高中数学(苏教版,必修1)同步辅导与检测课件2.4 幂函数
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幂函数(课件)-高一数学课件(苏教版2019必修第一册)
当 a =3 时, 函数为 y = x3, 三次函数特例.
1
1
当 a = 时, 函数为 y = x 2 =
2
x.
1
当 a = -1 时, 函数为 y =
, 反比例函数特例.
x
思考：这些函数我们已经学习过他们的图形与性质，怎样探究其他
的幂函数的图像与性质呢？
x-1 =
下面我们画出这5个函数的图象:
数学探究
1
2
问题:函数y=x , y=x2 , y=x3 , y= , y=x-1是什么函数?
一般地, 函数 y=xa 叫做幂函数, 其中 x 是自
变量, a 是常数.
即幂函数的底数是自变量, 指数是常数, 函数是自变量 x 的 a 次幂.
练. 在函数 y=
1,
x2
y=2x2, y=x2+x, y=1 中, 哪几个函数是幂函数?
1
答: y = 2 = x -2 和 y=1=x0 是幂函数.
x
1
我们来研究讨论 a =1, 2, 3, , -1 的情况.
2
概念巩固
例1(1)已知幂函数 y=f(x) 的图象过点(2,
2 ), 试求这个函数的解析式.
解: 设幂函数为 y=xa, 其图象过点 (2, 2 ), 则 2 = 2a , 得a = 1 ,
解得： 2<a<4
1
−2
,定义域(0,+∞)且单调递减.
数学应用
例3. 已知幂函数y=
1
−3
(n∈N*)的定义域为(0,+∞),且单调递减,求n的值.
解：因为定义域为(0,+∞)，且单调递减，
所以n-3<0, 即n<3;
苏教版高中数学高一《幂函数》精品课件 苏教
变式训练
③中介比较法；
④利用单调性较．
3
3
⑤图象比较法等。
若a4 0.54，则a的取值范围是:
答案: [0 , 0.5）
22
、求下列幂函数的定义域，并指 出其奇偶性、单调性
y
2
x 3,y
x 0,y
2
x 3,y
x2
24
20
例2．比较下列各组数的大小：
(1)3
5 2
和3.1
5 2
(2)(
2 )
2 3
和(
2
)3
3
6
解：（１）幂函数
5
yx 2
在（０，＋∞）上
为减函数，且
3
3.1,
所以3
5 2
5
3.1 2
2
（２）幂函数 y x 3 在（０，＋∞）上为减函数，
且
(
2
)
2 3
(
2
2
)3
,
(
)
2 3
(
2
)3
，又因为
2
，所以
根据此表, 我们可以得到价格x与需求量y之间近似 地满足关系 y 114.8746x0.3815192 .
求 这 个 函 数 关 系 式 的 方法 将 在 第2.6 节 中 介 绍.
这 个 关 系 式 与 函 数 y x 是 0.3815192 相 关 联 的.
函 数 y x0.3815192 是 指 数 函 数 吗?
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。
3
经 调 查, 一 种 商 品 的 价 格 和 需 求的 关 系 如 下 表 所 示.
