2016高三数学一轮复习 第5章 第2课时 等差数列及其前n.
高考数学一轮复习 第五章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和课件 文
第四页，共四十二页。
1．在等差数列{an}中，a1＝x－2，a2＝x，a3＝2x＋1，则 x ＝____1____． [解析] 由等差数列定义知 2x＝x－2＋2x＋1，解得 x＝1.
12/8/2021
第五页，共四十二页。
2．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于 1 的正整数 n， an－ an－1＝ 3，则 an＝__3_n_2____．
12/8/2021
第十五页，共四十二页。
4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2＋n＋1.问数列{an}是否 是等差数列？说明你的理由． [解] 当 n＝1 时，a1＝S1＝3.当 n≥2 时， an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n. 所以 an＝32，n，n＝n≥1，2. 所以{an}从第二项起是以 4 为首项，公差为 2 的等差数列．但 对于整个数列不是等差数列．
12/8/2021
第二十四页，共四十二页。
(2) 因为 {an}，{bn}为等差数列， 所以b5＋a9 b7＋b8＋a3 b4＝2ab96＋2ab36＝a92＋b6a3＝22ab66＝ab66. 因为 TS1111＝ab11＋ ＋ab1111＝22ab66＝24× ×1111－ －33＝1491， 所以ab66＝4119.
12/8/2021
第二十五页，共四十二页。
应用等差数列的性质应注意的两点 (1)在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)， 则 am＋an＝ap＋aq＝2ak 是常用的性质． (2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应 用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的 突破口．
12/8/2021
第二页，共四十二页。
高考数学一轮复习配套讲义：第5篇 第2讲 等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和[最新考纲]1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知 识 梳 理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 若等差数列{a n }的第m 项为a m ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项) 3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2. (2)若{a n }为等差数列，当m ＋n ＝p ＋q ，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区别与联系(2)等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎭⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．辨 析 感 悟1．对等差数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)等差数列的公差是相邻两项的差．(×)(3)(教材习题改编)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×)2．等差数列的通项公式与前n 项和(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．(×) 3．等差数列性质的活用(7)(·广东卷改编)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.(√)(8)(·辽宁卷改编)已知关于d ＞0的等差数列{a n }，则数列{a n }，{na n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ，{a n＋3nd }都是递增数列．(×)[感悟·提升]一点注意 等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)．等差数列与函数的区别 一是当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0；三是等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的，如(8)中若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n 是递减数列；设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋m ，则a n ＋3nd ＝4dn ＋m 是递增数列.考点一 等差数列的基本量的求解【例1】 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35. 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求．规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【训练1】 (1)(·浙江五校联考)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )．A ．85B ．135C ．95D ．23(2)(·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎨⎧ 2a 1＋4d ＝4，2a 1＋6d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3. ∴S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝95. (2)法一 ∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m (m －1)2＝0， ①(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2＝－2， ②由①得a 1＝1－m2，代入②可得m ＝5.法二 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5.经检验为原方程的解．故选C. 答案 (1)C (2)C考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (·梅州调研改编)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．审题路线 (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为关于S n 与S n －1的式子⇒同除S n ·S n －1⇒利用定义证明⇒得出结论．(2)由(1)求1S n⇒再求S n ⇒再代入条件a n ＝－2S n S n －1，求a n ⇒验证n ＝1的情况⇒得出结论．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式． 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法． 【训练2】 已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n . 设b n ＝a n －2n3n .证明：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明 ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1，∴{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0. ∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n .【例3】 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )． A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2(2)在等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则前3m 项的和为________． 解析 (1)S 8＝4a 3⇒8(a 1＋a 8)2＝4a 3⇒a 3＋a 6＝a 3，∴a 6＝0，∴d ＝－2，∴a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.答案 (1)A (2)210规律方法 巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．【训练3】 (1)在等差数列{a n }中．若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和S n ＝286，则n ＝________.(2)已知等差数列{a n }中，S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________. 