高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义 例谈点的轨迹方程的2020完备性和纯粹性2020的处理
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程[课标研读]［课标要求］ 1.圆锥曲线① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.④ 了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. 2.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. [命题展望]本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。
通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值高达30分左右。
主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现；2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。
第一讲 椭圆[知识梳理]［知识盘点］一．椭圆的基本概念1．椭圆的定义：我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（ |,|21F F ）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为 。
这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。
2．椭圆的第二定义：平面内，到定点)0,(c F 的距离与到定直线:l 的距离之比是常数a c （即 ）的动点的轨迹叫做椭圆，其中常数ac叫做椭圆的 。
2018年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义课件5 苏教版选修2-1
y
P(x, y) H
O F2 (c, 0)
x
x a2 c
两边平方得： x c2 y2 4a2 4a x c2 x c2 y2
移项化简得：a x c2 y2 a2 cx
变形：
(x c)2 y2 a2 x
c a
当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线.
当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中e是圆锥曲线的离心率, 定点F是圆锥曲线的焦点, 定直线l是圆锥曲线的准线.
注：这个定义又称椭圆和双曲线的第二定义
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)
(1)x2 2 4
焦点 ( 2, 0) 准线 x 2 2
(2)2 y2 x2 4
焦点 (0, 6)
(3)x2 y 0
焦点 (0, 1) 4
准 线 y 6 3
准线y 1 4
例3：已知椭圆 x2 y2 1上一点P到左焦点的距离为 34
25 16
5
（1）求P点到右准线的距离
圆锥曲线的统一定义
一、 创设情境，引入新课
请同学们回忆以下知识：
1.圆锥曲线有哪些呢？它们是怎么得到的？
0
< <2
=
2.用一个平面去截一个圆锥还可以得到什么？
一、 创设情境，引入新课
一、 创设情境，引入新课
请同学们回忆以下知识：
3.椭圆、双曲线、抛物线的定义？
抛物线的定义： 平面内到一定点F的距离和到一定直线l (F不
2018年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义课件9 苏教版选修2-1
线 l:x=a2的 距 离 的 比 是 常 数 c(a> c> 0),求 点 P 的 轨 迹 .
c
a
轨迹方x程 2 为y2：1 a2 a2c2
探究二： 若变为 0<a<c, 则点P的轨迹为？
轨迹方ax程 22 为 c2y2a： 2 1
思考： 圆锥曲线可以统一定义为？
圆锥曲线可以统一定义为:
l
l
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2px ( p , 0 )
2
y2 2px
(
p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2py ( 0 , p ) y p
l
2
2
l x2 2py (0， p ) y p
2
2
例2 求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
（1）x 2 y 2 1 25 9
课题：圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义
复习回顾
1、椭圆的定义：
平面内到两定点 F1，F2 距离之和等于常数 2a （2a>F1F2）的点的轨迹。
表达式 PF1+PF2=2a（2a>F1F2）
2 、双曲线的定义：
平面内到两定点 F1，F2距离之差的绝对值等于 常数 2a （2a<F1F2）的点的轨迹：
a2－ cx＝ ax－ c2＋ y2
探究一：
在推导椭圆的标准方程时，我们 曾经得到这样一个式子:
a2cxa (xc)2y2
将其变形为
(xc)2 y2 a2 x
c a
c
你能解释这个式子的几何意义吗?
