＋1，故选B.13．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．解析：∵y′＝12x，∴切线方程为y－a＝12a(x－a)，令x＝0，得y＝a2，令y＝0，得x＝－a，由题意知12·a2·a＝2，∴a＝4.答案：414．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P的坐标为(x0，x20)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)．将点B(3,5)代入上式，得5－x20＝2x0(3－x0)，即x20－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，∴x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.[C级 拓展探究]15．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．∵y′＝(a2x)′＝－a2x2.∴过点P的切线方程为y－y0＝－a2x20(x－x0)．令x＝0，得y＝2a2x0；令y＝0，得x＝2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12·|2a2x0|·|2x0|＝2a2.即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.。
课时作业21：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、选择题1．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1eC ．－eD ．e3．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523B.110523C.25523D.110523 二、填空题6．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________________． 7．已知f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝______.8．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4； (3)y ＝5x 3； (4)y ＝10x .10．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．参考答案1．【答案】B【解析】直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误；⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′|x ＝3＝－227， 所以③正确．2．【答案】D【解析】设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ，得0x x y ='＝0e x， ∴过切点的切线为y －0e x ＝0e x (x －x 0)，即y ＝0e x x ＋(1－x 0) 0e x ，又y ＝kx 是切线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，-k ＝e. 3．【答案】A【解析】∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 4．【答案】B【解析】y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．【答案】B【解析】s ′＝15t －45.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523. 6．【答案】x ＋2y －3－π6＝0 【解析】∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴6x y π='＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 7．【答案】4【解析】∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.8．【答案】2x【解析】∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .9．解：(1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(35x )′＝3525x -＝355x 2. (4)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.10．解：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝0x x y ='＝3x 20， 即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.。
人教A高中数学选修22提能达标过关：1.22 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一 含解析
第一章 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)提能达标过关一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x 2解析：若y ＝cos x ，则y ′＝－sin x ，∴A 错；若y ＝sin x ，则y ′＝cos x ，∴B 错；若y ＝1x ＝x －1，则y ′＝－1·x －2＝－1x 2，∴C 正确；若y ＝x ＝，则y ′＝12·＝12x ，∴D 错． 答案：C2．函数y ＝e x 在点(0,1)处的切线方程为( )A ．y ＝1e x ＋1B ．y ＝e x ＋1C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：∵y ′＝e x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即y ＝x ＋1，故选D.答案：D3．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线的倾斜角为α，∵y ′＝(sin x )′＝cos x ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝tan α.∵－1≤cos x 0≤1，∴－1≤tan α≤1.又∵0≤α＜π，∴0≤α≤π4或3π4≤α＜π.答案：A4．(2019·定州高三模拟)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cosx 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 12·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.答案：A5．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切，则k 的值为( )A ．eB ．－eC.1e D ．－1e 解析：∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x .设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0，y 0＝ln x 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，y 0＝1.∴k ＝1e . 答案：C二、填空题6．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________.解析：∵f (x )＝10x ，∴f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10.答案：10ln 107．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．解析：y ′＝1x ln 2，∴∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，令x ＝0，得y ＝－1ln 2，令y ＝0，得x ＝1，∴S ＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1ln 2＝12ln 2. 答案：12ln 28．(2019·寿光高二月考)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 018(x )＝________.解析：由已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x .答案：－sin x三、解答题9．(2019·泉州高二月考)已知两条曲线y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．理由如下：由于y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处切线的斜率分别为k 1＝y 1′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y 2′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．10．已知函数y ＝12x 2的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线为l ，若l 也为函数y ＝ln x (0<x <1)的图象的切线，求证：3<x 0<2.证明：函数y ＝12x 2的导数为y ′＝x ，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线的斜率为k ＝x 0， 切线方程为y －12x 02＝x 0(x －x 0)，设切线与y ＝ln x 相切的切点为(m ，ln m )，0<m <1，由y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，可得x 0＝1m ，切线方程为y －ln m ＝1m (x －m )，令x ＝0，可得y ＝ln m －1＝－12x 02，由0<m <1，可得x 0>1，由m＝1x0，可得12x02－ln x0－1＝0，令f(x)＝12x2－ln x－1，x>1，∴f′(x)＝x－1x>0，∴f(x)在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝1－ln 2>0，f(3)＝32－12ln 3－1＝12(1－ln 3)<0，则有12x02－ln x0－1＝0的根x0∈(3，2)．∴3<x0<2.。
原创1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）
掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数.