解析 (1)依题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67.由等差数列的性质知a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝88，∴a 1＋a n ＝22.又S n ＝n (a 1＋a n )2，即286＝n ×222，∴n ＝26.(2)∵{a n }为等差数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列， ∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)． ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6 ＝2(S 6－S 3)－S 3＝2(36－9)－9＝45. 答案 (1)26 (2)451．等差数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．方法优化4——整体代入法(整体相消法)在数列解题中的应用【典例】 (1)(·辽宁卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )．A ．58B ．88C ．143D ．176(2)(·北京卷)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.[一般解法] (1)设数列{a n }的公差为d ，则a 4＋a 8＝16，即a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝16，即a 1＝8－5d ，所以S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(8－5d )＋55d ＝88－55d ＋55d ＝88.(2)由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎨⎧a 1q (1＋q 2)＝20，a 1q 2(1＋q 2)＝40，解得q ＝2，a 1＝2，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.[优美解法] (1)由a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，得 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88.(2)由已知，得a 3＋a 5a 2＋a 4＝q (a 2＋a 4)a 2＋a 4＝q ＝2，又a 1＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.[反思感悟] 整体代入法是一种重要的解题方法和技巧，简化了解题过程，节省了时间，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征． 【自主体验】在等差数列{a n }中，已知S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝________. 解析 设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ， 得⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝m ，S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝n .①②②－①得(m －n )a 1＋(m －n )(m ＋n －1)2·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1. ∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．答案 －(m ＋n )对应学生用书P287基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·温州二模)记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝( )． A.12B ．2C ．3D ．4 解析 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2.答案 B2．(·潍坊期末考试)在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )．A ．21B ．30C ．35D ．40解析 由题意得3a 6＝15，a 6＝5.所以a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 6＝7×5＝35. 答案 C3．(·揭阳二模)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )． A ．37 B ．36 C ．20 D ．19解析 由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，得(m －1)d ＝9a 5＝36d ⇒m ＝37. 答案 A4．(·郑州模拟){a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝( )．A ．40B ．35C ．30D ．28解析 设公差为d ，则由已知得S 7＝7(a 1＋a 7)2，即21＝7(a 1＋5)2，解得a 1＝1，所以a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.答案 A5．(·淄博二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13＝S 13＝13，则a 1＝( )．A ．－14B ．－13C ．－12D ．－11解析 在等差数列中，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13，所以a 1＋a 13＝2，即a 1＝2－a 13＝2－13＝－11. 答案 D 二、填空题6．(·肇庆二模)在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________. 解析 a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99. 答案 997．(·成都模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前三项之和S 3＝9，则{a n }的通项a n ＝________.解析 由a 1＝1，S 3＝9，得a 1＋a 2＋a 3＝9，即3a 1＋3d ＝9，解得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案 2n －18．(·浙江五校联考)若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________.解析 S 3S 5＝3(a 1＋a 3)5(a 1＋a 5)＝3a 25a 3＝35×52＝32.答案 3∶2 三、解答题9．已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5＞a 1a 9，求a 1的取值范围．解 (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或2.(2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5＞a 1a 9，所以5a 1＋10＞a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10＜0，解得－5＜a 1＜2.故a 1的取值范围是(－5,2)．10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S n n ＋2(n －1)(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并求a n 与S n .(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S n n －(n －1)2＝2 015？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．证明 (1)由a n ＝S n n ＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1)(n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)，即a n －a n －1＝4，故数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列．于是，a n ＝4n －3，S n ＝(a 1＋a n )n 2＝2n 2－n (n ∈N *)． (2)由(1)，得S n n ＝2n －1(n ∈N *)，又S 1＋S 22＋S 33＋…＋S n n －(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1.令2n －1＝2 015，得n ＝1 008，即存在满足条件的自然数n ＝1 008.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·咸阳模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18解析 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14. 