【课堂新坐标】高中数学苏教版选修2-2练习：3.3复数的几何意义
苏教版高中数学选修2-2§3.3 复数的几何意义
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）§3.3 复数的几何意义 课时目标 1.理解复平面及相关概念和复数平面内的点、向量的对应关系.2.掌握复数加减法的几何意义及应用.3.掌握复数模的概念及其几何意义．1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做________，y 轴叫做________，实轴上的点都表示________；除________外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ →之间的关系可用下图来表示3．复数的模若z ＝a ＋b i ，则|z |＝__________.4．复数加减法的几何意义 (1)设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，则复数z 1＋z 2所对应的向量是以OZ 1→、OZ 2→为邻边的平行四边形的__________表示的向量OZ →，z 1－z 2所对应的向量是________．(2)两个复数差的模的几何意义就是复平面内与这两个复数对应的__________的________．一、填空题1．i ＋i 2在复平面内表示的点在第________象限．2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于第________象限．3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值为________．4．已知|log 3m ＋4i|＝5，则实数m ＝________.5．向量OZ 1→对应复数5－4i ，向量OZ 2→对应复数－5＋4i ，则向量OZ 1→＋OZ 2→对应复数________．6．在复平面内，复数1＋i 和1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB→|＝________.7．在复平面上，复数－3－2i ，－4＋5i,2＋i ，z 分别对应点A ，B ，C ，D ，且ABCD 为平行四边形，则z ＝________.8．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．二、解答题9．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面中的对应点位于第四象限？位于x 轴的负半轴上？10．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω.能力提升11．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．12．若z ∈C ，且|z |＝1，求|z －i|的最大值．1．复数的几何意义包含两种：复平面内的点和向量与复数的对应关系；两个复数差的模对应两点间的距离．2．利用复数的几何意义可以解决一些距离的范围、轨迹问题．答 案知识梳理1．实轴 虚轴 实数 原点3．a 2＋b 24．(1)对角线 Z 2Z 1→ (2)两点间 距离作业设计1．二2．一3．4解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0m 2－5m －6≠0， ∴m ＝4.4．27或127 解析 ∵log 23m ＋42＝5，∴log 23m ＝9， ∴log 3m ＝3或log 3m ＝－3，∴m ＝27或m ＝127. 5．0解析 (5－4i)＋(－5＋4i)＝0.6．2解析 AB →＝OB →－OA →＝1＋3i －(1＋i)＝2i ，∴|AB →|＝2.7．3－6i解析 由于AB →＝DC →，∴2＋i －z ＝(－4＋5i)－(－3－2i)，∴z ＝3－6i.8．4解析 复数z 满足条件|z |＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4.9．解 当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面上的对应点位于第四象限时， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <3或m >5，－7<m <4.∴－7<m <3. 当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面上的对应点位于x 轴的负半轴上时， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0， ①m 2＋3m －28＝0. ② 由②得m ＝－7或m ＝4，∵m ＝－7不适合①，∴m ＝4.10．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意，得a ＝3b ≠0.∵|ω|＝|z 2＋i |＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510， 将a ＝3b 代入上式，得a ＝±15，b ＝±5，故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)． 11．解 方法一 设D 点对应复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎨⎧ 32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由已知AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.12．解 方法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z －i|＝a 2＋(b －1)2.∵a 2＋b 2＝1，∴|z －i|＝2－2b .又∵|b |≤1，∴0≤2－2b ≤4，∴当b ＝－1时，|z －i|＝2为最大值．方法二 因为|z |＝1，所以点Z 是单位圆x 2＋y 2＝1上的点，|z －i|＝x 2＋(y －1)2表示点Z 与点(0,1)之间的距离，当点Z 位于(0，－1)时，|z －i|有最大值2.。
苏教版数学选修2-2讲义：第3章 3.3 复数的几何意义
3.3 复数的几何意义1.了解复数的几何意义，并能简单应用.(重点)2.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系.(易错点)3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复数的几何意义阅读教材P 120，完成下列问题.1.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.2.复数的几何意义复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→ 一一对应―→复平面内的点Z (a ，b )――→ 一一对应―→向量OZ →.复数z ＝－1＋i 1＋i－1在复平面内，z 所对应的点在第________象限. 【解析】 z ＝i (i ＋1)1＋i－1＝i －1， ∴复数z 对应的点为(－1,1)在第二象限.【答案】 二教材整理2 复数的模阅读教材P 121“例1”以上部分，完成下列问题.1.定义向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |.2.公式|z |＝a 2＋b 2.3.几何意义复数z 对应点Z 到原点O 的距离.判断正误：(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )(3)复数的模一定是正实数.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)×教材整理3 复数加减法的几何意义阅读教材P 122图3-3-5以下部分，完成下列问题.1.如图3-3-1所示，设向量OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且OZ 1→和OZ 2→不共线.以OZ 1→，OZ 2→为两条邻边画▱OZ 1ZZ 2.则向量OZ →与复数z 1＋z 2相对应；向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2相对应.图3-3-12.|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 3.3 复数的几何意义
