数学：5.7 逆命题和逆定理(1)课件(浙教版八年级下)
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陈业《浙教版数学八年级教材解读
新教材
1.1认识三角形 理解 第1课时： 1.三角形的定义，三角形内角的 定义； 2. 三角形三个内角的和等于 180°； （删去折纸，直接指出：小学已 学过） 3.三角形按内角的大小进行分类 ； 4.三角形任何两边的和大于第三 边 第2课时：三角形的角平分线、 中线、高线
调整到1.3的第二学时 15
25
26
27
28
原教材
新教材
1.6作三角形 1.什么是尺规作图； 2.作一个角等于已知角； 3. 作三角形； 4.作线段的中垂线.
调整 与 变化
1.6尺规作图 1.什么是尺规作图； 2.作一个角等于已知角； 3.作线段的中垂线； 4.作三角形.
新教材改变了“作线段的中垂线”和“作三角形” 的顺序
1.2 定义与命题 第1课时： 1.什么叫“命题”：判断某一 件事情的句子． …上述句子都对事件作出判断 （不论正确与否）… 2.我们在数学上学习的命题一 般由条件和结论两部分组成 第2课时： 1.真命题、假命题、定理的定 义；增加例2：判断下列命题 的真假，并说明理由． 2.判断真命题、假命题、定理 的的方法
1.3证明 第1课时： 1.什么叫证明； 2.体现证明过程的例题 第2课时： 1.例题3：证明三角形三个内角 的和等于180°是真命题； 2.三角形外角的概念；三角形 外角的性质：（删去“一个” ；删去“不等关系”—课标无 要求) 3.证明几何命题时的一般表述 格式； 4.正式提出“辅助线”的要求： 添辅助线的过程要写入证明中 21 ，辅助线通常画成虚线.
第3章 一元一次不等式 原教材 新教材
本章内容变化不大，根据课标要求删去“列一 元一次不等式组解应用题”降低了难度．
52
原教材
新教材
原(逆)命题和原(逆)定理
该猜想的题设和结论与勾股定理的题设和结论正好.
2.如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的命题。例如：
①原命题：若a＝b,则a2＝b2；逆命题：.（正确吗？）
②原命题：对顶角相等；逆命题：.（正确吗？）
由此可见：原命题正确，它的逆命可能也可能，正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题
探究活动：
1、怎样判定一个三角形是直角三角形？
2、下面的三组数分别是一个 三角形的三边长a.b.c
5、12、13 7、24、25 8、15、17
（1）这三组数满足 吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想命题2：如果三角形的三边长 、 、 ，满足 ，那么这个三角形是 三角形
2、练习册相关习题。
教学反思
勾股定理的逆定理及其应用。
学习难点
勾股定理的逆定理的证明。
授课类型
新授课
课时
教具学具ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习活动
修改意见
一、复习导入
1、勾股定理：直角三角形的两条的平方等于的，即.
2、填空题：
（1）在Rt△ABC， ∠C=90°， 8， 15，则 。
（2）在Rt△ABC，∠B=90°， 3， 4，则 。（如图）
3、直角三角形的性质
（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是，能构成直角三角形的是．（填序号）
①3，4，5②1，3，4③4，4，6④6，8，10
⑤5，7，2⑥13，5，12⑦7，25，24
四、课堂小结
本节课你的收 获是什么？还有哪些疑问 ？
2.如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的命题。例如：
①原命题：若a＝b,则a2＝b2；逆命题：.（正确吗？）
②原命题：对顶角相等；逆命题：.（正确吗？）
由此可见：原命题正确，它的逆命可能也可能，正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题
探究活动：
1、怎样判定一个三角形是直角三角形？
2、下面的三组数分别是一个 三角形的三边长a.b.c
5、12、13 7、24、25 8、15、17
（1）这三组数满足 吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想命题2：如果三角形的三边长 、 、 ，满足 ，那么这个三角形是 三角形
2、练习册相关习题。
教学反思
勾股定理的逆定理及其应用。
学习难点
勾股定理的逆定理的证明。
授课类型
新授课
课时
教具学具ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习活动
修改意见
一、复习导入
1、勾股定理：直角三角形的两条的平方等于的，即.