答案 B2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )．A ．5B ．6C ．7D ．8解析 法一 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．法二 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大． 法三 根据a 1＝13，S 3＝S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．答案 C二、填空题3．(·九江一模)正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.解析 因为2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，所以数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以d ＝a 22－a 21＝4－1＝3为公差的等差数列，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，n ≥1.所以a 7＝3×7－2＝19.答案 19三、解答题4．(·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22，所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解，所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n (1＋4n －3)2＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. 法一 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．法二 由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c， ∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列.。
数学一轮复习第五章数列第二讲等差数列及其前n项和学案含解析
第二讲等差数列及其前n项和知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一等差数列的有关概念（1）等差数列的定义如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的差等于__同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__公差__，通常用字母__d__表示,定义的表达式为__a n＋1－a n＝d(n∈N＊）__.（2）等差中项如果a，A，b成等差数列，那么__A__叫做a与b的等差中项且__A＝错误!__.(3）通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为a n ＝__a1＋(n－1）d__＝a m＋(n－m)d（n，m∈N*）．（4)前n项和公式：S n＝__na1＋错误!d__＝__错误!__。
知识点二等差数列的性质已知数列{a n｝是等差数列,S n是其前n项和．（1)若m1＋m2＋…＋m k＝n1＋n2＋…＋n k，则am1＋am2＋…＋am k＝an1＋an2＋…＋an k。
特别地，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝__a p ＋a q __。
(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为__kd __.（3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(4）⎩⎪⎨⎪⎧｝S n n 为等差数列．(5)n 为奇数时，S n ＝na 中,S 奇＝__错误!__a 中，S 偶＝__错误!__a 中，∴S 奇－S 偶＝__a 中__。
n 为偶数时,S 偶－S 奇＝错误!。
(6)数列{a n ｝，｛b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列｛pa n ｝，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n ｝都是等差数列（p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 归错误!错误!错误!1．等差数列前n 项和公式的推证方法__倒序相加法__。
高考数学一轮复习第五章数列5-2等差数列及其前n项和学案理新人教版
第二节 等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2 ，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝n （a 1＋a n ）2． 3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．1．两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶 ＝a na n ＋1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0 的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3．两个函数等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数； S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2 n 是无常数项的二次函数．1．(基础知识：求项数)已知数列{a n }中，a n ＝3n ＋4，若a n ＝13，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6〖答 案〗A2．(基本方法：求公差)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4〖答 案〗B3．(基本能力：求等差数列的前n 项和)已知等差数列5，427 ，347 ，…，则前n 项和S n＝________．〖答 案〗514(15n －n 2)4．(基本方法：等差中项)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________．〖答 案〗1805．(基本应用：现实生活中的应用)一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．〖答 案〗20题型一 等差数列的基本能力〖典例剖析〗〖典例〗 (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 〖解 析〗设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×（3－1）2d ＝2a 1＋2×（2－1）2 d ＋4a 1＋4×（4－1）2 d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 〖答 案〗B(2)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8〖解 析〗a 4＋a 5＝a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，S 6＝6a 1＋6×52d ＝48，联立⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24， ①6a 1＋15d ＝48， ②①×3－②，得6d ＝24，∴d ＝4. 〖答 案〗C(3)已知等差数列{a n }的各项都为整数，且a 1＝－5，a 3a 4＝－1，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( )A ．70B ．58C ．51D ．40〖解 析〗设等差数列{a n }的公差为d ， 由各项都为整数得d ∈Z ，因为a 1＝－5，所以a 3a 4＝(－5＋2d )(－5＋3d )＝－1，化简得6d 2－25d ＋26＝0，解得d ＝2或d ＝136(舍去)，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×（1＋13）2＝58.〖答 案〗B 方法总结等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．〖对点训练〗1．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A ．172B ．192C ．10D ．12〖解 析〗设等差数列的首项为a 1，则S 8＝8a 1＋8×（8－1）×12 ＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋4×（4－1）×12＝4a 1＋6，因为S 8＝4S 4，即8a 1＋28＝16a 1＋24，所以a 1＝12 ，则a 10＝a 1＋(10－1)·d ＝12 ＋9＝192 .〖答 案〗B2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝S 18，则S 22等于( ) A ．0 B ．12 C ．－1D ．－12〖解 析〗设等差数列的公差为d ，由S 4＝S 18得 4a 1＋4×32 d ＝18a 1＋18×172 d ，a 1＝－212d ，所以S 22＝22a 1＋22×212 d ＝22×⎝⎛⎭⎫－212d ＋22×212 d ＝0. 