第4课时复数的几何意义教学过程一、问题情境实数可以用数轴上的点来表示.实数数轴上的点.类比实数的表示,复数能否也用点来表示?二、数学建构问题1怎样用平面内的点表示复数?怎样理解复平面、实轴、虚轴?解复数z=a+b i(a,b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.问题2复数与从原点出发的向量是如何对应的?解复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.问题3我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离;那么我们可以给出复数的绝对值的概念吗?复数可以用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系?复数的模的几何意义是什么?解|z|==||,表示复平面内该点到原点的距离.问题4既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢?[1]问题5复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义?两个复数差的模有什么几何意义?[2]解|z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起了联系.三、数学运用【例1】(教材第121页例1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.[3](见学生用书P59)[处理建议]让学生上黑板画图,体会复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,也可以用原点O为起点的向量表示.[规范板书]如图,点A,B,C,D,E分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.(例1)与之对应的向量可用,,,,来表示.[题后反思]了解复数的两种几何表示,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.变式1在复平面内分别用点表示复数2-3i,5i,-3,-5+3i及其共轭复数.[规范板书]解复数2-3i,5i,-3,-5+3i表示的点分别为A,B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A',B',C',D'.作图如下:(变式)[题后反思]z,在复平面内对应的点关于x轴对称.变式2已知z=(x+1)+(y-1)i 在复平面所对应的点在第二象限,求x与y的取值范围.[规范板书]解由题得所以【例2】(教材第121页例2)已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.[4](见学生用书P60)[处理建议]要求学生口答复数模的计算公式.思考:z1,z2不能比较大小,为什么它们的模可以比较大小?[规范板书]解因为|z 1|==5,|z2|==,所以|z1|<|z2|.[题后反思]正确记忆复数模的计算公式,防止出现|z|=a2+b2;任意两个复数,它们的模都可以比较大小,但是两个复数,只要其中有一个不是实数,它们就不能比较大小.从自然数集逐步扩展到实数集,顺序性始终都是保持着的,但是在复数集中这一性质失去了.变式1已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,那么实数x的取值范围是.提示由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-<x<2.变式2已知复数z1=a+b i,z2=1+a i(a,b∈R),若|z1|<z2,则b的取值范围是(-1,1).提示因为|z1|<z2,所以z2为实数,故a=0,所以<1,即|b|<1,-1<b<1,所以b的取值范围是(-1,1).【例3】(教材第121页例3)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?[5](1)|z|=2;(2) 2<|z|<3.(见学生用书P60)[处理建议]区分关于复数模的等式与不等式的几何意义.[规范板书](1)因为|z|=2,即||=2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心、以2为半径的圆,如图(1).(例3(1))(例3(2))(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有点组成的集合,不等式|z|<3的解集是圆|z|=3内部所有点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此,满是条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图(2).[题后反思]了解复数模的几何意义,|z|表示复平面内该点到原点的距离.关于复数模的不等式组的几何意义是圆环(要区分是否包括边界).变式已知复数z满足条件z=x+y i,x<0,y>0,且x2+y2<9,求此复数在复平面内表示的图形.[规范板书]解如图所示,所求图形是以原点O为圆心的半径为3个单位长度的扇形OAB的内部,不包括边界和半径OA,OB.(变式)*【例4】设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若z∈A∩(∁U B),求复数z在复平面内对应的点的轨迹.[6][处理建议]求复数z在复平面内对应的点的轨迹,由复数模的几何意义可知,只需求出|z|所满足的条件即可.而这由z∈A∩(∁U B)及集合的运算即可得出.[规范板书]解因为z∈C,所以|z|∈R,所以1-|z|∈R,由||z|-1|=1-|z|,得1-|z|≥0,即|z|≤1,所以A={z||z|≤1,z∈C}.又因为B={z||z|<1,z∈C},所以∁U B={z||z|≥1,z∈C}.因为z∈A∩(∁U B)等价于z∈A且z∈∁U B,所以成立,则有|z|=1,由复数模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心、以1为半径的圆.[题后反思]对于复数的模,可以从以下两个方面进行理解:一是任何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广.四、课堂练习1.下面给出4个不等式,其中正确的是③.(填序号)①3i>2i;②|2+3i|>|1-4i|;③|2-i|>2i4;④i2>-i.提示由两个复数如果不都是实数就不能比较大小可知①④错误.又因为|2+3i|==,|1-4i|==,所以|2+3i|<|1-4i|,故②错误.|2-i|=>2i4=2,故③正确.2.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.提示因为z===-i,所以复数z对应的点的坐标为,在第四象限.3.若复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为5.