2.2.3等差数列的前n项和
等差数列的前n项和(1)说课稿
《2.2.3等差数列的前n项和（1）》说课稿江苏省清浦中学时坤明【教材分析】数列在高中数学中占据非常重要的位置，主要以等差数列与等比数列为核心内容展开。
本节课是在学习了等差数列通项公式及简单性质的基础上进行了进一步研究，该内容也为日后学习各种数列的求和作出了引领与铺垫。
等差数列的前n项和公式是数列求和的最基本公式。
不论是公式的获取过程，还是公式推导及方法的发现过程，都是数学家们发现数学结论和数学方法的重要过程。
苏教版必修五旧教材中本课内容是以计算一堆钢管总数为例，从身边的生活实际出发，运用从特殊到一般的方法，进一步发现等差数列的前n项和公式的推导方法。
此法虽然比较实用，导向性比较明确，但个人认为其方式给予学生的思考空间比较狭隘、思维路径比较简短、思维方式过于单一。
参考2019年新出版的人教版高中数学必修五新教材中本课内容开头直接给出问题“?+++ ”，对学生的思维方法没有++4100321=作出任何限定，给了学生广阔的想象空间。
教师可以根据学情因地制宜的安排导入新课的方式，便于让学生更好的掌握本课内容。
除此而外，在例题及习题的编排上，新教材比旧教材更加注重了实用，题目也变得更加灵活，这也是新课程理念和思想在课标教材中的又一体现。
【学情分析】本课之前，学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质。
大部分学生对高斯算法有一定的认识，甚至有些同学对此算法原理比较熟练，然而熟练的只是高斯算法中的“?++++ ”这样一种特殊数列的求和，对于一般等差数列的求和方法+1001=423和公式，学生却没有详细了解。
江苏省常州高级中学是江苏省一所名校，学生的知识面、动脑能力、动手能力等各方面综合素质较高。
针对这一情况，教师所设置教学内容应具有一定的梯度性、关联性、灵活性及发散性。
教师应给予学生足够的展示平台和发挥空间，要处理好预设与生成的关系。
把握本质、紧扣主题，在达成目标的情况下适度外延，丰富知识内涵，体现数学的科学价值、人文价值及审美价值。
苏教版数学必修五：2.2.3等差数列的前n项和(2)【教师版】
二、知识建构与应用
例 1 若数列 an 的前 n 项的和 S n 满足 Sn 5n2 3n ，
（1）写出它的前 3 项； （2）求数列 an 的通项公式；
例 2 已知等差数列 {an } 的项数为奇数，且奇数的和为 44 ，偶数项的和为 33 ，求此数列的 中间项及项数.
例 3 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为 40mm,满盘时直径 120 mm.已知卫生纸 的厚度为 0.1 mm,问:满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到 1m)?
例 4 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款,它享受整存整取利率,利息免税.教育储蓄的对
象为在校四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取 3 年教育储蓄的月利率为 2.1 0 00 . (1) 欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元,每月大约存入多少元? (2) 零存整取 3 年期教育储蓄每月至少存入多少元?此时 3 年后本息合计约为多少(精确到 1 元)?
四、 【回顾反思】
五、作业批改情况记录及分析
【学习过程】 一、自主学习与交流反馈 问题 1 求下列等差数列的各项和： （1）1，5，9，…，401. 各项和为________； （2）- 3，- ，0，…，30. 各项和为_____； （3）0.7，2.7，4.7，…，56.7. 各项和为________； （4）-10，-9.9，-9.8，…，-0.1. 各项和为___________. 问题 2 求和：(其中
a
i 1
n
i
a1 a2 an )
（1）
(3 0.25k ) = ___________，
k 0
10
（2）
1 2n = ___________.
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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2.3.2等差数列的前n项和的性质
性质1
若数列an 是公差为d的等差数列，
2
则s n，s 2 n - s n，s3n - s 2 n ...是公差为n d的等差数列
c
（2）一个等差数列的前10项和为50，后10项和为60，则其前n 项和为 .
