专题13.5.4 逆命题与逆定理(角平分线的性质)(课件
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逆命题和逆定理PPT参考课件
∴PC是AB的垂直平分线。
（2）当点P在线段AB上，结论显然成立；
2∴021点/3/1P0 在线段AB的垂直平授分课：线XXX上
A
P
O
B
8
C
例2：说出命题“如果一个四边形是平行四边形， 那么它的一条对角线把它分成两个全等的三角形” 的逆命题，判定这个命题的真假，并给出证明。
解: 逆命题是 “ 如果四边形被它的一条对角线分成 两个全等三角形，那么这个四边形是平行四边形”
到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
2021/3/10
授课：XXX
5
平行四边形的两组对边分别相等。 (平行四边形的性质定理)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理 叫互逆定理。
2021/3/10
授课：XXX
6பைடு நூலகம்
做一做:下列说法哪些正确，哪些不正确？
线段垂解直:平这分个线定性理质的定理逆的命逆题定是理: : 到一条线段两个端点
距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB 求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明: （1）当点P不在 线段AB上时，作PC⊥AB于点O。 ∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB（根据什么？）
3、磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的 交通工具。
真命题
高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。 假命题
4、如果 a b ，那么a b
假命题
a b a b 如果
2021/3/10
，那么 授课：XXX
真命题
3
引例 写出下列命题的逆命题
八年级数学上册 第13章 全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 2 线段垂直平分线课件
A n
P
l是AB的垂直平分线 PA=PB
m是BC的垂直平分线 PB=PC
B
m
C
PA=PC
点P在AC的垂 直平分线上
试试看，你会写出证明(zhèngmíng)过程吗？
第十二页，共二十页。
证明：连接(liánjiē)PA，PB，PC.
l
∵点P在AB，AC的垂直平分线上，
∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上
第十六页，共二十页。
5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交交(jiāo jiāo)AC于E,连接BE，
AB+BC=16cm,则△BCE的周长是
c1m6 .
A
D E
B
C
第十七页，共二十页。
课堂(kètáng)小结
性质
(xìngzhì)
线段的垂直平 分的性质
(xìngzhì)和判定
判定
C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中， ∵QA=QB，QC=QC， ∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
你∴能点根Q据在分线析段中AB后的一垂种直(yī平zh分ǒnɡ线)添上加．辅助线的方法，写出它的证明过
程吗？
第九页，共二十页。
知识(zhī shi) 要点
平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，
然后证明该垂线平分线段AB；
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为 点C，然后证明QC垂直于线段AB．
第八页，共二十页。
已知： 如图，QA＝QB. 求证(qiúzhèng)： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 证明：过点Q作MN⊥AB，垂足(chuí zú)为点
华师版数学八年级上册1逆命题与逆定理第3课时角平分线课件
13.5 逆命题与逆定理
第3课时 角平分线
学习目标
掌握并会证明角平分线的性质定理； 掌握并会证明角平分线的性质定理
的逆定理.
温故知新
角是轴对称图形吗？ 是. 角的对称轴是什么？ 角平分线所在的直线. 角平分线的尺规作图还记得吗？ 角平分线有什么性质？
新知探索
已知: 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC 上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别 为点D和点E.试证：PD = PE.
OI = OH OG = OI
根据这个思路，你能 写出证明过程吗？
OG = OH
点O在∠BCA 的平分线上
练习
1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂 足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是( D ) A．PA = PB B．PO平分∠APB C．OA = OB D．AB垂直平分OP
已知: 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC 上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别 为点D和点E.试证：PD = PE.
∵∠PDO =∠PEO， ∠BOC =∠AOC， OP = OP，
∴△PDO≌△PEO(A.A.S.). ∴ PD = PE(全等三角形对应边相等).