提示复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(-2,a),所以由三点共线的条件可得=,解得a=5.4.已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是4.提示由z1+z2=2i得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,所以|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、以1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心、以1为半径的圆,故|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.(第4题)五、课堂小结1.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,b i).2.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.3.|z|==||.4.复数z=a+b i、点Z(a,b)和向量之间的关系如下图所示.正因如此,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),这增加了解决复数问题的途径.(图1)。
苏教版高二数学选修2-2 3.3 复数的几何意义 作业
[基础达标]1．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是________．解析：法一：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以x ＋y i ＝3＋4i i ＝（3＋4i ）（－i ）i （－i ）＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋（－3）2＝5.法二：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以－y ＋x i ＝3＋4i ，所以x ＝4，y ＝－3，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋（－3）2＝5.法三：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以(－i)i(x ＋y i)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i ，即x ＋y i ＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋（－3）2＝5.答案：52.已知z ＝cos π4＋isin π4，i 为虚数单位，那么平面内到点C (1，2)的距离等于|z |的点的轨迹是______________．解析：∵|z |＝1，∴轨迹是以点C 为圆心，1为半径的圆．答案：以点C 为圆心，1为半径的圆3.复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为________． 解析：∵z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）2（2＋i ）（2－i ）＝4－4i －15＝35－45i ， ∴复数z 对应的点的坐标为(35，－45)，在第四象限． 答案：第四象限4.已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是____________．解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5＜0，x －2＜0，解得1＜x ＜2. 答案：(1，2)5.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．解析：由题意知A (－1，－2)，则B (2，1)，故向量OB →对应的复数为2＋i.答案：2＋i6.已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA→＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________．解析：由已知，得OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)，OC →＝(3，－2)，∴xOA →＋yOB →＝x (－1，2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y ，2x －y )．由OC →＝xOA →＋yOB →，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，∴x ＋y ＝5. 答案：57.实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在x 轴上方；(5)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上？解：(1)由m 2－2m －15＝0，得m ＝5或m ＝－3.∴当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数．(2)由m 2－2m －15≠0，得m ≠5且m ≠－3.∴当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0，得m ＝－2. ∴当m ＝－2时，z 为纯虚数．(4)由m 2－2m －15＞0，得m ＜－3或m ＞5.∴当m ＜－3或m ＞5时，z 的对应点在x 轴上方．(5)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得m ＝－3－414或m ＝－3＋414. ∴当m ＝－3－414或m ＝－3＋414时，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上． 8.已知z 1＝x 2＋x 2＋1 i ，z 2＝(x 2＋a )i 对任意的x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．解：∵|z 1|＝ x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |，且|z 1|＞|z 2|，∴x 4＋x 2＋1＞|x 2＋a |对x ∈R 恒成立等价于(1－2a )x 2＋(1－a 2)＞0恒成立．不等式等价于①：1－2a ＝0，解得a ＝12， ∴a ＝12时，0·x 2＋⎝⎛⎭⎫1－14＞0恒成立． 或②：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，Δ＝－4（1－2a ）（1－a 2）＜0. 解得－1＜a ＜12.∴a ∈⎝⎛⎭⎫－1，12. 综上，可得实数a 的取值范围是{a |a ∈R ，且－1＜a ≤12}． [能力提升]1.复平面内长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 所对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，则点D 对应的复数是________．解析：设点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，由题意知AB →＝DC →，又AB →对应的复数为1－i ，DC →对应的复数为(－2－x )＋(－3－y )i ，所以－2－x ＝1，－3－y ＝－1. 所以x ＝－3，y ＝－2.所以点D 对应的复数为－3－2i.答案：－3－2i2.已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．