例题
例 1 已 知 点 P (x,y)到 定 点 F (c,0)的 距 离 与 它 到 定 直
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义课件苏教版选修2_1
e，
3 2
都在椭圆上，其中
e
为椭圆的离心率，
则椭圆 E 的方程为___x2_2＋__y_2__＝_1______
(2)已知椭圆 E：ax22＋yb22＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中
心 O，且A→C·B→C＝0，|O→C－O→B|＝2|B→C－B→A|，则椭圆 E 的方程为_____________
3.已知双曲线
E：xa22－by22＝1
的右焦点为
F，圆
C：
x－2c
2＋y2＝c2与双曲线 4
E
的
渐近线交于 A，B，O 三点(O 为坐标原点)，若△ABF 为等边三角形，则双曲线 E
的离心率为____2____．
合作释疑:
例 1 (1)若双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2 ＝4 所 截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为________
变式 2
已知椭圆
C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
3，过右焦点 2
F
且斜率为
k(k>0)
的直线与 C 相交于 A，B 两点，若A→F＝3F→B，则 k＝__2______
例 4 如图所示，椭圆 E 的中心在坐标原点 O，顶点分别是 A1，A2，B1，B2，焦 点分别是 F1，F2，延长 B2F2 交 A2B1 于点 P，若∠B2PA2 是钝角，求椭圆 E 离 心率 e 的取值范围．
由 AB＋AC＋BC＝4a＝2＋ 2得 a＝2＋4 2，所以 AC＋AM＝2＋2 2，所以，AM
＝ 22.所以焦距 2c＝
AC2＋AM2＝
高二数学圆锥曲线的统一定义PPT优秀课件
| PF2 | e d
所以d=
1
e |PF2|=24
例1已知双曲线 x2 y上2一点1P到左焦点的
64 36
距离为14，求P点到右准线的距离.
分 析 :两 准 线 间 距 离 为 2a2 c
法二:设点P到左准线的距离为d
a8,b6,c10,14e c 5
d
a4
d 14456 又 2a2 26464
课堂小结
1.圆锥曲线的统一定义 2.求点的轨迹的方法 3.数形结合的思想
作业
<<创新设计>>
练一练
1.动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1)的距离 之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
1 2
x4
2.
中心在原点,准线方程为x
x2 y2
4,离心率为
1 2
1
的椭圆方程是 4 3
3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线
y
D
O
P A
x
F
拓展延伸
1.已知P为双曲线x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3:2，试求点
P(x0, y0)的坐标。
2.已知双曲线x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1,PF2成等比数列，试求点P(x0, y0)的坐标.
2
练一练
1 2
x4
1.
中心在原点,准线方程为x4,离心率为
x2 y2 1
1 2
的椭圆方程是 4 3
高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义讲义含解析苏教版选修2_10416315.doc
2.5圆锥曲线的统一定义[对应学生用书P35]抛物线可以看成平面内的到定点(焦点)F 的距离与到定直线(准线)l 的距离的比值等于1(离心率)的动点的轨迹．在坐标平面内有一定点F (c,0)，定直线x ＝a 2c (a >0，c >0)．动点P (x ，y )到定点F (c,0)的距离与到定直线x ＝a 2c 的距离的比为ca.问题1：求动点P (x ，y )的轨迹方程． 提示：由(x －c )2＋y 2|a2c－x |＝c a，化简得：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)． 问题2：当a >c ，即0<c a<1时，轨迹是什么？ 提示：椭圆．问题3：当a <c ，即c a>1时，轨迹是什么？ 提示：双曲线．圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当0＜e ＜1时，它表示椭圆， 当e ＞1时，它表示双曲线， 当e ＝1时，它表示抛物线．其中e 是离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线.从抛物线的定义知，抛物线只有一个焦点和一条准线，那么椭圆、双曲线有几个焦点，几条准线？提示：椭圆、双曲线分别有两个焦点，两条准线．