点与圆的位置关系练习题

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点与圆的位置关系精选题37道

点与圆的位置关系精选题37道一．选择题（共11小题）1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2C．D．2．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1B．+C．2+1D．2﹣3．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．84．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（）A．3B．C．D．45．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F6．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．37．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（）A．B．C．D．8．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定10．如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连接CE，BE，则CE2+BE2的最大值是（）A．4B．5C．6D．4+11．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）二．填空题（共16小题）12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．14．如图，圆O的半径为3，点A在圆O上运动，ABCD为矩形，AC与BD交于点M，MO ＝5，则AB2+AD2的最小值为．15．点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O 的半径是．16．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP 于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，则△AOP面积的最大值为．18．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连接BE，则线段BE长度的最小值为．21．如图，直角△ABC的直角顶点C，另一顶点A及斜边AB的中点D都在⊙O上，已知：AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为．22．我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是．23．如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是．24．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为．25．已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是．26．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，以A为圆心，2为半径作⊙A，交对角线AC于点E，点F为⊙A上一动点，连接CF，点G为CF中点，连接BG，取BG中点H，连接AH，则AH的最大值为．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，以顶点D为圆心作半径为r的圆．若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．三．解答题（共10小题）28．如图，已知直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），（1）写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：（，）；（2）判断点D（5，﹣2）与圆M的位置关系．29．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为；（3）若DM＝2，判断点D与⊙M的位置关系．30．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形边长为1）（1）请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标；⊙P的半径为（结果保留根号）；（2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系．31．阅读下列材料：平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为|P1P2|＝，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为＝r，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：；（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系．32．如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点．（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为；．（2）根据（1）中的条件填空：①圆D的半径＝（结果保留根号）；②点（7，0）在圆D（填“上”、“内”或“外”）；③∠ADC的度数为．33．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E．（1）求DE的长；（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．34．已知AB为⊙O的直径，点C位于AB上方的半圆上，点E在AB上且AE＝AC，过点C作CD⊥AB于点D．（1）如图所示，当点D与点O重合时，求tan∠DCE．（2）在（1）的条件下，延长CE交于⊙O点F，若OE＝6，求△BEF与△ACE的面积之比．（3）以DE为边在⊙O内构造正方形DEPM，点M在直线CD上，连接AM并延长交⊙O于点N，试猜想PN与PE的数量关系，并说明理由．35．如图，⊙O与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，M（﹣4，3）在⊙O 上．（1）求⊙O的半径长及△AMB的面积；（2）已知N（0，t），且以O、M、N为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出t的取值范围．36．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC 于点D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE．（1）求证：PD＝CE；（2）求证：点P、D、C、E在同一个圆上．37．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为；点（6，﹣2）在⊙D （填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为．点与圆的位置关系精选题37道参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2C．D．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故选：B．【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．2．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1B．+C．2+1D．2﹣【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD 与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；故选：B．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．3．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．8【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3、MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，故选：C．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．4．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（）A．3B．C．D．4【分析】连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．【解答】解：连接BP，如图，当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），∵Q是线段P A的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，∵BC＝＝5，∴BP′＝5+2＝7，∴线段OQ的最大值是．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．5．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．最后得到哪些树需要移除．【解答】解：∵OA＝＝，∴OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内，OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内，OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内，OH＝＝2＞OA，所以点H在⊙O外，故选：A．【点评】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内．6．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3【分析】根据抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小．【解答】解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、抛物线与x轴的交点、三角形中位线定理，解决本题的关键是点B、D、C共线问题．7．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先解方程组得P点坐标为（3a﹣1，4a+2），则可确定点P为直线y＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标轴的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），利用勾股定理计算出AB＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M 于Q，此时线段PQ的值最小，证Rt△MBP∽Rt△ABO，利用相似比计算出MP＝，则PQ＝，即线段PQ的最小值为．【解答】解：解方程组得，∴P点坐标为（3a﹣1，4a+2），设x＝3a﹣1，y＝4a+2，∴y＝x+，即点P为直线y＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标轴的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），∴AB＝＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，∵∠MBP＝∠ABO，∴Rt△MBP∽Rt△ABO，∴MP：OA＝BM：AB，即MP：＝：，∴MP＝，∴PQ＝﹣1＝，即线段PQ的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了一次函数的性质和相似三角形的判定与性质．8．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．10．如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连接CE，BE，则CE2+BE2的最大值是（）A．4B．5C．6D．4+【分析】连接AC，DE，如图，利用圆周角定理可判定点D在AC上，易得A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），AC＝，D（，），设E（m，n），利用两点间的距离公式得到则EB2+EC2＝2（m2+n2）+2，由于m2+n2表示E点到原点的距离的平方，则当OE 为直径时，E点到原点的距离最大，由于OD为平分∠AOC，则m＝n，利用点E在圆上得到（m﹣）2+（n﹣）2＝（）2，则可计算出m＝n＝1，从而得到EB2+EC2的最大值．【解答】解：连接AC，DE，如图，∵∠AOC＝90°，∴AC为⊙D的直径，∴点D在AC上，∵AO＝BO＝CO＝1，∴A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），AC＝，D（，），设E（m，n），∵EB2+EC2＝（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2＝2（m2+n2）+2，而m2+n2表示E点到原点的距离，∴当OE为直径时，E点到原点的距离最大，∵OD为平分∠AOC，∴m＝n，∵DE＝AC＝，∴（m﹣）2+（n﹣）2＝（）2，即m2+n2＝m+n∴m＝n＝1，∴此时EB2+EC2＝2（m2+n2）+2＝2×（1+1）+2＝6，即CE2+BE2的最大值是6．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了圆周角定理、勾股定理和坐标与图形性质．11．