解析：|z －2|＝ （x －2）2＋y 2＝ 3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.答案： 33.已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i ， (1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？解：(1)|z 1|＝ （－3）2＋12＝2.|z 2|＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. ∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．4.设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i(a ∈R )，A ＝{z ||z －z 1|＜2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}，已知A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i.∵|z －z 1|＜2，∴|z －(1＋2a i)|＜ 2.∵|z －z 2|≤22，∴|z －(a －i)|≤2 2.由复数减法及模的几何意义知，集合A 是以(1，2a )为圆心，2为半径的圆的内部的点所对应的复数，集合B 是以(a ，－1)为圆心，22为半径的圆及其内部的点所对应的复数，若A ∩B ＝∅，则圆心距大于或等于两圆半径的和，即（1－a ）2＋（2a ＋1）2≥32，解得a ≤－2或a ≥85. ∴a 的取值范围为a ≤－2或a ≥85.。
苏教版高中数学选修2-2同步训练复数的几何意义
3.3 复数的几何意义1、在复平面内,若()()2146z m i m i =+-+-所对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是( ) A. (0,3)B. (),2-∞-C. ()2,0-D. ()3,42、设复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于( ) A. 34i -+ B.34i - C. 34i -- D.34i + 3、复数12z a i =+,22z i =-+,如果12z z <,则实数a 的取值范围是( ) A. 11a -<<B. 1a >C. 0a >D. 1a <-或1a >4、已知i 为虚数单位, a R ∈,若()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数,则a 的值为( ) A. 1-或1B. 1C. 3D. 1-5、在复平面内,复数13i -,(1)(2)i i +-对应的点分别为,A B ,则线段AB 的中点C 对应的复数为( ) A. 42i -+ B. 42i -C. 2i -+D. 2i -6、已知复数123iz i+=-,i 是虚数单位,则复数z 的虚部是|( ) A.110i B.110 C. 710 D. 710i7、已知()2f x x =,i 是虚数单位,则在复平面中复数()13f i i++对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 8、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) A.()2,4B.(2,4)-C.()4,2-D.()4,29、实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 10、已知复数z 满足()3425i z +=,则z = ( )A. 34i -B. 34i +C. 34i --D. 34i -+11、已知3z =,且3z i +是纯虚数,则复数z =__________.12、如果一个复数与它的模的和为5+,那么这个复数是 . 13、若1212,22z i z i =-=-+,1z 、2z 在复平面内所对应的点为1Z 、2Z ,则这两点之间的距离为_________.14、复数(),z x yi x y R =+∈满足条件42z i z -=+,则24xy+的最小值为_________.15、已知复数1cos z i θ=-,2sin z i θ=+,求12z z ⋅的最大值和最小值.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：整理得()()2246z m m m m i =-+--,对应点在第二象限,则2240{60m m m m -<-->,解得34m <<.2答案及解析： 答案：D解析：设(),z x yi x y R =+∈,则2x yi i ++=+,所以2,{1,x y +==解得3,{41.x y ==所以34z i =+.3答案及解析： 答案：A解析：1z =,2z ==<可得11a -<<.4答案及解析： 答案：D解析：因为()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数,则210a -=且10a -≠, 所以1a =-, 故选D.5答案及解析： 答案：D解析：∵(1)(2)3i i i +-=+, ∴B 的坐标为(3,1).A 的坐标为(1,3)-,则线段AB 的中点C 的坐标为(2,1)-. ∴线段AB 的中点C 对应的复数为2i -.6答案及解析： 答案：C 解析：7答案及解析： 答案：A解析：因为函数()2f x x =,所以()()211f i i +=+,化简得()12f i i +=,所以()13f i i ++()()()232333i i i i i i -==++-26131310555i i i ++===+.根据复数的几何意义知, ()13f i i ++所对应的点的坐标为13,55⎛⎫⎪⎝⎭,所以其对应的点在第一象限.故应选A.8答案及解析： 答案：C解析：由24iz i =+,得2442iz i i+==-,∴z 对应的点的坐标为()4,2-.故选C.9答案及解析： 答案：B解析：实部为-2,虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为()2,1-,位于第二象限.10答案及解析： 答案：A 解析：11答案及解析： 答案：3i解析：设()i ,R z a b a b =+∈,因为||3z =,所以229a b +=. 又3i i 3i (3)i z a b a b +=++=++为纯虚数, 所以0,30,a b =⎧⎨+≠⎩即0,3.a b =⎧⎨≠-⎩又229a b +=,所以0,3a b ==,所以3i z =.12答案及解析：答案：115解析：设这个复数为(),z x yi x y R =+∈,则5x yi ++=,∴5,{x y +==解得11,5{x y ==∴115z =+.13答案及解析：答案：2解析：1212532Z Z z z i =-=-+==.14答案及解析：答案：解析：∵(),z x yi x y R =+∈,42z i z -=+, ∴()()42x y i x yi +-=++, ∴()()222242x y x y +-=++, 即23x y +=,∴22422x y x y +=+≥=,当且仅当33,24x y ==时取等号.15答案及解析：答案：由复数的模的性质可得1212z z z z ⋅=⋅===∵sin 2[1,1]θ∈-,∴2192sin 22,44θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,∴12z z ⋅的最大值为32,解析：。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.3 复数的几何意义同步备课名师课件 苏教版选修2-2
①
∵b≠0，∴x≠0，y≠0.
