空间向量数量积解题
空间向量的数量积与向量积练习题
空间向量的数量积与向量积练习题在学习空间向量的数量积与向量积时，我们需要通过练习题来提高自己的理解和运用能力。
下面，我们将给出一些关于空间向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。
练习一：计算给定向量的数量积已知向量A = (-3, 2, 1) ，向量B = (4, -1, 5)，求向量A与向量B的数量积。
解答：根据数量积的定义，向量A与向量B的数量积为：A·B = AX * BX + AY * BY + AZ * BZ。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A·B = (-3) * 4 + 2 * (-1) + 1 * 5 = -12 - 2 + 5 = -9。
练习二：计算给定向量的向量积已知向量A = (1, 2, -3) ，向量B = (4, -1, 2)，求向量A与向量B的向量积。
解答：根据向量积的定义，向量A与向量B的向量积为：A × B = (AY * BZ - AZ * BY , AZ * BX - AX * BZ , AX * BY - AY * BX)。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A ×B = (2 * 2 - (-3) * (-1) , (-3) * 4 - 1 * 2 , 1 * (-1) - 2 * 4) = (4 - 3, -12 - 2, -1 - 8) = (1, -14, -9)。
练习三：判断两个向量的数量积与向量积的关系已知向量A = (1, -2, 3) ，向量B = (2, 4, 6)，求向量A与向量B的数量积与向量积，并判断两者之间的关系。
解答：首先，计算向量A与向量B的数量积：A·B = (1) * 2 + (-2) * 4 + 3 * 6 = 2 - 8 + 18 = 12。
然后，计算向量A与向量B的向量积：A ×B = (-2 * 6 - 3 * 4, 3 * 2 - 1 * 6, 1 * 4 - (-2) * 2) = (-12 - 12, 6 - 6, 4 + 4) = (-24, 0, 8)。
空间向量数量积运算第一课时练习题含详细答案
3.1.3空间向量的数量积运算一、选择题1．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ） ①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++④AB CB CD AD -+-A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④2、在空间四边形ABCD 中，若AB a =，BD b =，AC c =，则CD 等于 ( ） A ．()a b c -- B ．()c b a -- C ．a b c -- D ．()b c a --3、已知向量 a 和向量 b 的数量积为- 3，且| a |=1，| b |=2，则向量 a 和向量 b 的夹角（ ） A ．30° B ．60° C ． 120° D ．150°4、已知空间向量 a ， b 满足条件：（ a +3 b ）⊥（7 a -5 b ），且（a -4 b ）⊥（7 a -2 b ），则空间向量 a ， b 的夹角＜a ， b ＞（ ）A ．等于30°B ．等于45°C ．等于60°D ．不确定5、若a ，b 为非零向量，则a·b =|a |·|b |是a 与b 平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5、解析:因为a ,b 为非零向量，又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=|a ||b |, 所以cos 〈a ,b 〉=1.所以〈a ,b 〉=0,即a 与b 平行； 反之，若a 与b 平行，当〈a,b 〉=π时， a ·b =-|a |·|b |≠|a |·|b |,由此知应选A. 6、若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值一定是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定 7、在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD. 0=+++OC OB OA OM 8、 a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］C.(0，π)D.［0，π］9、已知|a |＝22，|b|＝22，a . b ＝-2，则a 、b 所夹的角为（ ）A. 0B. 4πC. 2πD. 34π10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________． 2．已知平行六面体ABCD －A ′B ′CD ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→； ④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确式子的序号是________．3．已知空间向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________．4．若AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →与CE →的位置关系为5．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________.6．已知|a |＝32，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.小组： 组号： 姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、__________2、___________3、_____________4、_____________5、_____________6、_____________ 三、解答题1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：BD 1⊥平面ACB 1.2、如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．