第一节 矩阵及其运算

A = (a1 , a 2 ,L , a n ) ,
a1 a2 B = , M a n
称为行矩阵( 行向量) 称为行矩阵(或行向量). 行矩阵
只有一列的矩阵
称为列矩阵( 列向量). 称为列矩阵(或列向量). 列矩阵
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二、 矩阵的运算
1、矩阵的加法
2 2 0 − 2 − 2 − 1 = 4 − 2 8 + 3 − 1 − 2
2 + ( −2) 2 + ( −2) 0 + ( −1) 0 0 − 1 = = . 4+ 3 − 2 + ( −1) 8 + ( −2) 7 − 3 6
设有两个 m × n 矩阵 A = (a ij )与B = (bij ) ，那末矩阵 A 与 B 的和记作 A + B，规定为
a11 + b11 a 21 + b21 A+ B = L a + b m1 m1
a12 + b12 a 22 + b22 L a m 2 + bm 2
× 矩阵。 是一个 3× 3 矩阵。
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如果矩阵A=(aij)的行数与列数都等于 则称 为 的行数与列数都等于n, 如果矩阵 的行数与列数都等于 则称A为 n阶矩阵 或称 阶方阵 阶矩阵(或称 阶方阵). 阶矩阵 或称n阶方阵 主对角线 a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n a 21 a 22 L a 2 n a 21 a 22 L a 2 n A= A= L L L L L L L L a a n1 L a nn a n1 a n1 L a nn n1 副对角线 对于n阶方阵 对应一个行列式, 记作|A|或 对于 阶方阵A, 对应一个行列式 记作 或det A. 阶方阵 矩阵与行列式有本质区别：行列式是一个算式, 注意 矩阵与行列式有本质区别：行列式是一个算式 一个数字行列式表示一个数值 而矩阵是一个数表 数值, 数表, 一个数字行列式表示一个数值 而矩阵是一个数表 它 的行数和列数可以不同. 对于方阵A, 虽有行列式|A|, 的行数和列数可以不同 对于方阵 虽有行列式 是不同的概念, 但A和|A|是不同的概念 不能混为一谈。 和 是不同的概念 不能混为一谈。 5
0 0 0 O0 a 22 L M M a n 2 L a nn
的方阵， 的方阵，称为 上三角形矩阵， 上三角形矩阵，
a11 a 21 类似地， 类似地， M a n1
下三角形矩阵， 下三角形矩阵，
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(三) 对角矩阵
如果方阵中非主对角线上的所有元素都是零 ( 即当 i ≠ j 时， a ij = 0 ) ，
加法和数乘合称为矩阵的线性运算. 加法和数乘合称为矩阵的线性运算. 线性运算
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1 1 0 2 2 1 例1 已知 A = 2 − 1 4 , B = − 3 1 2 , 求 2A−B . −
解
1 1 0 2 2 1 2 A − B = 2 2 − 1 4 − − 3 1 2
3
例如
1 0 3 5 − 9 6 4 3
矩阵, 是一个 2 × 4 矩阵
× 矩阵, (2 3 5 9) 是一个 1× 4 矩阵
1 2 4
矩阵。 是一个 3 × 1 矩阵。
3 −6 2 4 2 − 2 5 0 2
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
一般情形下, 用大写黑体字母 A,B,C 等表示矩阵 表示矩阵. 一般情形下 为了标明矩阵的行数m和列数 可用A × 表示, 为了标明矩阵的行数 和列数n, 可用 m×n表示 和列数 或记作 A = (a ij ) m×n .