①÷②，得xy＝－b.③ห้องสมุดไป่ตู้
x 把③代入②得 y＝1＋yxy22， 整理，得(x－12)2＋y2＝14， 即复数 z 对应复平面上的点 Z 的轨迹是以(12，0)为圆心， 以12为半径的圆，且不包括点(0，0)和(1，0)．
1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之 间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解 决．复数几何意义的应用，关键是抓住复数 与点的一一对应．
(2013·济南高二检测)设复数 z＝1m－－2ii(m∈R)在复平 面内对应的点为 Z.
(1)若点 Z 在虚轴上，求 m 的值； (2)若点 Z 位于第一象限，求 m 的取值范围．
【解】
z
＝
1－2i m－i
＝
（1－2i）（m＋i） （m－i）（m＋i）
＝
m＋2 m2＋1
＋
1－2m m2＋1 i.
1.了解复数的几何意义，并能简单应用(重点)． 课
2．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对 标
值之间的区别和联系(易错点)． 解
3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(重点、 读
难点).
复数的几何意义
【问题导思】 复数 z＝a＋bi、复平面内的点 Z(a，b)、向量O→Z三者
有何关系？ 【提示】 复数 z＝a＋bi，可以用复平面内的点 Z(a，
(2)设 z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点 Z 的集合是什么图
形？ 【思路探究】 (1)计算复数的模，首先确定复数的实部
和虚部，然后代入模的计算公式；(2)根据复数及其模的几何
意义，转化为判定复数对应点的坐标满足的条件．
【自主解答】 (1)由复数模的定义： |z1|＝| 3－i|＝2，|z2|＝|－12＋ 23i|＝1. ∴|z1|＞|z2|. (2)设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 则 1≤|z|≤2. ∴1≤x2＋y2≤4.
苏教版高中数学选修2-2数学：3.3《复数的几何意义》测试(选修2-2)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）3.3复数的几何意义测试题一、选择题1．已知复数z 满足2230z z --=，则复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．一个圆Ｂ．线段我 Ｃ．两个点 Ｄ．两个圆 答案：Ａ 2．对于两个复数13i 22α=-+，13i 22β=--，有下列四个结论： ①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；④331αβ+=． 其中正确结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｂ二、填空题3．设复数z 满足条件1z =，那么22i z ++的最大值是．答案：4 4．设z ∈C 且i 1z z -=-，则复数z 在复平面上的对应点()Z x y ，的轨迹方程是，i z +的最小值为 ．答案：0x y -=；22三、解答题 5．实数m 取何值时，复数2(1i)(i)z m m =+-+（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点位于复平面的第一象限．解：22()(1)i z m m m =-+-．（1）由210m -=，解得1m =或1-， 1m ∴=或1-时，z 是实数；（2）由22100m m m ⎧-≠⎪⎨-=⎪⎩，，解得101m m ≠±⎧⎨=⎩，或， 即0m =，0m ∴=时，z 是纯虚数；（3）由22010m m m ⎧->⎪⎨->⎪⎩，，解得1011m m m m ><⎧⎨><-⎩或，或， 即1m >或1m <-，1m ∴>或1m <-时，z 对应的点位于复平面的第一象限。
6．在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点A B ，对应的复数分别为12i +、35i -．求另外两个顶点C D ，对应的复数．解：设D 的坐标是()x y ，。
i (12i)1(2)i AD x y x y =+-+=-+-(12)x y =--，，(27)AB =-，， AD AB ⊥，∴有2(1)7(2)0x y ---=。
高中数学苏教版选修2-2同步训练：3.3 复数的几何意义 pdf版含答案
