21.2.一元二次方程的优解
21.2.2-一元二次方程的解法(2)公式法
(2) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
b c x x （2）方程两边同除以a，得 a a
2
.
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a ∵a≠0, 4a2>0,
b 2 4ac 0, 2 ∴当b2－4ac≥0时， 4a
b b2 4ac ∴ x . 2a 2a
b b2 4ac x . 2a
2
2 0 a 0）. 对于方程 ax bx c （
2 ax bx c . （1）将常数项移到方程的左边，得
b 2 ( ) 2a ，得 （3）方程两边同时加上_______ b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) . a 2a a 2a 左边写成完全平方式，右边通分，得 b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a （4）开平方…
（3）
（ 4）
六、拓展练习 提升新知
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有 两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A 、 m ﹥0 C 、 m ﹥ 0 且m≠1 B、 m≥0 D m ≥0且m≠1
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
解 a 1, b 4, c 7
△ b 2 4ac 4 4 1 (7) 44 0.
2
方程有两个不相等的实数根： b b 2 4ac x 2a 4 44 4 2 11 . 2 1 2 2 11
人教版九年级数学上册21.2.3一元二次方程的解法(因式分解法)优秀教学案例
本节课的教学目标是培养学生的问题解决能力和团队合作精神。学生需要通过自主学习、合作交流等方式，掌握一元二次方程的因式分解法，并能够运用该方法解决实际问题。
为了实现这一目标，我将在教学中采用启发式教学方法，引导学生主动探究一元二次方程的解法，鼓励学生发表自己的观点和思考，培养学生的创新意识和批判性思维。同时，我还将通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队合作精神，使学生在交流中互相学习，共同提高。
（四）反思与评价
反思与评价是本节课的重要教学策略。我通过引导学生进行自我反思和评价，培养学生的自我监控和反思能力，提高学生的学习效果。
在教学过程中，我可以引导学生对自己的学习过程进行反思，思考自己在解决问题过程中的优点和不足，总结经验教训，提高解题能力。同时，我还可以组织学生进行互评和小组评价，让学生从不同角度获得反馈和建议，促进学生的全面发展。通过反思与评价，学生可以更好地了解自己的学习情况，优化学习方法，提高学习效果。
（二）讲授新知
讲授新知是学生掌握知识的关键环节。我通过生动的语言、清晰的讲解和形象的图示，引导学生理解和掌握一元二次方程的因式分解法。
首先，我会讲解一元二次方程的基本概念，包括方程的定义、形式以及解的概念。然后，我会介绍因式分解法的原理和步骤，通过具体的例题演示因式分解法的应用过程。在讲解过程中，我会注意引导学生思考和探究，鼓励学生提出问题和观点，培养学生的创新意识和批判性思维。
2.问题导向引导学生深入思考：我通过提出一系列递进式的问题，引导学生从一元二次方程的基本概念入手，逐步深入到因式分解法的原理和应用。这种问题导向的教学方法激发了学生的思考和探究欲望，培养了学生的创新意识和批判性思维。
3.小组合作促进学生互动交流：我将学生分成若干小组，让学生在小组合作和讨论中共同解决问题。通过小组合作，学生不仅可以相互学习，还可以培养团队合作精神和沟通能力，提高解决问题的能力。
21.2 解一元二次方程——配方法
解: 把常数项移到方程右边得：如何配方?
x 4x 1
2
2 2 2 两边同时加上2 得： x 4x 2 1 2
2
即
降次
( x 2) 5
2
x2 5
∴原方程的根为 x1 2 5, x2 2 5
例1.解下列方程 2 x 8x 2 0.
x2＋8x＋ 42 ＝( x＋4 )2 2 2 2 ＝ ( a +b ) a +2 a b ＋ b x2＋2．x．4 ＋ 42
配方依据：完全平方公式.
2 2 2 a ±2ab+b =(a±b) .
合作探究
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 2 (1) x 4 x 2 =( x + 2 )2 2 2 =(x - 3 )2 (2) x 6 x 3
系数一半的平方，得
x 4 x 1.
2
2 2 2
x 4x 2 1 2 .
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 降次，得
的形式，得
x 2
2
5.
x 2 5.
所以，原方程的根为
x1 2 5
x2 2 5.
练习:3x – 6x + 4 = 0
配方法的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（ ）2 的形式；
5、降次：化成一元一次方程；
6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
练习 题组
（1）
16 x 4 x 8x __ _ .