〖答 案〗A题型二 等差数列的判定与证明〖典例剖析〗 类型 1 定义法〖例1〗 (2021·江苏南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的解析式．〖解 析〗(1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，又S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2).故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1 ＝1a 1 ＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1 ＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n （n －1），又因为a 1＝12不适合上式，所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12（n ＝1），－12n （n －1）（n ≥2）. 类型 2 等差中项法〖例2〗 已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n . 若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列． 证明：由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9.若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝18a 1，解得a 1＝0，这与{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1， 于是有a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q ，整理得q 3＋q 6＝2q 9.因为q ≠0且q ≠1，所以q 3＝－12 ，a 8＝a 2q 6＝14 a 2，a 5＝a 2q 3＝－12a 2，所以2a 8＝a 2＋a 5，即a 8－a 2＝a 5－a 8，故a 2，a 8，a 5成等差数列． 类型 3 归纳法〖例3〗 (2020·高考全国卷Ⅲ节选)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明．〖解 析〗a 2＝5，a 3＝7.猜想a n ＝2n ＋1.证明：由已知可得a n ＋1－(2n ＋3)＝3〖a n －(2n ＋1)〗， a n －(2n ＋1)＝3〖a n －1－(2n －1)〗， …，a 2－5＝3(a 1－3).因为a 1＝3，所以a n ＝2n ＋1.方法总结判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．(证明用) (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1.(证明用) (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0. 提醒 判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．〖题组突破〗1．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12 ，2a n ＋1 ＝1a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n〖解 析〗由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．首项为1a 1 ＝1，1a 2 ＝2，∴公差d ＝1，∴1a n ＝1＋(n －1)·1＝n ，∴a n ＝1n . 〖答 案〗A2．如果a ，b ，c 成等差数列且不全相等，1a ，1b ，1c 能构成等差数列吗？用函数图象解释一下．〖解 析〗a ，b ，c 成等差数列，通项公式为y ＝pn ＋q 的形式，且a ，b ，c 位于同一直线上，而1a ，1b ，1c 的通项公式为y ＝1pn ＋q 的形式． 其图象不是直线，故1a ，1b ，1c不是等差数列．题型三 等差数列的性质及综合应用〖典例剖析〗 类型 1 通项性质〖例1〗 (1)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8〖解 析〗S 6＝6·（a 1＋a 6）2 ＝3(a 1＋a 6)＝3(a 3＋a 4)＝48，∴a 3＋a 4＝16. 又∵a 4＋a 5＝24， ∴(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)＝8， ∴2d ＝8，∴d ＝4. 〖答 案〗C(2)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于 ( ) A ．7 B ．3 C ．－1D ．1〖解 析〗由{a n }是等差数列及a 1＋a 3＋a 5＝105， 得3a 3＝105，即a 3＝35，由{a n }是等差数列及a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99，即a 4＝33， 则公差d ＝a 4－a 3＝－2， 则a 20＝a 3＋(20－3)d ＝35－34＝1. 〖答 案〗D 类型 2 和的性质〖例2〗 (1)一个正项等差数列前n 项的和为3，前3n 项的和为21，则前2n 项的和为( ) A ．18 B ．12 C ．10D ．6〖解 析〗∵{a n }是等差数列， ∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列， 即2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n ). ∵S n ＝3，S 3n ＝21，∴2(S 2n －3)＝3＋21－S 2n ，解得S 2n ＝10. 〖答 案〗C(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. ①求{a n }的通项公式； ②求S n ，并求S n 的最小值．〖解 析〗①设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9. ②由①得S n ＝a 1＋a n 2 ·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 方法总结1．巧用性质，减少运算量是等差数列中计算的重要方法．利用等差数列的性质解题，就是从等差数列的本质特征入手去思考、分析题意，这样做会事半功倍．2．等差数列{a n }的前n 项和S n 存在最值的情况：如果a 1＞0，d ＜0时，数列的项先正(或0)后负，将所有正项(或0)相加，则S n 最大，或者S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2 n 表示开口向下的抛物线，S n 存在最大值． 如果a 1＜0，d ＞0，数列的项先负(或0)后正，将所有的负项(或0)相加，则S n 最小，或者S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2 n 表示开口向上的抛物线，S n 存在最小值． 3．借用通项的邻项变号法：a 1>0，d <0，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0， S n 取得最大值S m ；a 1<0，d >0，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0，S n 取得最小值S m .〖题组突破〗1．(2021·湖北黄冈模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，若S n T n ＝2 018n －13n ＋4，则a 3b 3 ＝( ) A ．528 B ．529 C ．530D ．531〖解 析〗根据等差数列的性质：a n b n ＝S 2n －1T 2n －1 得a 3b 3 ＝S 5T 5 ＝2 018×5－13×5＋4 ＝531.〖答 案〗D2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________． 〖解 析〗S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列， 即9，27，S 9－S 6成等差数列， ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2×27－9＝45. 〖答 案〗453．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．〖解 析〗由题意，当且仅当n ＝8时S n有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78 .〖答 案〗⎝⎛⎭⎫－1，－78再研高考回归定义与基本公式1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n〖解 析〗设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝n ·(－3)＋n （n －1）2 ·2＝n 2－4n .〖答 案〗A2．(2020·高考山东卷)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．