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 注意
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为
垂足，QD =OQ. ∵ QD⊥OA，QE⊥OB ， ∴ ∠QDO =∠ QEO = 90°. 在 Rt△QDO和Rt△QEO中， ∵ OQ = OQ，QD = QE， ∴ Rt △QDO≌Rt △QEO (H.L.),
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
第3课时 角平分线
学习目标
掌握并会证明角平分线的性质定理； 掌握并会证明角平分线的性质定理
的逆定理.
温故知新
角是轴对称图形吗？ 是. 角的对称轴是什么？ 角平分线所在的直线. 角平分线的尺规作图还记得吗？ 角平分线有什么性质？
新知探索
已知: 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC 上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别 为点D和点E.试证：PD = PE.
OI = OH OG = OI
根据这个思路，你能 写出证明过程吗？
OG = OH
点O在∠BCA 的平分线上
练习
1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂 足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是( D ) A．PA = PB B．PO平分∠APB C．OA = OB D．AB垂直平分OP
已知: 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC 上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别 为点D和点E.试证：PD = PE.
∵∠PDO =∠PEO， ∠BOC =∠AOC， OP = OP，
∴△PDO≌△PEO(A.A.S.). ∴ PD = PE(全等三角形对应边相等).
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 注意
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为
垂足，QD =OQ. ∵ QD⊥OA，QE⊥OB ， ∴ ∠QDO =∠ QEO = 90°. 在 Rt△QDO和Rt△QEO中， ∵ OQ = OQ，QD = QE， ∴ Rt △QDO≌Rt △QEO (H.L.),
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
全等三角形135逆命题与逆定理3角平分线课件
(1)求证：点D在∠BAC的平分线上；
证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°. ∠DEB＝∠DFC，
在△BDE 和△CDF 中，∠BDE＝∠CDF， BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF(A.A.S.)，
∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上．
(2)若将条件“BD＝CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分 线上”互换，成立吗？试说明理由．
①∠AMB＝36°；②AC＝BD； ③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD. 其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.即∠AOC＝∠BOD.
∴△AOC≌△BOD.∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确． 在△AOC 和△BOD 中，O∠AA＝OOC＝B，∠BOD，
(2)写出AB，AC与AE之间的数量关系，并证明．
解：AE＝12(AB＋AC)． 证明：易证△ADE≌△ADF，得 AE＝AF， ∴12(AB＋AC)＝12(AE－BE＋AF＋CF) ＝12(AE－BE＋AE＋BE)＝AE.
15．如图，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为点E，F， BF交CE于点D，BD＝CD.
第13章 全等三角形
13.5 逆命题与逆定理
3．角平分线
新知笔记 1 相等 2 平分线
提示：点击 进入习题
1A 2B 33 4B 5B
答案显示Biblioteka 6D 7D 8 120° 9B 10 B
11 B 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
答案显示
1．角平分线上的点到角两边的距离__相__等____．
证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°. ∠DEB＝∠DFC，
在△BDE 和△CDF 中，∠BDE＝∠CDF， BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF(A.A.S.)，
∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上．
(2)若将条件“BD＝CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分 线上”互换，成立吗？试说明理由．
①∠AMB＝36°；②AC＝BD； ③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD. 其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.即∠AOC＝∠BOD.
∴△AOC≌△BOD.∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确． 在△AOC 和△BOD 中，O∠AA＝OOC＝B，∠BOD，
(2)写出AB，AC与AE之间的数量关系，并证明．
解：AE＝12(AB＋AC)． 证明：易证△ADE≌△ADF，得 AE＝AF， ∴12(AB＋AC)＝12(AE－BE＋AF＋CF) ＝12(AE－BE＋AE＋BE)＝AE.
15．如图，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为点E，F， BF交CE于点D，BD＝CD.
