2.3等差数列前N项和的公式
等差数列的前n项和(3)
称为数列{an}的前n
项和，记作Sn，那么Sn－1表示什么？ an，Sn，Sn－1三者之间有什么关系？
S n S n 1 an S1
2013-8-19
( n 2) ( n 1)
利用数列前n项和Sn，求通项公式 第一步：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1； 第二步：检验n＝1时，a1＝S1是否适合上式， 若适合，则数列{an}的通项公式是an＝Sn－Sn－1； 若不适合，则数列{an}的通项公式是
9＋17 由 S17＝S9 知图象对称轴 n＝ ＝13， 2 ∴当 n＝13 时，取得最大值 169.
2013-8-19
2. 若数列{an}的前n项和是Sn＝pn2＋qn， 那么数列{an}是等差数列吗？ 若Sn＝pn2＋qn＋r呢？ {an}是等差数列
Sn＝pn2＋qn.
2013-8-19
Sn 3. 若数列{an}为等差数列，那么数列 { } n
2013-8-19
【正解】
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n； 当 n＝1 时，a1＝S1＝1.
1，n＝1 ∴an＝ 2n，n≥2
.
∵a2－a1＝4－1＝3≠2， ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列.
3 2 123 ＝2n － 2 n＋1 260.10 分
2013-8-19
∴数列{|an|}的前 n 项和 3 2 123 －2n ＋ 2 nn≤20 Sn′＝ 3n2－123n＋1 260n>20 2 2
.12 分
• [题后感悟] 本题为非常规等差数列求和．解 题的关键首先是确定数列{an}的前20项为负数， 其次是当n>20时，用Sn－S20表示从a21到an这些 非负的项的和．本题是此类问题的一个典型例 题，类似问题都可以这样处理．
高中数学：2.3等差数列的前n项和公式(2)
2.3 等差数列的前n 项和公式(2) 课前预习 ● 温故知新 学前温习1.等差数列的前n 项和公式设等差数列{n a }的公差为d ，其前n 项和Sn= 或Sn= .2.等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系 新课感知1.在等差数列{n a }中，若1a ＞0，d ＜0，则Sn 是否存在最大值？若存在，如何求？2. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，求证：12186126,,S S S S S --也成等差数列。
由此推广，你能得到什么结论？ 课堂学习 ● 互动探究 知识精讲1.等差数列的前n 项和有如下的性质．(1)若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也为等差数列．(2)等差数列{a n }中，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列．(3)等差数列{a n }中，若S m ＝S p (m≠p)，则S m ＋p ＝0. (4)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n(a 1＋a 2n )＝n(a n ＋a n ＋1)(a n ，a n ＋1为中间两项)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1. (5)若数列{n a }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则a n b n ＝n n --2121S T.2.求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法： (1)利用二次函数的最值特征求解．S n ＝n 1a ＋nn －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 1d 2－d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 1d 2.由二次函数的对称性及n∈N *知，当n 取最接近12－a 1d 的正整数时，S n 取到最大值(或最小值)，值得注意的是最接近12－a 1d 的正整数有时有1个，有时有2个． (2)根据项的正负来定．若1a >0，d<0，则数列前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值 若1a <0，d>0，则数列前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值 课堂点拨1、在等差数列{ a n }中， 125a =，179s s =，求n s 的最大值．解析：方法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ， 解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， 由二次函数性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二：先求出d ＝－2(同方法一)， ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0a n ＋1＝25－2n<0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312n>1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三：先求出d ＝－2(同方法一)，1,..S S a a a a a a a a a a a a a d a a a ⋯<>∴><1791011171017111612151314131413140020000Q ，由＝得＋＋＋＝， 而＋＝＋＝＋＝ ＋故＋＝＝－，，，故n ＝13时，Sn 有最大值169.方法四：先求出d ＝－2(同方法一)得S n 的图象如图所示，由S 17＝S 9知图象对称轴n ＝9＋172＝13， ∴当n ＝13时，取得最大值169.【点拨】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和Sn=An 2+Bn （A 、B 为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.2、已知数列{n a }为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公式．