圆与圆的关系期末复习题
高中数学必修二 圆与圆的位置关系 答案解析版
4.2.2 圆与圆的位置关系（时间90分钟，满分120分）一、选择题（每小题5分，共50分）1.圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切【解析】圆C1的圆心是C1(-2,2),半径r1=1,圆C2的圆心是C2(2,5),半径r2=4,则圆心距|C1C2|=5.因为|C1C2|=r1+r2,所以两圆外切.【答案】D2.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离【解析】由已知,得C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,-2),r2=3,则d=|C1C2|=2,所以d=|r1-r2|.故两圆内切.【答案】C3.已知圆A与圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为（）A.6 cm或14 cmB.10 cmC.14 cmD.无解【解析】令圆A、圆B的半径分别为r1,r2,当两圆外切时,r1+r2=10,所以r2=10-r1=10-4=6;当两圆内切时,|r1-r2|=10,即|4-r2|=10,r2=14或r2=-6(舍),即圆B的半径为6 cm或14 cm.【答案】A4.已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C.【答案】C5.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.4【解析】两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(2,-5),则两圆的圆心距d又半径分别为r1=1,r2=4,则d>r1+r2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程为（）A.(x-4)2+(y+3)2=16B.(x+4)2+(y-3)2=36C.(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D.(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=36【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0).因为圆C与圆O相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.外离B.外切C.相交D.内切【解析】圆心距d =两圆半径的和为2+1=3, 两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C8.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（ ）A .2±B .2C .-2D .4±【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a ,又公共弦长为,所以=解得2a =±. 【答案】A9.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m 的最大值为（ ）A .7B .6C .5D .4【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B★10.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（ ）A.⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛ ⎝⎭⎝⎭UD.⎛ ⎝⎭【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a <<,所以a <<a << 【答案】C二、填空题（每小题5分，共20分）11.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=012.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m= .【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45=,解得m=81.【答案】8113.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为 .【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB的距离d == 故公共弦AB的长为AB ===14.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是 .【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切三、解答题（15-17每小题12分，18题14分，共50分）15.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,半径为2的圆的方程. 【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以222291422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得32a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以圆心C的坐标为3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,所求圆的方程为22342x y ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.16.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=. ① 若两圆外切,123=+=. ② 由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,211=-=. ③ 由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.17.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1. 设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2=, 化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥). ★（附加题）18.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r . 因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=, ①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。