2、填空题：
（1）在Rt△ABC， ∠C=90°， 8， 15，则 。
（2）在Rt△ABC，∠B=90°， 3， 4，则 。（如图）
3、直角三角形的性质
（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是，能构成直角三角形的是．（填序号）
①3，4，5②1，3，4③4，4，6④6，8，10
⑤5，7，2⑥13，5，12⑦7，25，24
四、课堂小结
本节课你的收 获是什么？还有哪些疑问 ？
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计一. 教材分析《逆命题和逆定理》是浙教版数学八年级上册第2.5节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基本知识的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，他们已经学习了命题与定理的基本知识，对于新的知识有一定的接受能力。
但是，对于一些抽象的概念和理论，学生可能还存在着一定的理解难度。
因此，在教学过程中，需要通过生活中的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握逆命题和逆定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究逆命题和逆定理的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义。
2.难点：对于逆定理的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理。
2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养团队合作意识。
3.问题驱动法：通过问题的设置和解决，激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例和相关的理论知识。
2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学设备：准备白板和粉笔，用于板书和展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，引导学生思考逆命题和逆定理的概念。
例如，假设有一个命题：“如果一个人是学生，那么他喜欢数学。
”那么这个命题的逆命题就是：“如果一个人喜欢数学，那么他是学生。
《勾股定理的逆定理》PPT课件(第1课时)
的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定
理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三 角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
巩固练习
D
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为
斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂小结
勾股定理 的逆定理
内容 作用 注意
如果三角形的三边长a 、b 、c满
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )
A. 1,2,3
B. 2,3,4
C. 4,5,6
D. 1, 2, 3 C
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( C )
A.三个内角比为1：2：1
C.三边之比为 3 : 2 : 5
B. 三边之比为1：2： 5 D. 三个内角比为1：2：3
探究新知 考 点 2 勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形
b
根据勾股定理，则有 A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2. B
B
∵a2+b2=c2, ∴A1B1 =c， ∴AB=A1B1.
A1
在△ABC和△A1B1C 1中，
aC
BC=B1C1,
b
CA=C1A1, AB=A1B1.
B1 a C1
∴∆ABC ≌ ∆A1B1C1. ∠C=∠ C1 =90°.
理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三 角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
巩固练习
D
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为
斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂小结
勾股定理 的逆定理
内容 作用 注意
如果三角形的三边长a 、b 、c满
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )
A. 1,2,3
B. 2,3,4
C. 4,5,6
D. 1, 2, 3 C
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( C )
A.三个内角比为1：2：1
C.三边之比为 3 : 2 : 5
B. 三边之比为1：2： 5 D. 三个内角比为1：2：3
探究新知 考 点 2 勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形
b
根据勾股定理，则有 A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2. B
B
∵a2+b2=c2, ∴A1B1 =c， ∴AB=A1B1.
A1
在△ABC和△A1B1C 1中，
aC
BC=B1C1,
b
CA=C1A1, AB=A1B1.
B1 a C1
∴∆ABC ≌ ∆A1B1C1. ∠C=∠ C1 =90°.
人教版数学八年级下册17.2.1原(逆)命题、原(逆)定理课件2
问题2：按照这种做法真能得到一个直 角三角形吗？
实验观察
5 3
4 追问：这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
实验操作 提出猜想
动手画一画
（1）下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数 为边长（单位：cm）画三角形：
①2.5，6，6.5；②4，7.5，8.5.
∴ A’B’ 2=c2
么？
互逆命题的定义：如果两个命题的题设和结论正好 相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 逆命题。
怎样得到一个命题的逆命题？
把一个命题的题设和结论交换一下，即可得 到它的逆命题
巩固新知 说出下列命题的逆命题．并判断这些命题的
逆命题成立吗?