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）【分析】根据垂径定理得到OA＝OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD＝BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD＝OA＝2，得到D的坐标为（2，2）．【解答】解：∵OM⊥AB，∴OA＝OB，∵AD＝CD，∴OD∥BC，OD＝BC，∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，∵BC为直径，∴∠CAB＝90°，∴CA⊥x轴，∵OB＝OA＝OM，∴∠ABC＝45°，∵OD∥BC，∴∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴AD＝OA＝2，∴D的坐标为（2，2），故选：C．【点评】本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段OD取得最大值是解题的关键．二．填空题（共16小题）12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为2﹣2．【分析】连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，证明∠CEB＝90°，说明E点始终在⊙F上，再由在整个变化过程中，AE≤AF﹣EF，当A、E、F三点共线时，AE最小值，求出此时的值便可．【解答】解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，∵BC＝4，∴CF＝2，∵∠ACB＝90°，AC＝10，∴AF＝，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴E点在⊙F上，∵在D的运动过程中，AE≥AF﹣EF，且A、E、F三点共线时等号成立，∴当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF﹣EF＝2﹣2．故答案为：2﹣2．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定AE取最小值的位置．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵AN＝NC，∴BN＝AC＝，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN＝AD＝1，∴BM≤BN+NM，∴BM≤1+，∴BM≤，∴BM的最大值为．【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．14．如图，圆O的半径为3，点A在圆O上运动，ABCD为矩形，AC与BD交于点M，MO ＝5，则AB2+AD2的最小值为16．【分析】如图，连接OA．首先判断出BD最小时，AB2+AD2的值最小，求出AM的最小值即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AM＝MC＝BM＝MD，∠BAD＝90°，∴AB2+AD2＝BD2，∴BD的值最小时，AB2+AD2的值最小，∵AM≥OM﹣OA，OM＝5，OA＝3，∴AM≥2，∴AM的最小值为2，∴BD的最小值为4，∴AB2+AD2的最小值为16，故答案为16．【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15．点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O 的半径是 6.5cm或2.5cm．【分析】点P应分在位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．【解答】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离P A＝9cm，∴直径AB＝4+9＝13（cm），∴半径r＝6.5cm；②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离P A＝9cm，∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），∴半径r＝2.5cm．综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．故答案为：6.5cm或2.5cm．【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．16．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP 于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为3﹣3．【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，依据△ACQ中，AQ＝4，【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．∵⊙O的直径为AB，C为的中点，∴∠APC＝45°，又∵CD⊥CP，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，又∵AB＝6，C为的中点，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝3，∴△ACQ中，AQ＝3，∴BQ＝＝3，∵BD≥BQ﹣DQ，∴BD的最小值为3﹣3．故答案为3﹣3．【点评】本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点D的运动轨迹是解决问题的关键．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，则△AOP面积的最大值为．【分析】当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得．【解答】解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，∵过P的直线是⊙D的切线，∴DP垂直于切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∴OA＝，∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴＝，∵AD＝4，CD＝3，AC＝5，∴DM＝，∴PM＝PD+DM＝1+＝，∴△AOP的最大面积＝OA•PM＝××＝，故答案为：．【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大．18．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为+．【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD 与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝+，即OM的最大值为+；故答案为．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是2．【分析】首先证明点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB与⊙O交于点P，此时PB最小，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PCB＝90°，∵∠P AC＝∠PCB∴∠CAP+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB＝90°，BC＝4，OC＝3，∴OB＝＝5，∴PB＝OB﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2．【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连接BE，则线段BE长度的最小值为2．【分析】取AC的中点N，连接AD、EN、BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，EN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图，取AC的中点N，连接AD、EN、BN．∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵AN＝NC，∴BN＝AC＝，∵AN＝NC，DE＝EC，∴EN＝AD＝，∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，∴﹣≤BE≤+，∴2≤BE≤3，∴BE的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．21．如图，直角△ABC的直角顶点C，另一顶点A及斜边AB的中点D都在⊙O上，已知：AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为．【分析】如图连接CD、OD、OC，延长DO交AC于E，设半径为R，先证明DE⊥AC，DE＝CB，在Rt△OCE中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图连接CD、OD、OC，延长DO交AC于E，设半径为R．在RT△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝＝10，∵BD＝AD＝5，∴CD＝AD＝5，∵DC＝DA，＝，∴DO⊥AC，EC＝AE＝3，∴ED∥BC，∵BD＝AD，∴EC＝EA，∴DE＝BC＝4，在RT△COE中，∵∠OEC＝90°，∴CO2＝OE2+CE2，∴R2＝（4﹣R）2+32，∴R＝．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线的性质，垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是68．【分析】设点O为AB的中点，H为CE的中点，连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，根据矩形的性质得到CD＝AB，EO＝AD，求得OP＝CE＝AB＝10过H作HG⊥AB于G，根据矩形的性质得到HG＝12，OG＝5，于是得到结论．【解答】解：设点O为AB的中点，H为CE的中点，连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，∵AB＝20，四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB，BC＝AD，∴OP＝CE＝AB＝10，∴CP2+EP2＝2（PH2+CH2）．过H作HG⊥AB于G，∴HG＝12，OG＝5，∴OH＝13，∴PH＝3，∴CP2+EP2的最小值＝2（9+25）＝68，故答案为：68．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PE的最小值是解题的关键．23．如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是+1．【分析】取OB中点E得DE是△OBC的中位线，知DE＝OC＝1，即点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，从而知求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，据此求解可得．【解答】解：如图1，连接OC，Q取OB的中点E，连接DE．则OE＝EB＝OB＝1．在△OBC中，DE是△OBC的中位线，∴DE＝OC＝1，∴EO＝ED＝EB，即点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，∴求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取最大值，∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，OE＝EB＝1，∴AE＝，D'E＝1，∴AD取最大值为AD'＝，故答案为：．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是判断出点D的运动轨迹是以E 为圆心，1为半径的圆．24．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为（2+，2+）．【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，根据三角形的中位线定理可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而即可求得M的坐标．【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，∴C在⊙B上，且半径为2，取OD＝OA＝4，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，∴BD＝4，∴CD＝4+2，作CE⊥x轴于E，∵CE∥OB，∴，即，∴CE＝DE＝4+，∴OE＝DE﹣OD＝，∴C（，4+），∵M是AC的中点，∴M（2+，2+），故答案为：（2+，2+）．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．25．已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是在圆外．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；若设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵⊙O的直径为6，∴⊙O的半径为3，∵点M到圆心O的距离为4，∴4＞3，∴点M在⊙O外．故答案为：在圆外．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论．26．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，以A为圆心，2为半径作⊙A，交对角线AC于点E，点F为⊙A上一动点，连接CF，点G为CF中点，连接BG，取BG中点H，连接AH，则AH的最大值为+．【分析】如图，连接BE，AF，EG，取BE的中点J，连接HJ，AJ．想办法求出JH，AJ 即可．【解答】解：如图，连接BE，AF，EG，取BE的中点J，连接HJ，AJ．。

