椭圆的定义及标准方程(一等奖)
椭圆定义及其标准方程
椭圆定义及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长。
椭圆的长轴的中点O称为椭圆的中心，短轴的长度称为椭圆的短轴长。
椭圆的离心率e是一个小于1的正数，它等于焦距与长轴长之比的一半。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴长和短轴长。
在坐标系中，椭圆的中心位于原点O(0, 0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
椭圆的定义和标准方程给出了椭圆的基本特征，下面我们来详细解释一下椭圆的性质和应用。
首先，椭圆是一种闭合的曲线，它在平面上呈现出一种椭圆形状，具有两个对称轴，分别是长轴和短轴。
椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
其次，椭圆在几何光学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。
在几何光学中，椭圆镜可以将平行光线聚焦到一个焦点上，因此被广泛应用于激光器、望远镜等光学设备中。
在天文学中，行星和卫星的轨道往往呈现出椭圆形状，根据椭圆的性质可以精确描述它们的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的形状被广泛运用于汽车、飞机等机械设备的设计中，以提高性能和效率。
另外，椭圆还具有许多有趣的数学性质。
例如，椭圆的面积可以用长轴和短轴的长度来表示，即πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有反射性质，即光线从一个焦点射到椭圆上，会经过另一个焦点。
这些性质使得椭圆成为了数学研究和实际应用中的重要对象。
总之，椭圆是一个具有丰富几何性质和广泛应用价值的数学对象，它的定义和标准方程为我们理解和利用椭圆提供了重要的基础。
通过对椭圆的深入研究和应用，我们可以更好地认识和掌握这一重要的数学概念，为科学研究和工程实践提供更多可能性。
说课：椭圆及其标准方程 公开课一等奖课件PPT
三、探究意识
3、课外探究
（1）如图4，将圆上所有的点的纵坐标压缩为原来 的一半，横坐标不变，所得的曲线是什么曲线？压
缩为原来的，1
3
，1
4
，1
5
…，1（n
n
N, n
2）呢？
（探究工具，手段不限）
（2）如果已知圆的方程为 x2 y2 16 ，你能分别
求出按（1）压缩后所得的曲线的方程吗？
二、过程意识
2、引导探究，构建新知-----标准方程的建立 在实际生活中，椭圆形的实物无处不在，
如盘子、油罐车的横截面，还有人造卫星绕地 球运行的轨迹等等，可见椭圆与圆一样是无处 不在的，因而很有必要研究椭圆的几何性质。 我们知道研究曲线及其性质的基本方法是坐标 法。用坐标法研究曲线有两个基本环节，一是 建立坐标系，二是建立方程。
所得的方程也不同，但不同的方程对应的椭圆是
不变的，我们要通过方程来研究椭圆的几何性质，
那当然是方程的形式越简单越好。最后经过分析、
比较不难得出坐标原点选在椭圆的中心时得出的
方程形式最简单，这样的方程我们把它称为椭圆
的标准方程。其中a、b、c是确定椭圆大小、形状
的特征量，且满足：
，a b 0 a2 b2 c2
二、过程意识
5、归纳小结，内化新知 我们最后选择了坐标原点在椭圆的
中心去建系是因为得出的方程形式最简 单，由这种建系方法得到的方程叫椭圆 的标准方程。在用椭圆的标准方程解决 问题时，要注意分清不同的“型”和 “形”，要注意定义的灵活运用。
二、过程意识
设计意图：这个环节不是对这节课所学 知识的简单罗列，而是通过思想方法的 渗透以及对学生在分析、探究的过程中 出现的问题的剖析，来加深学生对所学 知识的理解，使本节课的知识得到进一 步内化。
椭圆及其标准方程教学设计比赛获奖
§2.2.1 椭圆及其标准方程凯里实验高级中学范国柱■一、内容和内容解析（一）内容椭圆及其标准方程（二）内容解析本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书〃数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容。
在选修2-1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。
由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。
因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想。
■二、学生学情分析这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。
■三、目标和目标解析（一）目标1.理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
（二）目标解析1．经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力；通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；3.对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。
椭圆定义及标准方程
椭圆定义及标准方程椭圆是平面上的一个几何图形，具有许多独特的性质和特点。
在数学和几何学中，椭圆是一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆的定义及其标准方程，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2被称为焦点，常数2a被称为椭圆的主轴长度。
椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度之比，即e=c/a，其中c为焦距。
当e小于1时，椭圆是一个闭合曲线，当e等于1时，椭圆是一个半开曲线，当e大于1时，椭圆是一个开曲线。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
根据椭圆的定义，我们可以得出椭圆的标准方程的几何意义，在椭圆上任意一点P(x, y)，到两个焦点的距离之和等于常数2a。
根据勾股定理，我们可以得出x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1这一标准方程。
除了标准方程外，椭圆还有其他一些常见的方程形式，如参数方程和极坐标方程。
参数方程可以表示为x = acosθ，y = bsinθ，其中θ为参数，a和b同样为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
极坐标方程可以表示为r = a(1ecosθ)，其中r为极径，θ为极角，e为离心率。
在实际应用中，椭圆有着广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道往往是椭圆形的；在工程学中，椭圆的性质被广泛应用于光学、天线设计等领域；在艺术和建筑中，椭圆的形状被广泛运用于设计中。
因此，掌握椭圆的定义及其标准方程对于理解和应用这一概念都具有重要意义。
总之，椭圆是一个重要的几何图形，具有许多独特的性质和特点。
通过了解椭圆的定义及其标准方程，我们可以更好地理解和应用这一概念。
希望本文能够帮助读者对椭圆有一个更清晰的认识，并在相关领域的学习和工作中有所帮助。
椭圆的简单几何性质(省级优质课一等奖)
9
4
1
例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；（2）长 轴的长等于20，离心率等于3/5 。 解：(2) 由已知得， 2a 20, e c 3 ,
a 10, c 6, b2 102 62 64.
