复变函数的解析函数与调和函数
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复变函数-第六讲
2 2
x2 y2 0
即（ 0)
则称(x, y)为D内的调和函. 数
定理 若f(z)u(x,y)iv(x,y)在区D域 内解析 uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函数
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 由 CR 方 程 uv uv
x y y x 从而 x 2u 2有 y2 vx y 2u 2 x2 vy
研究级(3)数 并不失一般性。
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：
定理1 (阿贝尔(Able)定理）
⑴ 若 级c数 nzn在zz0(0)收 敛 ,则 对 满 足 n0
z z0的z,级 数 必 绝.对 收 敛
⑵ 若z级 z0发 数 ,则 散 在对z 满 z0的 足 z, 级 数 . 必 发 散
(2)
8in
8n收
敛 ， (8i)n绝
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， 敛 n 1(( n 1 )， n2 in)收 . 敛
又
(1)n
条
件 收
敛 原 ，级 数 非
绝.
对
n1 n
例3
讨论
zn的 敛 散 性 。
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 s (z ) f1 (z ) f2 (z ) fn (z ) ＋ ---级数(1)的和函数
特殊情况，在级数(1)中 fn(z)cn(zz0)n得
cn(zz0)n (2)
n0
当z00 cnzn (3) n0
称为幂级数
在(2)中令 zz0 (2) cnk k0
复变函数3-4
y
z z z
打洞!
C
பைடு நூலகம்
i C1 C -i 2 x
o
9
C1
ez ez ( z i)2 ( z i)2 dz dz 2 2 C2 ( z i ) ( z i)
z
2i e 2 (2 1)! ( z i )
z i
2
2i e 2 (2 1)! ( z i ) y
d 1 2 z z 0 z z z 0 z 2 z z 0 z d
z0
d
z
C
D
6
1 I 2
z f ( z ) z z 0 z z z 0
2
C
2
ds
1 I z 2
z 0
21 M ds z 3 C M d d d 显然， lim I 0, 从而有
f ( z0 z ) f ( z0 ) 1 f ( z) f ' ( z0 ) lim dz 2 z 0 z 2i C ( z z0 ) 依次类推，用数学归纳法可得
n! f ( z) f ( z0 ) dz n 1 2i C ( z z0 ) 用途 : 利用它计算积分.
z f ( z ) z z0 z z z0
2
C
ds
0
5
f ( z )在C上解析 f ( z )在C上连续 M 0, 1 f ( z ) M .定义d min z z0 , 且取 z d , 则有 zC 2
z z0 d
1 1 . z z0 d
z z z
打洞!
C
பைடு நூலகம்
i C1 C -i 2 x
o
9
C1
ez ez ( z i)2 ( z i)2 dz dz 2 2 C2 ( z i ) ( z i)
z
2i e 2 (2 1)! ( z i )
z i
2
2i e 2 (2 1)! ( z i ) y
d 1 2 z z 0 z z z 0 z 2 z z 0 z d
z0
d
z
C
D
6
1 I 2
z f ( z ) z z 0 z z z 0
2
C
2
ds
1 I z 2
z 0
21 M ds z 3 C M d d d 显然， lim I 0, 从而有
f ( z0 z ) f ( z0 ) 1 f ( z) f ' ( z0 ) lim dz 2 z 0 z 2i C ( z z0 ) 依次类推，用数学归纳法可得
n! f ( z) f ( z0 ) dz n 1 2i C ( z z0 ) 用途 : 利用它计算积分.