〖解 析〗法一(观察归纳法)：数列{2n －1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n －2}的各项为1，4，7，10，13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5，故前n 项和为S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n （1＋6n －5）2＝3n 2－2n .法二(引入参变量法)：令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数．令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1，2，3，…).a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5.以下同法一．〖答 案〗3n 2－2n3．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________．〖解 析〗设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2.因为a 1＝－2，所以d ＝1，所以S 10＝10×()－2 ＋10×92 ×1＝25. 〖答 案〗254．(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.〖解 析〗由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1， S 5＝5a 1＋5×42 d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4. 〖答 案〗4素养升华数学文化1．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤〖解 析〗用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65，∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤．〖答 案〗B2．《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布( )A ．12B ．815C ．1631D ．1629〖解 析〗设从第2天起每天比前一天多织d 尺布，则由题意知30×5＋30×292 d ＝390，解得d ＝1629. 〖答 案〗D。
高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教学案理(解析版)
[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．(3)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，可推广为a n ＝a m ＋(n －m )d . (4)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d .2．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． [常用结论]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p . 2．若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a mb m. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d 等于( ) A.14 B.12 C ．2 D ．－12 A [∵a 4＋a 8＝2a 6＝10，∴a 6＝5， 又a 10＝6，∴公差d ＝a 10－a 610－6＝6－54＝14.故选A.] 3．(教材改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34B [设数列{a n }的公差为d ， 法一：由S 5＝5a 3＝30得a 3＝6， 又a 6＝2，∴S 8＝a 1＋a 82＝a 3＋a 62＝＋2＝32.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋5×42d ＝30，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43.∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×263－28×43＝32.]4．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0解得－1＜d ＜－78.]5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 180 [∵{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90， ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.]等差数列基本量的运算1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12B ．13C ．14D ．15B [由题意得S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝25，a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d ＝3＋5×2＝13.故选B.]2．已知在等差数列{a n }中，a 1＝20，a n ＝54，S n ＝3 700，则数列的公差d ，项数n 分别为( ) A ．d ＝0.34，n ＝100B ．d ＝0.34，n ＝99C ．d ＝3499，n ＝100D ．d ＝3499，n ＝99C [由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋n －d ，S n ＝na 1＋n n －d2，得⎩⎪⎨⎪⎧54＝20＋n －d ，3 700＝20n ＋n n －d 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3499，n ＝100.故选C.]3．(2018·宁德二模)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝( )A ．33B ．16C ．13D ．12C [由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝14，a 2·a 6＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝7，a 1＋d a 1＋5d ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2.当a 1＝1，d ＝2时，a 7＝1＋6×2＝13，∴a 1a 7＝13； 当a 1＝13，d ＝－2时，a 7＝13＋6×(－2)＝1，∴a 1a 7＝13. 综上可知a 1a 7＝13.故选C.]4．(2018·西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种重量单位)．这个问题中，等差数列的通项公式为( ) A ．－16n ＋76(n ∈N *，n ≤5)B.16n ＋32(n ∈N *，n ≤5) C.16n ＋76(n ∈N *，n ≤5) D ．－16n ＋32(n ∈N *，n ≤5)D [由题意可设五人所得依次对应等差数列中的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝5，2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，∴通项公式为a n ＝43＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝32－16n (n ∈N *，n ≤5)，故选D.]方程思想：程组求解，等差数列中包含整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用即可求解.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程等差数列的判定与证明【例1】 数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞nn ＋1.[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1， ∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n，即1a n ＋1－1a n＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n＝2n －1，所以S n ＝n＋2n －2＝n 2.证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n n ＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 定义法：证明对任意正整数等差中项法：证明对任意正整数通项公式法：得出前n 1n ＋1n (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[解] (1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)， 得na n ＋1－n ＋a nn n ＋＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n . 