茆诗松概率论与数理统计教程课件第一章 (1)
概率论与数理统计教程(茆诗松)第一章
5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；A B C ③ 恰有一个出现；A B C A B C A B C ④ 至少有一个出现；ABC ⑤ 至多有一个出现；A B C A B C A B C A B C ⑥ 都不出现； A B C
⑦ 不都出现； ABCABC ⑧ 至少有两个出现；A B A C B C
• 非负性公理： P(A)0;
• 正则性公理： P(Ω)=1;
• 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
互不相容，则
U
P Ai P(Ai ) i1 i1
3/22/2020
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第一章 随机事件与概率
1.2.2 排列与组合公式
第23页
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. • 排列讲次序，组合不讲次序. • 全排列：Pn= n! • 0! = 1. • 重复排列：nr • 选排列： P nr(nn !r)!n(n1)......(nr1)
第29页
注意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 • Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)} 此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
➢ 而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相 交，则频率为: n/N.
➢ 用频率代替概率得： 2lN/(dn). ➢ 历史上有一些实验数据.
3/22/2020
A发生但 B不发生
• 对立： A
A 不发生
3/22/2020
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第一章 随机事件与概率
概率统计的课件(茆诗松)1-1
i 1 i 1 n n
UA I
i 1 i i 1 i
n
n
i 1
Ai Ai
I
n
i 1
Ai U Ai
i 1
n
UA I
i 1
I
i 1
Ai U Ai
i 1
例4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系
A ,B ,C 都不发生——
•样本空间中的元素可以是数也可以不是数. • 样本空间至少有两个样本点. 只含两个样本点的样 本空间是最简单的样本空间.
注: 样本空间分类 (1) 离散型样本空间 样本点的个数为有限或可列个. 如试验1—4 (2) 连续型样本空间 样本点的个数为无限不可列个. 如试验5
三. 随机事件
把样本空间的某些子集称为随机事件,简称 事件。常用大写字母A,B,C,„表示。 特别地,如果事件只含一个试验结果(即样本 空间的一个元素),则称该事件为基本事件。
A1 , A2 ,L , An ,L 两两互斥
Ai Aj , i j , i, j 1, 2,L
A B 记为 A B, 称为直和. 注：A 与B 互斥时，
A B A ( B A) ( A B) B（任意和可写为直和）
7. 事件的对立
AB , A B
（有限交封闭） （可列交封闭）
④若A1 ,L An ,L F，则 I Ai F
i=1
⑤若A,B∈F，则A-B∈F （差封闭）
本节首先介绍了随机试验、样本 空间、随机变量等的基本概念，然 后给出了随机事件的各种运算及运 算法则,最后给出了事件域的概念。
的下述子集合表示什么事件？指出哪些是基本 事件。 A1={1}, A2={2}, … , A6={6} 分别表示掷出的结果为“一点”至“六点”, 它 们都是基本事件； B={2,4,6} 表示掷出的结果为“偶数点”，非基本事件； C={1,3,5,} 表示“掷出的结果为奇数点”，非基本事件；
概率论与数理统计第一章1
• 频率 （要点见下） 频率P7（要点见下） • n次试验中，A发生 A次； nA频数，比值 A / n为频率； 次试验中， 发生 发生n 频数，比值n 频率； 次试验中 频率 计为f 计为 n(A) ＝ nA / n; 增大， 稳定于某一常数 • 随着 增大， fn(A)稳定于某一常数， 随着n增大 稳定于某一常数，
记作： A
∴ A = B, B = A
A = B
=A
B
=A
意义：若事件 A与事件 B至少有一个发生，且 A与B互不相容，
即A U B = Ω, AB = φ . 则称A与B互为对立事件 .
显然有：10
A = A.
20 30
Ω = φ, φ = Ω. 对于任意事件 A, B : A − B = AB = A − AB
Q n × (n − 1 ) × L × (n − r + 1 )
)
!
n × (n − 1 )× L × (n − r + 1 )× (n − r ) ! = (n − r ) !
=
3 5
n! (n − r
)
!
P26 例1
A = 5 × (5 −1)×L× (5 − 3 + 1) = 5 × 4 × 3 = 60 5! 5× 4 × 3× 2 ×1 3 A5 = = = 5 × 4 × 3 = 60 (5 − 3) ! 2!
特例：当 r = n
n! A = n × (n − 1)× L × (n − r + 1) = (n − r )!
r n
⇒ ①： Ann = n × (n − 1)× L × (n − n + 1) = n! n! n! ⇒ ②： A = = (n − n )! 0!