椭圆、双曲线和抛物线的准线方程圆锥曲线的第一定义与第二定义的区别椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的．[对应学生用书P 36][例1] 过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线C 为________．[思路点拨] 利用圆锥曲线第二定义进行转化，由圆心到直线的距离和半径的大小关系，建立不等式求e 的范围即可判断．[精解详析] 设圆锥曲线的离心率为e ，M 为AB 的中点，A ，B 和M 到准线的距离分别为d 1，d 2和d ，圆的半径为R ，d ＝d 1＋d 22，R ＝AB 2＝FA ＋FB 2＝e (d 1＋d 2)2.由题意知R ＞d ，则e＞1，圆锥曲线为双曲线．[答案] 双曲线[一点通] 解答这种类型的问题时，巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化，即e ＝PF 1d 1＝PF 2d 2.有时会应用到数形结合的思想方法，这种类型多为客观题，以考查统一定义的应用为主．1．方程 (1＋x )2＋y 2＝|x ＋y －1|对应点P(x ，y )的轨迹为________． 解析：由(1＋x )2＋y 2＝|x ＋y －1| 得[x －(－1)]2＋y 2|x ＋y －1|2＝ 2.可看作动点P (x ，y )到定点(－1,0)的距离与到定直线x ＋y －1＝0的距离比为2>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线．答案：双曲线2．若将例1中“相交”二字改为“相离”，判断曲线的形状；把“相交”二字改为“相切”，再判断曲线的形状．解：设圆锥曲线的离心率为e ，M 是AB 中点，A ，B 和M 到准线的距离分别为d 1，d 2和d ，圆的半径为R ，则d ＝d 1＋d 22，R ＝AB 2＝FA ＋FB 2＝e (d 1＋d 2)2.当圆与准线相离时，R ＜d ， 即e (d 1＋d 2)2＜d 1＋d 22，∴0＜e ＜1，圆锥曲线为椭圆． 当圆与准线相切时，R ＝d ， ∴e ＝1，圆锥曲线为抛物线.[例2] 已知动点P (x ，y )到点A (0,3)与到定直线y ＝9的距离之比为33，求动点P 的轨迹．[思路点拨] 此题解法有两种一是定义法，二是直译法．[精解详析] 法一：由圆锥曲线的统一定义知：P 点的轨迹是一椭圆，c ＝3，a 2c ＝9，则a 2＝27，a ＝33，∴e ＝333＝33，与已知条件相符．∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y ＝±9.b 2＝18，其方程为y 227＋x 218＝1.法二：由题意得x 2＋(y －3)2|9－y |＝33.整理得y 227＋x 218＝1.P 点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y ＝±9为准线的椭圆．[一点通] 解决此类题目有两种方法：①是直接列方程，代入后化简整理即得方程．②是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程．3．平面内的动点P (x ，y )(y >0)到点F (0,2)的距离与到x 轴的距离之差为2，求动点P 的轨迹．解： 如图：作PM ⊥x 轴于M ，延长PM 交直线y ＝－2于点N .∵PF －PM ＝2， ∴PF ＝PM ＋2.又∵PN ＝PM ＋2，∴PF ＝PN . ∴P 到定点F 与到定直线y ＝ －2的距离相等．由抛物线的定义知，P 的轨迹是以F 为焦点，以y ＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝8y (y >0)． ∴动点P 的轨迹是抛物线．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，直线l ：x ＝－2，动点M 到F 1的距离是它到定直线l 距离d 的2倍．设动点M 的轨迹曲线为E .(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)设点F 2(4,0)，若直线m 为曲线E 的任意一条切线，且点F 1，F 2到m 的距离分别为d 1，d 2，试判断d 1d 2是否为常数，并说明理由．解：(1)由题意，设点M (x ，y )， 则有MF 1＝(x ＋4)2＋y 2，点M (x ，y )到直线l 的距离d ＝|x －(－2)|＝|x ＋2|， 故(x ＋4)2＋y 2＝2|x ＋2|， 化简得x 2－y 2＝8.故动点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝8. (2)d 1d 2是常数，证明如下：若切线m 斜率不存在，则切线方程为x ＝±22， 此时d 1d 2＝(c ＋a )·(c －a )＝b 2＝8.当切线m 斜率存在时，设切线m ：y ＝kx ＋t ， 代入x 2－y 2＝8，整理得：x 2－(kx ＋t )2＝8， 即(1－k 2)x 2－2tkx －(t 2＋8)＝0. Δ＝(－2tk )2＋4(1－k 2)(t 2＋8)＝0， 化简得t 2＝8k 2－8.