价格/ 元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 需求量/ t 139.6 135.4 131.6 128.2 125.1 122.2 119.5
苏教版高中数学必修一2.4《幂函数》课件1 最新
§2.4 幂函数⑴
例3 1⑴在同一坐标系中画出幂函数y=x2,y=x3,
y= x 2 图象,并找出三个函数的共同特征;
⑵在同一坐标系中画出幂函数y=x－1,y=x－2,
y= x 图象,并找出三个函数的共同特征;
电脑画图
1 2
§2.4 幂函数⑴
幂函数y=xα性质: α>0时, ①图象都过(0,0),(1,1)点; ②函数在[0,+∞)上递增; ③x>1时,指数大的图象在上方,0<x<1时,指数 大的图象在下方;
§2.4 幂函数⑴
例1 下列函数,哪些是幂函数? ⑴y=x3; ⑵y=x2+2x; ⑶y= 3 x ; ⑷y=x+1; ⑸y=2x2; ⑹y=x0
§2.4 幂函数⑴
例2 求下列函数定义域,并判断奇偶性
5 ⑴y=x ;
⑵y= x ;
1 4
⑶y= x ;
2 3
注:幂函数的定义域,奇偶性不完全相同,要视常数α 而定. 练习:P73 练习 1
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江苏省淮州中学
曾宁江
§2.4 幂函数⑴
2018年8月2日
§2.4 幂函数⑴
问题1: 下列函数在那些是指数函数,在那些不是? ⑴y=ex ⑵y=x4 ⑶y= x ⑷y=x－3 问题2:⑵,⑶,义:一般地,我们把形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. 注:1.注意幂函数的形式,只有形如y=xα的函数才是 幂函数,象y=x2+1,y=3x－2等,就是不是幂函数; 2.α是实数.
§2.4 幂函数⑴
幂函数y=xα性质: α<0时, ①图象都过(1,1)点; ②函数在(0,+∞)上递减; ③在第一象限内,以x,y轴为渐近线; ④x>1时,指数大的图象在上方,0<x<1时,指数 大的图象在下方.
苏教版必修一.《幂函数》ppt
方法技巧:分子有理化
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所 以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0, )上的增函数.
例3. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
（1）y=x
2 5
（2）y=x
1 3
3
（3）y=x 4
（4）y=x-2
2、已知幂函数y f ( x)的图象过点(2, 2),
试 求 出 这 个 函 数 的 解 析式.
解 : 设 所 求 幂 函 数 为y x ,
因 为 函 数 过 点(2, 2 ),所 以 2 2 ,
所 以 log2
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式
中k的不同而各异.
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1);
２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)
并在(0,+∞)上为增函数;
k>1
0<k<1
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在
(0,+∞)上为减函数;
形的边长a
1
S2
1
y x2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
速度 V t 1 km / s
y x1
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来 表示,则它们的函数关系式将是: y x
定义
一 般 地,函 数y x叫 做 幂 函 数,其 中x是 自 变 量,
看看未知数x是指数还是底数
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所 以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0, )上的增函数.
例3. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
（1）y=x
2 5
（2）y=x
1 3
3
（3）y=x 4
（4）y=x-2
2、已知幂函数y f ( x)的图象过点(2, 2),
试 求 出 这 个 函 数 的 解 析式.
解 : 设 所 求 幂 函 数 为y x ,
因 为 函 数 过 点(2, 2 ),所 以 2 2 ,
所 以 log2
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式
中k的不同而各异.
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1);
２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)
并在(0,+∞)上为增函数;
k>1
0<k<1