等差数列的性质及应用【例2】 (1)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－37(2)(2019·商洛模拟)等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．8(3)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27(1)C (2)C (3)B [(1)设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，所以{a n ＋b n }为等差数列．又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，所以{a n ＋b n }为常数列，所以a 37＋b 37＝100.(2)因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24. (3)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列． 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.]在等差数列m ，*，则在等差数列S 3m －S .n 项和为S n ，若m －1＋a m ＋1m 2m －1( )A ．39B ．20C ．19D ．10(2)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11的值为( ) A.2945 B.1329 C.919 D.1930(1)B (2)C [(1)数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.故选B. (2)由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8， ∴a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11＝a 2＋a 142b 8＝a 8b 8＝S 15T 15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.]等差数列前n 项和的最值问题【例3】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． [解] ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0， 当n ≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.法二：S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 法三：由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 函数法：利用等差数列前方法求解邻项变号法①当a 1>0n n 61n n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________．(1)C (2)110 [(1)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，化简得a 1＝－5d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大．(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n n －2d ＝20n －n n －2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12B [设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 A [由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2. 所以S 6＝6×1＋－2＝－24.故选A.]3．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100B ．99C ．98D ．97C [∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C.]4．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．[解] (1)设{a n}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7得d＝2.所以{a n}的通项公式为a n＝2n－9.(2)由(1)得S n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，S n取得最小值，最小值为－16.。
2016年高考数学总复习第五章第2讲等差数列课件理
(5)等差数列的单调性：若公差 d>0，则数列单调递增；若 公差 d<0，则数列单调递减；若公差 d＝0，则数列为常数列．
7．等差数列的最值 在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则 Sn 存在最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn 存在最_小___值．
1．已知在等差数列{an}中,a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝( A )
(1)若 1，a1，a3 成等比数列，求 a1； (2)若 S5>a1a9，求 a1 的取值范围．
【规律方法】在解决等差数列问题时，已知 a1，an，d，n， Sn 中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得 a1 和 d 是解决等差数列{an}所有运算的基本思想和方法.本题主要 考查等差、等比数列最基本的公式，解最基本的一元二次方程 及一元二次不等式.
答案：B
【互动探究】
4．(2014年重庆)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，
则a7＝( B )
A．5
B．8
C．10
D．14
解析：方法一：a1＝2，a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，d＝ 1，则a7＝a1＋6d＝8. 方法二：a1＝2，a3＋a5＝10＝a1＋a7，∴a7＝8.
第 2 讲 等差数列
1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有 关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差，通常用字母__d__表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公 式是 an＝a1＋(n－1)d.
高考数学总复习 第五章第2课时 等差数列及其前n项和课件 理
a＋b 提示：充要条件．A＝ ⇒2A＝a＋b 2 ⇒A－a＝b－A⇒a， A， b 成等差数列． 反 a＋ b 之， 若 a， A， b 成等差数列， 则 A＝ . 2 a＋ b 故 A＝ 是 a，A，b 成等差数列的充 2 要条件．
(4)前 n 项和公式
a 1＋ann nn－1 Sn＝na1＋ d＝_________. 2 2
(2)通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d, a1＋(n－1)d 那么通项公式为an＝______________.
(3)等差中项
如果a,A,b成等差数列,那么___ A 叫做a与 a＋b A＝ b的等差中项且__________. 2
思考探究 a＋b 1．A＝ 是 a，A，b 成等差数列的什 2 么条件？
变式训练 1．已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， Sn bn＝ (n∈N*)． n 求证：数列{bn}是等差数列．
证明：设等差数列{an}的公差为 d， 1 则 Sn＝na1＋ n(n－1)d， 2 Sn 1 ∴bn＝ n ＝a1＋ (n－1)d. 2 1 1 法一：bn＋1－bn＝a1＋ nd－a1－ (n－1)d 2 2 d ＝ (常数)， 2 ∴数列{bn}是等差数列．
【解】
a5 2a5 a1＋a9 法一： ＝ ＝ ＝ 2 1 9 S9 21 ＝ ＝ . 9 T9 4 b1＋b9 2 Sn 7n 法二：∵T ＝ ， n＋3 n
可令 Sn＝7n· kn＝7kn2，Tn＝kn(n＋3)， ∴a5＝S5－S4＝7k· 52－7k· 42＝63k， b5 ＝ T5 － T4 ＝ k· 5(5 ＋ 3) － k· 4(4 ＋ 3) ＝ 12k， a5 63k 21 ∴ ＝ ＝ . b5 12k 4
高考数学一轮复习 第五章 数列 第2节 等差数列及其前n项和课件
d＝2，∴S20＝320，故选 C.
【答案】 C
4．(2014·北京高考)若等差数列{an}满足 a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当 n
＝
时，{an}的前 n 项和最大．
【解析】 ∵a7＋a8＋a9＝3a8＞0，∴a8＞0. ∵a7＋a10＝a8＋a9＜0，∴a9＜－a8＜0. ∴数列的前 8 项和最大，即 n＝8.