24.2点、直线、圆与圆的位置关系知识点+例题+练习(精品)

1.点和圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d=r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-；外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=；外离⇔21r r d +>；内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足O O2O1为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）A. 15B. 30C. 45D. 604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．O D C B A第3题图第4题图第5题图第6题图第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长．【中考连接】一、选择题1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.32.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为（）A. 335B. 635 C. 10 D. 5 4. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（）A. 1B. 2C. 23D. 26 5.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．B P A OC 第3题图第6题图第7题图第8题图7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________． 8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=图象上，则阴影部分面积等于． 14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______． 15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由．19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=．（1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的第10题图第11题图第12题图第13题图第18题图长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S △△时，求动点M 所经过的弧长．。

初中数学【与圆有关的位置关系】练习题

初中数学【与圆有关的位置关系】练习题一．选择题（共10小题）1．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P（﹣10，1）与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°3．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是（）A．0B．1C．2D．34．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．1.5cm B．7.5cmC．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm5．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F6．直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）A．0B．1C．2D．不能确定7．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤58．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．1或5C．3D．59．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜810．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．8二．填空题（共4小题）11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是3＜r＜5．12．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；点D坐标为（8，﹣2），连接CD，直线CD 与⊙M的位置关系是．13．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为．14．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为．三．解答题（共3小题）15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．16．已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD＝OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．答案一．选择题（共10小题）1．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P（﹣10，1）与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣10，1），∴OP＝＝．∵⊙O的半径为10，∴＞10，∴点P在⊙O外．故选：B．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．3．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP＝4，ON＝2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN＝OQ＝×2＝1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选：B．4．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．1.5cm B．7.5cmC．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm【解答】解：分为两种情况：①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．故选：C．5．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F【解答】解：∵OA＝＝，∴OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内，OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内，OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内，OH＝＝2＞OA，所以点H在⊙O外，故选：A．6．直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）A．0B．1C．2D．不能确定【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝10，∴斜边上的高为：＝4.8，∴d＝4.8cm＝r＝4.8cm，∴圆与该直线AB的位置关系是相切，交点个数为1，故选：B．7．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5【解答】解：当AB与小圆相切，∵大圆半径为5，小圆的半径为3，∴AB＝2＝8．∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，∴8≤AB≤10．故选：A．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．1或5C．3D．5【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选：B．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A 的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜8【解答】解：连接AD，∵AC＝4，CD＝3，∠C＝90°，∴AD＝5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，∴r＞5﹣3＝2，∵BC＝7，∴BD＝4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，故选：B．10．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3、MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，故选：C．二．填空题（共4小题）11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是3＜r＜5．【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3，则BD＝＝5．由图可知3＜r＜5．故答案为：3＜r＜5．12．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）；点D坐标为（8，﹣2），连接CD，直线CD与⊙M的位置关系是相切．【解答】解：（1）如图，经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（2）连接MC，MD，MC2＝42+22＝20，CD2＝42+22＝20，MD2＝62+22＝40，MD2＝MC2+CD2，∴∠MCD＝90°，又∵MC为半径，∴直线CD是⊙M的切线；故答案为：相切．13．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为2﹣2或2+2．．【解答】解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2，∴A（0，1），B（2，0），∴AB＝；如图，设⊙M与AB相切与C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠B＝∠B，∴△BMC～△ABO，∴，即，∴BM＝2，∴OM＝2﹣2，或OM＝2+2．∴m＝2﹣2或m＝2+2．故答案为：2﹣2，2+2．14．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为4．【解答】解：∵d、R是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d＝R，∴方程有两个相等的实根，∴△＝16﹣4m＝0，解得，m＝4，故答案为：4．三．解答题（共3小题）15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ODA+∠EDB＝90°，∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠ODE＝90°，∴OC2+CE2＝OE2＝OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．16．已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD＝OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．【解答】解：（1）如图①，连接OC，∵OC＝OA，CD＝OA，∴OC＝CD，∴∠ODC＝∠COD，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ODC＝45°；（2）如图②，连接OE．∵CD＝OA，∴CD＝OC＝OE＝OA，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵AE∥OC，∴∠2＝∠3．设∠ODC＝∠1＝x，则∠2＝∠3＝∠4＝x．∴∠AOE＝∠OCD＝180°﹣2x．①AE＝OD．理由如下：在△AOE与△OCD中，∴△AOE≌△OCD（SAS），∴AE＝OD．②∠6＝∠1+∠2＝2x．∵OE＝OC，∴∠5＝∠6＝2x．∵AE∥OC，∴∠4+∠5+∠6＝180°，即：x+2x+2x＝180°，∴x＝36°．∴∠ODC＝36°．。

点与圆的位置关系专题训练

Ａ相交．Ｂ相切．
３已知ｏＤ的半径为、ｃ圆心Ｄ到直线．／ｍ。
Ｚ的距离为１．ｃ４ｍ，则直线ＺｏＤ的公共与
点的个数为 — — ．
）．
Ｃ相离．
Ｄ无法确定．
４圆心０到直线Ｚ．的距离为ｄｏ０的半径为。尺，ｄＲ是方程ｘ－ｘｍ＝当，Ｚ４＋Ｏ的根，Ｚ且与
。
５已知圆的直径为１ｍ。圆心到直线的距．０ｃ
离为５ｃｍ。那么直线和这个圆有
— —
个公共点．
Ｃ
曰
（案在参考答案第３页）答
、
、
、
、、
一一一一一一～一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一～一一一一一一一一一一一一一一一一一一～一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一～
６０
、
－
ＮｏｈｎｎｌｅｉｏｂｅｒｄＩｉｏｌｏｂｎｅｓｏ．ｔｉｇｉｉｓｔｅｆａｅ．ｔｓｎｙｔｅｕｄｒｔｄｆｏ
— —
，
在圆上的是 — ．
—
，圆内的在
是—
—
３已知ｏＤ的半径为４ｃＡ为线段Ｏ．ｍ．Ｐ的中
（４题）第
（５题）第
点。Ｏ＝ｍ时，Ａ与ｏＤ的位置关系当Ｐ７ｃ点

由圆的一般方程判断点与圆的位置关系专项训练(含每步提示及答案——原创材料)