答案：一、选择：1---5 CDDCA 6-----10 BCBDB10．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形二、填空：1、解析：①中(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②中(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③中(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以①②正确．答案：①②2、解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③正确；(AB →＋BB ′→)＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC ′→＋C ′C →＝AC →，故④错误．答案：①②③ 3、解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.答案：－134、解析：AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →·(BE →－BC →)＝AB →·CE →＝0.∴AB →⊥CE →.5、解析： 设A B →＝b ，A C →＝c ，A D →＝d ，则C D →＝d －c ，B D →＝d －b ，BC →＝c －b .原式＝0. 6、解析： m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m ⊥n ，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－32三、解答题：1、.证明：先证明BD 1⊥AC∵1BD = BC + CD +1DD ，AC = AB +BC ∴1BD ·AC =（BC + CD +1DD ）·（AB +BC ）=BC ·BC + CD ·AB =BC ·BC －AB ·AB =|BC |2－|AB |2=0∴BD 1⊥AC ，同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 1 2、解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-∴24162322cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3225-． 附加解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以PA →·PB→的取值范围为[－2,0)．DCBA备选：2、棱长为a 的正四面体ABCD 中，AB BC •+AC BD •的值等于（ B ） A ．0B.232aC. 22aD.23a7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( C )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++DC BD AB ，4||||||||=⋅+⋅DC BD BD AB ，0=⋅=⋅DC BD BD AB ， 则AC DC AB ⋅+)(的值为（ C ） A 、2 B 、22 C 、4D 、241．如图1，a 、b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．1、答案：相等 相反1、A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD =4，试求MN 的长.解析：1、连结AM 并延长与BC 相交于E ，又连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别为BC 及CD 之中点. 现在MN =AE AF AM AN 3232-=- =EF AE AF 32)(32=- =)(32CE CF - =CB CD CB CD -=-(31)2121(32) =BD 31∴MN =|MN |=31|BD |=31BD =34。
空间向量数量积及坐标运算
空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。
本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。
一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。
向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。
性质：1.数量积是实数。
2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。
3.数量积满足交换律：a · b = b · a。
4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。
二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。
性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。
2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。
3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。
空间向量的数量积与向量积模拟试题
空间向量的数量积与向量积模拟试题思考题一：已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+4j-2k，求向量a与向量b的数量积和向量积。
解答：1. 数量积的计算数量积（也叫点积）是两个向量的乘积结果与两个向量之间夹角的余弦值的乘积。
计算公式如下：a·b = |a| × |b| × cosθ其中，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模，θ表示a与b之间的夹角。