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
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第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
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第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
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第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
茆诗松概率论与数理统计教程第一章
n 10 20 23 30 40 50 P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97
上表所列的答案是出乎很多人意料的, 因为”一个班
级至少有两个人生日相同”的概率, 并不如大多数人
直觉中想象的那样小, 而是相当大. 这个例子告诉我
们, “直觉”有时并不可靠, 这就说明研究随机现象
B=“两球都是红球”,共有22 种取法, C=“两球中至少有一只白球”, 则
AB=“两个球颜色相同”,事件CB,
故P(A)=(44)/(6 6) 0.444，P(B)=(22)/(6 6) 0.111, 则P(AB)=P(A)+P(B) 0.556, P(C)=1-P(B) .0.889
(b)不放回抽样
P(C)=1-P(B) =14/15
.
例六.(分房问题, 类比于教材中例1.2.6的盒子模型) 设有n个人, 每个人都等可能地被分配到N个房 间中的任一间去住(n≤N), 求下列事件的概率 (1)指定的n个房间各有一个人住 (2)恰好有n个房间, 其中各住一个人
解: 将n个人分配到N个房间去, 相当于对每个人, 我们从
.
.
例二(被闪电击中概率的研究).
如何求一个人在某年中被 闪电击中的概率?
中国1.1×109人中, 在2005年被闪电击中 的人数为3300人, 通过概率的频率方法 我们知道, 某人被闪电击中的概率为
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第1章 随机事件与概率【圣
③对立事件一定是互不相容的事件，即 A∩B＝∅．但互不相容的事件不一定是对立事件．
＿
④A－B 可以记为 AB．
7．事件的运算性质
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（1）交换律
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A∪B＝B∪A，AB＝BA
（2）结合律
（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）
n r 1
次所得的组合，此种重复组合总数为
r
，这里的 r 也允许大于 n．
上述四种排列组合及其总数计算公式在使用中要注意识别有序与无序、重复与不重复．
3．确定概率的频率方法 （1）确定概率的频率方法 在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得概率的一种方法，其基本思想是： ①与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行．
4．随机变量 定义：表示随机现象结果的变量，常用大写字母 X，Y，Z 表示． 注意：很多事件都用随机变量表示时，应写明随机变量的含义．在同一个随机现象中， 不同的设置可获得不同的随机变量，如何设置可按需要进行．
5．事件间的关系 假设在同一个样本空间 Ω（即同一个随机现象）中进行．事件间的关系与集合间关系
2．排列与组合公式 排列与组合都是计算“从 n 个元素中任取 r 个元素”的取法总数公式． 区别：组合公式是不讲究取出元素间的次序，否则用排列公式．而所谓讲究元素间的次 序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次 序的，因为“甲右乙左”与“乙右甲左”是两件事．
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＿
1-1-5），或用概率论的语言说“A 不发生”，即A＝Ω－A．
＿
图 1-1-5 A 的对立事件A
注意：
＿
＿
①对立事件是相互的，即 A 的对立事件是A，而A的对立事件是 A．必然事件 Ω 与不可
概率统计的课件(茆诗松)1-2
排列 从 n 个不同的元素中取出 r个 (不放
回地）按一定的次序排成一列,称为一个排列. 不同的排法共有
n! ( r n) P n(n 1)(n 2) L (n r 1) (n r )! n
r n
注: 全排列
Pn n !
可重复排列 从 n 个不同的元素中有放回地
取出 r 个排成一列, 不同的排法有 n 种.
（1）A=“某指定的 n 个盒子中各有一球”； （2）B=“恰有 n 个盒子中各有一球”； （3）C=“至少有两个球在同一盒子中”.
n! P( A) n ; N
C n! N! P( B) n n N N ( N n)!
n n N
n N
N C n! P(C ) 1 P( B) n N
m1 m2 f n ( A B) f n ( A) f n ( B ) n
注: 1. 频率稳定于概率, 但不能说成
“频率的极限是概率” 2. 当试验次数较大时有
事件发生 的概 率
事件发生 的频 率
对本定义的评价 缺点：粗糙 不便 优点：直观 模糊 使用 易懂
三、概率的古典定义
练习 两船欲停同一码头但不能同时停泊, 两船在一昼夜内到达的时间是等可能的. 若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，试求在一昼夜内，任一 船到达时，不需 要等待空出码头的概率. （P31）
例9（蒲丰投针）平面上 有间隔为a（a>0) 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长 为l (l<a)的针，求针与任一平行线相交的 概率.（P24）
m min(n, M ).
