专题13 复数

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精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号： 年 课 级： 题 辅导科目：数学 课时数：
复
数
教学目的 教学内容
一、 知识网络
二、命题分析
复数试题均属于容易题目，常涉及复数的有关概念及复数的基本运算．
三、复习建议
熟练准确地进行复数运算是复数学习的重点．
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a －atanθ －2＝0， ∵a、tanθ ∈R，∴ a＋1＝0；
2
π π ∴a＝－1，且 tanθ ＝1，又 0<θ < ，∴θ ＝ 2 4 (2)设方程存在纯虚数根，设为 bi (b∈R，b≠0)， 则(bi) －(tanθ ＋i)bi－(2＋i)＝0
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中国领先的个性化教育品牌 → → → → (2)CA＝OA－OC，∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. [点评] 解决这类题是利用复数 a＋bi(a，b∈R)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量 表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解． 跟踪练习 2 1 (1)复数 z＝a＋a＋a－3i (a∈R，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) A．第一象限 [答案] B [解析] 设 z＝x＋yi B．第二象限 (x，y∈R)，则 C．第三象限 D．第四象限
(a，b∈R)互为共轭复数
（三）基础自测
3＋2i 1．(2010· 全国卷理)复数 ＝( 2－3i A．i B．－I ) C．12－13i D．12＋13i
[答案] A 3＋2i 3＋2i2＋3i 6＋9i＋4i－6 [解析] ＝ ＝ ＝i. 13 2－3i 2－3i2＋3i 2．(2010·江西理)已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数 x，y 分别为( A．x＝－1，y＝1 B．x＝－1，y＝2 C．x＝1，y＝1 D．x＝1，y＝2 [答案] D [解析] 由(x＋i)(1－i)＝y 得(x＋1)－(x－1)i＝y 由复数相等有
4．复数的模 设复数 z＝a＋bi 在复平面内的对应的点是 Z(a，b)，点 Z 到原点的距离|OZ|叫做复数的模或绝对值，记作|z|，显然 |z|＝ . 5．运算法则
z
1
＝a＋bi，
z
2
＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．
(1) (2)
z z
1
± ·
z z
2
＝(a±c)＋(b±d)i； ＝ ；
1
2
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中国领先的个性化教育品牌 （3）
z z
1 2
＝
6．复数的运算定律 (1)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3∈C，有 z1＋z2＝ (2)复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即 z1·z2＝ z1·(z2＋z3)＝ . 7．常见的运算规律 (1)i 的周期性：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，(n∈Z) (2)(a＋bi)(a－bi)＝ ； (3)(1±i)2＝ ；＝ ； (4)
x＝a 1 y＝a＋a－3
，当 a>0 时，x>0，y≥－1，
当 a<0 时，x<0，y≤－5，故选 B. (2)已知复数 z1＝2－i，z2＝a＋(1－a2)i，在复平面内的对应点分别为 P1、P2，对应复数为－3＋i，则 a＝______. [答案] －1 [解析] 由条件可知 z2－z1＝－3＋i， 即(a－2)＋(2－a2)i＝－3＋i， ∴
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四、知识讲解
（一）高考目标
考纲解读 1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法及其几何意义． 4．会进行复数代数形式的四则运算． 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 考向预测 1．复数的相关概念以及复数的代数运算是高考考查的热点之一，尤其是复数相等的充要条件及复数的代数运算更是 重中之重． 2．本部分题型主要以选择题为主，难度较小，多为低档题．
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π A．2kπ－ (k∈Z) 4 [答案] B
π B．2kπ＋ (k∈Z) 4 π θ＝kπ＋
π C．2kπ± (k∈Z) 4
中国领先的个性化教育品牌 k π D. π＋ (k∈Z) 2 4
4 sin2θ－1＝0 [解析] 由题意，得 ，⇒ 3π 2cosθ＋1≠0 θ≠2kπ± 4
(2· 1 3 其中 ω ＝－ ＋ i. 2 2 i (2)原式＝ 1＋2 3i 1＋2 3i
2 2 2011 2 2011 2011 4×502＋3 3 ＋[( ) ] ＝i＋( ) ＝i＋i ＝i＋i ＝i＋i ＝i－i＝0. 1－i －2i
[点评] 代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用 1 3 i 的幂的性质，w＝－ ± i 的性质及 1±i 的幂的性质等，可有效地简化运算，提高速度． 2 2 跟踪练习 3 3＋i (1)(2010· 天津文)i 是虚数单位，复数 ＝( 1－i A．1＋2i [答案] A
2
（四）典型例题
1.命题方向：复数的概念 m2－m－6 [例 1] 当实数 m 为何值时，z＝ ＋(m2＋5m＋6)i m＋3 (1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数 z 对应的点在复平面内的第二象限内． [解析] (1)若 z 为实数，则 得 m＝－2. (2)若 z 为虚数，则 m ＋5m＋6≠0， ∴m≠－2 且 m≠－3.