解析：方法一：由等差数列的性质可知奇数项a 1，a 3，a 5，…，a 11与偶数项a 2，a 4，a 6，…，a 12仍然成等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 S 偶＝a 2×6＋6×52×2d＝6a 1＋36d ， S 奇＝a 1×6＋6×52×2d＝6a 1＋30d ， ⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＝354，6a 1＋36d 6a 1＋30d ＝3227，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝5.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.方法二：设奇数项与偶数项的和分别为S 奇，S 偶， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＋S 奇＝354，S 偶S 奇＝3227，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162，∴d＝192－1626＝5， 又∵S 奇＝a 1＋a 11×62＝3(2a 1＋10d)＝162， ∴a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.【点拨】等差数列{n a }中，a 1，a 3，a 5，…是首项为a 1，公差为2d 的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是首项为a 2，公差为2d 的等差数列．当项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，方法2中运用到了这些，利用等差数列前n 项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解．3、两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，求a n b n . 解析： 方法一：设a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1＋(n －1)e. 取n ＝1，则a 1b 1＝S 1T 1＝12，所以b 1＝2a 1.所以S n T n ＝na 1＋n n －12d nb 1＋n n －12e ＝a 1＋n －12d b 1＋n －12e ＝a 1＋n 2d －d22a 1＋n 2e －e 2＝2n3n ＋1，故en 2＋(4a 1－e)n ＝32dn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1－32d ＋d 2n ＋a 1－d 2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d2＝0，4a 1－e ＝3a 1－d ，e ＝32d.即⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1，e ＝3a 1.所以a n b n ＝2n －13n －1.方法二：设S n ＝an 2＋bn ，T n ＝pn 2＋qn(a ，b ，p ，q 为常数)， 则S n T n ＝an ＋b pn ＋q ＝2n3n ＋1，所以3an 2＋(3b ＋a)n ＋b ＝2pn 2＋2qn ，从而⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2p ，3b ＋a ＝2q ，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2q ，b ＝0，p ＝3q ，所以S n ＝2qn 2，T n ＝3qn 2＋qn.当n ＝1时，a 1b 1＝S 1T 1＝12；当n≥2时，a n b n ＝S n －S n －1T n －T n －1＝2n －13n －1方法三：1212112121()22()22n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T ----+===+2(21)21=.3(21)131n n n n --=-+- 【点拨】由S n T n ＝7n ＋2n ＋3，设S n 与T n 时，如果设成S n ＝(7n ＋2)k ，T n ＝(n ＋3)k 则错误．从此 的性质方向讲是正确的．但要考虑到等差数列的前n 项和为关于n 的二次函数，所以应设为S n ＝(7n ＋2)kn ，T n ＝(n ＋3)kn. , 当堂达标1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．92、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a Λ， 则99963a a a a ++++Λ的值为 （ ） A. 78 B. 82 C. 148 D. 1823. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=126S S ( ) （A ）103 （B ） 31 （C ）8 （D ）914. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．1005.等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝( )A ．－11B ． 11C ．10D 。
2.3.1(讲课)等差数列的前n项和公式
公差为d，求等差数列的前n项和Sn Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an 倒 Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an
Sn=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 两式左右分别相加，得
序 相 加
2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
2Sn n(a1 an )
n(a1 an ) 公式1 S n 2
an a1 (n 1)d
n(n 1) 公式2 Sn na1 d 2
一、等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an ) Sn 2
an a1 (n 1)d
n(n 1) Sn na1 d 2
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，
… … … …
…
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100 ∴S=5050.