圆与圆的位置关系同步作业2020-2021学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
十九圆与圆的位置关系(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知圆(x-7)2+(y+4)2=9与圆(x+5)2+(y-6)2=9关于直线l对称,则直线l的方程是 ( )A.5x+6y-11=0B.6x-5y-1=0C.6x+5y-11=0D.5x-6y+1=02.(多选题)若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,则m等于( )A.16B.7C.-4D.93.已知直线3x+4y+4=0与圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)相切,则圆M和圆N:(x-1)2+ (y-1)2=1的位置关系是( )A.相离B.外切C.相交D.内切4.已知圆C1:(x+1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,A,B分别是圆C1和圆C2上的动点,则|AB|的最大值为( )A.+4B.-4C.+4D.-4二、填空题(每小题5分,共10分)5.若圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:x2+y2+ax+by-7=0(a,b,r为常数),关于直线x-y+2=0对称,则a的值为,r的值为.6.已知两圆C1,C2和x轴正半轴,y轴正半轴及直线x+y=2都相切,则两圆圆心的距离|C1C2|= .三、解答题(每小题10分,共20分)7.若圆x2+y2=1与圆x2+y2+2x+2ay-6=0的公共弦的弦长为,求a.8.已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0.(1)求圆C1和圆C2的公共弦长.(2)过点C1的直线l交圆C2于A,B,且AB=,求直线l的方程.(15分钟·30分)1.(5分)已知圆C1:x2+y2-2mx+m2=4,圆C2:x2+y2+2x-2my=8-m2(m>3),则两圆的位置关系是( )A.相交B.内切C.外切D.相离2.(5分)过点P(2,3)向圆C:x2+y2=1上作两条切线PA,PB,则弦AB所在的直线方程为( )A.2x-3y-1=0B.2x+3y-1=0C.3x+2y-1=0D.3x-2y-1=03.(5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离4.(5分)已知两个圆C1,C2与两坐标轴都相切,且都过点(1,-2),则|C1C2|=.5.(10分)已知圆C:x2+y2-6x-6y+20=0.(1)过点(,1)的直线l被圆C截得的弦长为4,求直线l的方程.(2)已知圆M的圆心在直线y=-x上,且与圆C外切于点(,1),求圆M的方程.1.若点M,N在圆C1:x2+y2=1上运动,且|MN|=,点P(x0,y0)是圆C2:x2+y2-6x- 8y+24=0上一点,则|+|的取值范围为.2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+4)2+(y-2)2=20与y轴交于O,P两点,圆C2过O,P两点且与直线l1:y=-x相切.(1)求圆C2的方程.(2)若直线l2:y=kx与圆C1,圆C2非原点O的交点分别为点M,N.求证:以线段MN为直径的圆恒过点P.十九圆与圆的位置关系(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知圆(x-7)2+(y+4)2=9与圆(x+5)2+(y-6)2=9关于直线l对称,则直线l的方程是 ( )A.5x+6y-11=0B.6x-5y-1=0C.6x+5y-11=0D.5x-6y+1=0【解析】选B.根据题意,设圆(x-7)2+(y+4)2=9的圆心为M,圆(x+5)2+(y-6)2=9的圆心为N,则M为(7,-4),N为(-5,6),若圆(x-7)2+(y+4)2=9与圆(x+5)2+(y-6)2=9关于直线l对称,则直线l为MN的垂直平分线,又由M(7,-4),N(-5,6),则k MN==-,则k l=,MN的中点坐标为(1,1),则直线l的方程为y-1=(x-1),变形可得6x-5y-1=0.2.(多选题)若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,则m等于( )A.16B.7C.-4D.9【解析】选AC.圆C1的圆心为(1,0),半径为1;圆C2化为(x-4)2+(y+4)2=32-m,表示以(4,-4)为圆心,半径等于的圆;由题意,两个圆相内切时,两圆的圆心距等于半径之差的绝对值,可得5=|-1|,解得m=-4.两个圆相外切,两圆的圆心距等于半径之和,可得5=+1,解得m=16,综上,m的值为-4或16.3.已知直线3x+4y+4=0与圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)相切,则圆M和圆N:(x-1)2+ (y-1)2=1的位置关系是( )A.相离B.外切C.相交D.内切【解析】选C.圆M的标准方程为:(x-a)2+y2=a2(a>0),则圆心为(a,0),半径R=a,因为直线3x+4y+4=0与圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)相切,所以=a,解得a=2,则圆M的圆心为(2,0),半径R=2,圆N的圆心为N(1,1),半径r=1,则MN==,因为R+r=3,R-r=1,所以R-r<MN<R+r,即两个圆相交.4.已知圆C1:(x+1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,A,B分别是圆C1和圆C2上的动点,则|AB|的最大值为( )A.+4B.-4C.+4D.-4【解析】选 A.圆C1的圆心为(-1,-1),半径为1,圆C2的圆心为(3,4),半径为3,则圆心距为d==>1+3,所以两圆外离,所以圆C1和圆C2上的两点|AB|的最大值为d+r1+r2=+4.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:x2+y2+ax+by-7=0(a,b,r为常数),关于直线x-y+2=0对称,则a的值为,r的值为.【解析】因为圆O:x2+y2=r2(r>0),所以圆心为O(0,0),半径为r,又因为圆C:x2+y2+ax+by-7=0(a,b,r为常数),所以圆心为C,由题意可知,C与O(0,0)关于x-y+2=0对称,且两圆的半径相等.则解可得,a=4,b=-4,此时C:x2+y2+4x-4y-7=0的半径为,所以r=.答案:46.已知两圆C1,C2和x轴正半轴,y轴正半轴及直线x+y=2都相切,则两圆圆心的距离|C1C2|= .【解析】因为两圆C1,C2和x轴正半轴,y轴正半轴及直线x+y=2都相切,所以两圆圆心都在直线y=x上;设C1(a,a),则圆C1的方程为:(x-a)2+(y-a)2=a2;设C2(b,b),则圆C2的方程为:(x-b)2+(y-b)2=b2;因为两圆均与直线x+y-2=0相切;所以=a⇒(a-2)2=2⇒a=2±;令a=2-,则b=2+;所以两圆圆心的距离|C1C2|==4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)7.