例5 (有放回抽样) ：设N件产品中有M 件
是次品,N-M 件是正品。现从N件中随机地 有放回地抽取n件产品。求:事件Bm ={所 取的n件产品中恰有m 件次品}的概 率.(P20)
概率论与数理统计教程(茆诗松)
2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章 随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设Ω为一样本空间，ℱ为Ω的某些子集所组成的集合类.如果ℱ满足：(1) Ω∈ℱ；(2)若A ∈ℱ，则对立事件A ∈ℱ；(3)若A n ∈ℱ,n =1,2,…，则可列并⋃A n ∞n=1∈ℱ.则称ℱ为一个事件域，又称为σ代数.在概率论中，又称(Ω,ℱ)为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设Ω为一样本空间，ℱ为Ω的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件A ∈ℱ，定义在ℱ上的一个实值函数P(A)满足：(1)非负性公理 若A ∈ℱ，则P (A )≥0；(2)正则性公理 P (Ω)=1；(3)可列可加性公理 若A 1,A 2,…,A n 互不相容，有P (⋃A i ∞i=1)=∑P (A i )∞i=1则称P(A)为事件A 的概率，称三元素(Ω,ℱ,P)为概率空间.第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数X =X(ω)称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称F (x )=P(X ≤x)为随机变量X 的分布函数.且称X 服从F (x )，记为X~F (x ).2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量X 的分布函数为F (x )，如果存在实数轴上的一个非负可积函数p(x)，使得对任意实数x 有F (x )=∫p(t)dt x −∞则称X 为连续随机变量，称p(x)为X 的概率密度函数，简称为密度函数. 密度函数的基本性质(1)非负性 p (x )≥0；(2)正则性 ∫p(x)dx +∞−∞=1.第三章 多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义 3.1.1 如果X 1(ω),…,X n (ω)定义在同一个样本空间Ω={ω}上的n 个随机变量，则称X (ω)=(X 1(ω),…,X n (ω))为n 维(或n 元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的n 个实数x 1,…,x n ，则n 个事件{X 1≤x 1},…,{X n ≤x n }同时发生的概率F (x 1,…,x n )=P(X 1≤x 1,…,X n ≤x n )称为n 维随机变量(X 1,…,X n )的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记n 维随机向量为X =(X 1,…,X n )′，若其每个分量的数学期望都存在，则称E (X )=(E(X 1),…,E(X n ))′为n 维随机向量X 的数学期望向量，简称为X 的数学期望，而称E [(X −E (X ))(X −E (X ))′]=[Var(X 1)Cov(X 1,X 2)…Cov(X 1,X n )Cov(X 2,X 1)Var(X 2)…Cov(X 2,X n )…………Cov(X n ,X 1)Cov(X n ,X 2)…Var(X n )] 为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为Cov(X).例 3.4.12(n 元正态分布) 设n 维随机变量X =(X 1,…,X n )′的协方差阵为B =Cov(X)，数学期望向量为a =(a 1,…,a n )′.又记x =(x 1,…,x n )′，则由密度函数p (x 1,…,x n )=p (x )=1(2π)n 2(detB)12exp (−12(x −a )′B −1(x −a))定义的分布称为n元正态分布，记为X~N(a,B).第四章大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设X是一个随机变量，称φ(t)=E(e itX),−∞<t<+∞为X的特征函数.设p(x)是随机变量X的密度函数，则φ(t)=∫e itx p(x)+∞−∞dx4.2 大数定律4.2.1伯努利大数定律定理4.2.1(伯努利大数定律) 设μn为n重伯努利试验中事件A发生的次数，p为每次试验中A出现的概率，则对任意的ε>0，有lim n→+∞P{|μnn−p|<ε}=14.2.2 常用的几个大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性4.3.1 依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛) 设{Y n}为一随机变量序列，Y为一随机变量，如果对任意的ε>0，有limn→+∞P{|Y n−Y|<ε}=1则称{Y n}依概率收敛于Y，记作Y n P→Y.4.4 中心极限定理4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设{X n}是独立同分布的随机变量序列，且E(X i)=μ,Var(X i)=σ2>0.记Y n∗=X+⋯+X−nμσ√n则对任意实数y有lim n→+∞P(Y n∗≤y)=Φ(y)=1√2πe−t22y−∞dt第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析。
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从学科特点上来讲, 它兼有数学的严谨性和其它许 多学科的应用性, 吸引了越来越多的学者投入到 概率统计的研究中. 概率统计是近年来美国等西 方国家热门的专业, 毕业后就业岗位多, 且工作环 境及待遇在官方统计报道中是在各行业里居前的.