研考点| 梯度提升
考向 1 等差数列基本量的运算
基础考点
题型：选择题 难度：低 命题指数：★★☆
命题热点：以等差数列的通项公式和前 n 项和公式为载体，Βιβλιοθήκη 查基本量的运算.[自主突破]
(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和， 若 S8＝4S4，则 a10＝( )
当 a1＜0，d＞0 时，满足ama≤m＋01≥0 的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm.
基础自测 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列 是等差数列．( ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋ 2.( ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
17 A. 2 C．10
19 B. 2 D．12
(2)(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm－1＝－2，Sm＝0，
Sm＋1＝3，则 m＝( )
A．3
B．4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＋an.
* 3．若 an是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公
差为 md 的等差数列．
4．数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
－1
2×
1 1－2
11 －(2n－1)×21－n＝ 2 －(2n＋3)×21－n，
∴Tn＝11－(2n＋3)×22－n.
考点突破 题型透析
考点二 等差数列的判定或证明
2an－1＝an＋an－2n≥3，n∈N*，体现了\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中的相 邻三项 an－2，an－1，an 间的递推关系，其中 an－1 为 an－2，an 的等差中项.
则 a1＝( A．18
B
) B．20 C．22 D．24
教材梳理 基础自测
一、等差数列的概念
[自测 4] 若等差数列 则它的第五项为 an的前三项依次为 a,2a＋1,4a＋2，
__________．
4
教材梳理 基础自测
二、等差数列的性质
1．通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)．
考点突破 题型透析
考点一 等差数列基本量的计算
1．(2014· 高考福建卷)等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1＝2，S3＝12，
则 a6 等于( A．8 C．12
) B．10 D．14
选 C.利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解． 3×2 由题意知 a1＝2，由 S3＝3a1＋ 2 ×d＝12，解得 d＝2，所以 a6＝a1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选 C.
＝__________.
60
考点突破 题型透析
考点一 等差数列基本量的计算
{突破点} 选用恰当的公式列方程(组)是计算的主要程序
等差数列 an中，a1 与 d 是最基本的两个量，它可以确定等差数列的通项
公式和前 n 项和公式．与等差数列有关的基本计算问题，主要围绕着通 项公式和前 n 项和公式，在两个公式中共有五个量：a1，d，n，an，Sn， 已知其中三个量，选用恰当的公式利用方程(组)可求出剩余的两个量．
教材梳理 基础自测
二、等差数列的性质
[自测 5] 已知数列 an为等差数列，且 a1＋a7＋a13＝π，则 tan(a2＋a12)的
值为( A. 3 C．± 3
) B．－ 3 3 D．－ 3
B
教材梳理 基础自测
二、等差数列的性质
[自测 6] 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S10＝10，S20＝30，则 S30
考点突破 题型透析
考点一 等差数列基本量的计算
3．(2015· 石家庄质检)已知等差数列 an满足 a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n＞3)，
Sn＝100，则 n 的值为( A．8 C．10
) B．9 D．11
选 C.由 Sn－Sn－3＝51 得，an－2＋an－1＋an＝51， na2＋an－1 所以 an－1＝17，又 a2＝3，Sn＝ ＝100， 2 解得 n＝10.
30×29 首项为 1、 公差为 1 的等差数列， a1＋a3＋a5＋…＋a59＝30×1＋ 2 ×1
＝465；当 n 是偶数时，an＋2＋an＝1，即数列 an中的相邻的两个偶数项之
和均等于 1，a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a58＋a60＝(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋…＋(a58 ＋a60)＝15.因此，该数列的前 60 项和 S60＝465＋15＝480. 480
考点突破 题型透析
考点一 等差数列基本量的计算
2．(2015· 郑州质检)等差数列 an的前 7 项和等于前 2 项和，若 a1＝1，ak
＋a4＝0，则 k＝________.
7×6 1 a 设数列 n的公差为 d，依题意得 7×1＋ 2 d＝2＋d，解得 d＝－4，则 1 ak＋a4＝2＋(k＋2)×(－4)＝0，由此解得 k＝6. 6
1，n＝1， ∵b1＝1 不满足，∴bn＝ 2－n 2 ，n≥2.
考点突破 题型透析
考点二 等差数列的判定或证明
bn (2)求数列 an· 的前 n 项和 Tn.