由圆的一般方程判断点与圆的位置关系习题：点()1,2-a a 在圆03222=--+y y x 的内部，则a 的取值范围是（）A 、11<<-aB 、10<<aC 、540<<a D 、054<<-a 提示点：提示点1：设圆的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：r d < ⇔ 点P 在圆内；r d = ⇔ 点P 在圆上；r d > ⇔ 点P 在圆外；提示点2：圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的圆心为（2,2ED --），半径为2422FE D -+提示点3：两点间距离公式为()()221221y y x x d -+-=；结合提示2,3可知，圆心为()1,0，半径为2，点到圆心的距离为()()221102--+-=a a d则根据提示1知，r d <，则有540<<a ，故选C 。

习题：点()1,2-a a 在圆04222=--+y y x 的外部，则a 的取值范围为。

提示点：点()00,y x P 与圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：0002020>++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆外；0002020=++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆上；0002020<++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆内；故将点()1,2-a a 代入圆的一般方程有()()()04121222>----+a a a ，故1>a 或51-<a 。

习题：若1>a ，则点()1,2-a a 与圆03222=--+y y x 的位置关系。

提示点：点()00,y x P 与圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：0002020>++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆外；0002020=++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆上；0002020<++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆内；将点()1,2-a a 代入圆的一般方程有()()()a a a a a 4531212222-=----+()45-=a a ，因1>a ，故()045>-a a ，故应填在圆外。