又由kx －y ＋t ＝0，d 1＝|－4k ＋t |k 2＋1，d 2＝|4k ＋t |k 2＋1， d 1d 2＝|16k 2－t 2|k 2＋1＝|16k 2－(8k 2－8)|k 2＋1＝8,8为常数．综上，对任意切线m ，d 1d 2是常数.[例3] 已知定点A (－2，3)，点F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点M 在椭圆上运动，求AM ＋2MF 的最小值，并求此时点M 的坐标．[思路点拨] 利用统一定义把MF 转化为点M 到相应准线的距离，数形结合便可迎刃而解．[精解详析] ∵a ＝4，b ＝23，∴c ＝a 2－b 2＝2.∴离心率e ＝12.A 点在椭圆内，设M 到右准线的距离为d ，则MF d ＝e ，即MF ＝ed ＝12d ，右准线l ：x ＝8.∴AM ＋2MF ＝AM ＋d . ∵A 点在椭圆内，∴过A 作AK ⊥l (l 为右准线)于K ，交椭圆于点M 0.则A 、M 、K 三点共线，即M 与M 0重合时，AM ＋d 最小为AK ，其值为8－(－2)＝10. 故AM ＋2MF 的最小值为10，此时M 点坐标为(23， 3)．[一点通] 圆锥曲线的统一定义通常用来解决一些与距离有关的最值问题，利用定义，实现曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的互化，互化时应注意焦点与准线的对应．5．已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，M 为双曲线上的动点，则MA ＋35MF的最小值为______．解析：双曲线离心率e ＝53，由圆锥曲线统一定义知MFd ＝e (d 为点M 到右准线l 的距离)，右准线l 的方程为x ＝95，显然当AM ⊥l 时，AM ＋d 最小，而AM ＋35MF ＝MA ＋35de ＝MA ＋d .而AM ＋d 的最小值为A 到l 的距离为9－95＝365.答案：3656．若点P 的坐标是(－1，－3)，F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点Q 在椭圆上移动，当QF ＋12PQ 取得最小值时，求点Q 的坐标，并求出最小值．解：在x 216＋y 212＝1中a ＝4，b ＝2 3，c ＝2，∴e ＝12，椭圆的右准线l ：x ＝8，过点Q 作QQ ′⊥l 于Q ′， 则QFQQ ′＝e . ∴QF ＝12QQ ′.∴QF ＋12PQ ＝12QQ ′＋12PQ ＝12(QQ ′＋PQ )．要使QQ ′＋PQ 最小，由图可知P 、Q 、Q ′三点共线，所以由P 向准线l 作垂线，与椭圆的交点即为QF ＋12PQ 最小时的点Q ，∴Q 的纵坐标为－3，代入椭圆得：Q 的横坐标为x ＝2. ∴Q 为(2，－3)，此时QF ＋12PQ ＝92.[例4] 求椭圆x 216＋y 225＝1的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线且离心率互为倒数的双曲线方程．[思路点拨] 由方程确定a 、c ，从而求e 与准线，由椭圆的准线、离心率再确定双曲线的实轴、虚轴长，求出双曲线的方程．[精解详析] 由x 216＋y 225＝1知a ＝5，b ＝4，c ＝3.e ＝c a ＝35，准线方程为y ＝±253. 设双曲线虚半轴长为b ′，实半轴长为a ′，半焦距为c ′， 离心率为e ′，则e ′＝1e ＝53，又∵a 2c ＝a ′2c ′＝253.解得：a ′＝1259，c ′＝62527，b ′2＝250 000729.∴双曲线方程为81y 215 625－729x2250 000＝1.[一点通] 此类问题首先判断该圆锥曲线是什么曲线，然后化成标准方程，确定出a 、b 、c 、p ，进而求离心率和准线方程．7．(天津高考)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2过双曲线的一个焦点，所以c ＝2，又离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2－a 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝18．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为210，若一双曲线与此椭圆共焦点，且它的实轴长比椭圆的长轴长短8，双曲线的离心率与椭圆的离心率之比是5∶1，求椭圆和双曲线的方程，并求其相应的准线方程．解：设a ′，b ′分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a －a ′＝4，(10a ′)：(10a )＝5∶1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ′＝1，a ＝5.所以椭圆的短半轴长b ＝a 2－c 2＝15， 双曲线的虚半轴长b ′＝c 2－a ′2＝3. 故椭圆和双曲线的方程分别是x 225＋y 215＝1和x 2－y 29＝1. 