若圆x2+y2=1与圆x2+y2+2x+2ay-6=0的公共弦的弦长为,求a.【解析】两圆的公共弦所在直线的方程为:x2+y2-1-x2-y2-2x-2ay+6=0,化简得:2x+2ay-5=0,圆心(0,0)到直线2x+2ay-5=0的距离d=,又公共弦长的一半为,所以1=d2+,即1=+,解得a=±2.8.已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0.(1)求圆C1和圆C2的公共弦长.(2)过点C1的直线l交圆C2于A,B,且AB=,求直线l的方程.【解析】(1)两圆相减可得2x+y+1=0,圆C1的圆心为(-1,0),半径为1,圆心到直线的距离d=,所以圆C1和圆C2的公共弦长=2=.(2)圆C2的圆心为(1,1),半径为2,圆心到直线l的距离为=,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,所以=,所以k=1或,所以直线l的方程为y=x+1或y=(x+1).(15分钟·30分)1.(5分)已知圆C1:x2+y2-2mx+m2=4,圆C2:x2+y2+2x-2my=8-m2(m>3),则两圆的位置关系是( )A.相交B.内切C.外切D.相离【解析】选D.将两圆方程变形,得圆C1:(x-m)2+y2=4;圆C2:(x+1)2+(y-m)2=9,则圆心C1(m,0),C2(-1,m),半径r1=2,r2=3,两圆的圆心距C1C2= =>=5=2+3,则圆心距大于半径之和,故两圆相离.2.(5分)过点P(2,3)向圆C:x2+y2=1上作两条切线PA,PB,则弦AB所在的直线方程为( )A.2x-3y-1=0B.2x+3y-1=0C.3x+2y-1=0D.3x-2y-1=0【解析】选B.因为PC垂直平分AB,故弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2+y2=1的公共弦,而以PC为直径的圆的方程为(x-1)2+=.根据两圆的公共弦的求法,可得弦AB所在的直线方程为:(x-1)2+ --(x2+y2-1)=0,整理可得2x+3y-1=0.3.(5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】选B.由题意可得圆的标准方程为x2+(y-a)2=a2,圆心到直线的距离为:d=,根据弦长公式可得2 =2⇒a=2,故圆M的标准方程为x2+(y-2)2=22,|MN|=,故而可得2-1<|MN|<2+1,两圆相交.4.(5分)已知两个圆C1,C2与两坐标轴都相切,且都过点(1,-2),则|C1C2|=.【解析】两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(1,-2),则圆在第四象限内;设两个圆的圆心分别为(a,-a),(b,-b),由于两圆都过点(1,-2),则有=|a|,=|b|,所以a和b分别为(x-1)2+(x-2)2=x2的两个实数根,即a和b分别为x2-6x+5=0的两个实数根,所以a+b=6,ab=5,所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=16,所以两圆心的距离|C1C2|=·|a-b|=4.答案:45.(10分)已知圆C:x2+y2-6x-6y+20=0.(1)过点(,1)的直线l被圆C截得的弦长为4,求直线l的方程.(2)已知圆M的圆心在直线y=-x上,且与圆C外切于点(,1),求圆M的方程.【解析】(1)x2+y2-6x-6y+20=0可化为(x-3)2+(y-3)2=16,圆心C到直线l的距离为=2.当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=,符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-),即kx-y-k+1=0,所以=2,解得k=-.所以直线l的方程为x=或x+y-2=0.(2)设圆M的方程为(x-a)2+(y+a)2=r2,所以(a,-a),(,1),(3,3)三点共线,则=,即a=0.所以圆M的半径r==2.所以圆M的方程为x2+y2=4.1.若点M,N在圆C1:x2+y2=1上运动,且|MN|=,点P(x0,y0)是圆C2:x2+y2-6x- 8y+24=0上一点,则|+ |的取值范围为.【解析】设圆C1的半径为r,因为点M,N在圆C1:x2+y2=1上运动,且|MN|=,所以圆心C1到线段MN中点的距离为=,故线段MN的中点H在圆C3:x2+y2=上,而|+|=2||,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1.故|C2C3|--1≤|PH|≤|C2C3|++1,即≤|PH|≤故|+|=2||∈[7,13].答案:[7,13]2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+4)2+(y-2)2=20与y轴交于O,P两点,圆C2过O,P两点且与直线l1:y=-x相切.(1)求圆C2的方程.(2)若直线l2:y=kx与圆C1,圆C2非原点O的交点分别为点M,N.求证:以线段MN为直径的圆恒过点P.【解析】(1)令x=0,代入圆C1中可得y1=0,y2=4,可得:O(0,0),P(0,4),设圆C2的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心C2的坐标为,将点O,P代入可得:解得:F=0,E=-4,由题意可得OC2⊥l1,所以=2,可得D=-2,所以圆C2的方程为:x2+y2-2x-4y=0.(2)由题意可得 k≠-且k≠2,联立与圆C1的方程:整理得:(1+k2)x2+(8-4k)x=0,可得M,联立与圆C2的方程:整理得:(1+k2)x2-(2+4k)x=0,可得N ,因为k PM==-,k PN==,所以k PM·k PN=-1,即PM⊥PN,所以以线段MN为直径的圆恒过点P.。
圆和圆的位置关系练习题