z f ( z ) z z0 z z z0
2
C
ds
0
5
f ( z )在C上解析 f ( z )在C上连续 M 0, 1 f ( z ) M .定义d min z z0 , 且取 z d , 则有 zC 2
z z0 d
1 1 . z z0 d
复变函数第二章
z → z0
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0
定理 ： 设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
4
例2 : 求极限 lim cos z
解：因为 cos z = cos( x + yi ) = cos xchy − i sin xshy
z → z0
若取 u(x,y) = cos xchy , v(x,y) = sin xshy , z 0 = x 0 + iy 0 , 则有
( x , y )→ ( x0 , y0 )
0
→ 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 记作 lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz → A) z→ z →
0
注意: 注意: 定义中 z → z0 的方式是任意的 . 几何意义: 几何意义 当变点z一旦进 当变点 一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 心邻域时 它的象 就落入A的 点f(z)就落入 的 就落入 一个预先给定的 ε邻域中 邻域中
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g ( z )] = A ± B;
z → z0 z → z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0
定理 ： 设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
4
例2 : 求极限 lim cos z
解：因为 cos z = cos( x + yi ) = cos xchy − i sin xshy
z → z0
若取 u(x,y) = cos xchy , v(x,y) = sin xshy , z 0 = x 0 + iy 0 , 则有
( x , y )→ ( x0 , y0 )
0
→ 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 记作 lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz → A) z→ z →
0
注意: 注意: 定义中 z → z0 的方式是任意的 . 几何意义: 几何意义 当变点z一旦进 当变点 一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 心邻域时 它的象 就落入A的 点f(z)就落入 的 就落入 一个预先给定的 ε邻域中 邻域中
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g ( z )] = A ± B;
z → z0 z → z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
复变函数3.4解析函数与调和函数的关系
z
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
复变函数
f(z) 在全平面除
1 1 z1 i , z2 i 外解析。 2 2
3、函数解析的条件(C-R条件) 定理 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在点 z=x+iy 可导的充分必要条件是 (1) 函数 u(x,y),v(x,y) 在点 (x,y) 可微; (2) 函数 u(x,y),v(x,y) 在点 (x,y) 的微分满足 C-R 方程：
(3) 满足
e z1 z2 e z1 e z2 ,
(4) 以2kπi (k=0, ±1, ± 2,...)为复周期。这是因为 ei2kπ=cos(2kπ) +i sin(2kπ)=1， 所以 ez+i2kπ= ez·i2kπ=ez. e
我们发现导数定义与实函数完全类似。因此我们也有与实函数完 全相似的符号(例如以 △f=f(z+△z)-f(z)称为函数增量等等)。并且有 完全相同的求导运算法则。
例：函数 f(z)=|z|2 在 z=0 可导并且 f’(0)=0. 证：
f ( z ) f ( 0) | z |2 zz lim lim lim lim z 0. z 0 z 0 z 0 z z 0 z0 z
vx=-uy=6xy , 所以 v=3x2y+g(y), (2) 这一步中的g(y) 也是必须的。
(2) 曲线积分法
例：求 u=x3-3xy2 的共轭调和函数。
解：因为 u 是调和函数，因此其共轭调和函数 v 存在并且其全微分 dv=vxdx+vy=-uydx+uxdy=6xydx+(3x2-3y2)dy, 利用高等数学中全微分的原函数求法，取顶点为 (0,0), (x,0), (x,y) 的 折线作为积分路径，由此求出
复变函数(3.5.7)--解析函数与调和函数的关系
知
?ﾢ f
(z)
=
1 2πi
C (z
(R2 - zz ) - z)(R2 - z
z)
f (z )dz
令 z = reij ,z = Rei , 则 dz = Rieiq dq
而 zz = r 2 , (z - z)(R2 - z z ) = (z - z)(R2 - Rreiq e-iq )
Reiq (Reiq - reij )(Re-iq - re-ij ) = Reiq [Reiq - Rr(eiq e-iq + e-iq eij )] = Reiq [R2 + r2 - 2Rr(cosq cosj + sinq sin j)] = Reiq (R2 - 2Rr cos(q - j) + r2 )
| z - z0 |= r ，它的内部全含于 D ，试证：
ﾢ (1)
u(x0 , y0 ) =
1 2p
2p 0
u(
x0
+
r
cos
j,
y0
+
r
sin
j
)dj
即
调
和
函
数
在
任
一
点
( x0
,
y0
)
的
值，等于它在圆周 C 上的平均值.