a
5
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上， 所以所求椭圆的标准方程为 ：
小 顶点坐标 结
焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c 的关系
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴长为b. (a>b)
二、导学导思：
x y 2 1(a b 0) [1]椭圆标准方程 2 a b
所表示的椭圆的范围是什么？ [2] 椭圆有几条对称轴？几个对称中心？ [3]上述方程表示的椭圆有几个顶点？顶点坐标是什么？ [4]2a 和 2b表示什么？ a和 b又表示什么？ [5]椭圆离心率是如何定义的？范围是什么？
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
x
x2 y2 2、椭圆 2 2 1( a b 0)的对称性： a b
从图形上看， 椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
x2 y2 从方程上看： 2 2 1(a b 0) a b
（1）把x换成-x方程不变，图象关于 y 轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于 x 轴对称； Y （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 图象关于原点 成中心对称。
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴。
椭圆的标准方程为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。
在椭圆的标准方程中，a和b的大小决定了椭圆的形状，当a>b时，椭圆的长轴水平；当a<b时，椭圆的长轴垂直。
椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，即e=\(\frac{c}{a}\)，其中c为焦距之一。
离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当0<e<1时，椭圆是一个扁平的椭圆；当e=1时，椭圆是一个狭长的椭圆；当e>1时，椭圆不存在，退化为双曲线。
根据椭圆的标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要性质。
首先，椭圆的中心在原点O(0,0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
其次，椭圆的焦点坐标为F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c=\(\sqrt{a^2-b^2}\)。
最后，椭圆的顶点坐标为A(a,0)和B(-a,0)，其中a为长轴的一半。
除了标准方程外，椭圆还可以有其他形式的方程。
例如，椭圆的参数方程为：\(\begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}\)。
其中t为参数，a和b同样为长轴和短轴的一半。
利用参数方程，我们可以更加灵活地描述椭圆上的点的运动规律。
另外，椭圆还可以通过矩形方程来表示，即：\( \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)。
其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
通过矩形方程，我们可以方便地得到椭圆的中心和长短轴的信息。
总之，椭圆是一种重要的几何图形，具有许多独特的性质和形式。
通过标准方程、参数方程和矩形方程，我们可以更加深入地理解和描述椭圆的形状和特点。
对于数学和物理学的学习和应用都有着重要的意义。
椭圆定义及标准方程
椭圆定义及标准方程椭圆是一个非常重要的几何形状，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍椭圆的定义及其标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，而常数2a则是椭圆的长轴的长度。
椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，这就是椭圆的基本定义。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以写成(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
如果椭圆的长轴是x 轴，短轴是y轴，那么标准方程可以简化为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1；如果椭圆的长轴是y轴，短轴是x轴，那么标准方程可以简化为(y-k)²/a² + (x-h)²/b² = 1。
通过标准方程，我们可以方便地确定椭圆的中心、长短轴长度以及椭圆的形状。
椭圆是一种非常特殊的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。
在日常生活中，椭圆的形状可以看到在椭圆形的湖泊、操场、椭圆形的建筑物等地方。
在数学上，椭圆也是椭圆积分、椭圆曲线等重要概念的基础。
在物理学中，行星的轨道、原子的轨道等也可以用椭圆来描述。
在工程领域，椭圆的形状也被广泛应用于天线设计、光学器件设计等方面。
总之，椭圆是一个非常重要的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。
通过学习椭圆的定义及其标准方程，我们可以更好地理解和掌握这一概念，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是一个非常重要的几何图形，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨椭圆的定义、性质以及其标准方程。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。
这两个定点被称为焦点，而常数2a 则被称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个与长轴垂直的短轴，其长度为2b。
椭圆的形状可以由长轴和短轴的长度来描述，而这个描述也可以用椭圆的标准方程来表示。
接下来，让我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以写成(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
如果椭圆的长轴与x轴平行，那么它的标准方程可以简化为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
如果椭圆的长轴与y轴平行，那么它的标准方程可以简化为(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1。
通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、长轴、短轴以及焦点的位置。
除了标准方程之外，椭圆还有许多重要的性质。
例如，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质被称为椭圆的焦点性质。
此外，椭圆还具有对称性，关于长轴和短轴都有对称轴。
这些性质使得椭圆在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在天体运动、工程设计以及密码学中都可以看到椭圆的身影。
总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多重要的性质和应用。
通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地描述和理解椭圆的形状和位置。
希望本文对您理解椭圆有所帮助，谢谢阅读！。
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绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
思 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关
系？
椭圆的画法.avi
M
F1
F2
运动过程中，什么是不变的？
不论点M运动到何处，绳长(2a)是不变的！
即轨迹上任一点M与两个定点距离之和为同一 常数2a，即：
MF1 MF2 2a
请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?