第13章 全等三角形
13.5 逆命题与逆定理
3．角平分线
新知笔记 1 相等 2 平分线
提示：点击 进入习题
1A 2B 33 4B 5B
答案显示Biblioteka 6D 7D 8 120° 9B 10 B
11 B 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
答案显示
1．角平分线上的点到角两边的距离__相__等____．
逆命题和逆定理PPT教学课件
逆命题是真命题。
说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题， 判定这个命题的真假，并说明理由。
课本P67页第四题
写出定理“等腰三角形底边上的高与中线重合” 的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。
2020/12/10
11
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
12
问1:什么是命题? 对一件事情做出正确或不正确判断的句子
叫做命题． 正确的命题是真命题，不正确的命题是假命题
问2：命题有哪两部分组成？ 命题由题设、结论组成
命题
条件
结论 真假
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 同位角相等 真
⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 两直线平行 真
⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，
请说出逆定理： （1）等腰三角形的两个底角相等。
有。两个角相等的三角形是等腰三角形 （2）三角形的两边之和大于第三边。
没有。 （3）同旁内角互补，两直线平行。
有。两直线平行，同旁内角互补。 （4）对顶角相等。
没有。
说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个
a＝b a2＝b2
a2＝b2
真
a＝b
假
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么 关系？命题⑶与命题⑷呢？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
命题
条件
结论 真假
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 同位角相等 真
说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题， 判定这个命题的真假，并说明理由。
课本P67页第四题
写出定理“等腰三角形底边上的高与中线重合” 的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。
2020/12/10
11
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
12
问1:什么是命题? 对一件事情做出正确或不正确判断的句子
叫做命题． 正确的命题是真命题，不正确的命题是假命题
问2：命题有哪两部分组成？ 命题由题设、结论组成
命题
条件
结论 真假
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 同位角相等 真
⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 两直线平行 真
⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，
请说出逆定理： （1）等腰三角形的两个底角相等。
有。两个角相等的三角形是等腰三角形 （2）三角形的两边之和大于第三边。
没有。 （3）同旁内角互补，两直线平行。
有。两直线平行，同旁内角互补。 （4）对顶角相等。
没有。
说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个
a＝b a2＝b2
a2＝b2
真
a＝b
假
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么 关系？命题⑶与命题⑷呢？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
命题
条件
结论 真假
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 同位角相等 真
全等三角形135逆命题与逆定理4角平分线角平分线的判定课件2
你一定发现到角两边距离相等的点的确在该角的 平分线上. 我们可以通过“证明”说明这一结论正确.
知1－讲
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离 相等
的点在角的平分线上．
(1)几何语言：如图13.5-15，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或
∠AOC＝∠BOC)． (2)作用：运用角平分线的判定，
图
知1－讲
证明：过点O、Q作射线OQ. ∵ QD⊥OA, QE⊥OB ， ∴ ∠QDO= ∠BOQ = 90°. 在 Rt △QDO和 Rt △QEO中，
∵ OQ = OQ，QD = QE，
∴ Rt △QDO≌ Rt △QEO, (H. L.), ∴ ∠DOQ= ∠EOQ(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上.
试试看，现在你会证明了吗？
图13.5.6
知2－讲
例4 如图13.5-20，CP，BP是△ABC两外角的平分线，
PE⊥AC且与AC的延长线交于点E，PF⊥AB且与
AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条
线段有什么关系？
导引：点P是两个角的平分线的
交点，因此先作PD⊥BC，
利用角平分线的性质找出
(2)点在角的平分线上
点到这个角两边的
距离相等．
(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离 就一定相等；判定定理反映只要是到角两边
距离 相等的点，都应在角的平分线上．
AB •D1 E）∶（ 2
AC •D1 F）＝ 2
(2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，
1
1
∴ （ AB •DE）∶（ AC •DF） ＝AB∶AC，
角平分线-性质定理与逆定理课件
D,E. 求证:PD=PE.
A D
分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在
的△OPD≌△OPB，
1
O
2
P C
而△OPD≌△OPB的条件由已知易知它 满足公理(AAS).
故结论可证.
E B
老师期望:你能写出规范的证明过程.