2. 概率论研究的一些基本术语:样本 空间、随机事件、随机变量等
(3) 随机抽查10名婴儿中的男婴数目, 记为Z, 则Z是 一个随机变量; Z=0,1,2,…10.
(4) 电视机的寿命T是一个随机变量, 其可能的取值 范围是非负数. 引入随机变量后, 事件除了可用文字或样本点集合 来表示, 也可用随机变量来表示. 例如, 例二中掷 骰子的试验得到的点数记为X, 则
相等关系的一个更简的 洁表达是 A, B含 有 相 同 的 样本点 . 所以前面的说法有点 "绕 圈 子 ", 但 这 种 绕 圈 子 的 说法 在 证 明 两事 个件 是 否相 等 时 是 非有 常 用, 甚 至 是 唯 一 的 方 法 ,即
要证明 A B, 必须从证明 A B且B A入手.
(1) 包 含 关 系 :如果事件 A的 样 本 点 必 属 于 事 件 B, 则称事件 A包 含 在 事 件 B中, 记 为A B, 即 事 件 A 发生时 B必 然 发 生 .
对于任意事件 A,必有 A Ω.
(2) 相等关系 : 如果事件 A B,同时B A, 则称 A与B相等, 记为A B.
试验次数n很大时,白球出现的频率
n白 1 n 2
试验II这种类型的试验称为随机试验,其所代表的现 象称为随机现象.
概率统计研究的就是随机试验和随机现象. 随机试验及随机现象例子很普遍,如:
• • • • 抛一枚硬币 掷一颗骰子 测某地区的年降雨量 检查流水生产线上的一件产品,看是合格品还是 不合格品 • 调查10名随机抽取的婴儿中的男婴数
解 : A C, B C, A B , A D.
事件间的基本运算:并, 交, 差以及余
(1) 事 件A与B的 并, 记 为A B, 是 指" A与B所 有 样 本 点组成的新事件 " , 即A B { : A或 B}, 其意义是 " 事 件A与B至 少 有 一 个 发 生 " , 或 者" A发 生 或B发 生"
(3) 调查10名婴儿中的男婴数的样本空间为: Ω ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
(4) 试验II的样本空间为: Ω={白球, 黑球}. (5) 某电话交换机在一天内收到的呼唤次数的样本空间为: Ω ={0,1,2,„}=非负整数集合.
(6) 一天内进入某商场的顾客数的样本空间为: Ω ={0,1,2,„}=非负整数集合. (7) 记录对某刺激的反应时间的样本空间为: Ω =(0,∞). (8) 电视机寿命的样本空间为: Ω ={t|t≥0}.
事件的运算法则
1.交换律: A B B A, 2.结合律:
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
A B B A
3.分配律:
( A B) C ( A C ) ( B C ) ( A B) C ( A C ) ( B C )
事件A也可表示为X是奇数; 事件B是X为偶数; 事件C是 X=6; 事件D是X≥2; 事件E是X=0.
注意: 在实际问题中, 哪一种表示方法方便且有利 于问题的解答就采用哪一种.
3. 事件间的关系与运算
因为事件就是样本点的集合, 所以事件间的关系与 运算类比于集合间的关系与运算.
事件间的关系:包含关系, 相等关系, 互不相容关系
( 3) 互 不 相 容 关 系 :如果事件 A和B没 有 相 同 的 样 本 点 , 则 称A与B互 不 相 容 . 换句话说 , 一次试验的结果不 可能同时使得 A和B都 发 生 , 即A， B不 能 同 时 发 生 .
A, B互不相容常记为 A B .
例四. 讨论例三中事件A,B,C,D之间的关系.
例三. 写出下列随机试验的样本空间, 用样本点的集合表示
所述事件. 袋中有3个白球和2个黑球, 从其中任取2个球, 令A表示“取出的全是白球”, B表示“取出的全是黑 球”, C表示“取出的球颜色相同”, D表示“取出的两个 球至少有一个白球”
解: 将3个白球和2个黑球分布编号为1,2,3和4,5. 则 样本空间为 Ω ={{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4}, {2,5},{3,4},{3,5},{4,5}} 事件A={{1,2},{1,3},{2,3}} 事件B={{4,5}} 事件C={{1,2},{1,3},{2,3},{4,5}} 事件D={{1,2},{1,3},{2,3},{1,4},{2,4},{3,4},{1,5}, {2,5},{3,5}}
样本空间(Sample Space)的定义:
随机试验的所有可能的结果组成的集合, 称为 样本空间, 通常用Ω 来表示. 其每一个基本 结果称为样本点(也称为基本事件),常用ω 表示, 即有Ω ={ω }.