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在
(0,+∞)上为减函数;
形的边长a
1
S2
1
y x2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
速度 V t 1 km / s
y x1
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来 表示,则它们的函数关系式将是: y x
定义
一 般 地,函 数y x叫 做 幂 函 数,其 中x是 自 变 量,
看看未知数x是指数还是底数
苏教版高中数学必修1幂函数名师课件2
(0 , +∞) 增
奇函数 非奇非偶 奇函数
增函数
增函数
(- ∞ , 0) 减 (0 , +∞) 减
定点
过定点（1，1）
幂函数探究
从这些函数的图象可以看到，幂函数随着 a的
取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相 同 ，但它们也有一些共同点．
请试着说说这些函数的图象和性质的共同点和 不同点？
知识小结
函数形式：y x3
实例引入
(4)如果正方形场地的面积为 S ，那么这个
1
正方形的边长 a S 2，这里 a是 S 的函数；
1
函数形式：y x 2
实例引入
(5)如果某人 t 小时内骑车行进了1km，那么 他骑车的平均速度v t 1km/s ，这里 v 是 t 的
函数．
函数形式：y x1
幂函数性质
观察函数图象，将你发现的结论写在下表内：
yx
定义域 R 值域 R
y x2 #43; ∞)
R
1
y x2
[0 , + ∞)
[0 , + ∞)
y x1
(- ∞ , 0) (0 , +∞)
(- ∞ , 0) (0 , +∞)
奇偶性 奇函数 奇函数 单调性 增函数 (- ∞ , 0) 减
通过本节的学习，你对幂函数有什么认 识？你能概括一下吗？
幂函数
概念
图象
数形结合
性质
引入新课
上述五个问题中涉及的函数，具有什么 共同特征呢？
1
y x；y x2；y x3；y x 2；y x1．
这些函数都是形如 y xa的函
数．
奇函数 非奇非偶 奇函数
增函数
增函数
(- ∞ , 0) 减 (0 , +∞) 减
定点
过定点（1，1）
幂函数探究
从这些函数的图象可以看到，幂函数随着 a的
取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相 同 ，但它们也有一些共同点．
请试着说说这些函数的图象和性质的共同点和 不同点？
知识小结
函数形式：y x3
实例引入
(4)如果正方形场地的面积为 S ，那么这个
1
正方形的边长 a S 2，这里 a是 S 的函数；
1
函数形式：y x 2
实例引入
(5)如果某人 t 小时内骑车行进了1km，那么 他骑车的平均速度v t 1km/s ，这里 v 是 t 的
函数．
函数形式：y x1
幂函数性质
观察函数图象，将你发现的结论写在下表内：
yx
定义域 R 值域 R
y x2 #43; ∞)
R
1
y x2
[0 , + ∞)
[0 , + ∞)
y x1
(- ∞ , 0) (0 , +∞)
(- ∞ , 0) (0 , +∞)
奇偶性 奇函数 奇函数 单调性 增函数 (- ∞ , 0) 减
通过本节的学习，你对幂函数有什么认 识？你能概括一下吗？
幂函数
概念
图象
数形结合
性质
引入新课
上述五个问题中涉及的函数，具有什么 共同特征呢？
1
y x；y x2；y x3；y x 2；y x1．
这些函数都是形如 y xa的函
数．
最新高中数学 苏教版必修一 幂函数课件ppt.ppt
本 课
2．幂函数的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并
时 栏
且图象都过定点_(_1_,_1_) ___．
目 开
(2)α>0 ， 幂 函 数 的 图 象 都 通 过 原 点 ， 并 且 在 [0 ， ＋ ∞) 上 是
关 __增__函__数____，特别地，当 α>1 时，x∈(0,1)，y＝xα 的图象都在
五个具体幂函数认识幂函数的图象与性质．体会幂函数的变化
规律及蕴含其中的对称性，体验由特殊到一般、由具体到抽象
的学习方法，进一步渗透数形结合与类比的思想方法.
填一填·知识要点、记下疑难点
1．幂函数的定义：一般地，我们把形如___y＝__x__α _的函数称为幂函
数，其中 x 为___自__变__量_____，α 为__常__数____．
答 导引中涉及到的函数，都是形如：y＝xα，其中 x 是自变
量，α 是常数．
本 课
小结 幂函数定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x
时 栏
是自变量，α 是常数．
目
开
关
研一研•问题探究、课堂更高效
问题 3 判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？
答 只有满足函数解析式右边的系数为 1，底数为自变量
答 共同点：均是幂的形式．
本
课 不同点：
时
数是自变量．
关
研一研•问题探究、课堂更高效
例 1 写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
1
(1)y＝x3；(2)y＝ x 2 ；(3)y＝x－2.