点和直线及圆的位置关系40题带详细解析

一．选择题〔共9小题〕1．以下语句中，正确的选项是〔〕A．同一平面上三点确定一个圆B．能够重合的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．菱形的四个顶点在同一个圆上2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P〔﹣3，4〕与⊙O的位置关系是〔〕A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙OD．无法确定3．以下说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有〔〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4．如图，△ABC为⊙O的接三角形，假设∠AOC=160°，则∠ADC的度数是〔〕A．80°B．160°C．100°D．80°或100°5．圆O的直径为10，OP=6，则点P的位置是〔〕A．点P在圆O外B．点P在圆OC．点P在圆O上D．无法确定6．如图，⊙O的半径为3，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为〔〕A．3B．C．D．47．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为〔〕A．60°B．30°C．45°D．90°8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为*的圆，假设要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆，且至少有一个点在圆外，则r的取值围是〔〕A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞49．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C 移动的过程中，BH的最小值是〔〕A．5B．6C．7D．8二．填空题〔共22小题〕10．如图，△ABC为⊙O的接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，假设DE=2，则BC=．11．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标．12．如图，Rt△ABC是圆O的接三角形，过O作OD⊥BC于D，其中∠BAC=60°，半径OB=2，则弦BC=．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为．14．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．假设OE=2，DF=1，则△ABC的周长为．15．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA=90°，则线段CP长的最小值为．16．如图，△ABC是⊙O的接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，假设点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为．17．如图，⊙O的半径为10，△ABC是⊙O的接三角形，连接OB，OC．假设∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是．19．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，假设∠BAD=50°，则∠ACB=°．20．如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕、B〔0，﹣3〕，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，假设点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为．21．如图，△ABC中，假设AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的切圆半径R=．22．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，假设∠ABC=25°，则∠P的度数为．23．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．〔1〕∠APB=；〔2〕当OA=2时，AP=．24．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，假设∠A=25°，则∠C=°．25．如图，⊙O是△ABC的切圆，切点为D，E，F，假设AD、BE的长为方程*2﹣17*+60=0的两个根，则△ABC的周长为．26．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C=度．27．如图，⊙O与△ABC的三边相切，假设∠A=40°，则∠BOC=．28．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=8，∠P=30°，则AC的长度是．29．如图，在⊙O的接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．31．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，假设CD=2，则OE的长为．三．解答题〔共9小题〕32．如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．33．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 的切线交AC的延长线于点E．求证：〔1〕DE⊥AE；〔2〕AE+CE=AB．34．如图△ABC接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设PD=，求⊙O的直径．35．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．〔1〕判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕假设DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．36．如图，AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O 为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设OB=5，CD=4，求BE的长．38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕连接BC，假设∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．〔1〕求证：∠A=∠ADE；〔2〕假设AD=8，DE=5，求BC的长．40．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．〔1〕求证：PB是⊙O的切线．〔2〕假设PB=6，DB=8，求⊙O的半径．2021年11月07日189****3288的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共9小题〕1．以下语句中，正确的选项是〔〕A．同一平面上三点确定一个圆B．能够重合的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．菱形的四个顶点在同一个圆上【解答】解：A、同一平面上三点必须不在同一直线上才可以确定一个圆，故本选项错误；B、能够重合的弧是等弧，正确；C、三角形的外心到三角形三个定点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故本选项错误；D、菱形的对角相等，但不一定互补，所以四个顶点不一定在同一个圆上，故本选项错误．应选：B．2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P〔﹣3，4〕与⊙O的位置关系是〔〕A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙OD．无法确定【解答】解：∵圆心P的坐标为〔﹣3，4〕，∴OP==5．∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．3．以下说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有〔〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解：①过三点可以作圆；错误，应该是过不在同一直线上的三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；正确；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；正确；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．正确；应选：C．4．如图，△ABC为⊙O的接三角形，假设∠AOC=160°，则∠ADC的度数是〔〕A．80°B．160°C．100°D．80°或100°【解答】解：∵∠AOC=2∠B，∠AOC=160°，∴∠B=80°，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=100°，应选：C．5．圆O的直径为10，OP=6，则点P的位置是〔〕A．点P在圆O外B．点P在圆OC．点P在圆O上D．无法确定【解答】解：圆O的直径为10，OP=6，∴该圆的半径为5，∴点P在圆O外，应选：A．6．如图，⊙O的半径为3，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为〔〕A．3B．C．D．4【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=3，∴AB=3，应选：B．7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为〔〕A．60°B．30°C．45°D．90°【解答】解：连接AO和BO，∵⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=×60°=30°，应选：B．8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为*的圆，假设要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆，且至少有一个点在圆外，则r的取值围是〔〕A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞4【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．应选：B．9．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C 移动的过程中，BH的最小值是〔〕A．5B．6C．7D．8【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD=90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD==12，BM===13，∴BH的最小值为BM﹣MH=13﹣5=8．应选：D．二．填空题〔共22小题〕10．如图，△ABC为⊙O的接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，假设DE=2，则BC=　4　．【解答】解：∵OD⊥AB，∴AD=DB，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=BC，∴BC=2DE=2×2=4．故答案为：411．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标　〔5，2〕　．【解答】解：由图象可知B〔1，4〕，C〔1，0〕，根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y=2，设D〔a，2〕，根据勾股定理得：DA=DC〔1﹣a〕2+22=42+〔3﹣a〕2解得：a=5，∴D〔5，2〕．故答案为：〔5，2〕．12．如图，Rt△ABC是圆O的接三角形，过O作OD⊥BC于D，其中∠BAC=60°，半径OB=2，则弦BC=　2．【解答】解：连接OC∵∠BAC=60°∴∠BOC=120°∵OB=OC，OD⊥BC∴BD=CD，∠BOD=∠COD=60°∵BO=2，∠BOD=60°，OD⊥BC∴OD=1，BD=OD=∴BC=2故答案为213．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为﹣6　．【解答】解：∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∴点E在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，以AC为直径作⊙O，当O、E、B共线时，BE的长最小，Rt△OCB中，OC=OE=6，BC=5，∴OB==，∴BE=OB﹣OE=﹣6，则BE的最小值为：﹣6，故答案为：﹣6．14．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．假设OE=2，DF=1，则△ABC的周长为　6+2．【解答】解：延长CF交AB于点G，过C作CH⊥AB于H，连BO．∵BC、OE互相平分∴四边形BECO为平行四边形∵OB=OC∴四边形BECO为菱形∴=∵OE=2∴Rt△BOD中，tan∠BOD=∴∠BOD=60°∴∠BAE=∠EAC=30°∵CF⊥AE∴F为GC中点，△AGC为等边三角形∴BG=2DF=2在Rt△BCH中BH2+HC2=BC2∴〔2+GH〕2+〔〕2=62解得GH=〔舍去〕或GH=，∴AG=AC=﹣1+，∴△ABC的周长为6+2．故答案为：6+2．15．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA=90°，则线段CP长的最小值为　2　．【解答】解：∵∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P在以AB为直径的圆周上〔P在△ACB部〕，连接OC，交⊙O于P，此时CP的值最小，如图，∵AB=6，∴OB=3，∵BC=4，∴由勾股定理得：OC=5，∴CP=5﹣3=2，故答案为：2．16．如图，△ABC是⊙O的接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，假设点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为　5．【解答】解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=60°，∵PB=AB，∴∠POB=60°，OB⊥AP，则AH=PH=OP×sin∠POH=，∴AP=2AH=5，故答案为：5．17．如图，⊙O的半径为10，△ABC是⊙O的接三角形，连接OB，OC．假设∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为　10．