3.3 复数的几何意义1、在复平面内,若()()2146z m i m i =+-+-所对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是( )A. (0,3)B. (),2-∞-C. ()2,0-D. ()3,42、设复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于( )A. 34i -+B. 34i -C. 34i --D. 34i + 3、复数12z a i =+,22z i =-+,如果12z z <,则实数a 的取值范围是( )A. 11a -<<B. 1a >C. 0a >D. 1a <-或1a >4、已知i 为虚数单位, a R ∈,若()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数,则a 的值为( )A. 1-或1B. 1C. 3D. 1-5、在复平面内,复数13i -,(1)(2)i i +-对应的点分别为,A B ,则线段AB 的中点C 对应的复数为( )A. 42i -+B. 42i -C. 2i -+D. 2i - 6、已知复数123i z i +=-,i 是虚数单位,则复数z 的虚部是|( ) A. 110i B.110 C. 710 D. 710i 7、已知()2f x x =,i 是虚数单位,则在复平面中复数()13f i i++对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内z 对应的点的坐标是( )A.()2,4B.(2,4)-C.()4,2-D.()4,29、实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、已知复数z 满足()3425i z +=,则z = ( )A. 34i -B. 34i +C. 34i --D. 34i -+11、已知3z =,且3z i +是纯虚数,则复数z =__________.12、如果一个复数与它的模的和为5+,那么这个复数是 .13、若1212,22z i z i =-=-+,1z 、2z 在复平面内所对应的点为1Z 、2Z ,则这两点之间的距离为_________.14、复数(),z x yi x y R =+∈满足条件42z i z -=+,则24x y +的最小值为_________. 15、已知复数1cos z i θ=-,2sin z i θ=+,求12z z ⋅的最大值和最小值.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：整理得()()2246z m m m m i =-+--,对应点在第二象限,则2240{60m m m m -<-->,解得34m <<.2答案及解析：答案：D解析：设(),z x yi x y R =+∈,则2x yi i ++=+,所以2,{1,x y +==解得3,{41.x y ==所以34z i =+.3答案及解析：答案：A解析：1z =,2z ==<可得11a -<<.4答案及解析：答案：D解析：因为()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数, 则210a -=且10a -≠,所以1a =-,故选D.5答案及解析：答案：D解析：∵(1)(2)3i i i +-=+,∴B 的坐标为(3,1).A 的坐标为(1,3)-,则线段AB 的中点C 的坐标为(2,1)-.∴线段AB 的中点C 对应的复数为2i -.6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：A解析：因为函数()2f x x =,所以()()211f i i +=+,化简得()12f i i +=,所以()13f i i ++()()()232333i i i i i i -==++-26131310555i i i ++===+.根据复数的几何意义知, ()13f i i ++所对应的点的坐标为13,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以其对应的点在第一象限.故应选A.8答案及解析：答案：C解析：由24iz i =+,得2442i z i i+==-,∴z 对应的点的坐标为()4,2-.故选C.9答案及解析：答案：B解析：实部为-2,虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为()2,1-,位于第二象限.10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：3i解析：设()i ,R z a b a b =+∈,因为||3z =,所以229a b +=.又3i i 3i (3)i z a b a b +=++=++为纯虚数,所以0,30,a b =⎧⎨+≠⎩即0,3.a b =⎧⎨≠-⎩ 又229a b +=,所以0,3a b ==,所以3i z =.12答案及解析：答案：115解析：设这个复数为(),z x yi x y R =+∈,则5x yi ++=,∴5,{x y +==解得11,5{x y ==∴115z =+. 13答案及解析：答案：2解析：1212532Z Z z z i =-=-+==.14答案及解析：答案：解析：∵(),z x yi x y R =+∈,42z i z -=+,∴()()42x y i x yi +-=++,∴()()222242x y x y +-=++,即23x y +=,∴22422x y x y +=+≥=,当且仅当33,24x y ==时取等号.15答案及解析：答案：由复数的模的性质可得1212z z z z ⋅=⋅===∵sin 2[1,1]θ∈-,∴2192sin 22,44θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,∴12z z ⋅的最大值为32,解析：由Ruize收集整理。
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学业分层测评(二十一)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________.