解 (1)函数 y＝x3 的定义域是 R，它是奇函数．
1
(2)函数 y＝ x 2 即 y＝ x，其定义域是[0，＋∞)，它既不是奇
年高中数学苏教版必修一2.4《幂函数》ppt学案课件
栏
解析：∵ 11－a>1，∴1－a>0 且 1－a<1，即 0<a<1.∴1a>1，作
目 链 接
预习导学
1 f(x)＝ax，g(x)＝xa，h(x)＝logax 的图象．从图形观察知，当 x>1 时，
典例精析
g(x)>f(x)>h(x)．
答案：B
点评：由
1 1－a>1
得
0<a<1，可作图，用数形结合方法求解，也
1α ∴xα<xα<x 2 ，即 c<a<b.
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
答案：c＜a＜b
题型二 幂函数性质的作用
例 3 试判断 f(x)＝x＋1x(x>0)的单调性．
分析：由单调函数定义可以证明．
解析：任取 0<x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2－x12＝(x1－x2)＋ x2x－1x2x1＝(x1－x2)1－x11x2＝(x1－x2)·x1xx12x－2 1.
目 链 接
或 a＜－1.
学习目标 预习导学 典例精析
即 a 的取值范围为a23<a<23或a＜－1.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
利用性质时最好结合函数图象．
苏教版高中数学(必修1)2.4《幂函数》word教案2篇
★教学设计★幂函数（一）教材分析本节课选自新课程苏教版必修1第二章第4节，幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。
通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待231,,y x y x y x y x====，等以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。
（二）学情分析学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。
（三）设计思想由于幂函数的性质随幂指数的轻微改变会出现较大的变化，因此要学生在一节课中象指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的，因此本人采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先重点研究了几个常见的幂函数的图象和性质，然后通过几何画板软件动态演示幂函数的图象（在第一象限）随幂指数连续变化情况，让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况（其他象限内的情况，可结合奇偶性得到），最后再通过改变画板中的幂函数的幂指数（用参数的方法），让学生预测将要出现什么样的图象，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。
（四）教学目标 1.知识目标（1）了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质； （3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。
2.能力目标在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。
3. 情感目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。
（五）教学重点常见的幂函数的图象和性质 （六）教学难点幂函数的图象和性质的总结 （七）教学用具多媒体平台，几何画板课件（八）教学过程 【创设情境】（多媒体投影）问题1.某人买每千克1元的蔬菜，则其需付的钱数p （元）和购买的蔬菜的量（千克）w 之间的有何关系？2.正方形的面积S 和它的边长a 之间有何关系？3.正方体的边长V 和它的边长a 之间有何关系？4.问题2中，边长a 是S 的函数吗？5.问题3中，边长a 是V 的函数吗？6.某人在t 秒内行进了1千米，那么他的行进的平均速度v 为多少？ 学生很容易回答出这六个关系式（都是函数关系式）分别是：1123132,,,,,p w S a V a a S a Vv t -======【提出问题 启发建构】问：这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x 表示自变量，用y 表示函数值，上述函数式变成：1123132,,,,,y x y x y x y x y xy x -======，便于看出特征它们都是形如y x α=的函数。