【解答】解：作OH⊥BC于H，则BH=HC，由圆周角定理得，∠BAC=∠BOC，∵∠BAC+∠BOC=180°，∴∠BOC=120°，∴∠OBC=30°，∴BH=OB×cos∠OBH=5，∴BC=2BH=10，故答案为：10．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是﹣4　．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB〔直角三角形斜边中线等于斜边一半〕，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，∴OC=，∴PC=OC﹣OP=﹣4．∴PC最小值为﹣4．故答案为：﹣4．19．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，假设∠BAD=50°，则∠ACB=　40　°．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40．20．如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕、B〔0，﹣3〕，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，假设点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为　1.5　．【解答】解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC 的长最小，设线段AB交⊙B于Q，Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∴AB=5，∵⊙B的半径为2，∴BP1=2，AP1=5+2=7，∵C1是AP1的中点，∴AC1=3.5，AQ=5﹣2=3，∵C2是AQ的中点，∴AC2=C2Q=1.5，C1C2=3.5﹣1.5=2，即⊙D的半径为1，∵AD=1.5+1=2.5=AB，∴OD=AB=2.5，∴OC=2.5﹣1=1.5，故答案为：1.5．21．如图，△ABC中，假设AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的切圆半径R=　1　．【解答】解：∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴△ABC的切圆半径R===1．故答案为1．22．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，假设∠ABC=25°，则∠P的度数为　40°　．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．23．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．〔1〕∠APB=　60°　；〔2〕当OA=2时，AP=　2．【解答】解：〔1〕∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．〔2〕如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．24．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，假设∠A=25°，则∠C=　40　°．【解答】解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=90°﹣50°=40°．故答案为：40．25．如图，⊙O是△ABC的切圆，切点为D，E，F，假设AD、BE的长为方程*2﹣17*+60=0的两个根，则△ABC的周长为　40　．【解答】解：∵*2﹣17*+60=0，∴*=5或*=12∴AD=5，BE=12，∵⊙O是△ABC的切圆，∴AD=AF=5，BE=BF=12，又设⊙O的半径为r，∴AC=5+r，BC=12+r，AB=17∴由勾股定理可知：〔5+r〕2+〔12+r〕2=172，∴解得：r=3或r=﹣20〔舍去〕∴AC=8，BC=15，∴△ABC的周长为：8+15+17=40故答案为：40；26．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C=　45　度．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵BC为切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AD=CD，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C=45°．故答案为45．27．如图，⊙O与△ABC的三边相切，假设∠A=40°，则∠BOC=　110°　．【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵⊙O与△ABC的三边相切，∴点O是△ABC的心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=〔∠ABC+∠ACB〕=70°，∴∠BOC=180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕=110°，故答案为：110°．28．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=8，∠P=30°，则AC的长度是　4．【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，AP=OA=4，∵∠AOP=∠C+∠OAC=60°，而∠C=∠OAC，∴∠C=30°，∴AC=AP=4．故答案为4．29．如图，在⊙O的接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为　30°　【解答】解：连接OD，如图，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=180°﹣120°=60°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=60°，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP=90°，∴∠ADP=90°﹣60°=30°．故答案为30°．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，∴点D是AB中点，∴CD=BD=AB=5，连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴BF=CF=BC=4，∴DF==3，连接OF，∵OC=OD，CF=BF，∴OF∥AB，∴∠OFC=∠B，∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG=90°，∴∠OFC+∠BFG=90°，∴∠BFG+∠B=90°，∴FG⊥AB，∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，∴FG===，故答案为．31．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，假设CD=2，则OE的长为．【解答】解：连接OA、AD，如右图所示，∵BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，∴∠DAB=90°，∠OAC=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ACO和△BAD中，，∴△ACO≌△BAD〔ASA〕，∴AO=AD，∵AO=OD，∴AO=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO=∠DAO=60°，∴∠B=∠C=30°，∠OAE=30°，∠DAC=30°，∴AD=DC，∵CD=2，∴AD=2，∴点O为AD的中点，OE∥AD，OE⊥AB，∴OE=，故答案为：．三．解答题〔共9小题〕32．如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．【解答】解：〔1〕如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；〔2〕解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．33．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 的切线交AC的延长线于点E．求证：〔1〕DE⊥AE；〔2〕AE+CE=AB．【解答】证明：〔1〕连接OD，如图1所示．∵OA=OD，AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴AE∥OD．∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE⊥AE．〔2〕过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，∴DE=DM．在△DAE和△DAM中，，∴△DAE≌△DAM〔SAS〕，∴AE=AM．∵∠EAD=∠MAD，∴=，∴CD=BD．在Rt△DEC和Rt△DMB中，，∴Rt△DEC≌Rt△DMB〔HL〕，∴CE=BM，∴AE+CE=AM+BM=AB．34．如图△ABC接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设PD=，求⊙O的直径．【解答】解：〔1〕证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．〔2〕在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵PD=，∴2OA=2PD=2．∴⊙O的直径为2．35．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．〔1〕判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕假设DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．【解答】解：〔1〕直线DP与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵AC是∠EAB的平分线，∴∠EAC=∠OAC∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠ACO=∠DAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∴DP是⊙O的切线；〔2〕作CH⊥AB于H，如图，∵AC是∠EAB的平分线，CD⊥AD，CH⊥AB，∴CH=CD=4，∴OH==3，∵OC⊥CP，∴∠OCP=∠CHO=90°，而∠COP=∠POC，∴△OCH∽△OPC，∴OC：OP=OH：OC，∴OP==，∴PB=OP﹣OB=﹣5=．36．如图，AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．【解答】〔1〕证明：连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB〔SAS〕，∴∠CDO=∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；〔2〕解：由〔1〕可知∠OCB=∠OCD=30°，∴∠DCB=60°，又BC⊥BE，∴∠E=30°，在Rt△ODE中，∵tan∠E=，∴DE==4，同理DC=OD=4，∴S △OCE=•OD•CE=×4×8=16．37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O 为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设OB=5，CD=4，求BE的长．【解答】〔1〕证明：连接OD．∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠OBD=∠CBD∵∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC∵∠C=90°，∴∠ODC=90°∴OD⊥AC∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线〔2〕过圆心O作OM⊥BC交BC于M．∵BE为⊙O 的弦，且OM⊥BE∴BM=EM∵∠ODC=∠C=∠OMC=90°∴四边形ODCH为矩形，则OM=DC=4∵OB=5∴BM==3=EM∴BE=BM+EM=6．38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕连接BC，假设∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．【解答】〔1〕证明：连接OD，如图，∵CF是⊙O的切线∴∠OCF=90°，∴∠OCD+∠DCF=90°∵直径AB⊥弦CD，∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线∴CF=DF，∴∠CDF=∠DCF，∵OC=OD，∴∠CDO=∠OCD∴∠CDO+∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；〔2〕解：∵∠OCF=90°，∠BCF=30°，∴∠OCB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CFO=30°∴FO=2OC=2OB，∴FB=OB=OC=2，在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，∴OE=OC=1，∴CE=OE=，∴CD=2CE=．39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．〔1〕求证：∠A=∠ADE；〔2〕假设AD=8，DE=5，求BC的长．【解答】〔1〕证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．〔2〕解：连接CD．∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，设BD=*，在Rt△BDC中，BC2=*2+62，在Rt△ABC中，BC2=〔*+8〕2﹣102，∴*2+62=〔*+8〕2﹣102，解得*=，∴BC==．40．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．〔1〕求证：PB是⊙O的切线．〔2〕假设PB=6，DB=8，求⊙O的半径．【解答】解：〔1〕∵DE⊥PE，∴∠E=90°，∵∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠EDB+∠DOE=∠EPB+∠POB，即∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；〔2〕在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD==10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4．在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：〔8﹣r〕2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．。