《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。
问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。
(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。
专题21.2一元二次方程的解法【八大题型】(人教版)(原卷版)
专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】【人教版】【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 (1)【题型2 用配方法解一元二次方程】 (2)【题型3 用公式法解一元二次方程】 (3)【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 (3)【题型5 用指定方法解一元二次方程】 (3)【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 (5)【题型7 用换元法解一元二次方程】 (5)【题型8 配方法的应用】 (7)【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】【例1】（2022•建华区二模）解方程：−13（x﹣2）2+34=0（开平方法）．【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）．【变式1-2】（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．【变式1-3】（2022春•黄浦区校级期中）解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．【题型2 用配方法解一元二次方程】【例2】（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．【变式2-1】（2022秋•松江区期末）用配方法解方程：x2−2√5x=4．【变式2-2】（2022秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0．【变式2-3】（2022秋•潢川县期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法）【题型3 用公式法解一元二次方程】【例3】（2022春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a．【变式3-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．【变式3-2】（2022秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣2√2x﹣3＝0．【变式3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．【题型4 用因式分解法解一元二次方程】【例4】（2022秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．【变式4-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．【变式4-2】（2022秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．【变式4-3】（2022秋•简阳市月考）用因式分解法解方程：x2−√3x+√2x−√6=0【题型5 用指定方法解一元二次方程】【例5】（2022秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程：（1）（x +1）2﹣144＝0（直接开平方法）；（2）x 2＝8x +9（配方法）；（3）2y 2+7y +3＝0（公式法）；（4）3（x ﹣2）2＝x （x ﹣2）（因式分解法）．【变式5-1】（2022秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程：（1）x （x ﹣2）+x ﹣2＝0（用因式分解法）（2）x 2﹣4x +3＝0（用配方法解）（3）x 2+5x +1＝0（用公式法解）（4）（x ﹣4）2＝（5﹣2x ）2（用直接开平方法）【变式5-2】（2022秋•简阳市月考）解下列方程（1）（2x ﹣1）2＝7（直接开平方法）（2）2x 2﹣7x ﹣4＝0（用配方法）（3）2x 2﹣10x ＝3（公式法）（4）（3x ﹣4）2＝（3﹣4x ）2（因式分解法）（5）x 2+4−√x 2+8=26（用换元法解）（6）（2x 2+1）2﹣2x 2﹣3＝0（用换元法解）【变式5-3】（2022秋•恩阳区月考）解方程：①x 2+（√3+√2）x +√6=0（因式分解法）①5x 2+2x ﹣1＝0（公式法）①y 2+6y +2＝0（配方法）①9（x ﹣2）2＝121（x +1）2（直接开平方法）①x+1x 2−2x 2x+1=1（换元法）①（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6＝0（适当方法）【题型6 用适当的方法解一元二次方程】【例6】（2022春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x +4）2﹣5（x +4）＝0；（2）x 2﹣2x ﹣15＝0．【变式6-1】（2022春•大观区校级期中）用适当的方法解方程（1）x 2﹣x ﹣1＝0；（2）（x +1）2﹣3（x +1）＝0．【变式6-2】（2022春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程：（1）x 2﹣x ﹣6＝0；（2）4（x ﹣1）2＝9（x ﹣5）2．【变式6-3】（2022春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程．（1）2x （x ﹣1）＝3（x ﹣1）；（2）12x 2+2√2x ﹣5＝0．【题型7 用换元法解一元二次方程】【例7】（2022秋•安居区期末）为解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4＝0，我们可以将x 2﹣1视为一个整体，然后设x 2﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解此方程得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2﹣1＝1，所以x =±√2；当y ＝4时，x 2﹣1＝4，所以x =±√5．所以原方程的根为x 1=√2，x 2=−√2，x 3=√5，x 4=−√5．以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．【变式7-1】（2021春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，①原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1=√2，x2=−√2，x3＝2，x4＝﹣2．以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；（2）已知实数a满足（a2+√3）2﹣3a2＝10+3√3，请直接写出−√3a2的值．【变式7-2】（2022秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0①（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1①x+y＝﹣2或x+y＝1已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．【变式7-3】（2022秋•甘井子区月考）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0．解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5．所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．上述解法称为“整体换元法”．（1）请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0；（2）已知x2﹣xy﹣y2＝0，求xy的值．【题型8 配方法的应用】【例8】（2022秋•饶平县期末）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b﹣c的值为（）A．1B．﹣5C．﹣6D．﹣7【变式8-1】（2022•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（）A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8【变式8-2】（2022春•仪陇县校级月考）已知a+b+c+3＝2√a+4√b−1+2√c−2，则a+b+c的值是．【变式8-3】（2022春•临湘市期中）阅读材料例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据上面的方法解决下列问题：（1）m2﹣4m﹣5最小值是．（2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是．。
21.2.1配方法解一元二次方程
1. 证明:代数式x2+4x+ 5的值不小于1.
