专题18多面体的表面积和体积(解析版)

专题18 多面体的表面积和体积（解析版）多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。

易错点1：基础知识不扎实
（1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；
（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？
易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误
易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误
易错点4：空间想象能力欠缺
题组一
1．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
A．18+B．54+C．90 D．81
【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右
两个侧面是矩形，边长为3，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9
+18+
2．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．
由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()222234l =+=，
21π2
S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ． 3．（2015新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几
何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为
22222422016r r r r ππππ+++=+，所以2r =．
题组二
4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视
图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4
的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的
一半， 其体积221(36)272
V =⨯π⨯⨯=π， 故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．
解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为
21(3)14632
ππ⨯⨯=．选B ． 5．（2013新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．168π+
B ．88π+
C ．1616π+
D ．816π+
【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4
宽为2高为2长方体，故其体积为
21244222
π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A ． 题组三
6．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去
部分体积与剩余部分体积的比值为
A ．81
B ．71
C ．61
D ．5
1 【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥111A A B D ，其体积为16
，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15
． D 1
A 1
B 1
C 1A B D
C
7．（2014新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长 为1（表示1cm ），图中粗线画出的
是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
A ．1727
B ．59
C ．1027
D ．13
【解析】原毛坯的体积2(3)654V ππ=⨯⨯=，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，
其体积2212(2)4(3)234V V V πππ'=+=⨯⨯+⨯⨯=，故所求比值为10127
V V '-=． 8．（2011新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个
球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的
316
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．
【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的316，得223416r R ππ=，所以32r R =，则小圆锥的高为
2
R ，大圆锥的高为32R ，所以比值为13． 题组四
9.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为
长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
【解析】该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，14cm AA =，
所以该模型体积为：
1111311664(46432)314412132(cm )32
ABCD A B C D O EFGH V V ---=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=， 3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，
所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)⨯=．
10.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体
积是 .
【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，
所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，所以三棱锥E BCD -的体积：
111332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=111012
AB BC DD ⨯⨯⨯=. 11．（2014新课标Ⅱ）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23D 为BC 中
点，则三棱锥11A B DC -的体积为
A ．3
B ．32
C ．1
D 3【解析】由题意可知AD BC ⊥，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面11DB C ， 又2sin 603AD =⋅=11111113231332A B DC B DC V AD S -∆=
⋅=⨯， 故选C ．
12．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC
的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。

当ABC ∆的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：3
cm )的最大值为_______。

O D F
E
C
B
A
【解析】如图连接OE 交AC 于G ，由题意OE AC ⊥，设等边三角形ABC 的边长为x
（05x <<）
，则6OG x =
，56
GE x =-． G O D F
E
C
B
A
由题意可知三棱锥的高h ===
底面2ABC S x ∆=，
三棱锥的体积为213V x ==
设45()53h x x x =-
，则34()203
h x x x '=-（05x <<）， 令()0h x '=
，解得x =
(0,x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；
当x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，
所以x =()h x
取得最大值4h =
所以2max V =
== 13.（2019年新课标2卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．
【解析】由图知，该半正多面体的面数为26，设所求棱长为a，则由题知
所以，
+==-
21,21
a a a。