�� (2)
u(x0 ,
y0 )
=
1 p r02
r0 0
2p 0
u ( x0
vx = 3y2 - 3x2 + 6xy; vy = 3x2 + 6xy - 3y2 可用以下三种方程求 v .
1.（凑全微分法）
dv = (3y2 - 3x2 + 6xy)dx + (3x2 + 6xy - 3y2 )dy = 3y2dx + 3xdy2 + 3x2dy + 3ydx2 - d(x3 + y3) = 2(3xy2 + 3x2 y - x3 - y3 )
复变函数
与实变函数的极限性质类似.
惟一性 复合运算等
• 二、函数的连续性 • 定义1.4.2 设 f ( z ) 在点 z0 的某邻域内有定义， f ( z ) f ( z 0 ) ，则称函数 f ( z )在点 z0 处连续. 若 zlim z • 若 f ( z )在区域 D 内每一个点都连续，则称函数 f ( z ) 在区域 D 内连续. • 定理1.4.2 函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) ， u ( x, y )和 v( x, y ) 0 在 z 0 x0 iy处连续的充要条件是 都在点 ( x , y ) 处连续.
定义：
函数w f ( z), z D; z0 , z0 z D
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 极限 lim lim z 0 z z 0 z
存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的
dw 导数，记作 f ( z0 )或 . dz z z0
f ( z )在点
f ( z) f ( z0 ) lim f ( z ) f ( z 0 ) lim ( z z 0 ) z z0 z z0 z z0
f ( z) f ( z0 ) lim ( z z 0 ) lim z z0 z z0 z z0
问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，
如何判别其解析（可导）性？
解析的充分必要条件
定理2.1.1 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足
u v , x y
惟一性 复合运算等
• 二、函数的连续性 • 定义1.4.2 设 f ( z ) 在点 z0 的某邻域内有定义， f ( z ) f ( z 0 ) ，则称函数 f ( z )在点 z0 处连续. 若 zlim z • 若 f ( z )在区域 D 内每一个点都连续，则称函数 f ( z ) 在区域 D 内连续. • 定理1.4.2 函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) ， u ( x, y )和 v( x, y ) 0 在 z 0 x0 iy处连续的充要条件是 都在点 ( x , y ) 处连续.
定义：
函数w f ( z), z D; z0 , z0 z D
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 极限 lim lim z 0 z z 0 z
存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的
dw 导数，记作 f ( z0 )或 . dz z z0
f ( z )在点
f ( z) f ( z0 ) lim f ( z ) f ( z 0 ) lim ( z z 0 ) z z0 z z0 z z0
f ( z) f ( z0 ) lim ( z z 0 ) lim z z0 z z0 z z0
问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，
如何判别其解析（可导）性？
解析的充分必要条件
定理2.1.1 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足
u v , x y
第四讲 解析函数和调和函数讲诉
例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数，并求以它 为实部的解析函数。
解：
2u x2
6x
2u y2 6x
显然：2u 2u 0 ， u(x,y)为调和函数。
x2 y2
若以u(x,y)为实部，则函数解析必须满足C-R条件，所以：
v x
u y
6xy,
(1)
v
u
3x2
3y2,
第二节 解析函数和调和函数
1、共轭调和函数
由复变函数的可微的充要条件，函数可微必须满足C-R条 件，即：u v , u v 。而由C-R条件有：
x y y x
2u x2
2v xy
,
2u y 2
2v yx
显然有：2u
x2
2u y 2
0,
2v x2
2v y 2
0
定义1(调和函数)：如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏
y0 )
v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) 0
y
x
x
y
很显然，两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。
例2，在复平面上的解析函数f (z) az2 b 解： f (z) az2 b a(x iy)2 b
a x2 y2 b i2axy 所以：u(x, y) a x2 y2 b
定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部 和虚部为该区域上的共轭调和函数。
2、共轭调和函数的几何意义
在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f’(z)0，并分 别取u(x,y),v(x,y)的等值线：
第三章第四节 解析函数与调和函数
1 u( z0 Re )d , v( z0 ) 2
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18
定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实 部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任 一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分 由于 2 x y u u 即 - 与 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程
u u dx dy y x
第三章 复变函数的积分
第十二讲
第四节 解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18
定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实 部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任 一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分 由于 2 x y u u 即 - 与 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程
u u dx dy y x
第三章 复变函数的积分
第十二讲
第四节 解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理
6复变(1解析函数与调和函数的关系2复级数的概念3幂级数)
又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
an
a
,
lim
n
bn
b.