向量a与向量b的数量积计算如下：a·b = (2 × 3) + (-1 × 4) + (3 × -2) = 6 - 4 - 6 = -4所以，向量a与向量b的数量积为-4。
2. 向量积的计算向量积（也叫叉积）是两个向量的乘积结果与两个向量之间夹角的正弦值的乘积。
计算公式如下：a×b = |a| × |b| × sinθ × n其中，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模，θ表示a与b之间的夹角，n表示一个垂直于向量a和向量b的向量。
向量a与向量b的向量积计算如下：a×b = (2 × 4 - 3 × -1)i + (3 × 3 - 2 × 2)j + (2 × -1 - 3 × 4)k= (8 + 3)i + (9 - 4)j + (-2 - 12)k= 11i + 5j - 14k所以，向量a与向量b的向量积为11i + 5j - 14k。
思考题二：已知向量a，b，c分别为2i-3j+4k，5i+2j-k，-3i+6j-2k，求(a×b)·c 的值。
解答：1. 求向量积(a×b)向量积的计算公式为：a×b = (a2b3 - a3b2)i + (a3b1 - a1b3)j + (a1b2 - a2b1)k根据给定向量计算，得到向量积a×b如下：a×b = (2 × -1 - 4 × 2)i + (4 × 5 - 2 × -3)j + (2 × 2 - 5 × -3)k= (-2 - 8)i + (20 + 6)j + (4 + 15)k= -10i + 26j + 19k2. 求向量积与向量c的数量积(a×b)·c = (-10i + 26j + 19k)·(-3i + 6j - 2k)数量积的计算方法如上文所述，计算得：(a×b)·c = (-10 × -3) + (26 × 6) + (19 × -2)= 30 + 156 - 38= 148所以，(a×b)·c的值为148。
空间向量的数量积(人教A版)(含答案)
空间向量的数量积（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( )A.(1，1，1)B.(-2，-1，1)C.(1，-3，1)D.(1，-1，1)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( )A.或2B.或2C.2D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示4.向量，若，且，则的值为( )A.-2B.2C.-1D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示5.已知空间向量，若与垂直，则( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( )A.4B.−4C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( )A.1B.2C.3D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积9.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，则下列等式成立的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积10.(上接第9题)( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积。
1.1.2 空间向量的数量积运算(基础知识+基本题型)(含解析)(人教A版2019选择性必修第一册)
1.1.2 空间向量的数量积运算（基础知识+基本题型）知识点一 空间向量的夹角 1．概念如图3.1-26，已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作 OA a =，OB b =，则么AOB ∠叫做向量,a b 的夹角，记,a b <>.2．范围[],0,a b π<>∈． 3．特别地，如果,2a b π<>=，那么向量,a b 互相垂直，记作a b ⊥．对空间两个向量的夹角的理解，应注意以下几点：(1)由概念，知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π，故,0a b <>=(或π)//a b ⇔(,a b 为非零向量)．(2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a 都是共线的，即0∥a ．两非零向量的夹角是唯一确定的．(3)对空间任意两个向量,a b ，有；①,,,a b a b b a <>=<-->=<-->；②,,,a b a b a b π<->=<->=-<>；③AB AC BACA AB AC π<>=<>=-<>．．．．拓展若两个向量,a b 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为θ， (1)向量夹角的范围是0<<,a b ><π，异面直线的夹角θ的范围是0<θ<2π，(2)当两向量的夹角为锐角时，,a b θ=<>；当两向量的夹角为2π时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，,a b θπ=-<>. 知识点二 空间向量的数量积定义已知两个非零向量,a b ，则||||cos ,a b a b <>叫做向量,a b 的数量积，记作a b ⋅，即||||cos ,a b a b a b ⋅=<>.零向量与任意向量的数量积为0，即00a ⋅=.几何意义向量,a b 的数量积等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos ,b a b <>的乘积或等于b 的长度||b 与a 在b 的方向上的投影||cos ,a a b <>的乘积.运算律()()a b a b λλ⋅=⋅a b b a ⋅=⋅（交换律）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）1． 对于空间向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解：(1)向量,a b 的数量积记为a b ⋅．