性质2
若数列a n 是公差为d的等差数列 s奇 s偶 s n 当项数为偶数时， n 2m时 s奇 am s 偶 - s 奇 md s 偶 am 1
性质3
当项数为奇数时， n 2m - 1时 s偶 （m 1）am s 奇 mam s奇 m s偶 m 1
s 偶 s 奇 sn (2m - 1)am
性质4
a n 和bn 的前n项和分别为Sn , Tn 若等差数列
S2 n1 an 则 T2 n1 bn
第二章 数列
2.3 等差数列前n项和的性质
知识回顾:
知识点 1 ：a n与sn的关系
a n 一般地，我们称 a1 a2 a3 ... an为数列
的前n项的和sn即有sn a1 a2 a3 ... an
s1 , n 1 注意：an sn sn 1 , n 1
二.等差数列的前n项和公式:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
注. 数列an 的前n项和s n pn qn( p, q是常数）
2
d 数列an 是等差数列，且 p 2
三.等差数列的前n项和的性质:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
性质5
a n 的前n项和分别为Sn 若等差数列
Sn 则 也是等差数列 n
n(a1 an ) 1.等差数列的前项和公式1：S n 2
数列知识点总结及例题讲解
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。
是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。
与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
高中数学第二章数列2.2.3第2课时等差数列前n项和公式的变形及应用数学
梳理 等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关： (1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相 加即得{Sn}的最大值. (2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相 加即得{Sn}的最小值. (3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0， d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
12/13/2021
解答
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解 方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋nn－ 2 1·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
方法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.
令 an≥0，则 11－2n≥0，解得 n≤121.
时，Sn 取得最小值.
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的 分界点.
12/13/2021
知识点一 等差数列前n项和与等差中项的关系 思考 在等差数列{an}中，若a3＝2，求S5. 答案 S5＝5a1＋2 a5＝5·a1＋2 a5＝5a3＝10.
12/13/2021
梳理 等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an，其中a1＋2 an为 a1，an 的等差中项，若结合性质“m＋n＝p＋q 得 am＋an＝ap＋aq，”还可 把 a1＋an 换成 a2＋an－1，a3＋an－2，….
第2章 2.2.3 等差数列的前n项和
第2课时 等差数列前n项和公式的变形及应用
2.3等差数列的前n项和(二)
2 数列{an}的通项公式为：an 2n 1 2 点评：
(n 1)
(n 1)
( n 1) S1 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n S n S n 1 ( n 1)
论 思 想
8
2 { a } ● 如果一个数列 n 的前n项和为 s n pn qn r 其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等 差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
5 【解析】由题意知，等差数列的公差为 7
Sn 5n n(n 1) 5 5 15 1125 ( ) ( n ) 2 2 7 14 2 56
15 2
例 题 讲 解
于是，当n取与
最接近的整数即7或8时， S n 取最大值.
函数思想
还有其它 方法吗？
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例 题 讲 解 2 4 例4. 已知等差数列5， 4 ，3 ，的前 .... n项和为Sn , 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
11
1.等差数列的前n项和公式
n(n 1) Sn na1 d 2 ( n 1) S1 2. 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n
n(a1 an ) Sn 2
S n S n 1 ( n 1) 3.推导等差数列前n项和公式方法：
4.本节基本思想：
（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列. n ( n 1) d 2 d s n na1 d n ( a1 ) n 2 2 2
常数项为 0的关于n 的二次型 函数
2
结论：数列是等差数列等价于
《2.3 等差数列的前n项和》教学设计
附件 1-4
第二届湘西州中小学青年教师教学竞赛
教学设计表
学段：高中科目：数学编号：（组委会填写）
设计意图：培养学生观察、比较、分析、归纳等能力.
问题4、从方程的角度来看，可以解决什么问题？
学情预设：知三求一的问题
设计意图：培养学生用方程（组）思想分析问题、解决问题的能力。
问题5、如何更好的记忆公式？跟以前学过的什么公式类似呢？
引导学生回忆梯形的面积公式，并作出以下的分析
设计意图：培养学生类比、反思等思维能力.
设计意图：这些问题串的设计，是为了达到：数学公式课的教学，不仅要知道公式的来龙去脉，还要知道公式是什么，记住公式且挖掘公式的内涵与外延.更重要的是公式有何用，怎样用？让学生对公式课的学习有个系统、全面的认识，形成一套科学而有效的探究公式的方法.力求体现“授之于鱼，不如授之于鱼渔”的教学价值.
（五）剖析例题，理解巩固
例1、众所周知，中国的著名运动员姚明在篮球领域中取得了巨大的成就，他是整个中国的骄傲，甚至是整个亚洲的骄傲.但是同学们了解姚明刚去NBA时的辛酸吗？初到NBA，姚明为了更快的适应NBA 的高强度对抗，给自己指定了为期10天的投篮训练计划，从第一天到第十天的投篮个数依次如下表：
600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 请问：姚明这十天一共投了几个篮？
例2、求等差数列2、4、6、8、…、142的和.
设计意图：1、从数学知识角度出发：学生要达到会选用公式从。