圆和圆的位置关系练习题一、填空题1．如果两圆没有公切线，那么这两圆的位置关系是___________. 2．两圆半径分别是9和12,两圆的圆心距是26,则两圆的位置关系是_________.3．两圆的半径分别为3和2,当圆心距d满足l＜d＜5时，有________条分切线.4．两圆的半径比是5:3,外切时圆心距是32cm的,当两圆内切时,圆心距为________cm.5．若两圆的半径分别为2cm和7cm,圆心距为13cm,则两圆的一条外分切线的长是______cm.6、两圆的直径分别为3和4，这两个圆的圆心距是5，这两个圆最多可以有_______条公切线．7、两圆外离，半径分别为3和5，当一条内公切线与连心线所成的角为45°时，内公切线的长为_______；圆心距为_______·8、半径为16cm和10 cm的两圆外切，作这两圆的外公切线和内公切线，则夹在两条外公切线间的内公切线的长为_______．9、两圆的圆心距为13cm，两圆的半径分别为7cm和2cm，那么这两圆的一条外公切线的长为_______·10、已知：⊙O1和⊙O2外切，外公切线与连心线的夹角为，且半径分别为，，则α=_______度．二、选择题1．若半径为7和9的两圆相切，则这两圆的圆心距长一定为（）. （A）16 （B）2 （C）2或16 （D）以上答案都不对2．若两圆半径为7和5，圆心距为5，则两圆的分切线的条数是（）. （A）2条（B）3条（C）4条（D）5条3．若两圆既有外分切线，又有内公切线，半径为R和r，圆心距为d，则下面各式中一定正确的是（）.（A）d＜R+r （B）d≤R+r（C）d＞R+r （D）d≥R+r4．在下列四个命题中，正确的是（）.（A）两圆的外公切线的条数不小于它们的内公切线的条数（B）相切两圆共有三条公切线（C）无公共点的两圆必外离（D）两圆外公切线的长等于圆心距5．若⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1和⊙O2的半径分别为2和，公共弦长为2，∠O1AO2的度数为（）.（A）（B）或（C）或（D）6.命题:(1)两圆相切,连心线段过切点;(2)两圆相交公共弦一定不平分连结两圆心的线段;(3)两圆内切,过切点有一条内公切线,其中正确的个数是( ) （A）0个（B）1个（C）2个（D）3个7.如图47-1,两圆内切于A,过A作公切线,P为公切线上一点,PB切小圆于B,PC切大圆于C, 若∠APC=，∠PAB=，∠PCB为（）. （A）（B）（C）（D）三、解答题1、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过A的直线交两圆于C，D两点，G为CD的中点，BG及其延长线交⊙O1，⊙O2于E、F两点，连结DF，CE、求证：DF=CE．2、如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B，PE为⊙O1的直径．PA延长线交⊙O2于C，PB交⊙O2于D，CD延长线交PE于F．求证：CF⊥PE3．已知：如图47-2，⊙O1、⊙O2相交于A、B、PE切⊙O1于P，PA、PB交⊙O2于C、D.求证:CD∥PE.4．已知：如图47-3，⊙O1与⊙O2相交于A、B，若两圆半径分别为17和10，，求AB的长.5．已知：如图47-4，⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，BC切⊙O2于C，过点O1作直线AB交BC于B.求证：AB⊥BC..6.已知:如图47-5, ⊙O1与⊙O2内切于点,T, ⊙O1的弦TA、TB交⊙O2于点C和D,若DC=5,,求AB的长.7.已知:如图47-6, ⊙O1、⊙O2相交于A、B两点,直线PQ分别与这两个圆相切于P、Q,直线TD与⊙O2切于T,和⊙O1相交于点M和D,且点M是线段TD的中点,直线AB分别与直线PQ和TD相交于点S和C,求和8.已知:如图47-7, ⊙O1与⊙O2外切于点P,直线AB是两圆外公线切线,A、B 是切点，PA+PB=14（PB＞PA），S△PAB=24，E为PB一上动点，设BE=x，S△PCE=y，且S△PCE不大于S△PAB，求y与x的函数关系式，并求x的取值范围.。
圆的单元—整理与复习(2)
六（）班姓名：（）书写：（）等级：（）第五单元—圆（14）一．想一想，填一填。
1. 圆的周长与直径的比值是（）。
如果将圆形纸片沿对称轴这一次，折痕是圆的（）；如果对折两次，折痕的交点是（）；如果对折多次，你会发现：（）2.体育课上，同学们围成一个圆圈做游戏，老师站在圆心。
已知这个圆圈的周长是18.84，则每个同学与老师的距离是（）m。
计算：3.大圆和小圆的面积比是4:1，大圆和小圆的半径比是（），周长比是（）4.一个钟面的分针长5cm，从7时到11时，分针的针尖走（）cm，钟面的时针长8cm，一昼夜时针尖端走（）cm。
计算1：5.如图，两个圆的半径都是4cm，涂色部分的面积之和是（）cm2.计算：6.校园修建一个直径为14m的圆形喷水池，这个喷水池的占地（）m2，喷水池周围有一圈宽2m的草坪，草坪的面积是（）m2.7.将半径为4cm的圆形纸片剪成两个半圆，每个半圆的周长是（）cm。
8.右图中，正方形的面积是16cm2，圆的面积是（）cm2.9.把圆沿着半径分成若干等份，然后拼成一个近似的长方形，周长增加了10cm，这个圆的半径是（）cm，面积是（）cm2.拼成的长方形图：长方形周长：增加的长度是10.一个圆的周长是6.28cm，以它的一条直径作为底边，在圆内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是（）cm2。
图：计算：11.英国著名的大本钟分针长度大约是4.3m，从12：00到12：40分针针尖所走过的路程大约是（）m（得数保留整数）计算：二．观察并按要求作答。
（代入公式用递等式计算）三．解决问题。
（代入公式用递等式计算）1.杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是40cm，从起点到终点，车轮刚好砖了40圈，车轮走过的钢丝长度是多少米？2.王爷爷用51.4m长的篱笆围成一个半圆形的菜园，今年王爷爷想扩大菜园面积，就把菜园半径增加了2m，则菜园的面积增加了多少平方米？3.某小学的操场如下图所示。
现在要给操场铺上一层草皮，李师傅为了测量出操场周长，绕操场跑了两圈，一共跑了674m。
圆与圆的位置关系习题
§27.5（2）圆和圆的位置关系一、选择题：1．已知两圆的半径之和为12 cm，半径之差为4 cm，圆心距为4 cm，则两圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切2．已知半径为1厘米的两圆相外切，半径为2厘米且和这两个圆都相切的圆共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：o o的长是15cm ，那么⊙O2的半径等于3．⊙O1与⊙O2 外切，若⊙O1半径是7cm，线段12cm.o o的长是4cm ，则⊙O2的半径等于4．若⊙O1与⊙O2 内切，若⊙O1半径是7cm，线段12cm.5．半径为3与5的两个圆相切，那么这两个圆圆心之间的距离是6．若两圆的半径分别为5cm和8cm，圆心距为12cm，则这两个圆的位置关系是. 7．若两圆内切时，圆心距是3，两圆外切时，圆心距为5，则这两个圆的半径分别是. 8．两圆半径之比是4：7，内切时圆心距是6，若两圆的圆心距是24，这两个圆的位置关系是.三、解答题：O O=4cm，若⊙O2的半径长是7cm，求⊙O1的半径长. 9．已知⊙O1与⊙O2 相切，1210．如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN= 30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒？11．已知A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处,以每小时千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域.（1）问A城是否受这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多少？。