初三点与圆的位置关系练习题

初三点与圆的位置关系练习题一、选择题1. 在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2, -3)，半径为5。

若一点坐标为(6, 2)，它与该圆的位置关系是：A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外2. 已知半径为r的圆C的圆心坐标为(3, 4)，圆上有一点A。

如果点A和点C的距离等于圆的半径r，那么点A的坐标可能是：A. (3, 3)B. (6, 8)C. (3, 7)3. 在平面直角坐标系中，圆心为(-1, 2)，半径为3。

若一点坐标为(1,5)，它与该圆的位置关系是：A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外4. 设圆C的半径为r，圆心坐标为(-2, 3)。

若一点A的坐标为(2, 2)，点A到圆心的距离小于半径r，则点A与圆C的位置关系为：A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外二、填空题1. 平面直角坐标系中，圆心坐标为(4, -1)，半径为6。

满足条件的一点的坐标是(2, )。

2. 如果圆C的半径为5，圆心坐标为(2, 3)，那么圆C上坐标为(8, )的一点的纵坐标为。

3. 设圆C的半径为r，圆心坐标为(3, -4)。

若一点A的坐标为(0, -2)，点A与圆C的位置关系是（填：在圆内/在圆上/在圆外）。

4. 在平面直角坐标系中，圆心坐标为(-3, 0)，半径为6。

如果一点的纵坐标为-6，则该点的横坐标可以取（填：）。

三、计算题1. 在平面直角坐标系中，圆C的半径为5，圆心坐标为(2, -1)。

如果一点A的坐标为(7, 3)，求点A与圆C的距离。

2. 已知圆C的半径为6，圆心坐标为(-3, 2)。

若一点B的坐标为(-4, 1)，求点B到圆C的距离。

3. 设圆C的半径为r，圆心坐标为(4, 1)。

若一点的横坐标为5，纵坐标为2，且点与圆心的距离等于半径r，则求半径r的值。

4. 平面直角坐标系中，已知半径为r的圆C的圆心坐标为(-1, 4)。

如果一点D的坐标为(3, 6)，求点D与圆C的距离的平方。

四、解答题1. 在平面直角坐标系中，圆C的圆心坐标为(1, -2)，半径为4。

与圆有关的位置关系训练题

与圆有关的位置关系训练题一、选择题1．（2022秋•烟台期末）已知⊙O的半径为3，OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不能确定2．（2022秋•东阳市期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC 的中点，若以AB为直径作圆，则下列判断正确的是（）A．点C一定在⊙O外B．点C一定在⊙O上C．点D一定在⊙O外D．点D一定在⊙O上3．（2022秋•越秀区校级期末）已知⊙O的直径是8，P点到圆心O的距离为6，则P点与⊙O的位置关系是（）A．在圆上B．在圆内C．在圆外D．无法确定4．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝4cm，以点C为圆心，以5cm长为半径作圆，则AB的中点D与⊙C的位置关系是（）A．圆上B．圆外C．圆内D．不确定5．（2022秋•泰山区期末）如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.5，0），B （5，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最大值是（）A．32B．52C．72D．926．（2022秋•桃城区校级期末）以直角坐标系的原点O为圆心，√2为半径作⊙O，则点P（﹣1，1）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定7．（2022秋•霸州市期末）已知AB是⊙O的任意一条直径，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形．下列为证明过程，嘉琪为保证推理更严谨，想在方框中“∵OP＝OP′，”和“∴PM＝MP′，”之间做补充，下列叙述正确的是（）证明：如图，设点P是⊙O上除点A、B以外任意一点，过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，垂足为点M，若点M与圆心O不重合，连接OP，OP′，在△OPP′中，∵OP＝OP′，∴PM＝MP′，则AB是PP′的垂直平分线，若点M与圆心O重合，显然AB是PP′的垂直平分线，∴对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线AB的对称点P′∴⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形．A．推理严谨，不必补充B．应补充：∴△OPP′是等腰三角形C．应补充：又∵PP′⊥ABD．应补充：∴△OPP′是等腰三角形，又∵PP′⊥AB8．（2022秋•河西区校级期末）已知的⊙O半径为3cm，点P到圆心O的距离OP＝2cm，则点P（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．无法确定9．（2022秋•安徽期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若△OBC为等腰直角三角形，则tan A的值为（）A．1B．√33C．√22D．√310．（2022秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．平分弦的直径垂直于弦D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦11．（2022秋•滨城区校级期末）如图，等腰Rt△ABC内接于圆O，直径AB=2√2，D是圆上一动点，连接AD，CD，BD，且CD交AB于点G．下列结论：①DC平分∠ADB；②∠DAC＝∠AGC；③当BD＝2时，四边形ADBC的周长最大；④当AD＝CD，四边形ADBC的面积为8√3，正确的有（）A．①②B．①②③C．①③④D．②③④12．（2022秋•和硕县校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝4，则⊙O的半径为（）A．√3B．2C．2√3D．4 13．（2022•馆陶县模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝2，AC=√3，BC ＝1，则AĈ的长是（）A．π3B．2π3C．√3π3D．2√3π314．（2022秋•定海区期中）△ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断15．（2021秋•厦门期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，是AB̂所对圆周角的是（）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC 16．（2022秋•海淀区校级月考）如图，等腰△ABC内接于⊙O，其中AB＝BC，下列结论不一定成立的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠4C．∠AOB＝2∠1D．∠AOC＝4∠1 17．（2022秋•安徽期末）如图，若圆O的半径为3，点O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A．l1B．l2C．l3D．l418．（2022秋•江北区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，以点A（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定19．（2021秋•辛集市期末）⊙O的半径为4，直线m上一点P与点O的距离为1，则直线m与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．无法判断20．（2022秋•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切21．（2021秋•双滦区期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心2.5为半径的圆．下列结论中正确的是（）A．直线BC与圆O相切B．直线BC与⊙O相离C．点B在圆内D．点C在圆上22．（2021秋•遵化市期末）设⊙O的半径是6cm，点O到直线l的距离为d，⊙O 与直线l有公共点，则（）A．d＞6cm B．d＝6cm C．0≤d＜6cm D．0≤d≤6cm 23．（2021秋•北仑区期末）⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（）A．3B．5C．6D．10 24．（2021秋•阳谷县期末）已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相离、相切、相交都有可能25．（2022秋•昭阳区校级期末）已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的内切圆，下列选项中，⊙O的半径为（）A．a+b−c2B．a−b−c2C．2abcD．aba+b26．（2022秋•越秀区校级期末）如图，在⊙O中，AB̂=AĈ，BC＝8，AC＝4√5，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（）A．1B．5−√10C．2√5−3D．5−2√5 27．（2022秋•石家庄期末）如图，点I为△ABC的内心，AB＝5，AC＝4，BC ＝3，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的面积为（）A．1B．2524C．2625D．3228．（2022秋•安徽期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，过点B作BD⊥AC于点D，P是△ABC内一点，且∠BPC＝108°，连接CP交BD于点E，若点P 恰好为△ABE内心，则∠PEB的度数为（）A．36°B．48°C．60°D．72°29．（2022秋•邹城市校级期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝8，BC＝17，CA＝15，则阴影部分（即四边形CEOF）的面积是（）A．4B．6.25C．7.5D．9 30．（2022秋•南开区校级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，则⊙O的半径是（）A．1B．√3C．2D．2√3二、填空题31．（2022秋•阳西县期末）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．32．（2022秋•西城区期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，则点P在⊙O（填“内”“上”或“外”）．33．（2022秋•白云区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为．34．（2022秋•通州区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，4）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标．35．（2022秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB ⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是．36．（2021秋•椒江区校级期中）如图所示，正三角形ABC的边长为4，AE＝2AD，AD＝BE，BD交CE于点F，则△DEF的外接圆半径长为．37．（2022秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），B （3，3），点P是△OAB的外接圆的圆心，则点P的坐标为．38．（2022秋•万全区期末）如图，一次函数y=−√33x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，作△ABO的外接圆⊙C，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）39．（2021秋•润州区期中）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD ＝58°，则∠ACB＝．40．（2022秋•蕉城区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，交⊙O于点E，若DE＝1，AD＝5，∠ADC＝30°，则BC的长为．41．（2022秋•海淀区校级月考）已知如图，M（m，0）是x轴上动点，⊙M半径r=2√2，若⊙M与直线y＝x+2相交，则m的取值范围是．42．（2022秋•鼓楼区期中）已知⊙O的半径为10cm，圆心O到直线l的距离为12cm，则直线l与⊙O的位置关系是．43．（2022•顺城区模拟）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与⊙O的位置关系是．44．（2021秋•重庆期末）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，4.8cm长度为半径画圆，则直线AB与⊙O的位置关系是．45．（2022春•龙华区校级月考）已知⊙O的半径为3，直线m上有一动点P，OP＝3，则直线与⊙O的位置关系是．46．（2022秋•河西区校级期末）如图，⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF＝10，BE＝3，则△ABC的面积为．47．（2022秋•南关区校级期末）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝70°，则∠BOC的度数为．48．（2022秋•金华期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，，CA＝2，则⊙O的半径是．且∠A＝90°，BC=5249．如图，设边长为6的等边三角形内切圆的半径、外接圆的半径分别为r，R，则R﹣r的值为．50．（2022秋•海港区期末）如图，点O是△PMN的内心，PO的延长线和△PMN 的外接圆相交于点Q，连接NQ、MO、NO，若∠MNQ＝15°，则∠MON的度数为．三、解答题51．（2022秋•江阴市校级月考）平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在图中清晰标出点P的位置；（2）点P的坐标是，⊙P的半径是．52．（2022秋•江阴市校级月考）如图，点A在⊙O内，点B，C在⊙O上，若OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，求BC的长．53．（2021秋•利川市期末）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B ＝60°，求AC的长．54．（2022秋•广饶县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA＝CD，∠D＝30°．（1）试判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，求点A到CD所在直线的距离．55．（2021秋•昆明期末）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D，连结CD．求证：OD＝CD．。