2.3等差数列的前n项和公式
2．3 等差数列的前n 项和(一)[学习目标]1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导方法；2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的有关的问题 [预习导引]1．数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n . 即S n =a 1＋a 2＋…＋a n 问题1：如何由数列的前n 项和n S 求出通项公式n a ？2．等差数列前n 项和公式问题2：如何快速计算1+2+…+n=?问题3：受上述算法的启示，如何推导等差数列前n 项和公式n S ，方法是什么？新知1：等差数列前n 项和1()2n n n a a S +=（常与性质“若m n k l +=+则m n k l a a a a +=+”使用） 问题4：将通项1(1)n a a n d =+-代入上式，你能得到怎样的前n 项和公式n S ？新知2：等差数列前n 项和21(1)A B 2n n n S na d n n -=+=+其中A ________,B __________==（常建立1,a d 的方程组或看成关于n 的函数）题型一 与前n 项和S n 有关的基本量的计算 例1 在等差数列{a n }中(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d . (2)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .跟踪演练1在等差数列{a n }中(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.题型二 等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．跟踪演练2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的范围； (2)问前几项的和最大，并说明理由．题型三 利用S n 与a n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n .当堂达标A 组1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 482．在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．45663．一个五边形的内角度数成等差数列，且最小角是046，则最大角是（ ） A.0108 B. 0139 C. 0144 D. 01704．在小于100的正整数中共有 个数能被3除余2? 这些数的和是 。
2.3等差数列的前n项和公式(1)
2.3 等差数列的前n 项(1)课前预习学前温习1.等差数列的定义:2.等差数列的通项公式3.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：n a =m a + ，（n ， m∈N*）.（2）若{}n a 为等差数列，且k+l=m+n ，（k ，l ，m ，n∈N*），则 .（3）若{}n a 是等差数列，则a a a ++k k m k 2m ，，，…（k ，m∈N*）是公差为 的等差数列. 新课感知1.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和Sn= 或Sn= .2．如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？课堂学习 ● 互动探究知识精讲1、等差数列前n 项和公式的推导：（1） 用“倒序相加法”进行求和。
],)1([...)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=①],)1([...)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②由①+②，得 2n S =1111n n n n a a a a a a a a ++++n 个（）+（）+（）+...+（）)(1n a a n +=由此得到等差数列}{n a 的前n 项和的公式2)(1n n a a n S +=（2）其他的推导途径 123...n n S a a a a =+++=1111()(2)...[(1)]a a d a d a n d +++++++-=1[2...(1)]na d d n d ++++-=1[12...(1)]na n d ++++-=1(1)2n n na d -+ 2. 等差数列前n 项和公式的理解2)(1n n a a n S +=或n S =1(1)2n n na d -+ （1）公式的结构特征：第一个公式反映了等差数列的任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
2.3.2等差数列的前n项和的性质
性质1
若数列an 是公差为d的等差数列，
2
则s n，s 2 n - s n，s3n - s 2 n ...是公差为n d的等差数列
c
（2）一个等差数列的前10项和为50，后10项和为60，则其前n 项和为 .
性质2
若数列a n 是公差为d的等差数列 s奇 s偶 s n 当项数为偶数时， n 2m时 s奇 am s 偶 - s 奇 md s 偶 am 1
性质3
当项数为奇数时， n 2m - 1时 s偶 （m 1）am s 奇 mam s奇 m s偶 m 1
s 偶 s 奇 sn (2m - 1)am
性质4
a n 和bn 的前n项和分别为Sn , Tn 若等差数列
S2 n1 an 则 T2 n1 bn
第二章 数列
2.3 等差数列前n项和的性质
知识回顾:
知识点 1 ：a n与sn的关系
a n 一般地，我们称 a1 a2 a3 ... an为数列
的前n项的和sn即有sn a1 a2 a3 ... an
s1 , n 1 注意：an sn sn 1 , n 1
二.等差数列的前n项和公式:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
注. 数列an 的前n项和s n pn qn( p, q是常数）
2
d 数列an 是等差数列，且 p 2
三.等差数列的前n项和的性质:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
性质5
a n 的前n项和分别为Sn 若等差数列
Sn 则 也是等差数列 n
n(a1 an ) 1.等差数列的前项和公式1：S n 2
数列的前n项和方法总结
数列的前n项和方法总结
数列是数学中常见的一种数值序列，求解数列的前n项和在许多数学和实际问题中都具有重要意义。
下面是关于数列的前n项和的几种常见方法总结：
1. 等差数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，那么数列的前n项和Sn = (n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比（r ≠ 0），那么数列的前n项和Sn = a1 * (1-r^n)/(1-r)。
3. 斐波那契数列的前n项和：
斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，后续项为前两项之和。
若n 为正整数，那么斐波那契数列的前n项和为Sn = F(n+2) - 1，其中F(n)表示第n项斐波那契数。
4. 平方数列的前n项和：
平方数列是一种特殊的数列，每一项都是某个正整数的平方。
若数列的通项公式为an = n^2，那么数列的前n项和Sn = (n(n+1)(2n+1))/6。
5. 等差子数列的前n项和：
若一个数列是等差数列的子数列，其公差与等差数列相同，那么子数列的前n项和等于原等差数列的前n项和减去首项之前的和。
以上是几种常见数列的前n项和的求解方法。
在实际应用中，根据数列的特点和通项公式选择适当的方法来计算数列的前n项和会更加高效和方便。
2.3等差数列前n项和
例2、已知一个等差数列 {a n }前10项的和是 310 , 前 20项的和是 1220 .由这些条件能确定这个 等差数 列的前 n项和的公式吗 ?