椭圆的准线方程为x ＝±5210，双曲线的准线方程为x ＝±1010.1．圆锥曲线的判断：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是： (1)如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义． (2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义．2．圆锥曲线共同特征的应用：设F 为圆锥曲线的焦点，A 为曲线上任意一点，d 为点A 到定直线的距离，由AF d＝e 变形可得d ＝AF e.由这个变形可以实现由AF 到d 的转化，借助d 则可以解决一些最值问题．[对应课时跟踪训练(十四)]1．双曲线2x 2－y 2＝－16的准线方程为________． 解析：原方程可化为y 216－x 28＝1.∵a 2＝16，c 2＝a 2＋b 2＝16＋8＝24， ∴c ＝2 6.∴准线方程为y ＝±a 2c ＝±1626＝±463.答案：y ＝±4632．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则PM ＋PN 的最小值、最大值分别为________________．解析：PM ＋PN 最大值为PF 1＋1＋PF 2＋1＝12，最小值为PF 1－1＋PF 2－1＝8. 答案：8,123．到直线y ＝－4的距离与到A (0，－2)的距离的比值为2的点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，由题意得|y ＋4|x 2＋(y ＋2)2＝ 2.化简得y 28＋x 24＝1.答案：y 28＋x 24＝14．(福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1. 答案：3－15．已知椭圆x 24＋y 22＝1内部的一点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，则MA＋2MF 的最小值为________．解析：设M 到右准线的距离为d ，由圆锥曲线定义知MF d ＝22，右准线方程为x ＝a 2c＝2 2.∴d ＝2MF . ∴MA ＋2MF ＝MA ＋d .由A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小值，∴MA ＋d ≥22－1. 答案：22－16．已知椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，到其左、右两焦点距离之比为1∶3，求点P 到两准线的距离及点P 的坐标．解：设P (x ，y )，左、右焦点分别为F 1、F 2.由已知的椭圆方程可得a ＝10，b ＝6，c ＝8，e ＝c a ＝45，准线方程为x ＝±252.∵PF 1＋PF 2＝2a ＝20，且PF 1∶PF 2＝1∶3， ∴PF 1＝5，PF 2＝15.设P 到两准线的距离分别为d 1、d 2，则 由PF 1d 1＝PF 2d 2＝e ＝45，得d 1＝254，d 2＝754. ∴x ＋a 2c ＝x ＋252＝254，∴x ＝－254.代入椭圆方程，得y ＝±3394.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，3394或⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，－3394.7．已知平面内的动点P 到定直线l ：x ＝2 2的距离与点P 到定点F (2，0)之比为 2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB ，交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为k 1、k 2，问k 1·k 2是否为定值？解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有(x －2)2＋y 2|x －2 2|＝22. 整理，得x 24＋y 22＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意，设N (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)，x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1.k 1·k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝2－12x 21－2＋12x 22x 21－x 22＝－12，为定值． 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，P 是左支上一点，P 到左准线的距离为d ，双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，问是否存在点P ，使d 、PF 1、PF 2成等比数列？若存在，则求出P 的坐标，若不存在，说明理由．