1.本课重点是掌握基本初等函数的导数公式及应用. 2.本课的难点是利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数与导数公式的简单应用.
基本初等函数的导数公式
9
27
此时公切线的斜率为k=2x1=64 .
27
综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，2674 ③. …………………………………………………………………12分
1.曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=( ) （A）1 （B）3 （C）2 （D）4 【解析】选B.∵y′=nxn-1,∴n×2n-1=12,可得n=3.所以选B.
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
（2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_n_x_n_-1_；
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=__c_o_sx_；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=__-_si_n_x_;
（5）若f(x)=ax，则f′(x)=_a_x_ln_a_(a>0)；
…………………………………………………………………4分
②当x=2 时，2x=3x2=4
3
3
.此时C1的切线方程为y-
4=
9
4(x-
3
)，2
3
而C2的切线方程为y- 8 = (4x- ).2显然两者不是同一条
27 3 3
切线，所以x= 2舍去.………………………………………6分
3
(2)当公切线切点不同时①，在曲线C1，C2上分别任取一点A
1 x；-23 1 1
选修2-2——基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1．2 导数的计算1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一), [学生用书P 11])1．问题导航(1)函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x 2，y ＝x 1的导数分别是什么？能否得出y ＝x n 的导数公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式分别是什么？如何应用这些公式？2．例题导读通过对P 14例1的学习，应注意以下两个问题： (1)用导数公式直接求函数的导数．(2)变化率的实际意义及利用导数知识解决实际问题的优越性．1．几个常用函数的导数(1)若y ＝f (x )＝c ，则f ′(x )＝0． (2)若y ＝f (x )＝x ，则f ′(x )＝1． (3)若y ＝f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ．(4)若y ＝f (x )＝1x ，则f ′(x )＝－1x2＝－x －2．(5)若y ＝f (x )＝x ，则f ′(x ).2．基本初等函数的导数公式(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝0．(2)若f (x )＝x α(α∈Q *)，则f ′(x )＝αx α－1． (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos_x ． (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin_x ． (5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝a x ln_a ． (6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ．(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a ．(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( )(2)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( )(3)若y ＝2x，则y ′＝x ·2x －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．余弦曲线y ＝cos x 在(0，1)处的切线的斜率为( ) A ．1 B ．0 C.π2D ．－1 答案：B3．若y ＝25，则y ′＝________． 答案：04．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α＝________． 答案：41．对常数函数导数的几何意义与物理意义的两点说明(1)常数函数的导数为0，其几何意义为f (x )＝c 在任意点处的切线平行于x 轴或与x 轴重合，其斜率为0.(2)若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．2．函数y ＝kx (k 为常数)的导数值k 与该函数增减快慢之间的关系(1)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．(2)函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．利用导数公式求函数的导数[学生用书P 12]求下列函数的导数： (1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝()x 35′＝35x －25＝355x2.(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 2－1＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (5)y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝－sin x .用公式求函数导数的方法：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝x 35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．1．(1)已知函数f (x )＝1x3，则f ′(－3)＝( )A ．81B ．243C ．－243D ．－127解析：选D.∵f (x )＝x －3，∴f ′(x )＝－3x －4＝－3x 4，∴f ′(－3)＝－3（－3）4＝－127. (2)已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________．解析：∵f (x )＝ln x (x >0)，∴f ′(x )＝1x，∴f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，∴x 0＝1. 答案：1导数的几何意义(1)求曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程． [解] ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率为e 0＝1， 又∵切线过点(0，1)，∴切线方程为y －1＝x －0， 即x －y ＋1＝0.(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解] 由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， 所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0， k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直， 必有cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．利用导数的几何意义解决曲线切线问题的方法：2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于________．解析：∵y ′＝－12x －32，∴切线的斜率k ＝－12a －32，∴切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12，令y ＝0，得x ＝3a ，∴三角形的面积S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.