例一.
(1) 抛一枚硬币的样本空间为: Ω ={ω 1,ω 2}, ω1是正面, ω2 是反面; 或直接写成 Ω={正面, 反面}. (2) 掷一颗骰子的样本空间为: Ω ={1,2,3,4,5,6}.
随机事件(Random Event)的定义:
随机事件(简称事件), 是指随机试验中发生的 事件, 也就是某些样本点组成的集合, 常用大 写字母A, B, C, …表示. 例如在掷骰子的试验中,
“得到一个偶数”就是一个随机事件, 即A={2, 4, 6}.
事件可以用文字来表示, 也可以用集合来表示. 如果 某次试验的结果ω ∈A, 则称事件A发生. 单个样 本点对应的事件称为基本事件. 任何一次试验中 都一定不会出现的结果称为不可能事件, 用Φ 表 示.
它的几何表示为 :
在例二的掷骰子试验里 , 令A1 " 得到一个奇数 ", A2 " 得到的数 3" , 则A1 A 2 {1,2,3,5}
( 2) 事 件A与B的 交, 记 为A B, 或AB, 是 指"由A与 B的 公 共 的 样 本 点 组 成 新 的事 件 " , 即A B { : A且 B}, 其 意 义 是 " 事 件A与B同 时 发 生".
1 A i , i 1 i 1 i
1 . 那么
1 A1 {1}.
当然事件的并与交运算也可被拓展到对不可数无限个事 件的操作, 但这种运算在概率统计研究中应用较少, 只 是有时会成为我们解题时的一个工具而已.
样本空间的分割 (Partition)
第一章 随机事件与概率
第一节 随机事件及其运算
1. 引言：概率论与数理统计的研究对象 与内容 2. 概率论研究的一些基本术语：样本空 间、随机事件、随机变量等 3. 事件间的关系和运算 4. 事件域
1. 引言：概率论与数理统计的研究 对象与内容
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律 的一门数学分支.
A
i 1
i
{ Ω : 存在i使得 A i },
{ Ω : 对 于所 有 i, Ai }
A
i 1
i
例如:
1 设Ω (0,1],并定 义事件 Ai , i 1 A i , 1 (0, 1], i 1 i 1 i
确定性现象有很多,如:
“一个星期的天数为7天”, “边长为a和b的矩形的面积必为a×b”, “每天早晨太阳从东方升起”.
试验II:从含有5个白球和5个黑球的袋子里任意抽取一球.
试验II的结果可能是白球,也有可能是黑球,究竟出 现白球还是黑球,试验之前是无法确定的.尽管这 种类型的试验结果是不确定的,但如果我们进行大 量的试验,还是能发现一定的规律:
它的几何表示为 :
在例二的掷骰子试验里 , 令A1 " 得到一个奇数 ", A2 " 得到的数 3" , 则A1 {2,4,6}, A2 {4,5,6}
事件间的可数并与交
事件的并与交运算可被延伸到对可数无限个事件 的操作.
假定A1 , A 2 , A 3 ,是一列定义在相同样本 空间Ω 上的事件 ,则
它的几何表示为 :
在例二的掷骰子试验里 , 令A1 " 得到一个奇数 ", A2 " 得到的数 3" , 则A1 A 2 {1,3}
( 3) 事 件A与B的 差, 记 为A B, 是 指"由 在A中 但 不 在 B中 的 样 本 点 组 成 的 新 件 事" , 即A B { : A且 B}, 其 意 义 是 " 事 件A发 生 而 事 件B不 发 生 ".
什么是随机现象呢?
先看两个简单试验.
试验I:从含有10个完全相同的白球的袋子里任意抽取一球;
试验II:从含有5个白球和5个黑球的袋子里任意抽取一球.
试验I:从含有10个完全相同的白球的袋子里任意抽取一球;
试验I的结果在球没有抽取前就已确定了,它必 然是一个白球. 这种在试验之前就能判断它 有一个确定的结果的试验称为确定性试验, 对应的现象称为确定性现象.
它的几何表示为 :
在例二的掷骰子试验里 , 令A1 " 得到一个奇数 ", A2 " 得到的数 3" , 则A1 A 2 {5}
(4) 事 件A的 余, 记 为A, 是 指"由 在Ω中 但 不 在 A中 的 样 本 点 组 成 的 新 事" 件 , 即A { : A}, 其意义是 " 事 件A不 发 生 ".