2
2019/4/23
开启 智慧 几何的三种语言
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
C● O
A
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
12
2019/4/23
3 独立作业
习题1.4
3.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
A
E
F
B
老师期望:
D
C
悟 做完题目后,一定要“ ”到点东
西,纳入到自己的3
1 独立作业
习题1.4
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 你发现了什么？
老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
11
2019/4/23
2 独立作业
习题1.4
2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB
的两边的距离相等.
B
D●
2019/4/23
13
A区
2019/4/23
8
小结 拓展
回味无穷
定理 角平分线上的点到这个角的两边
距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一
点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已
知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边
《角平分线的性质定理及其逆定理》PPT课件 湘教版
在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP= OP，PD=PE,
O
∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.
∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
由此得到角平分线性质定理的逆定理：
A D
C P
E B
图1-27
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
探究新知
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗? 如图1-27， 点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点 D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?
巩固练习
1. 如图，一个工厂在A区，它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和
铁路的交叉处O点为500m，在图上标出它的位置(比例尺为1∶20000).
解：
500÷20000=0.025m,
E
0.025m=2.5cm 图上距离为2.5cm.
点P即为所求．
PC F
课堂小结
角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
A D
PC
EB
图1-26
探究新知
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗? 如图1-27， 点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点 D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?
证明：如图1-27，过点O, P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO= ∠PEO= 90°.
A
A（B）
A（B）
A
D
C
PC
PC
O
BO
O
O
EB
探究新知
一般情况下.我们要证明几何命题时，可以按照以下 步骤进行.即: 1.明确命题中的条件和结论； 2.根据题设，画出图形.并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，写出证明过程.
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（1）求点D到AB的距离； （2）若AB=7，求△ABD的面积。
C D
A
E
B
【规律与方法】提到角平分线上的点这一条件,就应想到“角平分线上的点到角 两边的距离相等”得到线段相等，而角平分线的性质定理也常与全等三角形一 起使用。注意添加辅助线“通过角平分线上的点向角的边作垂线段”。
学以致用
例 2 在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
？F
B
C
A
ED
变（式1）：求如证图：，∠在B四+∠边D形=A18B0C。D；中，AD＞AB，BC=CD，AC平分∠BAD. （2）作CE⊥AD，求证：2AE=AB+AD.
数学活动室
1.在△ABC中,CD平分∠ACB ,DE⊥AC于E, DF⊥BC，BC=4， DE=2，求△BCD的面积。
学
C
以
E F
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）求证：BE=CF；
（2）求证：AB+AC=2AE
A
E
B
G
C F
D
一个人一天也不能没有理想，凭侥幸、 怕吃苦、没有真才实学，再好的理想也 不能实现不了。
结论提现
角平分线上的点到角两边的距离相等。
B
∵ OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA ，PE⊥OB
∴ PD=PE
点在角平分线上
E C
P
O
D
A
距离（线段）相等
【用途】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”可以 解决线段相等的问题。
学以致用
例 1 在△ABC中，∠C =90°，AD平分∠CAB，CD=4.
温故知新
角平分线
B
有哪些性
质呢？
O
A
ห้องสมุดไป่ตู้角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
探究发现
？ 如图，已知点P是∠AOB角平分线OC上的任意一点。
B E
线段PD的长
C
度叫做点P到
直线OA的距
P
离.
