高中数学椭圆的标准方程--利用定义求最值问题

椭圆的标准方程：利用椭圆的定义求最值
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握利用定义求椭圆中的最值方法；
2、过程与方法：由椭圆的定义与标准方程出发，培养学生分析探索能力，熟练掌握利用定义求椭圆中的最值方法；
3、情感、态度与价值观：通过求椭圆标准方程的学习，渗透概念与数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨思考，规范得出解答；培养学生自主学习能力；
4、高考导向：①《普通高中数学课程标准（2017年版）》第44页：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；②《普通高中数学课程标准（2017年版）》第45页：【学业要求】：能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题。

二、重点与难点：
1、重点：利用定义求最值；
2、难点：掌握方法并灵活应用。

三、教学过程
（一）课前热身：
1、（原创）已知点P 是椭圆136
1002
2=+y x 上任意一点，21,F F 是该椭圆的左、右焦点。

则21PF PF ⋅的最大值是 。

2825
1664),,8(),,8(,25936),0,8(),0,8(),,(122221212221-=+-=⋅--=---=-=-x y x PF PF y x PF y x PF x y F F y x P 则：设任意点解析：法 .
36.361028010
102121故：最大值是有最大值是
时，；当有最小值是时，当PF PF x PF PF x x ⋅±=⋅=∴≤≤- .
3636
28cos 64281cos 01cos 128
cos 6464sin 36cos 100sin 36)8cos 10)(8cos 10().
sin 6,8cos 10(),sin 6,8cos 10)
0,8(),0,8(),)(sin 6,cos 10((22122222221212121的最大值是（则三角代换法）：设点法PF PF P F P F PF PF P F P F F F R P ⋅∴≤-≤-∴≤≤⇒≤≤--=-+=+-+=⋅=⋅∴-=+=-∈θθθθθθθθθθθθθθθθ
（二）利用椭圆的定义求最值 类型一： 的最大值。

为椭圆上一点，求的两个焦点，是椭圆，（原创）、已知例||||11962251212
221PF PF P y x F F ⋅=+.
225||||||||,2254)(||||,30||||,1521212212121的最大值是所以时等号成立，当且仅当所以，由椭圆的定义知：解析：依题意知：PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF a ⋅==+≤⋅=+=
类型一探究与总结：
.
||||)0(122122
2221a PF PF P b a b y a x F F 的最大值是为椭圆上一点，则的两个焦点，是椭圆，已知方法总结：
⋅>>=+.
||||||||,4
)2(4)(||||,
2||||22121222212121a PF PF PF PF a a PF PF PF PF a PF PF 的最大值是：所以时等号成立，当且仅当所以，义知：依题意知：由椭圆的定探究：
⋅===+≤⋅=+
类型二：
的取值范围。

上的点，求和分别是圆上一点，为椭圆、已知例||||1)3(4)3(,116225222222PN PM y x y x N M y x P +=+-=++=+ （图一）
[].
13,7||||,7
2||||min |)||(|;
132||||max |)||(|,12)0,3(),0,3(212121∈+=--=-+-=+=++=+++=+==-PN PM r R a r PF R PF PN PM r R a r PF R PF PN PM r R F F 所以，圆的半径分别为是椭圆的左右焦点，两解析：两圆心
的最大值与最小值。

）（的最大值与最小值；
）（上一点，求：
为椭圆，分别为椭圆的左右焦点内有一点：、已知椭圆例||||2||||1,),3,2(11625311212
2PF PM PF PM C P F F M y x C +-=+（图二）
.34|)|||(.
34|||)||(||)
||(|||||;34|||)|||(||||,).
0,3(),0,3(,51min 11max 121111max 1111121-=-==---=-==---=PF PM M F PM PF P M F PM PF PF PM MF PF PM PF PM P P MF F F a 所以，，则交椭圆于点延长的最大值点，所以，
是使则并延长交椭圆于点于第三边，如图，连接由三角形的两边之差小）有椭圆方程知：解析：（ .1010||||1010110||||||||102||||)2(12121+≤+≤-+-=+==+PF PM PF PM PF PM a PF PF 所以，）
以下做法同（，所以，由椭圆的定义知
.
||2||||||2|;
|||||||,).0(11111112122
22MF a PF PM MF a MF PF PM MF P M F F b a b
y a x +≤+≤-≤-≤->>=+②①是椭圆上任意点，则：
内一定点，是椭圆为椭圆的左右焦点，为方法总结：设椭圆方程
（三）解决椭圆最值问题的常见思路总结：
①与焦半径乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，
注意等号成立的条件；
②与|||,|21PF PF 的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何的知识，转化为三点共线问题求解。

当堂检测与作业：
1、（原创）已知点P 是椭圆164
1002
2=+y x 上任意一点，21,F F 是该椭圆的左、右焦点。

则21PF PF ⋅的最大值是 。

的最大值。

为椭圆上一点，求的两个焦点，是椭圆，、（原创）已知||||12963612212
221PF PF P y x F F ⋅=+3、（2018.湘潭四模）已知F 是椭圆15922=+y x C ：的左焦点，P 为C 上一点，),3
4,1(A 则|PA|+|PF|的最小值为（ ）
A 310
B 311
C 4
D 3
13。