圆与圆的关系
圆与圆的位置关系考点一设R、r为两圆的半径，d为圆心距．(1)两圆外离⇔d>R＋r；(2)两圆外切⇔d＝R＋r；(3) 两圆内切⇔d＝R－r(R>r)；(4) 两圆相交⇔R－r<d<R＋r(R≥r)；(5)两圆内含⇔d<R－r(R>r)．(注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆)考点二1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；(2)和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．2．三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．考点三1．相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹的角．(注：平分两外公切线所夹的角，通过角平分线判定“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”，很容易证明．)2．相切两圆的连心线必经过切点．3．两不等圆相离时，两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线的夹角．(1)(2010·成都)已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是()A．相交B．相切C．外离D．内含(2)(2010·芜湖)若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为________．(3)(2009·荆门)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.则△ABC的内切圆半径r ＝________.例1(3)题例1(4)题例二图(4)(2010·益阳)如图，分别以A、B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C、D两点，则∠CAD的度数为________．(2010·十堰)如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C.(1)求证：O2C⊥O1O2；(2)证明：AB·BC＝2O2B·BO1；圆与圆的关系经典练习一、选择题1．两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．外离2．已知两圆的半径分别是3和2，圆心的坐标分别是(0,2)和(0，－4)，那么两圆的位置关系是()A．内含B．相交C．相切D．外离3．已知相互内含的两圆半径为6和2，则两圆的圆心距可能是()A．8 B．4 C．2 D．54．已知两圆的半径R、r分别为方程x2－5x＋6＝0的两根，两圆的圆心距为1，则两圆的位置关系是()A．外离B．内切C．相交D．外切7图8图5．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点．若两圆的半径分别为3 cm和5 cm，则AB的长为________cm.()A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm6．已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是()A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含7．如图，在7×4的方格(每个方格的边长为1个单位长)中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后，⊙A与静止的⊙B的位置关系是() A．内含B．内切C．相交D．外切8．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP.若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长为()A．3 B．4 C．6 D．99图9．如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3两两相外切，⊙O1的半径r1＝1，⊙O2的半径r2＝2，⊙O3的半径r3＝3，则△O1O2O3是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形10．若⊙O和⊙O′相切，它们的半径分别为5 cm和3 cm，则圆心距OO′为() A．8 cm B．2 cmC．8 cm或2 cm D．以上答案都不对11．如果等边三角形的边长为a，那么它的内切圆半径为()A.a2 B.36a C.33a D.32a12.正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心、AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为()A.43 B.34 C.45 D.35二、填空题13．若两圆相外切，圆心距为8，其中一个圆的半径为3，则另一个圆的半径是________．14．如图在8×6的网格图(每个小正方形的边长均为1个单位长度)中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B由图示位置向左平移________个单位长度．15．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a,0)，半径为5.如果两圆内含，那么a的取值范围是________．16图16．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠A＝50°，则∠BOC为________度．17．在直角坐标系中，⊙O的圆心在原点处，半径为3，⊙A的圆心A的坐标为(－3，1)，半径为1，那么⊙O与⊙A的位置关系是________．三、解答题18．(10分)已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10 cm，其中⊙A的半径为4 cm，求⊙B的半径．19．(10分)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB、OD为直径作⊙O1、⊙O2.(1)求⊙O1的半径；(2)求图中阴影部分的面积．圆与圆的关系经典练习例一答案【解答】(1)∵6－4<7<6＋4，∴两圆相交，故选A.(2)由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为d＝R－r，即|10－r|＝7，∴r＝3或17.(3)直角三角形内切圆的半径r＝a＋b－c2＝6＋8－102＝2.(4)连结BC、BD，得△ACB和△ADB为等边三角形，∴∠CAD＝∠CAB＋∠DAB＝60°＋60°＝120°.例二答案【解答】(1)∵AO1是⊙O2的切线，∴O1A⊥AO2，∠O2AB＋∠BAO1＝90°.又O2A＝O2C，O1A＝O1B，∴∠O2CB＝∠O2AB，∠O2BC＝∠ABO1＝∠BAO1.