答案：64导数几何意义的综合应用[学生用书P 12](1)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A.1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1 [解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k ＝n ＋1， ∴在点(1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)，令y ＝0，则x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.[答案] B (2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．[解析] ∵ f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴ f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴ 切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵ 切线过点(2，7)，∴ 7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. [答案] 1利用导数的几何意义求解曲线的切线与坐标轴所围成的三角形的面积问题，切线与数列的交汇问题，公切线问题等，首先要熟记导数公式，对函数能够正确求导，再注意转化思想，数形结合思想及构造法、配方法的运用．3．已知直线x ＋2y －4＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线弧AOB ︵上求一点P ，使△ABP 的面积最大．解：如图所示，|AB |为定值，要使△P AB 面积最大，只要使P 到AB 的距离最大，所以点P 是抛物线的平行于AB 的切线的切点．设P (x ，y )，由图知，点P 在x 轴下方的图象上，所以y ＝－2x .由导函数的定义不难求得y ′＝－1x. 因为k AB ＝－12，所以－1x＝－12，即x ＝2，x ＝4.由y 2＝4x (y <0)，得y ＝－4，所以P (4，－4)．下列结论：①若y ＝3x ，则y ′＝133x ；②若y ＝x 3，则y ′＝3x 2；③若f (x )＝x 2，则f ′(3)＝9.其中正确的序号是________．[解析] y ＝3x ，y ′＝(3x )′＝()x 13′ ＝13x －23＝133x 2. ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，则f ′(3)＝2×3＝6. [答案] ② [错因与防范](1)求导时易出现的错误是解析式化简出错，符号处理不清，理解不到位，从而出错． (2)对用根式形式表示的函数要化商成指数式，能够化商后变为基本初等函数的函数求导问题是易错点．4．求下列函数的导数． (1)y ＝7x 3； (2)y ＝lg x ；(3)y ＝cos t (t 为常数)． 解：(1)∵y ＝7x 3＝x 37，∴y ′＝(7x 3)′＝(x 37)′＝37x －47＝377x 4.(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(cos t )′＝0.1．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝12，则下列α的值中满足条件的是( )A.π3B.π6C.23πD.56π 解析：选A.∵f (x )＝sin x ，∴f ′(x )＝cos x .又∵f ′(α)＝cos α＝12，∴α＝2k π±π3(k ∈Z )．当k ＝0时，α＝π3，故选A.2．(2015·广州高二检测)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝3x 的切线，则k 的值为( ) A.13B ．eln 3C ．log 3 eD ．e 解析：选B.设切点为(x 0，y 0)， 因为y ′＝3x ln 3， 所以k ＝3x 0ln 3， 所以y ＝3x 0ln 3·x ，又因为(x 0，y 0)在曲线y ＝3x 上， 所以3x 0ln 3·x 0＝3x 0，所以x 0＝1ln 3＝log 3 e.所以k ＝eln 3. 3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，且a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________．解析：在点(a k ，a 2k )处的切线方程为：y －a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，∴a k ＋1＝a k2，∵a 1＝16，∴a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：21[A.基础达标]1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1解析：选B.A 、D 显然正确；对于B ，y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x 3，不正确；对于C ，y ′＝(x )′＝12x －12＝12x.正确．2．曲线y ＝12x 2在点⎝⎛⎭⎫1，12处的切线的倾斜角为( ) A ．－π4 B ．1C.π4D.34π 解析：选C.y ′＝x ，∴切线的斜率k ＝tan α＝1，∴α＝π4.3．曲线y ＝x 过点(1，1)的切线方程为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝12x ＋12C ．y ＝－12x ＋32D ．y ＝x解析：选 B.∵y ′＝12x，∴在点(1，1)处的切线的斜率为12，由点斜式得过点(1，1)的切线方程为y ＝12x ＋12.4．下列结论中不正确的是( ) A ．若f (x )＝x 4，则f ′(2)＝32B ．若f (x )＝1x，则f ′(2)＝－22C ．若f (x )＝1x 2·x，则f ′(1)＝－52D ．若f (x )＝x －5，则f ′(－1)＝－5解析：选B.对于A ，∵f ′(x )＝4x 3，∴f ′(2)＝4×23＝32，正确；对于B ，∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32，∴f ′(2)＝－12×2－32＝－12×123＝－142＝－28，不正确；对于C ，∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 52′＝(x －52)′＝－52x －72，∴f ′(1)＝－52，正确；对于D ，∵f ′(x )＝－5x －6，∴f ′(－1)＝－5，正确． 5．曲线f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条解析：选C.f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＝1.解得切点坐标为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39.∴切线有2条． 6．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：法一：∵ y ＝x ＋ln x ，∴ y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴ 曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵ y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴ a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵ y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴ y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：87．质点的运动方程是s ＝1t4(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．则质点在t ＝3s 时的速度是________．解析：∵s ＝t －4，∴s ′＝－4t －5，∴质点在t ＝3 s 时的速度是(－4)×135＝－4243(m/s)．答案：－4243m/s8．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________． 