高中数学必修1公开课教案2.3.1 幂函数

2.3 幂函数整体设计 教学分析幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x -1,y ＝x 21等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x 2,y=x -1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 重点难点教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1课时教学过程导入新课 思路11.如果张红购买了每千克1元的水果w 千克,那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p 是w 的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a 2,这里S 是a 的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a 3,这里V 是a 的函数.4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S 21,这里a 是S 的函数.5.如果某人t s 内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t -1km/s,这里v 是t 的函数.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式,且底数都是变量).（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课,书写课题:幂函数）.思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数. 推进新课 新知探究 提出问题问题①:给出下列函数:y=x,y=x 21,y=x 2,y=x -1,y=x 3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数？问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢? 问题④:画出y=x,y=x 21,y=x 2,y=x -1,y=x 3五个函数图象,完成下列表格.问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？ 问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示. 讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:一般地,形如y=x α（x ∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.如y=x 2,y=x 21,y=x 3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. ③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x 21,y=x 2,y=x 3,y=x -1的图象. 列表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 21 … 0 1 1.41 1.73 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=x3 … -27-8 -1 0 1 827… y=x -1…31 -21 -1121 31 …图2-3-1让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质. 函数 性质 y=x y=x 2 y=x 3 y=x 21 y=x -1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 单调性 在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减特殊点 (1,1)(1,1)(1,1)(1,1) (1,1) 图象分布第Ⅰ、Ⅲ象限 第Ⅰ、Ⅱ象限 第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ象限第Ⅰ、Ⅲ象限⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断. ⑥幂函数y=x α的性质.（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x =1）；（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.特别地,当α＞1时,x ∈（0,1）,y=x 2的图象都在y=x 图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.当0＜α＜1时,x ∈（0,1）,y=x 2的图象都在y=x 的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.在第一象限内,当x 向原点靠近时,图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴,当x 慢慢地变大时,图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 应用示例思路1例1判断下列函数哪些是幂函数. ①y=0.2x ;②y=x -3;③y=x -2;④y=x 51.活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=x α（x ∈R ）的函数称为幂函数,变量x 的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.解：①y=0.2x 的底数是0.2,因此不是幂函数;②y=x -3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数; ③y=x -2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数; ④y=x 51的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数. 点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断. 变式训练判别下列函数中有几个幂函数？①y=x 31;②y=2x 2;③y=x 32;④y=x 2+x;⑤y=-x 3.解：①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x 2的系数为2,因此不是幂函数;④的变量是和的形式,因此也不是幂函数; ⑤的变量x 3的系数为-1,因此不是幂函数.例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. （1）y=x 32,（2）y=x23-,（3）y=x -2.活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.解：（1）要使函数y=x 32有意义,只需y=32x 有意义,即x ∈R .所以函数y=x 32的定义域是x ∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x 32是偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数. （2）要使函数y=x23-有意义,只需y=231x 有意义,即x ∈R +,所以函数y=x23-的定义域是R +,由于函数y=x 23-的定义域不关于原点对称,所以函数y=x23-是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.（3）要使函数y=x -2有意义,只需y=21x有意义,即x≠0,所以函数y=x -2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x -2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组. 例3证明幂函数f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导. 证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性. 证明：任取x 1,x 2∈［0,+∞),且x 1＜x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=21x -x =212121))((x x x x x x ++-=2121x x x x +-,因为x 1-x 2＜0,x 1+x 2＞0,所以2121x x x x +-＜0.所以f(x 1)<f(x 2),即f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数.点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x 1)与f(x 2)的符号要一致. 思路2例1函数y ＝（x 2-2x ）21-的定义域是( )A.{x|x≠0或x≠2}B.（-∞,0）∪（2,＋∞）C.（-∞,0］∪［2,＋∞)D.（0,2） 分析：函数y ＝（x 2-2x ）21-化为y=xx 212-,要使函数有意义需x 2-2x ＞0,即x ＞2或x ＜0,所以函数的定义域为{x|x ＞2或x ＜0}. 答案：B 变式训练函数y ＝（1-x 2）21的值域是( )A.［0,＋∞)B.（0,1］C.（0,1）D.［0,1］ 活动：学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导. 函数的值域要根据函数的定义域来求.函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法. 分析：令t ＝1-x 2,则y ＝t ,因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1. 答案：D点评：注意换元法在解题中的应用. 例2 比较下列各组数的大小：（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨. 比较数的大小,常借助于函数的单调性. 对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量. 解：（1）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x 0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以1.10.1<1.20.1.（2）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x -0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x 0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x 的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2. 所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成. 点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性. 知能训练1.下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x 3C.y=x1D.y=2x 2.下列结论正确的是( )A.幂函数的图象一定过原点B.当α<0时,幂函数y=x α是减函数C.当α>0时,幂函数y=x α是增函数D.函数y=x 2既是二次函数,也是幂函数 3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )A.y=x 3B.y=x 2C.y=x1D.y=x 234.已知某幂函数的图象经过点(2,2),则这个函数的解析式为. 答案：1.C 2.D 3.A 4.y=x 21拓展提升分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系. ①y ＝x -1,y ＝x -2,y=x -3;②y ＝x21-,y ＝x31-;③y=x,y=x 2,y=x 3;④y=x 21,y ＝x 31.活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.图2-3-2 图2-3-3图2-3-4 图2-3-5①观察图2-3-2得到:函数y ＝x -1、y ＝x -2、y=x -3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x 的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x 轴,向上无限接近y 轴,指数越小,向右无限接近x 轴的图象在下方,向上离y 轴越远. ②观察图2-3-3得到: 函数y ＝x21-、y ＝x31-的图象都过点(1,1),且在第一象限随x 的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x 轴,向上无限接近y 轴,指数越小,向右无限接近x 轴的图象在下方,向上离y 轴越远. ③观察图2-3-4得到:函数y=x 、y=x 2、y=x 3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x 的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y 轴近,向下离y 轴近.④观察图2-3-5得到:函数y=x 21、y ＝x 31的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x 的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y 轴近,在点(1,1)的右边离x 轴近.根据上述规律可以判断函数图象的分布情况. 课堂小结1.幂函数的概念.2.幂函数的性质.3.幂函数的性质的应用. 作业课本P 87习题2.3 1、2、3.设计感想幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.习题详解(课本第79页习题2.3) 1.函数y=21x 是幂函数. 2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α, 因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v=k·r 4； （2）把r=3,v=400代入v=k·r 4中,得k=43400＝81400,即v=81400r 4； （3）把r=5代入v=81400r 4,得v=81400×54≈3 086（cm 3/s ）,即r=5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s.。