∴∠O2CB＋∠O2BC＝∠O2AB＋∠BAO1＝90°，∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2.(2)如图，延长O2O1交⊙O1于点D，连结AD.∵BD是⊙O1的直径，∴∠BAD＝90°.又由(1)可知∠BO2C＝90°，∴∠BAD＝∠BO2C.又∠ABD＝∠O2BC，∴△O2BC∽△ABD，∴O2BAB＝BCBD，∴AB·BC＝O2B·BD，又BD＝2BO1，∴AB·BC＝2O2B·BO1.1-10 BDCBD ADCBCBD8、【解析】连结PC，则PC⊥AB，过O作OE⊥AB于E，则四边形OECP是矩形，∴OE ＝PC，又S阴影＝S⊙O－S⊙P＝π·OA2－π·PC2＝π(OA2－OE2)＝π·AE2＝9π，∴AE＝3，∴AB＝2AE＝6.12、【解析】设⊙A半径为R，⊙E半径为r，则AE＝R＋r，AB＝R，BE＝R－r，在Rt△ABE 中，根据勾股定理得AE2＝AB2＋BE2，即(R＋r)2＝R2＋(R－r)2，∴R＝4r，∴sin∠EAB＝BEAE＝4r－r4r＋r＝35.13、【解析】由题意知，d＝R＋r，则R＝d－r＝8－3＝5.14、4和615、【解析】∵|a－0|<5－3，∴－2<a<2.16、【解析】∵内心O是△ABC三角角平分线的交点，∴OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠17、【解析】数形结合法，OA ＝(3)2＋12＝2，又R －r ＝3－1＝2.即圆心距等于两圆半径之差，∴两圆内切．BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－12(180°－∠A)＝180°－12(180°－50°)＝115°.18、解：设⊙B 半径为R.(1)如果两圆外切，那么d ＝10＝4＋R ，R ＝6.(2)如果两圆内切，那么d ＝|R －4|＝10，R ＝－6(舍去)，R ＝14.故：综上所述⊙B 的半径为6 cm 或14 cm.19、解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∴BD ＝42＋42＝4 2.∴OO 1＝14BD ＝14×42＝2，∴⊙O 1的半径为 2.(2)设⊙O 1与AB 交于点E ，连结O 1E.∵BD 为正方形ABCD 的对角线，∴∠ABO ＝45°.∵O 1E ＝O 1B ，∴∠BEO 1＝∠EBO 1＝45°，∴∠BO 1E ＝90°.∴S 阴影＝4(S 扇形O 1BE －S △O 1BE)＝ 4[90360×π·(2)2－12·(2)2]＝2π－4.。
2020高考数学复习专题59 圆与圆的位置关系(解析版)
专题59圆与圆的位置关系专题知识梳理1．如果两圆的半径分别为R，r(R>r)，两圆心之间的距离为d，则两圆相离⇔d>R＋r；外切⇔__d＝R＋r；相交⇔__R－r<d<R＋r__；内切⇔__d＝R－r；内含⇔__d<R－r__．2．两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．3．当两圆相交时，将两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．考点探究考向1圆与圆的位置关系【例】已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【解析】因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m，得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m－11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.故两圆的公共弦的长为27.题组训练1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是____．【解析】设(,)M x y ，∵点M 满足MA 2＋MO 2＝10，∴2222(2)10x y x y +-++=，解得22(1)4x y +-=，又点M 在圆C 上，等价于两圆有交点，∴221(3)9a a ≤+-≤，解得03a ≤≤．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是．【解析】设圆C 的半径是r ，圆心坐标为(),0C a ，由题意得2222121,9r CC r CC =+=+，所以22128CC CC =+，解得0a =，从而得281r =，故圆C 的方程为2281x y +=.3.已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是____．【解析】CO ＝42＋（－3）2＝5.若圆C 与圆O 外切，则r c ＋1＝5，所以r c ＝4.若圆C 与圆O 内切，因为点C 在圆O 外，所以r c －1＝5，所以r c ＝6.故圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.4.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝____．【解析】方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4相减得2ay ＝2，则y ＝1a .由已知条件知22－（3）2＝1a，即a ＝1.5.求经过两圆(x ＋3)2＋y 2＝13和x 2＋(y ＋3)2＝37的交点，且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．【解析】因为所求的圆经过两圆(x ＋3)2＋y 2＝13和x 2＋(y ＋3)2＝37的交点，所以设所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2－13＋λ(x 2＋(y ＋3)2－37)＝0展开、配方、整理，得(x ＋31＋λ)2＋(y ＋3λ1＋λ)2＝4＋28λ1＋λ＋9（1＋λ2）（1＋λ）2圆心为(－31＋λ，－3λ1＋λ)，代入方程x －y －4＝0，得λ＝－7，故所求圆的方程为(x ＋12)2＋(y ＋72)2＝892.6.已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2的坐标为(2，1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且AB ＝22，求圆O 2的方程．【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1，圆O 2的半径为r 2.∵两圆外切，∴O 1O 2＝r 1＋r 2，∴r 2＝O 1O 2－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2，将两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22.∵圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0.