O
D
A
（1）作PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,将∠AOB沿OC对折,你能发 现什么？
（2）换个点再试一试？ （3）通过刚才的探究，你有猜想，如何验证？
角平分线上的点到角两边的距离相等。
探究发现
已知:点P是∠AOB平分线OC上任意一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E. 求证：PD=PE
B
E C
P
分析：要得到PD=PE △OPD≌△OPE
O
D
A
（1）如何证明PE=PD？ （2）请你书写过程？
角:∠PEO=∠PDO 角:∠BOC=∠AOC 边: PO=PO
致
用
A
D
B
数学活动室
2.在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，AB=6， S△ABC=15，求AC的长。
学
A
以
E
致
用
B
D
C
小结
这节课我学到了什么？ 我的收获是…… 我还有……的疑惑
P 99
习题 13.5
第4、5题
选做题
1.如图，AB＞AC，∠BAC的平分线交BC的垂直平分线于点D，自D作
（1）试问DE和DF相等吗？请说明理由；
（2）连结EF,求证：∠DEF=∠DFE；
（3）猜想EF和BC有怎样的位置关系，并验证你的猜想。
？A
A
E
F
E
F
P
B DC
BDC
学以致用
例 3 如图,四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,AC平分∠BAD,CE⊥AD.
（1）试问BC和CD相等吗？请说明理由； （2）请你判断AB、AD、AE之间的数量关系，并说明理由。
C D
A
E
B
【规律与方法】提到角平分线上的点这一条件,就应想到“角平分线上的点到角 两边的距离相等”得到线段相等，而角平分线的性质定理也常与全等三角形一 起使用。注意添加辅助线“通过角平分线上的点向角的边作垂线段”。
学以致用
例 2 在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
？F
B
C
A
ED
变（式1）：求如证图：，∠在B四+∠边D形=A18B0C。D；中，AD＞AB，BC=CD，AC平分∠BAD. （2）作CE⊥AD，求证：2AE=AB+AD.
数学活动室
1.在△ABC中,CD平分∠ACB ,DE⊥AC于E, DF⊥BC，BC=4， DE=2，求△BCD的面积。
学
C
以
E F
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）求证：BE=CF；
（2）求证：AB+AC=2AE
A
E
B
G
C F
D
一个人一天也不能没有理想，凭侥幸、 怕吃苦、没有真才实学，再好的理想也 不能实现不了。
结论提现
角平分线上的点到角两边的距离相等。
B
∵ OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA ，PE⊥OB
∴ PD=PE
点在角平分线上
E C
P
O
D
A
距离（线段）相等
【用途】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”可以 解决线段相等的问题。
学以致用
例 1 在△ABC中，∠C =90°，AD平分∠CAB，CD=4.
温故知新
角平分线
B
有哪些性
质呢？
O
A
ห้องสมุดไป่ตู้角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
探究发现
？ 如图，已知点P是∠AOB角平分线OC上的任意一点。
B E
线段PD的长
C
度叫做点P到
直线OA的距
P
离.
O
D
A
（1）作PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,将∠AOB沿OC对折,你能发 现什么？
（2）换个点再试一试？ （3）通过刚才的探究，你有猜想，如何验证？
角平分线上的点到角两边的距离相等。
探究发现
已知:点P是∠AOB平分线OC上任意一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E. 求证：PD=PE
B
E C
P
分析：要得到PD=PE △OPD≌△OPE
O
D
A
（1）如何证明PE=PD？ （2）请你书写过程？
角:∠PEO=∠PDO 角:∠BOC=∠AOC 边: PO=PO
致
用
A
D
B
数学活动室
2.在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，AB=6， S△ABC=15，求AC的长。
学
A
以
E
致
用
B
D
C
小结
这节课我学到了什么？ 我的收获是…… 我还有……的疑惑
P 99
习题 13.5
第4、5题
选做题
1.如图，AB＞AC，∠BAC的平分线交BC的垂直平分线于点D，自D作
（1）试问DE和DF相等吗？请说明理由；
（2）连结EF,求证：∠DEF=∠DFE；
（3）猜想EF和BC有怎样的位置关系，并验证你的猜想。
？A
A
E
F
E
F
P
B DC
BDC
学以致用
例 3 如图,四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,AC平分∠BAD,CE⊥AD.
（1）试问BC和CD相等吗？请说明理由； （2）请你判断AB、AD、AE之间的数量关系，并说明理由。