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函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.4
幂函数
我们已经学习了指数函数，它是底数为常数，指数 为自变量的函数，这与我们初中学习过的一些函数(如y＝ x、y＝x2、y＝x－1等)“底数为自变量，指数为常数”是否
为同一类型，性质是否有区别？”
1．形如 y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中 α 为常数， 只研究 α 为有理数的情形． 例如：函数 y＝x2，y＝x4 是幂函数，而函数 y＝2x2 不是 幂函数． 1 － 2．幂函数 y＝x，y＝x ，y＝x2，y＝x 1，y＝x3 的图象， 2 如下图所示．
1 3
(2)由－1<a<0，考察指数函数 y＝3a，y>0. ∴3a>0，又考察幂函数 y＝a3，y＝ a ，均有 y<0， 故 a3<0， a <0，∵－1<a<0，∴0<－a<1. 设 f(x)＝(－a)x，则 f(x)在 x∈R 时单调递减， 故 0<(－a)3<(－a) 即 0>－(－a)3>－(－a) ， 1 3 a 3 即 0>a > a ，∴3 >0>a >a ，即 3a>a3> a 3 . 3
0.8, 0.7 3, 3
分析：比较两个幂的大小要看是底数相同，还是指数相 同． 解析：(1)∵函数 y＝3x 是增函数，∴30.8>30.7； (2)∵函数 y＝x3 是增函数，∴0.213<0.233； 1 1 1 1 1 (3)∵2 >1.8 >1.8 ，∴2 >1.8 . 2 2 3 2 3
1 3 1
1 3
1 3
1 3
1 3
点评：指数函数和幂函数的性质混合应用时很容易混淆， 首先必须分清底同还是幂同；若底同应用指数函数的性质，比 较0.30.1和0.30.5；若幂指数相同就应用幂函数的性质，如3a与 5a(a>0)的大小比较，在利用性质时最好结合函数图象．
＝ x
1 a ，h(x)＝logax且x>1，则(
(2)幂函数的图象在第一象限的分布规律：
①在经过点(1,1)平行于y轴的直线的右侧，按幂指
数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布； ②幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂 指数的分子为偶数时，图象在第一、二象限关于y轴对 称，幂指数的分子、分母都是奇数时，图象在第一、第
三象限关于坐标原点对称．
幂函数性质的应用
1 试判断 f(x)＝x＋ (x>0)的单调性． x
解析：由单调函数定义可以证明． 1 答案：任取 0<x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝x1＋ － x1 x2－x1 1 x2－ ＝(x1－x2)＋ x2 x1x2 1 x1x2－1 ＝(x1－x2) 1－x x ＝(x1－x2)· ， x x 1 2 1 2 分两类：当 0<x1<x2<1 时，0<x1x2<1，x1<x2，
1 a
从图形观察知，当x>1时，g(x)>f(x)>h(x)．
1 点评：由 >1得0<a<1，可作图用数形结合方 1－ a 1 法求解，也可取特值a＝ ，x＝2，判断． 2
答案：B
变式训练
1．比较下列各题中两个值的大小． 1 1 (1)3 3 ；(2)0.21 0.23 ；(3)2 ，1.8 . 2 3
设a适合不等式
1 >1，若f(x)＝ax，g(x) 1－a
) B．h(x)<f(x)<g(x) D．f(x)<h(x)<g(x)
A．h(x)<g(x)<h(x) C．f(x)<g(x)<h(x)
1 解析：∵ >1， 1－ a
∴1－a>0 且 1－a<1，即 0<a<1. 1 ∴ >1，作 f(x)＝ax，g(x)＝ x ，h(x)＝logax 的图象． a
幂函数
(1)y＝xα中的α是任意实数，要确定一个幂函数的 解析式，只需确定出α即可． (2)要把幂函数和指数函数区别开来，幂函数的底 为自变量，指数为常数，指数函数恰好相反，底数为常 数，指数为自变量．
幂函数的图象和性质 (1)幂函数图象的性质：
①都过点(,1)；
②α>0，在第一象限内图象上凸，α<0时图象下凸； ③除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任 何幂函数图象都不过第四象限； ④任何两个幂函数图象最多有三个公共点，除(1,1)， (0,0)，(－1,1)，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点； ⑤α>0时幂函数图象总过原点，α<0时，幂函数图象不 过原点．
幂函数与指数函数的应用