作O 1H ⊥AB 于点H ，则AH ＝12AB ＝2，O 1H ＝2，由圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离|r 22－12|42＝2，得r 22＝4或20，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.考向2圆的综合应用【例】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．【解析】圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2，所以25＝（m ＋5）22＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．∵A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，2＝x 1＋2－t ，2＝y 1＋4.①∵点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.②将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，∴5－5≤[t ＋4－6]2＋3－72≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.题组训练1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4及点A (－1，0)，B (1，2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【解析】(1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2，0)，半径为2.因为l ∥AB ，A (－1，0)，B (1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋(MN 2)2，所以4＝（2＋m ）22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.2.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：22(1)(4)1(0)x a y a a -+++-=>，点N 为圆M 由任意一点.若以Ｎ为圆心，ＯＮ为半径的圆与圆至多有一个公共点，求a 的最小值.【解析】∵圆M ：22(1)(4)1(0)x a y a a -+++-=>的圆心为(1,4)a a --，点N 为圆M 由任意一点.若以Ｎ为圆心，ＯＮ为半径的圆与圆至多有一个公共点，∴2ON ≥，又∵ON 的最小值为1OM -，∴3OM ≥3≥，即2540a a -+≥，解得4a ≥或01a <≤.3.（2018苏北四市一模）在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是．【解析】设圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上一点(,)P a b ，关于直线0x y -=的对称点为(,)Q b a ．则得22222(1),(2)(1)1,a b r b a ⎧+-=⎨-+-=⎩解得2223r a b =+-，又∵22(2)(1)1b a -+-=，∴动直线22230a b r +--=与22(2)(1)1b a -+-=有交点，即得1≤，解得233r -≤≤+11r -≤≤．4.已知圆22:2440C x y x y +-+-=，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.【解析】假设存在直线l ：y x b =+满足题意，并设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入圆C 中，22()24()40x x b x x b ++-++-=，化简得222(22)440x b x b b ++++-=，∵以弦AB 为直径的圆过原点，∴OA OB ⊥，即12120x x y y +=，又∵212442b b x x +-=，121x x b +=--，∴2212121224()2b b y y x x b x x b +-=+++=，∴2221212442434022b b b b x x y y b b +-+-+=+=+-=，解得1b =或4b =-.∴满足条件的直线方程为1y x =+或4y x =-.。
圆与圆的位置关系(含答案)
圆与圆的位置关系班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．已知0<r<2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内含2．若两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是() A．(－2,39) B．(0,81) C．(0,79) D．(－1,79)3．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有() A．2条B．3条C．4条D．0条4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是() A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝95．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系式是() A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝06．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}且A∩B＝B，则a的取值范围是() A．a≤1 B．a≥5 C．1≤a≤5 D．a≤57．两圆相交于A(1，3)和B(m，－1)两点，且两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是() A．－1 B．2 C．3 D．08．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，且过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为()A．y2－2x＋2y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋8＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－4x＋4y＋8＝0二、填空题9．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.10．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．11．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．