解析：∵f (x )＝a 2(a 为常数)， ∴f ′(x )＝0.又∵g (x )＝ln x (x >0)，∴g ′(x )＝1x，∴2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，即2x －1x＝1，解之得x ＝1. 答案：19．(2015·长沙高二检测)求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．解：因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线斜率为f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32，所以所求直线的斜率为233，所求直线方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3.即y ＝233x －239π＋12.10．(2015·苏州高二检测)设曲线y ＝e x (x ≥0)在点M (t ，e t )处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S (t )，求S (t )的解析式．解：对y ＝e x 求导可得f ′(x )＝(e x )′＝e x ， 故切线l 在点M (t ，e t )处的斜率为f ′(t )＝e t ， 故切线l 的方程为y －e t ＝e t (x －t )． 即e t x －y ＋e t (1－t )＝0，令y ＝0可得x ＝t －1.令x ＝0可得y ＝e t (1－t )，所以S (t )＝12|(t －1)·e t (1－t )|＝⎪⎪⎪⎪－12（t －1）2e t ＝12(t －1)2e t .(t ≥0) [B.能力提升]1．曲线y ＝x n在x ＝2处的导数为12，则n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.∵y ′＝n ·x n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3. 2．(2015·北京高二检测)已知曲线y ＝x 3在点(2，8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝( )A ．4B ．－4C ．28D ．－28解析：选C.∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2， y ′|x ＝2＝12，∴在点(2，8)处的切线方程为y ＝12x －16， ∴k ＝12，b ＝－16. ∴k －b ＝28. 3．若质点P 的运动方程是s ＝3t 2(s 单位为m ，t 单位为s)，则质点P 在t ＝8时的瞬时速度是________．解析：∵s ′＝(3t 2)′＝(t 23)′＝23t －13，∴当t ＝8时，s ′＝23×8－13＝23×2－1＝13.∴质点P 在t ＝8时的瞬时速度为13m/s.答案：13m/s4．设直线l 1与曲线y ＝x 相切于点P ，直线l 2过点P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于点Q ，又作PK 垂直于x 轴于点K ，则KQ 的长为________．解析：如图所示，设P (x 0，y 0)，∵y ′＝12x ，∴kl 1＝12x 0.∵直线l 1与l 2垂直，则kl 2＝－2x 0，∴直线l 2的方程为y －y 0＝－2x 0(x －x 0)． ∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 上，∴y 0＝x 0.在直线l 2的方程中令y ＝0，则－x 0＝－2x 0(x －x 0)．∴x ＝12＋x 0，即x Q ＝12＋x 0.又x K ＝x 0，∴|KQ |＝x Q －x K ＝12＋x 0－x 0＝12.答案：125．(2015·淮南高二检测)已知 P (－1，1)，Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1，1)，Q (2，4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4， 过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)， 即：2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程：y －14＝x －12，即：4x －4y －1＝0.6.如图，已知曲线f (x )＝2x 2＋a (x ≥0)与曲线g (x )＝x (x ≥0)相切于点P ，且在点P 处有相同的切线l .求点P 的坐标及a 的值．解：设切点P (x 0，y 0)，由直线l 与曲线f (x )相切于点P ，得切线l 的斜率为f ′(x 0)＝4x 0， 由直线l 与曲线g (x )相切于点P ，得切线l 的斜率为g ′(x 0)＝12x 0，由f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得4x 0＝12x 0，解得x 0＝14.所以y 0＝x 0＝12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，12. 由点P ⎝⎛⎭⎫14，12在曲线f (x )上，得2×⎝⎛⎭⎫142＋a ＝12，解得a ＝38.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，12，a 的值为38.。
同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案
同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案1.函数$y=x^2$在点$x=1$处的导数是2.2.函数$f(x)=(2x+1)^2(4x-2x+1)$的导数是$24x^2-1$。
3.函数$f(x)=(x+2a)(x-a)^2$的导数为$f'(x)=2(x^2-a^2)+2(x-a)\cdot 2x=2(3x^2-2ax-a^2)$。
4.函数$f(x)=1+\sin x$，其导函数为$f'(x)=\cos x$，则$f'(\pi/3)=1/2$。
5.已知函数$f(x)=3x^2$，则$f'(3)=18$。
6.函数$f(x)=(2e^x)+\sin x$的导数是$f'(x)=2e^x+\cos x$。
7.已知$f(x)=\sin x+\cos x+\pi/2$，则$f'(\pi/2)=-1$。
8.已知函数$f(x)=2\sin x+\cos x$，则$f'(\pi)=-2$。
9.已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2$，则$f(x)=\frac{1}{2}x^2+C$，其中$C$为常数。
10.某物体的瞬时速度为0时，$t=2$。
11.已知函数$f(x)=ax^2+b$的图像开口向下，$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=4$，则$a=-2$。
12.已知函数$f(x)=x^4+ax^2-bx$，且$f'(-1)=-13$，$f'(-1)=-27$，则$a+b=-18$。
13.已知函数$f(x)=x\sin x+\cos x$，则$f'(\frac{\pi}{2})=-1$。
14.函数$f(x)=x\mathrm{e}^x$的导函数为$f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x$，所以$f'(x)>0$的解集为$(0,+\infty)$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选修2-21.2.2第1课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则
一、选择题
1．曲线y ＝13
x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．60° 2．设f (x )＝13x 2－1x x ，则f ′(1)等于( ) A ．－16 B.56 C ．－76 D.76
3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )
A ．4x －y －3＝0
B ．x ＋4y －5＝0
C ．4x －y ＋3＝0
D ．x ＋4y ＋3＝0
4．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )
A.193
B.163
C.103
D.133
5．已知物体的运动方程是s ＝14