(1)两条直线平行，内错角相等． 逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立 (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
问命题那题2 么2由如这上果个面三三几角角个形形例的是子a三直你2边角发+长三现a角b了、形2什b。、=么c吗满c?足2请以命题的形式说出你的观点! ∴那解一分4断 （1如a逆解2则一互（两如∴4（互(aa思实②实12、 、 ， 、、 ，)A∠么：、析一2果命：组逆2直果2逆考验3验两△+） b） ） b判下什 判2’C这 (： 个三 题 (勾 命 角 一 定 ： 操 操，，，条b11A断了列么 前断了B=2))个回根三 角:股题边个理上作作斜斜4B因因直’如∠由解四叫 者由解=2C三忆据角 形数与长定一节边边为 为线，果cC2线互组做 是线互是提提2角勾勾形 的，互为理定课=长长aa平5/两=段逆数互 直段逆直c222出出形股股是 三都逆a的是的9为为2行个++a命中逆 角，a命角；0猜猜bb是定定直 边扩定逆互命、c、c°，实22题：命 三题b三，，想想直理理角 长大理命逆题==b，b内数、①题 角、角44那那、、角的的三 相有题命a1斜99错的互 、形 互1、和形么么cc++三内逆角同何经题、边组组角绝55逆原 的逆b本（aa77角容定形 倍关过，3、长22成成相对66定命 性定节直++、==形．理数系证但.c为的的等值bb66理题 质理课角满222。，明是k?22c三三．相==；(。与 定。的三足55k．一是互cc角角，，等为22逆 理命角个真逆．．形形，正cc命 ，题形22三命命是是那整==题 后2的角题题22的不不么数、 者定55形不,题是是22这那)互 是义，==中一设直直两么66逆 直）得22两定、角角个它55定 角到条是结三三实是理 三一较互论角角数一角.组小逆分形形相个形新边定别：：等定的数长理是理.判，的。什,定这这平么定两组方？理个数和；定同等理样于称是最为勾大互股边逆数长定.的理平,其方中，一那个么定这理个称三另角一形个是定直理角的三逆角定形理.
实验观察
5 3
4 追问：这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
实验操作 提出猜想
动手画一画
（1）下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数 为边长（单位：cm）画三角形：
①2.5，6，6.5；②4，7.5，8.5.
∴ A’B’ 2=c2
么？
互逆命题的定义：如果两个命题的题设和结论正好 相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 逆命题。
怎样得到一个命题的逆命题？
把一个命题的题设和结论交换一下，即可得 到它的逆命题
巩固新知 说出下列命题的逆命题．并判断这些命题的
逆命题成立吗?
(1)两条直线平行，内错角相等． 逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立 (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
问命题那题2 么2由如这上果个面三三几角角个形形例的是子a三直你2边角发+长三现a角b了、形2什b。、=么c吗满c?足2请以命题的形式说出你的观点! ∴那解一分4断 （1如a逆解2则一互（两如∴4（互(aa思实②实12、 、 ， 、、 ，)A∠么：、析一2果命：组逆2直果2逆考验3验两△+） b） ） b判下什 判2’C这 (： 个三 题 (勾 命 角 一 定 ： 操 操，，，条b11A断了列么 前断了B=2))个回根三 角:股题边个理上作作斜斜4B因因直’如∠由解四叫 者由解=2C三忆据角 形数与长定一节边边为 为线，果cC2线互组做 是线互是提提2角勾勾形 的，互为理定课=长长aa平5/两=段逆数互 直段逆直c222出出形股股是 三都逆a的是的9为为2行个++a命中逆 角，a命角；0猜猜bb是定定直 边扩定逆互命、c、c°，实22题：命 三题b三，，想想直理理角 长大理命逆题==b，b内数、①题 角、角44那那、、角的的三 相有题命a1斜99错的互 、形 互1、和形么么cc++三内逆角同何经题、边组组角绝55逆原 的逆b本（aa77角容定形 倍关过，3、长22成成相对66定命 性定节直++、==形．理数系证但.c为的的等值bb66理题 质理课角满222。，明是k?22c三三．相==；(。与 定。的三足55k．一是互cc角角，，等为22逆 理命角个真逆．．形形，正cc命 ，题形22三命命是是那整==题 后2的角题题22的不不么数、 者定55形不,题是是22这那)互 是义，==中一设直直两么66逆 直）得22两定、角角个它55定 角到条是结三三实是理 三一较互论角角数一角.组小逆分形形相个形新边定别：：等定的数长理是理.判，的。什,定这这平么定两组方？理个数和；定同等理样于称是最为勾大互股边逆数长定.的理平,其方中，一那个么定这理个称三另角一形个是定直理角的三逆角定形理.