而不能表示为a b ⨯或ab ;(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：当θ为锐角时，a b ⋅>0，但当a b ⋅>0时， θ也可能为0；当θ为钝角时．a b ⋅<0，但当a b ⋅<0时，θ也可能为π：(3)当θ≠0时， a b ⋅=0不能推出b 一定是零向量，这是因为对于任一个与a 垂直的非零向量b ．都有a b ⋅=0．2． 在考向量数量积的运算律时，要准确区分两向量的数量积与向量的数乘 、实数与实数的乘积之问的差异.（1）向量的数量积的运算不满足消去律，即a b ⋅=b c ⋅推不出a c =， （2）向量数量积的运算不满足结合律，即()a b c ⋅⋅不一定等于()a b c ⋅ ． （3）向量数量积的运算不满足除法，即对于向量a b ⋅，若a b ⋅=k ，不能得到k a b =（或kb a=）．例如，当非零向量a b ⋅垂直时，a b ⋅=0，但0a b=显然是不正确的．知识点三 空间向量数量积的性质若,a b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ为a 与e 夹角，则： (l) cos e a a e a θ⋅=⋅=. (2) 0a b a b ⊥⇔⋅=(3)若a 与b 同向，则a b a b ⋅=；若a 与b 反向，则a b a b ⋅=-．特别地，2=a a a a a a ⋅=⋅或． (4)若θ为a 与b 的夹角．则cos =a b a bθ⋅.(5)a b a b ⋅≤. 拓展空间向量数量积的性质可以看作数量积的定义的．引申和拓展，空间向量数量积与向量的模和夹角有关，更多的是以它为工具解决立体几何中与夹角和距离有关的问题．例如．（1）求空间中两点间的距离或线段的长度，可以理解为求解为求相应线段所对应的向量的模． (2)求空间中两条直线的夹角（特别是两条异面直线所成的角），即求这两条直线所对应的两个向量的夹角或其补角．(3)证明线线垂直问题时，可以通过计算两条直线所对应的两向量的数量积为零来说明这两条直线垂直．考点一 空间向量数量积的运算问题例1 已知向量,a b 之间的夹角为30，且a =3，b =4，求22,,,(2)()a b a b a b a b ⋅+⋅-．解：0cos ,34cos3063a b a b a b ⋅==⨯⨯=，229a a a a =⋅==，2216b b b b =⋅==22(2)()2963326323a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=+-=-总结：有关向量数量积的运算应注意的问题：⑴要与数乘运算区分开，数乘运算的结果仍是向量，向量的数量积为实数． ⑵书写规范：不能写成a b ⨯，也不能写成ab ． ⑶向量数量积运算不满足结合律，也不满足消去律．(4)向量数量积与实数运算有很多是相同的，如平方差公式、完全平方公式、多项式展开法则等，但也有很多区别，要注意总结．考点二 利用向量的数量积求角例2如图3．1—30．在正方体1111ABCD A B C D -中，求向量1BC 与AC 的夹角的大小．解：方法1：因为11AD BC =，所以1CAD ∠的大小就等于1,BC AC因为△1CAD 为等边三角形，所以0160CAD ∠=，所以1BC 与AC 的夹角的大小为60︒． 方法2．设正方体的棱长为1，()()()()111BCAC BCCC AB BC AD AA AB AD ⋅=+⋅+=+⋅+ 222110001AD AB AD AA AB AA AD AD AD =⋅++⋅+⋅=+++==又因为12,2BC AC ==，所以cos 11111,222BC AC BC AC BC AC⋅===⨯⋅， 因为[]1,0,BC AC π∈，所以1BC 与AC 的夹角的大小为60︒．求两个向量的夹角有两种方法：⑴结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；⑵先求a b ⋅，再利用公式cos ,a b a b a b⋅<>=，求cos ,a b <>，最后确定,a b <>．考点三 利用向量的数量积求距离例 3 已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD AB ⊥，且与α所成的角是30︒，如果,AB a AC BD b ===，求C ，D 间的距离．解：如图，由AC α⊥，知AC AB ⊥，过点D 作'DD α⊥于点'D ，连接'BD ，则'30,,120DBD CA BD ∠=︒=︒，所以22||()CD CD CD CA AB BD ==++2||CA =+22222222||||2222cos120AB BD CA AB CA BD AB BD b a b b a b ++++=+++︒=+故22CD a b =+．总结：（1）线段长度的计算通常有两种方法：一是构建三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量（一般向几何体的棱上转化）．（2）应牢记并能熟练地考公式2222||()||||||222a b c a b c a b c a c a b b c ++=++=+++++．考点四 利用向量的数量积证明垂直例4 如图，在四面体O ABC -中，M,N,P,Q 分别为BC ，AC ，OA ，OB 的中点，若AB OC =，求证：PM QN ⊥．分析：欲证PM QN ⊥，只要证明0PM QN =，需将PM QN 用其他向量表示后再进行计算． 证明：如图3．1-34，连接OM ，设,,OA a OB b OC c ===．因为P ，M 分别为OA ，BC 的中点，所以111()[()]222PM OM OP b c a b a c =-=+-=-+．同理，连接ON ，所以111()[()]222QN a c b b a c =+-=--+．所以22111[()]{[()]}(||||)224PM QN b a c b a c b a c =-+⋅--+=---．又因为AB OC =，所以||||b a c -=所以0PM QN =，所以PM QN ⊥，即PM QN ⊥．。
空间向量数量积
A F
B E
D C
A
D
A
B
C
图一
D
C B 图二
二、垂直问题
例1、在平面内一条直线与这个平面旳一条斜线旳射影 垂直，那么它也与这条斜线垂直。
已知，如图，PO、PA分别是平面 内旳垂线、斜线， AO是PA在平面 内旳射影， l 且l⊥OA， 求证：l ⊥PA.