t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒
6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A ．y ＝x －1
B ．y ＝－x －1
C ．y ＝2x －2
D ．y ＝－2x －2
7．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )
A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角
8．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭
⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( ) A.π2
2 B ．π2 C ．2π2 D.12
(2＋π)2 9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )
A ．sin x
B ．－sin x
C ．cos x
D ．－cos x
10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )
A ．f (x )＝g (x )
B ．f (x )－g (x )为常数
C ．f (x )＝g (x )＝0
D ．f (x )＋g (x )为常数 二、填空题
11．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________.
12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________．
13．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线的斜率为______．
14．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．
三、解答题
15．求下列函数的导数：
(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x
.
16．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
17．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．
18．求满足下列条件的函数f (x )：
(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；
(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.
1[答案] B
[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.
2[答案] B
3[答案] A
[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.
4[答案] B
[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，
∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163
. ∴选B.
5[答案] D
[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.
6[答案] A
[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．
由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.
7[答案] C
[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4
)<0，故倾斜角为钝角，选C. 8[答案] A
[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭
⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为 π2
2.
9[答案] D
[解析] f 0(x )＝sin x ，
f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，
f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，
f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，
f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，
∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.
10[答案] B
[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数． 11[答案] 0－1
[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知
⎩⎪⎨⎪⎧ －b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－1a ＝0. 12[答案] (－1,3)
[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3. 13[答案] －32
[解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，
∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3
＝－sin π3＝－32. 14[答案] f (x )＝－52x －12
e x ＋1 [解析] 由题意可知，
f ′(x )|x ＝－1＝－3，
∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，
∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12
e ， 故
f (x )＝－52x －12
e x ＋1. 15[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x
2， ∴y ′＝3x 2－2x
3；
(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14
cos x ， ∴y ′＝－14
sin x ； (4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x
－2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2
. 16[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为
若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，
即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
17[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．
对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①
对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)， 即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4. ②
∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，
解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.
∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.
18[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0) 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c 由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，
由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0。