等差数列前n项和性质

精心整理

2.3.2等差数列的前n 项和的性质【学习目标】

1.熟练掌握等差数列前n 项和公式，等差数列前n 项和的性质以及其与二次函数的关系；

2. 在学习等差数列前n 项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前n 项和公式求其通项公式.

【自学园地】

1. 等差数列的前n 项和的性质：

已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．

(1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .

(2)a m （3）仍成等差，且公差为（4中项数相等，且S -偶1n n a a +=． （5(6){pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.

2.{}n a 为等差数列⇔其前n 项和2n S An Bn =+．

3.若数列{}n a 为等差数列{

}n S n

⇒成等差． 4.等差数列的单调性的应用： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，n 是不等式100

n n a a +≥⎧⎨<⎩的正整数解时取得；

（2）当10,0a d <>时，n S 有最大值，n 是不等式1

00n n a a +≤⎧⎨>⎩的正整数解时取得． （II ）当数列中有某项值为0时，n 应有两解．110m m m S S a ++=⇔=．

5.知三求二问题：等差数列数列前n 项和公式中各含有4个元素：1,,,n n S n a a 与1,,,n S n a d ，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n 项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量．

【典例精析】

1.（1（2（3（4，则项数n （5d ．

（62.3.4（1（2）问12,,S 中哪个值最大？5中，a 1＝－60，6.中，321,S =7.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)n a n n =

+，求n S 8.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(2)

n a n n =

+，求n S 【巩固练习】 1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（）

A.8

B.7

C.6

D.5

2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612

S S =（）

A.

3

10

B.

1

3

C.

1

8

D.

1

9

3.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等()

A．8B．10C．12 D.14

4．下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题：

p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；

p3：数列{}是递增数列；p4：数列{a n＋3nd}是递增数列．

其中的真命题为()

A．p

1

5

A．15

6

A．2

7

A．4

8

9

n的值是

A.4和

10

(1)

11.

【

1．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝() A．－6 B.－4C．－2 D.2

2．在等差数列{a n}中，a9＝a12＋6，则数列{a n}的前11项和S11＝() A．24 B.48C．66 D.132

3．设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6＝2且S5＝30，则S8等于() A．31 B．32

C．33 D．34

4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于() A．13 B．35

C ．49

D ．63

5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13＝S 13＝13，则a 1的值等于________．

6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．

7．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝.

(1)求证：是等差数列；

(2)求a n 的表达式．

8.等差数列{}n a 中，110,a =且21325(22)a a a =+，求

（1）n a （2）若n a +