P
O
l
A
例2、如图，m, n是平面内的两条相交直线， 如果l m, l n,求证：l .
① (a) • b (a • b);数乘结合律 ② a • b b • a;交换律 ③ a • (b c) a • b a • c.分配律
不能 不能
不一定
例1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等 于a， 点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，
求：(1)AB AC;(2)AD DB;(3)GF AC. A
l
m
g
n
例3、已知空间四边形 OABC中，AOB BOC AOC, 且OA OB OC, M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的 中点，求证：OG BC .
O
M
A
G
C
N
B
变式：正方体ABCD A1B1C1D1中，P是DD1的中点， O是底面ABCD的中心，求证： B1O 平面PAC .
（一）数量积旳定义
（1）空间向量旳夹角
已知两个非零向量 a,b ，在空间中任取一点O，作 OA a,OB b, 则AOB叫做向量a与b的夹角， 记作 a,b ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）、数量积旳定义
①：零向量与任历来量旳数量积为0 ②： a • a a a cos a, a a 2
空间向量的数量积-最完美版(1)
对于三个均不为0的数 a, b, c,
c c 若 ab c, 则 a .(或b ) b a
若 能否 对于向量 a ,b , a b k
k k 写成 a (或b ) ? 也就是说 b a
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
(a b )c a (b c ) 成立吗？也就 是说，向量的数量积满足结 合律吗？ 不成立， 左边是一个与向量 c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量 c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
空间向量的数量积运算
回 顾
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
一 复习引入
1 向量的夹角: 已知两个非零向量 a , b , 作 OA a , OB b 则 AOB (0 180 ) 叫做向量a 与 b 的夹角.
( )
( ) () ( )
3.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则： ①( a · b ) c ( c · a ) b =0
②| a |-| b |<| a b |
2
③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b )·(3 a 2 b )=9| a | - 4 b 中,真命题是(
②a b ab 0;
2 ③ a a a 也就是说 a
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A 1
B 1
C 1
D 1
D
C A
B
Ｇ
Ｏ 图１
活用空间向量数量积解题
空间向量数量积公式将空间两个向量的长度和夹角有机联系在一起，为许多立几问题（特别是夹角与垂直问题）的解决开辟了一条新的途径，常可使问题化繁为简，化难为易． １．证明空间垂直问题
例１．如图１，在正方体1111D C B A ABCD -中，O 为AC 与BD 的交点，G 为1CC 的中点，求证：⊥O A 1平面BDG ．