1a, a (1)若 a<0，比较 2 ， 2 0.2 的大小；
a
(2)－1<a<0，试比较 3a，a3， a 的大小．
解析：由幂函数性质及指数函数的性质可判断． 答案：(1)∵幂函数 f(x)＝xa， 当 a<0 时，f(x)在第一象限递减， 1 a 1a ∴由 2> >0.2 知 2 < 2 <0.2a. 2
点评：利用定义证明单调性，作差之后分解因 式，注意差的符号判断有时需分类讨论．
变式训练 3．证明函数y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数．
解析：利用函数单调性定义证明． 答案：设 x1，x2∈(0，＋∞)且 x1<x2. 1 1 x2－x1 则 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ ， x 1 x2 x 1 x2 ∵x1，x2∈(0，＋∞)，∴x1· x2>0， ∵x1<x2，∴x2－x1>0，∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x1)>f(x2)． 故函数 y＝x
3．幂函数的性质． (1)过定点：y＝xα 恒过定点(1,1)．当 α＞0 时，所有幂函 数都过定点(0,0)和(1,1)． (2)单调性：当 α＞0 时，y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增； 当 α＜0 时，y＝xα 在(0，＋∞)上单调递减． (3)奇偶性：当 α 为整数且为奇数时，y＝xα 为奇函数；当 α 为整数且为偶数时，y＝xα 为偶函数；当 x 为分数时可将 y ＝xα 化为根式再判断． 1 4．在函数 y＝ 2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 中是幂函数的 x 1 有 y＝ 2. x 1 3 5． 函数 y＝x 的定义域是 R； y＝x 的定义域是[0， ＋∞)； 2 2 y＝x 的定义域是 R. 3
x1x2－1 ∴(x1－x2) >0， x1x2 即 f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，f(x)递减． 当 1≤x1<x2 时，x1x2>1，x1<x2， x1x2－1 ∴(x1－x2)· <0， x1x2 ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，f(x)递增．
2.4
幂函数
我们已经学习了指数函数，它是底数为常数，指数 为自变量的函数，这与我们初中学习过的一些函数(如y＝ x、y＝x2、y＝x－1等)“底数为自变量，指数为常数”是否
为同一类型，性质是否有区别？”
1．形如 y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中 α 为常数， 只研究 α 为有理数的情形． 例如：函数 y＝x2，y＝x4 是幂函数，而函数 y＝2x2 不是 幂函数． 1 － 2．幂函数 y＝x，y＝x ，y＝x2，y＝x 1，y＝x3 的图象， 2 如下图所示．
1 3
(2)由－1<a<0，考察指数函数 y＝3a，y>0. ∴3a>0，又考察幂函数 y＝a3，y＝ a ，均有 y<0， 故 a3<0， a <0，∵－1<a<0，∴0<－a<1. 设 f(x)＝(－a)x，则 f(x)在 x∈R 时单调递减， 故 0<(－a)3<(－a) 即 0>－(－a)3>－(－a) ， 1 3 a 3 即 0>a > a ，∴3 >0>a >a ，即 3a>a3> a 3 . 3
0.8, 0.7 3, 3
分析：比较两个幂的大小要看是底数相同，还是指数相 同． 解析：(1)∵函数 y＝3x 是增函数，∴30.8>30.7； (2)∵函数 y＝x3 是增函数，∴0.213<0.233； 1 1 1 1 1 (3)∵2 >1.8 >1.8 ，∴2 >1.8 . 2 2 3 2 3
1 3 1
1 3
1 3
1 3
1 3
点评：指数函数和幂函数的性质混合应用时很容易混淆， 首先必须分清底同还是幂同；若底同应用指数函数的性质，比 较0.30.1和0.30.5；若幂指数相同就应用幂函数的性质，如3a与 5a(a>0)的大小比较，在利用性质时最好结合函数图象．
＝ x
1 a ，h(x)＝logax且x>1，则(
(2)幂函数的图象在第一象限的分布规律：
①在经过点(1,1)平行于y轴的直线的右侧，按幂指
数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布； ②幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂 指数的分子为偶数时，图象在第一、二象限关于y轴对 称，幂指数的分子、分母都是奇数时，图象在第一、第