逆命题与逆定理课件
在计算机科学中的应用
逆命题
在计算机科学中，逆命题常常被用来验证算法的正确性。例如，排序算法的时间 复杂度逆命题是“如果一个排序算法的时间复杂度低于O(n^2)，则该算法一定 存在”。
逆定理
在计算机科学中，有些算法的特性可以通过逆命题来证明。例如，快速排序算法 的稳定性逆定理是“如果一个排序算法是稳定的，则该算法一定不是基于比较的 ”。
详细描述
在应用逆定理时，需要确保所涉及的对象、 条件和范围与原定理相符合。例如，勾股定 理的逆定理适用于直角三角形，但不适用于
非直角三角形或不等边三角形。
注意逆定理的表述方式
要点一
总结词
逆定理的表述方式应清晰、准确，避免产生歧义或误解。
要点二
详细描述
在表述逆定理时，应使用与原定理一致的逻辑结构和语言 风格，确保读者能够正确理解。同时，需要注意语句的完 整性和连贯性，避免出现语法错误或遗漏重要信息。
在数学中的应用
逆命题
在数学中，逆命题是一种重要的逻辑推理工具。通过逆命题，我们可以对已知命题进行否定，从而得出新的结论 。例如，原命题为“如果两个三角形全等，则它们的对应角相等”，其逆命题为“如果两个三角形的对应角相等 ，则这两个三角形全等”。
逆定理
逆定理是原定理的逆命题经过证明后形成的新的定理。例如，在几何学中，勾股定理的逆定理是“如果一个三角 形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形”。
逆命题的性质
逆命题的真假性不一定与原命题相同 。
在数学中，一个定理的逆命题不一定 成立，只有当逆命题和原命题都成立 时，才称为逆定理。
逆命题的例子
01
02
03
原命题
如果一个三角形是等边三 角形，那么它的每个角都 是60度。
八年级上册数学 2.5逆命题和逆定理课件(共16张PPT)
A R P B Q C
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。 条件 结论 真假 真 真 真 假 两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
例1：指出下列命题的条件和结论，并说出它们 的逆命题。 如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵的条件 和结论有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
互逆命题
由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形. (在同一个三角 形中，等角对等边)是互逆定理
做一做:说出两对互逆定理
做一做:下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请
说出逆定理：
（1）内错角相等，两直线平行. 两直线平行，内错角相等. 有逆定理
（2）对顶角相等.
没有逆定理
（3）三角形两边之和大于第三边. 有逆定理
A
O C
B
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
例2 说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这 个逆命题是真命题.
这个定理的逆命题是: 到线段两端距离相 等的点在线段的垂直平分线上．
解:
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且 P ＰＡ＝ＰＢ 求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直 B 平分线上 O
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。 条件 结论 真假 真 真 真 假 两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
例1：指出下列命题的条件和结论，并说出它们 的逆命题。 如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵的条件 和结论有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
互逆命题
由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形. (在同一个三角 形中，等角对等边)是互逆定理
做一做:说出两对互逆定理
做一做:下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请
说出逆定理：
（1）内错角相等，两直线平行. 两直线平行，内错角相等. 有逆定理
（2）对顶角相等.
没有逆定理
（3）三角形两边之和大于第三边. 有逆定理
A
O C
B
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
例2 说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这 个逆命题是真命题.