(1)由于绳长固定，所以点M到两
M
个定点的距离和是个定值
F1
F2
（2）点M到两个定点的距离和要大
学习重点难点：
1 求简单的焦点在X轴上的椭圆的标准方程 2 两点间的距离公式
导入新课
♦自然界处处存在着椭圆,我们如 何用自己的双手画出椭圆呢?
先 回 忆 如 何 画 圆
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
尝试实验，形成概念
数学实验
(1)取一条细绳， (2)把它的两端固定在板
于两个定点之间的距离
（Hale Waihona Puke ）椭圆的定义椭圆定义的文字表述：
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
椭圆定义的符号表述：
M
(2a>2c)
F2
F1
二、椭圆标准方程的推导
1、建系
m 1 5 m
表示焦点在X轴上的椭圆，则m的取值
范围是 (1,2) .
①
方程①就叫做椭圆的标准方程
它所表示的椭圆的焦点在 x轴上, 焦点坐标是 F1(c,0)、F2(c,0)。
a b c 其中 2 2 2
椭圆的标准方程的再认识：
y
F1(-c,0) O
M(x,y)
x2 y2
x a2 b2 1(a b 0)
F2(c,0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足c2=a2-b2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
∴a=5，c=4
b2 a2 c2 2516 9 b 3
因此，这个椭圆的标准方程是：
例2 写出适合下列条件的椭圆标准方程 (1) a=2,c=1,焦点在x轴上；
解：（1）因为焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
由题意可知：a=2、 c=1
b2 a2 c2 41 3
14
那么点P到另外的一个焦点F2的距离是_____
4已知方程
表示焦点在x轴
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4.)
链接高考
x2 y2
1
1、 已知F1，F2 是椭圆 25 9
的两个焦点 .
A.B为过点F1的 直线与椭圆的两个交点。则△AF1F2 的周长为 _____
. 2：已知方程
x2 y2 1
y
2、设点
3、根据椭圆定义列方程
M (x, y)
4、化简方程
F1(-c,0) O
|MF1|＋|MF2|= 2a>2c
x F2(c,0)
|MF1|= (x c)2 y2
|MF2|= (x c)2 y2
经过一系列的化简可得到:
？y
P(x, y)
x F1(c,0) O F2(c,0)
(b 0) 代入就可以得到：
x y 2
所以椭圆的标准方程为：
2
定义法求轨迹方程。 1
16 12
变式训练1：求适合下列条件的椭圆的标准方程： 两焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上
的一定点P到两焦点距离的和等于10；
解：（1）因为焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
由题意可知：2a=10、2c=8、
一 设置情景问题诱导
太 阳 系 2020/7/2
星系中的椭圆
——仙女座星系
——“传说中的”飞碟
学习目标：
1、椭圆的定义及焦点、焦距、 2、椭圆的标准方程及其特点；求简单 的椭圆的标准方程(焦点在X轴)
学习目标：
1、椭圆的定义及焦点、焦距、 2、椭圆的标准方程及其特点；求简单 的椭圆的标准方程(焦点在X轴)
两个焦点的坐标分别是F1(-2,0),F2(2,0),并 且椭圆经过点P( 2,3)
解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
由椭圆的定义可知：2a | PF1 | | PF2 | (2 2)2 (3)2 (22)2 (3)2
53 8
a 4 又 c 2 b2 a2 c2 16 4 12
3 . a、b、c始终满足：a2-b2=c2, a＞b＞0
五 堂堂清
1 椭圆 x2 y2 1的焦距是（ B ）
43
A1 B 2 C4 D2 3
F1
2已知焦点F1(-6，0)，F2(6，0)，2a=20的椭圆标准方程
x2 y2 1
100 64
x2 y2 3 椭圆 100 36 1 上的一点P到焦点F1的距离等于6
因此，这个椭圆的标准方程是：x2 y2 1
43
1.求适合下列条件的椭圆方程 1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上 2.b=1，c 15 焦点在X轴上
小结： 1 先定位(焦点)
根据焦点位置设出恰当的方程
2 再定量(a,b,c) 3 代入标准方程即可求得
四 课时小结 1. 学习了椭圆的定义，焦点、焦距， 2. 求出了焦点在X轴上的椭圆标准方程
变式练习题（一）
x2 1. 52
y2 32
1，则a＝
5
，b＝
3
；
焦点坐标为（：-4_，__0_）_（__4_，_0_）_ 焦距等于_8__;
2. x 2 y 2 1 ，则a＝ 3 ，b＝ 2 ； 94
焦点坐标为：(__5_,_0_)_(__5_,_0_)
焦距等于_2___5__
例题1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：