考点突破 题型透析
考点二 等差数列的判定或证明
1，n＝1 (2)设 cn＝an· bn＝ ， 2－n 2 n － 1 · 2 ， n ≥ 2
则 Tn＝1＋3＋5×2－1＋7×2－2＋…＋(2n－1)×22－n， 1 1 －1 －2 －3 1－n T ＝ ＋ 3 × 2 ＋ 5 × 2 ＋ 7 × 2 ＋ … ＋ (2 n － 1) × 2 ， n 2 2 1 7 7 两式作差得： 2 Tn ＝ 2 ＋ 2×(2 － 1 ＋ 2 － 2 ＋ … ＋ 22 － n) － (2n － 1)×21 － n ＝ 2 ＋ 1 1 － 2 n－2 2
考点二 等差数列的判定或证明
{方法2} 等差中项法是判断等差数列的递推方法
* 对于数列 an，如果验证 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N )都成立，则an为等
差数列．
考点突破 题型透析
考点二 等差数列的判定或证明
证明
Sn * b a 3．已知 Sn 为等差数列 的前 n 项和， b ＝ ( n ∈ N ) ．求证：数列 n n是 n n 等差数列．
1 1 法二：bn＋1＝a1＋2nd，bn＋2＝a1＋2(n＋1)d， 1 1 ∴bn＋2＋bn＝a1＋2(n＋1)d＋a1＋2(n－1)d ＝2a1＋nd＝2bn＋1.
∴数列 bn是等差数列．
考点突破 题型透析
考点二 等差数列的判定或证明
4．(2015· 山西四校联考)已知数列 an、bn满足 a1＝b1＝1，a2＝3，且 Sn＋1 ＋Sn－1＝2(Sn＋1)(n≥2， n∈N*)， 其中 Sn 为数列 又 b1＋2b2 an的前 n 项和，
考点突破 题型透析
考点二 等差数列的判定或证明
n 1．在数列 an中，a1＝1，an＋2＋(－1) an＝1，记 Sn 是数列an的前 n 项和，
则 S60＝__________.
依题意得，当 n 是奇数时，an＋2－an＝1，即数列 an中的奇数项依次形成
考点突破 题型透析
考点三 等差数列的性质及应用
{关键点1} 等差数列“对称项之和”的应用关键看“对应的项数之和”
* 若 an为等差数列，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N )．
考点突破 题型透析
考点三 等差数列的性质及应用
1．(2014· 高考北京卷)若等差数列 an满足 a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当 n＝__________时， an的前 n 项和最大．
又 b1＝a2－a1＝1，所以 bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
考点突破 题型透析
考点二 等差数列的判定或证明
(2)求 an的通项公式．
(2)解：由(1)得 bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 即 an＋1－an＝2n－1. 于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，
设等差数列 an的公差为 d，
1 则 Sn＝na1＋2n(n－1)d， Sn 1 ∴bn＝ n ＝a1＋2(n－1)d.
考点突破 题型透析
考点二 等差数列的判定或证明
证明
1 1 d 法一：bn＋1－bn＝a1＋2nd－a1－2(n－1)d＝2(常数)，
∴数列 bn是等差数列．
＋22b3＋…＋2n－2bn－1＋2n－1bn＝an 对任意 n∈N*都成立．
(1)求数列 an、bn的通项公式；
考点突破 题型透析
考点二 等差数列的判定或证明
(1)∵Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，∴Sn＋2＋Sn＝2(Sn＋1＋1)，两式作差得：an＋2＋ an＝2an＋1，
∴当 n≥2 时，数列 an是等差数列，首项 a2 为 3，公差为 2，
∴an＝3＋2(n－2)＝2n－1(n≥2)，又 a1＝1 符合， ∴an＝2n－1(n≥1)． ∵b1＋2b2＋22b3＋…＋2n－2bn－1＋2n－1bn＝an， ∴b1＋2b2＋22b3＋…＋2n－3bn－2＋2n－2bn－1＝an－1， 两式相减得：2n－1bn＝an－an－1＝2，∴bn＝22－n(n≥2)，
利用等差数列的性质求前 n 项和的最值． ∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0. ∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0. ∴数列的前 8 项和最大，即 n＝8.
8
考点突破 题型透析
考点三 等差数列的性质及应用
2． (2014· 高考重庆卷)在等差数列 a1＝2， a3＋a5＝10， 则 a7＝( an中，
教材梳理 基础自测
一、等差数列的概念
1．等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用 字母 d 表示，定义的表达式为 an＋1－an＝d .
2．等差中项
a＋b 如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且 A＝ 2 .
考点突破 题型透析
考点二 等差数列的判定或证明
2．(2014· 高考大纲全国卷)数列 an满足 a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