【解析】 ∵复数6＋5i ，－2＋3i 对应点分别为A ，B ，
∴点A (6,5)，B (－2,3).
∴中点C (2,4)，其对应复数2＋4i.
【答案】 2＋4i
2.(2016·启东月考)若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i.(a ∈R)是纯虚数，则|z |＝________.
【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1，则z ＝2i ，故|z |＝2. 【答案】 2
3.复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)位于第________象限.
【解析】 ∵z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限.
【答案】 二
4.已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →
＝xOA →＋yOB →
(x ，y ∈R)，则x ＋y 的值是________.
【导学号：01580070】
【解析】 由复数的几何意义，知
3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)，
∴3－2i ＝y －x ＋(2x －y )i.
根据复数相等的定义，得
⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝y －x ，－2＝2x －y .解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5. 【答案】 5
5.已知i 为虚数单位，复数z ＝－12＋32i 的共轭复数为z ，则z ＋|z |＝________. 【解析】 z ＝－12－32i ，|z |＝1，∴z ＋|z |＝12－32
i.
【答案】 12－32
i 6.已知|z －3|＝1，则|z －i|的最大值为________.
【解析】 由|z －3|＝1知z 表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，|z －i|表示点(0,1)到圆上的距离，则|z －i|的最大值为10＋1. 【答案】 10＋1
7.(2016·江西师大附中三模)设复数z ＝－1－i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________. 【解析】 z ＝－1＋i ，则|(1－z )·z |＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝10. 【答案】 10
8.复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R)，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________.
【解析】 ∵|z |＝3， ∴x ＋2＋y －2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆.
【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆
二、解答题
9.已知复数z ＝1＋a i(a ∈R)，ω＝cos α＋isin α，α∈(0,2π)，若z ＝z ＋2i ，且|z －w |＝5，求角α的值.
【解】 由题意知1＋a i ＝1＋(2－a )i ，
则a ＝2－a ，即a ＝1，∴z ＝1＋i.
由|z －w |＝5得(1－cos α)2＋(1－sin α)2＝5，
整理得sin α＋cos α＝－1，
∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－22
， ∵0<α<2π，∴π4<α＋π4<94
π， ∴α＋π4＝5π4或α＋π4＝7π4
， ∴α＝π或α＝3π2
. 10.已知复数z 满足(z －2)i ＝a ＋i(a ∈R).
(1)求复数z ；
(2)a 为何值时，复数z 2对应的点在第一象限.
【解】 (1)由(z －2)i ＝a ＋i ，
得z －2＝a ＋i i
＝1－a i ， ∴z ＝3－a i.
(2)由(1)得z 2＝9－a 2－6a i ，
∵复数z 2对应的点在第一象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
9－a 2>0，－6a >0，解得－3<a <0. 故当a ∈(－3,0)时，z 2对应的点在第一象限.
能力提升]
1.在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC →
对应的复数为________.
【解析】 由OB →＝OA →＋AB →
，知
OB →
对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i ，
又BC →＝OC →－OB →
，
∴BC →
对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.
【答案】 4－4i
2.(2016·宜昌模拟)已知复数z 满足(1＋i)z ＝1－i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.
【解析】 由(1＋i)z ＝1－i 得z ＝1－i 1＋i
＝－i ，∴|z |＝1. 【答案】 1
3.(2016·镇江二模)在复平面内，复数z ＝i 1－i
＋i 2 014表示的点所在的象限是________. 【解析】 z ＝i 1－i
＋i 2 014＝i －12＋i 2＝－32＋12i ，对应点的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，12，故在第二象限.
【答案】 第二象限
4.已知O 为坐标原点，O Z →1对应的复数为－3＋4i ，O Z →
2对应的复数为2a ＋i(a ∈R).若O Z →1与O Z →
2共线，求a 的值.
【解】 因为O Z →1对应的复数为－3＋4i ，O Z →2对应的复数为2a ＋i ，所以O Z →
1＝(－3,4)，O Z →2＝(2a,1).因为O Z →1与O Z →2共线，所以存在实数k 使O Z →2＝kOZ →
1，即(2a,1)＝k (－
3,4)＝(－3k,4k )，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎨⎧ k ＝14，a ＝－38，
即a 的值为－38
.。