2
m ＋5m＋6＝0， m＋3≠0，
2
m ＋5m＋6≠0 (3)若 z 是纯虚数，则m2－m－6 m＋3 ＝0
2
，解得 m＝3.
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m －m－6<0 (4)若 z 对应的点在第二象限，则 m＋3 m2＋5m＋6>0
x＋1＝y x－1＝0
2
)
，解得
x＝1 y＝2
2
，故选 D. ) D．第四象限
3．若 a、b∈R，则复数(－a ＋4a－5)＋(b ＋4b＋5)i 对应的点在( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 [答案] B 2 [解析] －a ＋4a－5＝－(a－2)2－1<0， b2＋4b＋5＝(b＋2)2＋1>0. 4．若 sin2θ－1＋i( 2cosθ＋1)是纯虚数，则 θ 的值为( )
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C．－1－2i
中国领先的个性化教育品牌 [解析] 本题考查了复数的运算 3＋i 3＋i1＋i 2＋4i ＝ ＝ ＝1＋2i. 2 1－i 1－i1＋i (2)(2010·广东理)若复数 z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1·z2 等于( ) A．4＋2i B．2＋I C．2＋2i D．3＋i [答案] A [解析] z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i. 4.命题方向：复数相等的条件 [例 4] 设关于 x 的方程 x2－(tanθ ＋i)x－(2＋i)＝0， (1)若方程有实数根，求锐角θ 和实数根； π (2)证明：对任意 θ≠kπ＋ (k∈Z)，方程无纯虚数根． 2 [解析] (1)设实数根为 a，则 a2－(tanθ ＋i)a－(2＋i)＝0， 即 a2－atanθ －2－(a＋1)i＝0，
2 5．(2010·重庆理)已知复数 z＝1＋i，则 －z＝________.
π ，∴θ＝2kπ＋ ，k∈Z. 4
z
[答案] －2i 2－2i 2－2i1－i 2 2 [解析] －z＝ －(1＋i)＝ ＝ ＝－2i. z 1＋i 1＋i 1＋i1－i 6．(2009· 江苏)若复数 z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中 i 是虚数单位，则复数(z1－z2)i 的实部为________． [答案] －20 [解析] 本题主要考查复数的概念及其运算． ∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i， ∴(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝－20－2i. ∴复数(z1－z2)i 的实部为－20. 7．已知复数 z＝ 3x－1－x＋(x2－4x＋3)i>0，求实数 x 的值． [解析] ∵z>0，∴z∈R， ∴x －4x＋3＝0，解得 x＝1 或 3. 当 x＝1 时，z＝ 3×1－1－1＝ 2－1>0， 当 x＝3 时，z＝ 3×3－1－3＝2 2－3<0.∴x＝1.
[答案] B [解析] 本题考查了复数的运算，包括加减乘除四则运算和模的运算，考查全面，在解题时应严格按照复数的运算法 则进行计算，题目定位于容易题． 3＋i 由题知：z＝ 1－ 3i 可得|z|＝ － 3 4
2 2
3＋i 3＋i －2＋2 3i ＝ ＝ －2－2 3i －2－2 3i －2＋2 3i 1 4
2
＝－
3 1 ＋ i， 4 4
＋
1 ＝ ，故选 B. 2
2.命题方向：复数的几何意义 [例 2] 如图，平行四边形 OABC，顶点 O、A、C 分别表示 0、3＋2i、－2＋4i，试求： → → (1)AO表示的复数，BC表示的复数； → (2)对角线CA所表示的复数．
[分析] 求某个向量对应的复数，只要求出向量的起点和终点对应的复数即可． → → → [解析] (1)AO＝－OA，∴AO表示的复数－3－2i. → → → ∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i.
（二）课前自主预习
1．复数的概念 (1)虚数单位 i：(1)i2＝ ；(2)i 和实数在一起，服从实数的运算律． (2)代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中 叫实部， 叫虚部． (3)复数的分类 复数 z＝a＋bi(a、b∈R)中， z 是实数⇔ z 是虚数⇔ z 是纯虚数⇔ 2．复数相等的条件 a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔ . 特别 a＋bi＝0(a、b∈R)⇔ . 3．复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 . 显然， 实轴上的点都表示实数， 除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数 0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．