等差数列的前n项和计算公式
例3.已知数列{an}的前n项和为sn=n2+(1/2)n, 求这个数列的通项公式，这个数列是等差数 列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？
公式1 S n = n(a1 + an ) 2
2Sn=n(a1+an)
方法2：
+）
S n = a1 + (a1 + d ) + L + [a1 + n − 1)d ] （
S n = an + (an − d ) + L + [an − (n − 1)d ]
n(a1 + an ) 公式1 S n = 2
高 斯 的 故 事
高斯上小学时， 高斯上小学时，有一次数学老 师给同学们出了一道 题： 计算从1到 的自然数之和。 计算从 到100的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目 的自然数之和 那个老师认为， 需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 他刚坐下，马上就有一个学生举手说： 老师，我做完了。 他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了。”老师 大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边， 大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见他 在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他， 在笔记本上写着 ，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他， 老师买了一本数学书送给他。 老师买了一本数学书送给他。
例4 已知等差数列 2 4 5,4 ,3 , ... 的前n项和为S n , 求使 7 7 得S n 最大的序号n的值.
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（1） 1+2+3+…+n= （2） 1+3+5+…+（2n-1）= （3）2+4+6…+2n=
Sn = n（n+1）/2 Sn = n2
Sn= n（n+1）
上面习题的答案在以后会经常用到。
1.将等差数列前n项和公式
Sn
na1
n(n 1)d 2
看作是一个关于n的函数,这个函数
有什么特S点n ？d2n2
等差数列的前n项和 的性质及应用
1
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
借助几何图形之 直观性,使用熟悉的 几何方法:把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。
6
探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21
(121)21 2
21
1
7
问题3:
求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
17
解:将题中的等差数列记为｛an｝,sn代表该数列
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n 1)
根据等差数列前n项和公式: sn na1
得 10 nn(n1)454
d 2
2
整 理 后 ,得 n 2 6 n2 70
解得 n1=9, n２=－3(舍去) 因此等差数列－10,－6,－2,2,．．．前9项的和是 54.
S120
120 (1120) 2
7
260
答:V形架上共放着 7 260支铅笔。
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例2:在等差数列{an}中,
（1）a3= -2,a8=12，求S10
（2）a1=14.5,d=0.7，an=32，求Sn
解:（1）a1+a10 = a3+a8 = 10
S10
(a1
a10) 10 2
10 10 2
50
（2）由等差数列的通项公式,得
14.5+(n1)0.7=32 n=26
(14.5 32) 26
S26
2
604.5
15
例3: 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和?
分析:可以由等差数列性质,直接代入前n 项和公式
解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=16/2 × 18=144 答:前16项的和为144。
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当 知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
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例4 等差数列-10,-6，-2， 2，…前多少项的和是54？
本题实质是反用公式,解一个 关于n 的一元二次函数，注意 得到的项数n 必须是正整数.
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巩固练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20
a6+a9+a12+a15=192, a6+a15=a9+a12= a1+a20
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问题2:对于这个问题,德国著名数学家高斯10岁 时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
高斯
这个问题,可看成是求等差数列 1，2， 3，…，n，…的前100项的和。
(a1
d)n 2
令
A
d 2
,
B
a1
d 2
则
Sn=An2+Bn
12当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
㈡【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的 方法叫 倒序相加法 ;
②等差数列的前n项和公式类同 于 梯形的面积公式 ;
③ 是{一an个}为关等于差n数的列没有Sn=常an数2+项bn
,这 的
“ 二次函数 ”
即 Sn=n(a1+an)/2
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由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an ) 2
即:等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
上面的公式又可以写成
Sn
na1
n(n 1) 2
d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式共涉及到5个量：a1, d, n, an, Sn.已知其中3个可求另2个
（ 注意 a 还可以是 0）
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例1 如图,一个堆放铅笔的 V形架
的最下面一层放一支铅笔，往上 每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔？
解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔，
且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为
{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项和 的公式，得
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探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多
少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题,不能
简单模仿偶数个项求和的办法，
需 要 把 中 间ห้องสมุดไป่ตู้项 11 看 成 首 、 尾 两
项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识:高斯 “首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
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探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1
2S n(n 1), n(n 1)
S 2
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下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,…
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
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问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪 莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成 的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之 细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同 大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见 左图），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？