“” 已 知 lim an a, lim bn b 即 ，
n
n
ak i
bk n i n
k 1
k 1
k 1
k 1
由定理１，lim n
sn
a
ib
lim
n
n
a,
lim
n
n
b
an和 bn都收敛。
n1
n1
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为
两个实数项级数的收敛问题。
性质 级数
收敛的必
2
2
第四章 级数
CH4§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
1. 复数列的极限
定义 设复数列：{n }(n 1,2,), 其中n＝an ibn ,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0, n N , 恒有n ，
函
数, 则
2u x 2
2u y 2
0
即, u 、u 在D内有连续一阶偏导数 y x
且
( u ) ( u )
y y x x
v v
u
u
v
dx dy dx dy
x y
y x
dv( x, y)
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复变函数的解析函数与调和函数复变函数是数学分析中的一个重要概念，它与解析函数和调和函数
密切相关。
本文将介绍复变函数的解析函数与调和函数，并讨论它们
的性质和应用。
一、复变函数的解析函数与调和函数
1. 解析函数：
解析函数是复变函数中的一类特殊函数，它在其定义域内处处可导，并且导数连续。
具体而言，设复变函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中
z=x+iy为复平面上的任意点，则f(z)在其定义域内解析的充分必要条件是它满足柯西—黎曼方程，即满足以下两个偏微分方程：
∂u/∂x = ∂v/∂y，
∂u/∂y = -∂v/∂x。
2. 调和函数：
调和函数是解析函数的一种特殊情况，即当解析函数的虚部为零时，即v(x, y) ≡ 0，此时其实部u(x, y)就是一个调和函数。
调和函数满足拉
普拉斯方程，即在定义域内满足以下二阶偏微分方程：
∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0。
二、解析函数与调和函数的性质比较
1. 解析函数的性质：
(1) 解析函数的实部和虚部都是调和函数；
(2) 解析函数与其共轭函数的乘积是调和函数；
(3) 解析函数的实部和虚部满足柯西—黎曼方程，从而具有一些重
要的性质，如旋度为零、偏导数的连续性等。
2. 调和函数的性质：
(1) 调和函数具有最大值原理和平均值原理；
(2) 调和函数的解存在一定的唯一性；
(3) 调和函数具有良好的逼近性质，可以用调和函数逼近光滑函数。
三、解析函数与调和函数的应用
1. 解析函数的应用：
(1) 解析函数常用于描述电磁场、流体力学、热传导等自然科学领
域中的问题；
(2) 解析函数在工程与技术中的应用广泛，例如电路分析、图像处理、通信系统等。
2. 调和函数的应用：
(1) 调和函数在物理学中有广泛的应用，如波动方程的求解、电势
场的描述等；
(2) 调和函数在几何学和偏微分方程中也具有重要的作用，如调和
映射、调和分析等。
总结：
本文介绍了复变函数的解析函数与调和函数，讨论了它们的性质和应用。
通过对解析函数和调和函数的分析，我们可以更加深入地理解和应用复变函数的相关知识。
复变函数的研究对于理解数学和物理学中的一些重要问题具有重要的意义。
文章结束。