三象限关于坐标原点对称．
幂函数性质的应用
1 试判断 f(x)＝x＋ (x>0)的单调性． x
解析：由单调函数定义可以证明． 1 答案：任取 0<x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝x1＋ － x1 x2－x1 1 x2－ ＝(x1－x2)＋ x2 x1x2 1 x1x2－1 ＝(x1－x2) 1－x x ＝(x1－x2)· ， x x 1 2 1 2 分两类：当 0<x1<x2<1 时，0<x1x2<1，x1<x2，
1 a
从图形观察知，当x>1时，g(x)>f(x)>h(x)．
1 点评：由 >1得0<a<1，可作图用数形结合方 1－ a 1 法求解，也可取特值a＝ ，x＝2，判断． 2
答案：B
变式训练
1．比较下列各题中两个值的大小． 1 1 (1)3 3 ；(2)0.21 0.23 ；(3)2 ，1.8 . 2 3
设a适合不等式
1 >1，若f(x)＝ax，g(x) 1－a
) B．h(x)<f(x)<g(x) D．f(x)<h(x)<g(x)
A．h(x)<g(x)<h(x) C．f(x)<g(x)<h(x)
1 解析：∵ >1， 1－ a
∴1－a>0 且 1－a<1，即 0<a<1. 1 ∴ >1，作 f(x)＝ax，g(x)＝ x ，h(x)＝logax 的图象． a
幂函数
(1)y＝xα中的α是任意实数，要确定一个幂函数的 解析式，只需确定出α即可． (2)要把幂函数和指数函数区别开来，幂函数的底 为自变量，指数为常数，指数函数恰好相反，底数为常 数，指数为自变量．
幂函数的图象和性质 (1)幂函数图象的性质：
①都过点(,1)；
②α>0，在第一象限内图象上凸，α<0时图象下凸； ③除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任 何幂函数图象都不过第四象限； ④任何两个幂函数图象最多有三个公共点，除(1,1)， (0,0)，(－1,1)，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点； ⑤α>0时幂函数图象总过原点，α<0时，幂函数图象不 过原点．
幂函数与指数函数的应用
1a, a (1)若 a<0，比较 2 ， 2 0.2 的大小；
a
(2)－1<a<0，试比较 3a，a3， a 的大小．
解析：由幂函数性质及指数函数的性质可判断． 答案：(1)∵幂函数 f(x)＝xa， 当 a<0 时，f(x)在第一象限递减， 1 a 1a ∴由 2> >0.2 知 2 < 2 <0.2a. 2
点评：利用定义证明单调性，作差之后分解因 式，注意差的符号判断有时需分类讨论．
变式训练 3．证明函数y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数．
解析：利用函数单调性定义证明． 答案：设 x1，x2∈(0，＋∞)且 x1<x2. 1 1 x2－x1 则 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ ， x 1 x2 x 1 x2 ∵x1，x2∈(0，＋∞)，∴x1· x2>0， ∵x1<x2，∴x2－x1>0，∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x1)>f(x2)． 故函数 y＝x
3．幂函数的性质． (1)过定点：y＝xα 恒过定点(1,1)．当 α＞0 时，所有幂函 数都过定点(0,0)和(1,1)． (2)单调性：当 α＞0 时，y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增； 当 α＜0 时，y＝xα 在(0，＋∞)上单调递减． (3)奇偶性：当 α 为整数且为奇数时，y＝xα 为奇函数；当 α 为整数且为偶数时，y＝xα 为偶函数；当 x 为分数时可将 y ＝xα 化为根式再判断． 1 4．在函数 y＝ 2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 中是幂函数的 x 1 有 y＝ 2. x 1 3 5． 函数 y＝x 的定义域是 R； y＝x 的定义域是[0， ＋∞)； 2 2 y＝x 的定义域是 R. 3
x1x2－1 ∴(x1－x2) >0， x1x2 即 f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，f(x)递减． 当 1≤x1<x2 时，x1x2>1，x1<x2， x1x2－1 ∴(x1－x2)· <0， x1x2 ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，f(x)递增．