2. 证明:代数式-2y2+2y-1的值不大于
1 2
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
答：道路宽1米
课堂练习
3.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0，
则x+y的值为（ D ）．
（A）1
（B）－2
（C）2或－1 （D）－2或1
4.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值
是一个（ B ）
（A）非负数 （B）正数
（C）整数 （D）不能确定的数
综合应用
例题3. 用配方法解决下列问题
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方
法. 2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方
式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
小练习
1．解方程：3x2+27=0得（ ）. (A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数 根 (D)方程的根有无数个 2.方程(x-1)2=4的根是( ). (A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)
新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
21.2.2_一元二次方程的解法-公式法
怎样用配方法解形如一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程：
一般的，式子 b 2 4ac 叫做一元二次方程 2 ax bx c 0(a 0) 根的判别式，通常用希 腊字母 △ 表示，
即
b 4ac
2
归纳：
由上可知， 当△>0时，方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)有两个不相等 的实数根； 当△=0时，方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0)有两个相等的 实数根；
1、(09成都)若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 （ B A. C. B. D. ） 且 且
2、关于x的一元二次方程 只有一解（相同解算一解），则a的值为（ ） A． B． C． D． 或
已知一元二次方程证明根的情况
已知关于x 的一元二次方程
x kx k 2 0
作业：
1、 关于x的方程
有两个不相等的实数根.求k的取值范围。 2.m取何值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两 个相等的实数根？
当△<0时，方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0)无实数根。
1.练习：不解方程，判断下列一元二次方程的根 的情况
2x 6x 3
2
3x( x 2) 7
x 4x 4 0
2
已知方程及其根的情况，求字母的取值范围
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1.因式分解法：3(x-2)2=x(x-2)
2.配方法： 2x2+5x-3=0 3.公式法：①x2-x=1 ②(y+1)(y-1)= y
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一 般形式再选取合理的方法。
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0 ④ x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法 ②、⑥ ； 适合运用因式分解法 ③、⑤、⑨； 适合运用公式法 ①、⑦ ； ④、⑧ . 适合运用配方法
1.定义：先用因式分解使方程化为两个一次因式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫因式分解法 2.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;
3.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式 等于零. 4.因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
请用四种方法解下列方程: x2-2 x+3 =3(x+2)2
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
2y2-6y+4=0 1.关于y的一元二次方程2y(y-3)=-4的一般形式是___________, 4 -6y 常数项是_____ 2 它的二次项系数是_____, 一次项是_____, . 2.下列方程是一元二次方程的是（ B） =8 . D.3x+8=6x+2
例
用最好的方法求解下列方程
（1）（3x-2）²-49=0 （2）（3x-4）²=（4x-3）² （3） 4y=1－ y² （4）abx2-(a2+b2)x+ab=0 （5）（x+2）2-8（x+2）+16=0
2.选择适当的方法解下列方程:
（1） x2=1 （2）5x2=2x （4）（x-2）2=9x2 （6）x（2x-7）=x
课外练习 用适当的方法解下列方程
（1） （2） （3） （4）
4x2+12x+9=81 2x2+3x=3 x(2x-5)=4x-10 1-8x+16x2 =2-8x
一元二次方程优解的一般思路 （1）化一元二次方程为一般形式； （2）对于缺一次项的一元二次方程（包括形如x2=p 或 (mx+n)2=p(p≥0)选用直接开平方法； （3）对于缺常数项的一元二次方程，选用因式分解法；
（4）对于二次项系数为1，一次项系数为±2，±4……的 一元二次方程，可选用配方法法，不过没有特殊说明 一般不用此法； （5）优先考虑使用因式分解法，尤其是十字相乘法，以避 免复杂的计算； （6）如果一个一元二次方程很难用因式分解法又不能用直 接开平方法，则一般选用公式法；
我的发现 （1） 一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法；若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因 式分解法；若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜 选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1， 且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. （2）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应 用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行， 再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.
（3）3x2+1=4x
（5）x（3x-7）=2x
（8） (x+1)(x-1)=2 （7）（2x-1）2=（3x+1）2
练一练 用适当的方法解下列一元二次方程 （1） 2(3x-1)2= （3）4x2-5x+1=0 （2）5x2-7x+1=0 （4）x2x=0
（5）x2-a(3x-2a+b)=b2
（6）x2+mx+2=mx2+3x （m≠1）
A.x+2y=1
B.x2+5=0
C.x2+
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 2
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答 对的是（ C ） A.若x2=4，则x=2 B.若3x2=6x，则x=2 C.若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
D.若
的值为0 一元二次方程
21.2一元二次方程的解法复习
你学过一元二次方程的哪些解法?
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
1.定义：用直接开平方法求一元二次方程的根的方法 叫直接开平方法 2. 直接开平方法适用条件 方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即 形如x2=p或 (mx+n)2=p(p≥0)
课堂小结 ax2+c=0 ====> 直接开平方法
1.
ax2+bx=0 ====> 因式分解法 因式分解法 ax2+bx+c=0 ====>
公式法（配方法） 2.公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一 定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接 开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公 式法（适当也可考虑配方法） 3.方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若 看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取 合理的方法.
1.用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是
2.定义：用求根公式求出一元二次方程的根的方法 3.公式法适用条件： 解所有的一元二次方程 4.公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）化一元二次方程为一般形式； （2）确定a,b,c的值；
1.定义：以配方为手段，将方程化为(mx+n)2=p(p≥0)的形式， 再用直接开平方法求出一元二次方程的根的方法
2. 配方法适用条件：解所有的一元二次方程
“配方法”解方程的基本步骤 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成(mx+n)2=p 5.开平方，求解 ★一化、二移、三配、四化、五解.