0 − 1 2 1 3 0 3 − 1 4 −1 7 −6 . 10
4 2 1 1 − 1 2 1 3
22
例5
1 4 − 2 1 0 0 1 4 − 2 2 0 8 0 1 0 = 2 0 8 . − 3 6 0 0 0 1 − 3 6 0
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例2
已知
7 5 − 2 4 3 − 1 2 0 A = 1 5 7 9 , B = 5 1 9 7 , 3 2 − 1 6 2 4 6 8 4 6 − 4 4 1 1 解 X = ( B − A) = 4 − 4 2 − 2 2 2 1 − 2 − 7 − 2 2 3 −2 2 2 − 2 1 − 1 . = 1 7 −1 − − 1 2 2
a12 M ai 2 M am 2
L a1 s b11 L b1 j M b21 L b2 j L a is M M M bs1 L bsj L a ms
L b1n Lຫໍສະໝຸດ b2 n × s×n M L bsn
c11 L c1 j L c1n M M M c L c L c m×n × = i1 ij in M M M cm1 L cmj L cmn
L L L L 0 0 L λ
特别地， 特别地，当 λ = 1 时，称 n 阶数量矩阵
1 0 L 0 0 1 L 0 M M M 0 0 L 1
单位矩阵， 为 n 阶单位矩阵，记作 En 或 E。
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(五) 行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵
21
例3
4 −16 − 32 − 2 4 2 1 − 2 − 3 − 6 = 8 16 2×2 2×2 2× 2
1 0 −1 1 0 5
=
−5 6
10
例4
2
− 2 17
8
(二) 上三角形矩阵和下三角形矩阵
方阵中， 如果在主对角线之下的所有元素都是零 方阵中， ( 即当 i > j 时 ， a ij = 0 ) ，
即形如
a11 a12 L a1n 0 a 22 L a 2 n M M M O 0 0 L a nn
( 2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) .
− a11 − a 21 L − a m1
− a12 − a 22 L − am1
L − a1n L − a 2 n 称为矩阵 A的负矩阵 , L L 记为 − A . L − a mn
即形如
λ1 0 0 λ2 L L 0 0
0 L 0 L L L λn L
的方阵,称为对角矩阵 对角矩阵， 的方阵,称为对角矩阵，
可记作
A = diag(λ1 , λ2 ,L, λn ) .
diagonal matrix
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数量矩阵， (四) 数量矩阵，单位矩阵 当对角矩阵的主对角上的元都相同时， 当对角矩阵的主对角上的元都相同时， λ 0 L 0 数量矩阵， 的方阵，称为数量矩阵 即形如 0 λ L 0 的方阵，称为数量矩阵，
同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵 同型矩阵. 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵 两个矩阵的行数相等
1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵 同型矩阵. 3 7 3 9 2.两个矩阵 同型矩阵,并且对应 2.两个矩阵 A = (a ij )与B = (bij ) 为同型矩阵 并且对应 元素相等,即 元素相等 即
且A + 2X = B, 求X .
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3、矩阵的乘法
设 A = (a ij ) 是一个m× s 矩阵， = (bij )是一个 s×n × 矩阵， B × 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个 m×n 矩阵， × 矩阵 C = ( cij ) ，其中
cij = a i 1b1 j + a i 2 b2 j + L + a is bsj = ∑ a ik bkj
a1n + b1n L a 2 n + b2 n L L L a mn + bmn L
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只有当两个矩阵是同型矩阵时， 同型矩阵时 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行 加法运算. 加法运算
12 3 − 5 1 8 9 1 − 9 0 + 6 5 4 3 6 8 3 2 1
L
λa m 1
. L L L λa mn
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数乘矩阵的运算规律： 数乘矩阵的运算规律：
、 矩阵， （设A、B 为 m × n 矩阵， , µ 为数） λ 为数）
(1) λ ( µA) = (λµ ) A ;
( 2) (λ + µ ) A = λ A + µA ;
( 3) λ ( A + B ) = λ A + λ B .
s
(i = 1,2,L m; j = 1,2,L, n ),
并把此乘积记作 C = AB .
k =1
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cij = a i 1b1 j + a i 2 b2 j + L + a is bsj = ∑ a ik bkj
k =1
s
a11 M m× s ai 1 × M am1
显然有 A + ( − A ) = 0 . 定义矩阵的减法： 定义矩阵的减法： A − B = A + ( − B )