12．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是__________．三、解答题13．a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)外切；(2)内切．14．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．15．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．（选做题）16．如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝2PN．试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程．答案 1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．D 7．C 8．C9．±110．3或711．412．913．解 将两圆方程写成标准方程，得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －a )2＝4.设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5.(1)当d ＝3＋2＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a ＝－5或2.(2)当d ＝3－2＝1，即2a 2＋6a ＋5＝1时，两圆内切，此时a ＝－1或－2.14．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4.如图，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5.15．解 设圆B 的半径为r ，因为圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，所以圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.①因为圆A 的方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，②所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③因为圆B 平分圆A 的周长，所以圆A 的圆心(－1，－1)必须在公共弦上，于是将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215， 所以当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215. 16.以O 1O 2所在直线为x 轴，O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则O 1(－2，0)，O 2(2，0)．设动点P(x ，y)．由题意得|PM|2＝|O 1P|2－|O 1M|2＝(x ＋2)2＋y 2－1．同理，可得|PN|2＝(x －2)2＋y 2－1．∵|PM|＝2|PN|，∴|PM|2＝2|PN|2．∴(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即x 2＋y 2－12x ＋3＝0．∴动点P 的轨迹方程是x 2＋y 2－12x ＋3＝0．。
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圆与圆的关系期末复习题
2011年______月______日班级______ ____姓名___________
圆与圆的位置关系
名称公共点两圆位置圆心距与半径的关系
外离
外切
相交
内切
内含
【知识点一：圆与圆位置关系判定】
1.两圆有多种位置关系，图中没有显现的位置关系是__________ __ .
2．若⊙O1与⊙O2的半径分不为4和9，按照下列给出的圆心距d的大小，写出对应的两圆的位置关系：(1)当d=4时，两圆__ ;
(2)当d=10时，两圆_ ;
(3)当d=5时，两圆_____; (4)当d=13时，两圆____; (5)当d=14时，两圆____.
3．（2009年赤峰市）若两圆的直径分不是2cm和10cm，圆心距为8cm，则这两个圆的位置关系是（）A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
4．（2010江苏泰州）如图在6
8⨯的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B由图示位置向左平移个单位长度．
5. （2009年宁波市）如图，A
⊙的圆心A.B在直线l上，两
⊙.B
圆的半径都为1cm，开始时圆心距4cm
⊙同时沿直线l以
AB=，现A
⊙.B
每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，A
⊙运动的时刻为秒．
【知识点二：补充定理】
（1）圆的公共弦：
（2）圆的公切线：
（3）圆的连心线：
6．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1的弦BC交于⊙O2点D，过点A的直线分不交⊙O1和⊙O2于点E、F．试判定直线CE与直线DF的位置关系，并讲明你的理由．
【综合运用提升】
1.（12分）如图：点A,B在直线MN上，AB=11㎝，圆Ａ，圆B 的半径为１厘米．圆Ａ以每秒２㎝的速度自左向右运动，与此同时，圆Ｂ的半径也持续增大，其半径r（㎝）与时刻t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥０).
(1)试写出点Ａ，Ｂ之间的距离d(㎝)与时刻t(秒)之间的函数表达式；
(2)咨询:点A动身后多少秒两圆相切？
2．(6分)如图11所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，
∠A＝90°，∠C＝60°，AD＝3 cm，BC＝9 cm．⊙O1的圆心O1
从点A开始沿折线A—D—C以1 cm／s的速度向点C运动，⊙O2
的圆心O2从点B开始沿BA边以3cm／s的速度向点A运动，⊙O1半径为2 cm，⊙O2的半径为4 cm，若O1、O2分不从点A、
点B同时动身，运动的时刻为t s．
(1) 要求出⊙O2与腰CD相切时t的值；
(2) 在0＜t ≤3s范畴内，当t为何值时，⊙O1与⊙O2外切?
3.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分不从A、C同时动身，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时刻t（秒）（1）t为何值时，四边形APQD为矩形.
（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径差不多上2cm，那么t
为何值时，⊙P和⊙Q外切？
4、已知A点坐标为（0,3），⊙A的半径为1，点B在x轴上，若⊙B过点M（2,0），且与⊙A相切。
求点B的坐标。