解：假设存在点P ，设P (x ，y )． ∵双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，∴b a ＝3，b 2＝3a 2，c 2－a 2＝3a 2.∴c a ＝2.若d 、PF 1、PF 2成等比数列，则PF 2PF 1＝PF 1d＝2，PF 2＝2PF 1.① 又∵双曲线的准线为x ＝±a 2c， ∴PF 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2·a 2c ＝|2x 0＋a |， PF 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－2·a 2c ＝|2x 0－a |. 又∵点P 是双曲线左支上的点，∴PF 1＝－2x 0－a ，PF 2＝－2x 0＋a .代入①得－2x 0＋a ＝2(－2x 0－a )， x 0＝－32a .代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 0＝±152a . ∴存在点P 使d 、PF 1、PF 2成等比数列， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，±152a .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义 例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性”的
2.5 例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性”的处理方法求满足条件的动点的轨迹方程，是解析几何的常见问题，大部分同学很容易忽视求出的方程要满足完备性和纯粹性，在这实际解题中也不太会讨论，下面给出了求出点的轨迹方程后去检验“完备性和纯粹性”的几种常见情况。
一、利用三角形的顶点不共线。
例1、已知点A （－a ，0），B （a ，0），若△MAB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，求顶点M 的轨迹方程。
解：设M （x ，y ），依题意得|MA|2＋|MB|2＝|AB|2∴ （22)(y a x ++）2＋（22)(y a x +-）2＝（2a ）2化简得 x 2＋y 2＝a 2∵ △MAB 的顶点M 、A 、B 不共线 ∴ M 不能在x 轴上 ∴ x≠0 故点M 的轨迹方程为 x 2＋y 2＝a 2（x≠0）二、利用直线的斜率必须存在。
例2、已知点A （－1,0），B （1,0），动点P 使直线PA 和PB 的斜率之积为－2，求动点P 的轨迹方程。
解：设P （x ，y ） 则 k P A ＝10+-x y ＝1+x y k P B ＝10--x y ＝∴1+x y•1-x y ＝－2 化简得 2x 2＋y 2＝2 ∵ 直线PA 和PB 的斜率存在 ∴ x≠±1 故点P 的轨迹方程为 2x 2＋y 2＝2 （x≠±1）三、利用点所在的区域范围。
例3、已知点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上运动， 且|AB|＝2a （a ＞0），求AB 中点M 的轨迹方程。
解：设M （x ，y ），由中点坐标公式得 A （2x ，0） B （0，2y ） ∴22)20()02(y x -+-＝2a化简得 x 2＋y 2＝a 2∵ 点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上 ∴ 点M 在第一象限 即 x ＞0 y ＞0 故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2（x ＞0且y ＞0）四、根据条件解不等式。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义课件苏教版选修2_1
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
(2)由题意知，椭圆的右准线为 x＝245，过 M 点作右准线的 垂线，垂足为 M′(如(1)图所示)，由椭圆第二定义知， MMMA′＝e＝45，即54MA＝MM′.所以 MB＋54MA＝MB＋MM′. 易知，当 B，M，M′三点共线时，MB＋MM′有最小值， 最小值为 BM′＝245－2＝147.当 y＝2 时，有2x52＋292＝1，解得
所以点 A(4，0)为椭圆的右焦点， 则左焦点为 F(－4，0)． 则 MA＋MF＝2a＝10，即 MA＋MB＝10－MF＋MB. 因为|MB－MF|≤BF＝ （－4－2）2＋（0－2）2 ＝ 2 10， 所以－2 10≤MB－MF≤2 10，故 10－2 10≤MA＋ MB≤10＋2 10.即 MA＋MB 的最大值为 10＋2 10，最小 值为 10－2 10.
解：