分析：要证明A 1O ⊥平面GBD ，只要能证明A 1O ⊥平面GBD 中的两条相交直线即可，而从图中观察，证A 1O ⊥BD ，A 1O ⊥OG 较容易成功． 证明：设11B A ＝ａ，11D A ＝ｂ，A 1＝ｃ． 则ａ·ｂ＝０，ｂ·ｃ＝０，ａ·ｃ＝０，
而)(21111A A A ++=+=＝ｃ＋21
（ａ＋ｂ），
-=＝ｂ－ａ，
=++=+=121)(21CC 21(ａ＋ｂ)－2
1
ｃ, ∴A 1·=(ｃ＋
21ａ＋2
1
ｂ)·(ｂ－ａ) ＝ｃ·（ｂ－ａ）＋21
（ａ＋ｂ）·（ｂ－ａ）
＝ｃ·ｂ－ｃ·ａ＋2
1
（b 2－a 2）=0．
OG O A ∙1＝(ｃ＋21ａ＋21ｂ)·(21ａ＋21ｂ－21
ｃ)
＝41（ａ＋ｂ）2 ＋41ｃ·（ａ＋ｂ）－21
c 2
＝41（ａ2＋ｂ2）－2
1
c 2 ＝０
∴⊥O A 1BD, ⊥O A 1OG ． 又∵OG BD ＝Ｏ．∴⊥O A 1平面BDG ． 又⊂O A 1平面BD A 1， ∴ 平面⊥BD A 1平面GBD
评注：向量ａ垂直于向量ｂ的充要条件是ａ·ｂ＝０，据此可以证明直线与直线垂直，进而还可证明直线与平面垂直．在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，
A 1
B 1
C 1
D 1
D
C
A
B 图２
再考虑它们的数量积是否为零．
例２ 如图２，已知平行六面体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形,且CB C 1∠＝
BCD CD C ∠=∠1
（１）求证：BD C C ⊥1；
（２）当1
CC CD 的值为多少时，
能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明． 证明：（１）＝ａ，＝ｂ，1CC ＝ｃ，
依题意，∣ａ∣＝∣ｂ∣， 设、、1CC 中两两所成夹角为θ， 于是CB CD BD -=＝ａ－ｂ，
1CC ·BD ＝ｃ·
（ａ－ｂ）＝ｃ·ａ－ｃ·ｂ ＝∣ｃ∣·∣ａ∣θcos －∣ｃ∣·∣ｂ∣θcos ＝０， ∴BD C C ⊥1．
解：（２）若使⊥C A 1平面BD C 1，只须证BD C A ⊥1，11DC C A ⊥． 由)()(1111CC AA C CA -∙+=∙＝（ａ＋ｂ＋ｃ）·（ａ－ｃ） ＝∣ａ∣2＋ａ·ｂ－ｂ·ｃ－∣c ∣2
＝∣ａ∣2－∣c ∣2＋∣ｂ∣·∣ａ∣θcos －∣ｂ∣·∣ｃ∣θcos ＝０
当∣ａ∣＝∣ｃ∣时，⊥C A 11DC ，同理可证当∣ａ∣＝∣ｃ∣时，⊥C A 1BD ． ∴ 当
1
CC CD
＝１时，⊥C A 1平面BD C 1． 评注：本题蕴含着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定以及待定值得探求等问题．用向量论证线面关系，一定要选好基底，一般用具有长度和角关系的向量作为基底．
二、求空间角的问题
例３ 在棱长都相等的四面体ABCD 中,Ｅ 、Ｆ 分别是棱ＡＤ、ＢＣ的中点，连结ＡＦ、ＣＥ，求异面直线ＡＦ与ＣＥ所成的角.
A
B
D
Ｅ Ｆ
图３
解:如图３,设AB =a ,AC =b ,AD =c , ∣a ∣=∣b ∣=∣c ∣=m .
则2
1=（a ＋b ），CE =－b ＋2
1
c .
m 2
3
=
=, =
∙CE AF 21（a ＋b ）·(－b ＋21c )=－21 a ·b ＋41 a ·c －21 b 2＋41b ·c =－21∣a ∣∣b ∣cos600 ＋41∣a ∣∣c ∣cos60
=21b 2+41∣b ∣∣c ∣cos600
= －2
12m
又=∙
θθcos 4
32m =,
∴
3
2
cos ,21cos 4322-=-=θθm m . ∴ＡＦ 与ＣＥ所成的角为3
2
arccos .
评注：求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示．。