朝阳2014高一下期末 (1)

北京市朝阳区2013—2014学年度高一年级第二学期期末统一考试数学学科试卷2014.7（考试时间100分钟 满分100分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．与角80-︒终边相同的角是A ．80︒B ．100︒C ．240︒D ．280︒ 2. 若角a 的终边经过点(1,2)P -，则sin a 等于A. 5-B.5C. 5D. 5- 3. 设x ∈R ，平面向量(1,1)x =-a ，(,2)x =b ，若a //b ，则x 的值为A.2或1-B. 2-或1C. 2D.234．若直线经过点A (1,0)，B ，则直线AB 的倾斜角的大小为 A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 5．已知数列{}n a 为等差数列，且39a =，53a =，则9a 等于A ．9-B ．6-C ．3-D ．27 6．如图，M 是△ABC 的边AB 的中点，若CM a =，CA b =， 则CB =A ．2a +bB ．2a b - （第6题图）C ．2a +bD ．2a b - 7. 已知α为锐角，且4cos()65απ+=，则cos α等于A.B.C.D.8. 函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)22ωϕππ>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是A.2,3π-B. 4,3πC. 4,6π-D. 2,6π-9.已知O 是ABC ∆内部一点，且3OA OB OC 0++=uu r uu u r uu u r ，6AB AC?uu u r uu u r， 60BAC?o ，则OBC ∆的面积为 A．5 B．5 CD．510. 已知数列{}n a 和{}n b ，满足1k k k a a b +=+， 1,2,3,k =.若存在正整数N ，使得1N a a =成立，则称数列{}n a 为N 阶“还原”数列.下列条件：①||1k b =；②||k b k =；③||2k k b =，可能．．使数列{}n a 为8阶“还原”数列的是 A ．① B ．①② C ． ② D ．②③ 二、填空题：本大题共6小题,每小题4分，共24分，答案写在答题卡上.11．如果1cos 2α=，且α为第四象限角，那么tan α= ． 12. 已知点P 在直线0x y +=上，且点P 到原点与到直线20x y +-=的距离相等，则点P 的坐标为_____.13. 已知平面向量a ，b 满足|a | = 3，|b | = 2，且a 与b 的夹角为60︒，则2+a b = . 14.已知数列}{n a 的前n 项和42()33n n S a n *=-∈N ，则1a = ，n a = .15.如图，在坡角为15︒(15CAD ∠=︒ )的山坡顶上有一个高度为50米的中国移 动信号塔BC ，在坡底A 处测得塔顶B 的仰角为45︒（45BAD ∠=︒），则 塔顶到水平面AD 的距离（BD ）约为________米.（结果保留整数，1.732≈)16. 设关于,x y 的不等式组2100y x a y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,,x 表示的平面区域为D .若在平面区域D 内存在点),(00y x P ，满足00345x y -=，则实数a 的取值范围是 __.三、解答题：本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分9分）设函数22()2sin sin cos cos f x x x x x =++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．18. （本小题满分9分）已知点(2,3)A ，(2,1)B --，直线MN 过原点，其中点M 在第一象限，MN ∥AB，且MN =AM 和直线BN 的交点C 在y 轴上.（I ）求直线MN 的方程；（II ）求点C 的坐标.19. （本小题满分9分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，.cos cos )2(C b B c a =- （I ）求角B 的大小；（II ）若b =a c +的最大值.20.（本小题满分9分）已知数列{}n a 满足1212a a ==，当2n ≥时，1114n n n a a a +-=-.（I ）设112n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设5n n n c a n-=，数列{}n c 的前n 项和为n S .是否存在整数M ，使得n S M ≤恒成立?若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案及评分标准2014.7一. 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 12.(1,1)-或(1,1)- 13.14.2， 212,n n -*∈N 15.68 16.5[,)7+∞ 三.解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解：（I ）22()2sin sin cos cos f x x x x x =++2sin sin cos +1x x x =+ 113sin 2cos 2222x x =-+π32).242x =-+（ 函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ………………………5分（II ）因为02x π≤≤，所以2444x ππ3π-≤-≤．当242x ππ-=，即8x 3π=时，()f x 有最大值，最大值为32+；当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 有最小值，最小值为1．…………9分 18. 解：（I ）由点(2,3)A ，(2,1)B --的坐标可求得直线AB 的斜率31122AB k +==+. 又因为MN ∥AB ，所以直线MN 的斜率1k =.则直线MN 的方程为y x =. ……………………………………4分（II ）设(,)M a a （0a >），(,)Nbb，由已知直线AM 和直线BN 的交点C 在y 轴上，则2,2a b ≠≠-.由MN ==2a b -=.直线AM 的方程为33(2)2a y x a --=--，令0x =，得(0,)2aC a -. 直线BN 的方程为11(2)2b y x b ++=++，令0x =，得(0,)2bC b +. 所以22a ba b =-+，化简得a b =-. 将其代入2a b -=，并且0a >，得1a =，1b =-. 则C 点坐标为(0,1)-. ……………………9分 19.解：（I ）因为(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=⋅.整理得A C B B C C B B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=⋅+=. 因为(0,)A ∈π， 所以sin 0A ≠.则1cos 2B =. 由(0,)B ∈π， 所以3B π=. …………4分 （II ）由余弦定理得： 2222cos b a c ac B =+-.将已知代入可得：2232cos3a c ac π=+-.因为2222()()3()3()24a c a c a c ac a c +++-≥+-⋅=，所以2()34a c +≥.则a c +≤，当且仅当a c ==a c +取得最大值为 ……9分20.解：（I ）因为1114n n n a a a +-=-，所以 11111()222n n n n a a a a +--=- 即 11(2,)2n n b b n n -=≥∈N 且1211124b a a =-=，2321128b a a =-=.故数列{}n b 是以14为首项，12为公比的等比数列. …………………3分（II ）由（Ⅰ）知，11111()()422n n n b -+=⨯=， 则1111()22n n n n b a a ++=-=.即 11221n n n n a a ++-=.故数列{}2nn a 是以121a =为首项，1为公差的等差数列；21(1)1n n a n n =+-⨯=，所以2n n na =. ……6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得 552n n n n n c a n --== 2343252222n n n S ----=++++，23411432522222n n n S +----=++++， 两式相减，有23411111152222222n n n n S +-=-+++++-，1111(1())1542212212n n n n S -+--=-+--， 即 332n n n S -=--.令32n n n d -=，则1231104d d d =-<=-<=，45116d d ==，当6n ≥时，1133214282n n n n n d n n d n ----==<--恒成立，即当6n ≥时，数列{}n d 是单调递减数列.所以 56780n d d d d d >>>>>> ，故有 1n d ≥-. 也即 2n S ≤-.又因为n S M ≤恒成立 所以2M ≥-.故存在最小整数2M =-，使得n S M ≤恒成立. ……………9分。