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点 D 与⊙ O 的位置关系是（）
A ．点 D 在⊙ A 外
B ．点 D 在⊙ A 上 C．点 D 在⊙ A 内
8、三角形的外心是（
）
（A ）三条边中线的交点
（ B）三条边高的交点
（C）三条边垂直平分线的交点（ D ）三条角平分线的交点
D ．无法确定
9、AB 是⊙ O 的弦， OQ ⊥ AB 于 Q，再以 OQ 为半径作同心圆，称作小⊙ O，点 P 是 AB 上异于 A 、
For personal use only in study and research; not for commercial use
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1、 ⊙O 的半径为 5， O 点到 P 点的距离为 6，则点 P（）
A. 在⊙ O 内 B. 在⊙ O 外 C. 在⊙ O 上 D. 不能确定 2、若△ ABC 的外接圆的圆心在△ ABC 的内部，则△ ABC 是（）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
3、直角三角形的两条直角边分别是 12cm、 5cm，这个三角形的外接圆的半径是（
）．
использоваться
в коммерческих целях．
以下无正文
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur f ü r den pers?nlichen f
B、Q 的任意一点，则点 P 的位置是（
）
A. 在大⊙ O 上 B. 在大⊙ O 的外部
C. 在小⊙ O 的内部
D. 在小⊙ O 外且在大⊙ O 内
11、如图，一圆弧过方格的格点 A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点
2， 4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（
）
A. （－ 1，2） B. （1，－ 1） C. （－ 1， 1） D. （ 2， 1）
Pour l ' é tude et la recherche uniquement
à des fins personnelles; pas
à des fins commerciales.
только длял юдейко, торыиес пользуюдтлсяоя б ученияссл, едоваин нией д олжны
ü r Studien,cFhuonrsg, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
。
；当 OP
20、一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只
猫应蹲在
地方，才能最省力地顾及到三个洞口。
1．已知⊙ O 的半径为 10cm，如果一条直线和圆心 O 的距离为 10cm，那
O
么这条直
B
A
C
线和这个圆的位置关系为（
A. 相离
B. 相切
） C. 相交
D. 相交或相离
2．如右图， A 、B 是⊙ O 上的两点， AC 是⊙ O 的切线，∠ B=70°，
A
OBD来自2．在⊙ O中， AB是直径， BC为切线 AD=DC求, ∠ ABD的大小 .
A DO
C
B
7、已知： △ABC中 AB=AC，O为 BC的中点，以 O为圆心的圆与 AC相切于点 E，
A
求证： AB 与⊙ O 也相切。
E
B
C O
3．已知：△ ABC是等腰三角形， O 是底边 BC 的中点，⊙ O 与腰 AB 相切于点 D，求证： AC 与⊙ O 相切
A 的坐标为（－
18、确定一个圆的两个条件是 _______和_______，________决定圆的位置， _____决定圆的大小．
19、已知⊙ O 的半径为 4cm， A 为线段 OP 的中点，当 OP＝5cm 时，点 A 在⊙ O
＝8cm 时，点 A 在⊙ O
；当 OP＝10cm 时，点 A 在⊙ O
A. 20 B. 30
C. 40
1 D. 35
2
如图， AB 为⊙ O 的直径， BC 切⊙ O 于 B，AC 交⊙ O 于 P，CE=BE ，E 在 BC 上 . 求证： PE 是⊙ O 的切线．
A
P O
B
E
C
1． AB 是⊙ O的直径，点 D在 AB 的延长线上， BD=OB点, C在圆上，∠ CAB=30o, 求证： DC是⊙ O的切线 . C
A． 5cm B ．12cm C ． 13cm D ．6．5cm
4、若⊙ A 的半径为 5，圆心 A 的坐标是 (3 ，4) ，点 P 的坐标是 (5，8)，你认为点 P 的位置为（）
A.在⊙ A 内
B. 在⊙ A 上
C.在⊙ A 外
D. 不能确定
5、 Rt△ABC 中，∠ C=90°， AC=2 ，BC=4 ，如果以点 A 为圆心， AC 为半径作⊙ A ， ?那么斜边中
则∠ BAC 等于（
）
A. 70 °
B. 35°
C. 20°
D. 10°
8．内心与外心重合的三角形是（
）
A. 等边三角形
B. 底与腰不相等的等腰三角形
C. 不等边三角形
D. 形状不确定的三角形
D B
F
A
C E
9． AD 、 AE 和 BC 分别切⊙ O 于 D、 E、 F，如果 AD =20，则△ ABC 的周长为（）
A
D
8．已知：如图， P 是∠ AOB 的角平分线 OC 上一点． PE ⊥OA 于 E ．以 P 点为圆心， PE 长为半径作⊙ P．
求证：⊙ P 与 OB 相切．
B
O
C
4．经过⊙ O上的点 T 的切线和弦 AB 的延长线相交于点 C，求证：∠ ATC=∠TBC
T
O
A
B
C
9．已知：如图， PA 切⊙ O 于 A 点， PO∥ AC， BC 是⊙ O 的直径．请问：直线 PB 是否与⊙ O 相切 ?说明你的理由．
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur f ü r den pers?nlichen f
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