由已知易得点 B 在抛物线内，p2＝1，准线方程 x＝－1， 如图，过 B 作 C′B⊥准线 l 于 C′，直线 BC′交抛物线于 A′， 则 A′B＋A′C′为满足题设的最小值．因为 C′B∥x 轴，B 坐 标为( 3，2)， 所以 A′点坐标为(x，2)． 又因点 A′在抛物线上，所以 A′(1，2)即为所求 A 点，此时 最小值为 BC′＝ 3＋1.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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2.5 例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性”的处理方法
求满足条件的动点的轨迹方程，是解析几何的常见问题，大部分同学很容易忽视求出的方程要满足完备性和纯粹性，在这实际解题中也不太会讨论，下面给出了求出点的轨迹方程后去检验“完备性和纯粹性”的几种常见情况。
一、利用三角形的顶点不共线。
例1、已知点A （－a ，0），B （a ，0），若△MAB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，求顶点M 的轨迹方程。
解：设M （x ，y ），依题意得|MA|2
＋|MB|2
＝|AB|2
∴ （
22)(y a x ++）2＋（22)(y a x +-）2＝（2a ）2
化简得 x 2
＋y 2
＝a 2
∵ △MAB 的顶点M 、A 、B 不共线 ∴ M 不能在x 轴上 ∴ x≠0 故点M 的轨迹方程为 x 2
＋y 2
＝a 2
（x≠0）
二、利用直线的斜率必须存在。
例2、已知点A （－1,0），B （1,0），动点P 使直线PA 和PB 的斜率之积为－2，求动点P 的轨迹方程。
解：设P （x ，y ） 则 k P A ＝10+-x y ＝1+x y k P B ＝10--x y ＝
∴
1+x y
•1
-x y ＝－2 化简得 2x 2＋y 2
＝2 ∵ 直线PA 和PB 的斜率存在 ∴ x≠±1 故点P 的轨迹方程为 2x 2
＋y 2
＝2 （x≠±1）
三、利用点所在的区域范围。
例3、已知点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上运动， 且|AB|＝2a （a ＞0），求AB 中点M 的轨迹方程。
解：设M （x ，y ），由中点坐标公式得 A （2x ，0） B （0，2y ） ∴
22)20()02(y x -+-＝2a
化简得 x 2＋y 2＝a 2
∵ 点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上 ∴ 点M 在第一象限 即 x ＞0 y ＞0 故点M 的轨迹方程为x 2
＋y 2
＝a 2
（x ＞0且y ＞0）
四、根据条件解不等式。
例4、△ABC 中，已知B （1,0），C （5,0），A 点在x 轴上方，且tanB ＋tanC ＝4，求顶点A 的轨迹方程。
解：设A （x ，y ）, 则tanB ＝k A B ＝1-x y tanC ＝－k A C ＝－5
-x y ∴
1-x y ＋（－5
-x y ）＝4 化简得 y ＝－x 2
＋6x －5 ∵ A 点在x 轴上方 ∴ y ＞0 即 －x 2
＋6x －5＞0 解得1＜x ＜5
故顶点A 的轨迹方程为 y ＝－x 2
＋6x －5 （1＜x ＜5）
五、讨论点的特殊位置。
例5、已知点B （－1，0），C （1，0），动点A 使得∠BAC＝135°，求点A 的轨迹方程
解：设A （x ，y ） 则k A B ＝
1+x y k A C ＝1
-x y
当点A 在x 轴上方时，直线AB 到AC 的角为135°
∴ tan135°＝
AC
AB AB
Ac k k k k ⋅+-1＝1
1111+⋅
-++-
-x y x y x y x y ＝－1
化简得 x 2＋y 2
＋2y －1＝0
当点A 在x 轴下方时，直线AC 到AB 的角为135°
∴ tan135°＝
AC
AB AC AB k k k k ⋅+-1＝1
1111-⋅
++--
+x y x y x y x y ＝－1
化简得 x 2＋y 2
－2y －1＝0
故点A 的轨迹方程为x 2
＋y 2
＋2y －1＝0（y ＞0）或x 2
＋y 2
－2y －1＝0（y ＜0） 简析：本题需要对点A 的位置进行讨论，才能避免漏掉一种情况
六、讨论直线斜率不存在。
例6、△ABC 中，已知B （－1,0），C （1,0），点A 在第三象限，且∠B－∠C＝45°，求顶点A 的轨迹方程 解：设A （x ，y ） （x ＜0，y ＜0） 则tanB ＝－k A B ＝－
1+x y （x≠－1） tanC ＝k A C ＝1
-x y 由∠B－∠C＝45° 得tan （B －C ）＝tan45°
∴ tan （B －C ）＝C
B C B tan tan 1tan tan +-=
1
)1(111-⋅
+-+--
+-
x y x y x y
x y =1 化简得 x 2
－y 2
－2xy －1＝0
当x ＝－1时，∠B＝90°，由∠B－∠C＝45° 得∠C＝45°
此时△ABC 为等腰直角三角形，A 的坐标为（－1，－2），符合题意，但不满足方程x 2
－y 2
－2xy －1＝0
故点A 的轨迹方程为x 2
－y 2
－2xy －1＝0（x ＜0，y ＜0，x≠－1）和点（－1，－2）。