这个定理的逆命题是: 到线段两端距离相 等的点在线段的垂直平分线上．
解:
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且 P ＰＡ＝ＰＢ 求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直 B 平分线上 O
逆命题和逆定理(1)
逆命题和逆定理（1）渔渡中学党文州教学目标1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。
2、了解逆命题、逆定理的概念。
教学重难点重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学过程一、回顾旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”例1．命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是，结论是。
命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”条件是，结论是。
以上两个命题有什么不同？请你说一说。
归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
就例1来说，如果说“平行四边形的对角线互相平分①”为原命题，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形②”为逆命题。
我们说①②两个命题叫做互逆命题。
请学生分别说明上表的原命题，逆命题及真假。
（幻灯片演示）问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？二、合作学习（做一做）1、说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假；①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题。
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题。
③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。
逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车——假命题。
归纳：像②那样，如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理。
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（4）真命题的逆命题是真命题。
D
例1、按要求作答：
⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线
P
A
O
B
⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？
C
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
⑶请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
解:
这个定理的逆命题是: 到一条线段两个端点距离
相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
条件
结论
两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命 题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件， 那么这两个命题叫做互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题（original statement）， 另一个叫做它的逆命题（converse statement）。
一个命题经证明是真命题，就可称为定理；
定理：平行四边形有一组对边平行且相等。
请说出其逆命题，并判断是真命题还是假命题：
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
这是一个真命题 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫
互逆定理。 请说出三对互逆定理
下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理， 请说出逆定理。
所以四边形ABCD不是平行四边形，
所以这个逆命题是假命题.
做一做
1.写出下列各命题的逆命题，并判断互逆命题的真假： （1）同位角相等； 逆命题：相等的角是同位角， （2）如果|a|=|b|，那么a=b； 逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
（3）等边三角形的三个角都是60°
逆命题：三个角都是60°的三角形是等边三角形
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝ＰＢ
P
求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线上
证明: ⑴当点P不在 线段AB上时， 作PC⊥AB于点O
A
O C P P P P P P
B
∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质） ∴PC是AB的垂直平分线。
A
B
∴点P在线段AB的垂直平分线上 ⑵当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；
⑴平行四边形的两组对边分别相等；
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形的对角线互相平分
⑶三角形的中位线平行于第三边。
没有逆定理
辨一辨
下列说法哪些正确，哪些不正确？ （1）每个定理都有逆定理。 （2）每个命题都有逆命题。 （3）假命题没有逆命题。
× √ × ×
判断下列说法是否正确？请说明理由
（1）假命题没有逆命题； （2）真命题没有逆命题； （3）每个命题都有逆命题； （4）真命题的逆命题是真命题 思考：每个命题都 有逆命题吗？
× × √ ×
一个命题的逆命题是真命题还是假命题？
请举例说明一个原命题是真命题，逆命题也是真命题的例子；
有没有原命题是真命题，而逆命题是假命题的例子？
两直线平行 a 2＝b 2 a ＝b
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行
⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
a ＝b a 2＝b 2
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关 系？命题⑶与命题⑷呢？
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
显然，上述两个命题可称为互逆定理
线段垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上 几何语言：
P
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
A
B
例2、说出命题“如果一个四边形是平行四边形，那么
说出下列命题，同位角相等. 同位角相等，两直线平行. (2)同位角相等 相等的角是同位角
真命题 真命题 假命题
假命题
(3)既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。假命题 圆既是中心对称，又是轴对称的图形。 真命题 真命题 (4)有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 平行四边形有一组对边平行且相等。 真命题 (5)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的 真命题 交通工具。 假命题 高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。
对某件事作出正确或不正确判断的句子叫做命题 命题的结构：命题由题设、结论组成 命题有真有假。 正确的命题是真命题，错误的命题是假命题
下列句子是命题的是（ D ） A.画∠AOB=45° C.连结CD B. 小于直角的角是锐角吗？ D. 三角形的中位线平行且等于第三边的一半
命题
条件
结论 同位角相等
做一做
2、举例说明下列命题的逆命题是假命题： (1).如果一个整数的个位数字是5，那么这个整 数能被5整除．
(2).如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
做一做
1、说出一个原命题是真命题和逆命题是 假命题的命题。 2、说出一对互逆定理。
3、说出一个没有逆定理的定理。
做一做
4、已知命题：“P是等边三角形ABC内一点。 若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC。” 证明这个命题，并写出它的逆命题，判断其 逆命题成立吗？
它的一条对角线把它分为两个全等三角形”的逆命题，
判断这个命题的真假，并给出证明。
解：逆命题是 “ 如果四边形被它的一条对角线分 成两个全等三角形，那么这个四边形是平行四边形”
说明一个命题是真命题需经证明，而说明 一个命题是假命题只需举一个反例。
B
3 C A 2 2 D
证明：如图，很明显两组对边不互相平行，3