子集、补集、全集习题课
集合的基本运算(习题课)
王晓明
知识探究（一）
题型1:利用数轴求集合的并集、交集、补集
例1 设 A {x | 1 x 8} ，B {x | x 4或x 5} ，
求A∩B、A∪B 、 A (CU B) 、 A (CU B) .
－5
－1
4
8 x
知识探究（一）
题型1:利用数轴求集合的并集、交集、补集
A B {x Leabharlann x 1}A B R
点 醒：在求集合的运算（交、并、补）时 应注意集合元素的属性的理解。
例如： x x 2 2 x 3 0 表示方程 x2 2 x 3 0 的根组成的集合；即 1, 3
2
x x 2x 3 0 表示不等式 x 2x 3 0 的解集；即 x 3 x 1 y y x 2x 3 表 示 函 数 y x 2x 3 的 所 有 y 值 组 成 的 集 合 ； 即 y y x 2x 3 (x 1) 4 4 y y 4 ( x, y) y x 2x 3 表示抛物线 y x 2x 3 上的点构成的集合。
例1 设 A {x | 1 x 8} ，B {x | x 4或x 5} ，
求A∩B、A∪B 、 A (CU B) 、 A (CU B) .
x 1 x 4 x 1 x 4
x x 5或x 1 x 5 x 8
小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来 求解.
2 2 4( a 1) 4( a 5) 8(a 3) 0 a 3 ； ③若 B {2} ，则需 2 4 4( a 1) a 5 0
即 a 3 时，满足条件；
子集、补集、全集习题课
高中数学第1章集合1.2子集全集补集课时作业苏教版必修1
U，求子集 A，若直接求 A 困
难，可先求 ?UA，再由 ?U( ?UA) ＝ A求 A.
§1.2 子集、全集、补集
知识梳理
1．任意一个 子集 A? B B? A 子集 2. 真子集 A B B A
3．空集 空集 4. 补集 ?SA 5. 全集 作业设计
1． P Q
解析 ∵ P＝ { x| y＝ x＋1} ＝ { x| x≥－ 1} ，Q＝ { y| y≥0} ，
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
1．子集概念的多角度理解
(1) “ A 是 B 的子集”的含义是：集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，即由任
意 x∈A 能推出 x∈ B.
(2) 不能把“ A? B”理解成“ A 是 B 中部分元素组成的集合”，因为当 A＝ ?时， A? B，
_____________________________ ．
Venn 图 是
6．集合 M＝ { x| x＝3k－ 2，k∈ Z} ， P＝{ y| y＝ 3n＋ 1， n∈Z} ，S＝ { z| z＝ 6m＋ 1，m∈ Z} 之间的关系是 ________． 7．设 U＝ {0,1,2,3} ， A＝{ x∈ U| x2 ＋mx＝ 0} ，若 ?UA＝ {1,2} ，则实数 m＝ ________. 8．设全集 U＝ { x| x<9 且 x∈ N} ，A＝ {2,4,6} ，B＝{0,1,2,3,4,5,6} ，则 ?UA＝ ________， ?UB＝ ______， ?BA＝ ________. 9．已知全集 U， A B，则 ?UA 与 ?UB 的关系是 ____________________． 二、解答题
1.2 子集、全集、补集(练习)(解析版)
1.2 子集、全集、补集【基础练习】1． 已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则（ ）A ．AB ⊆B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆ 【答案】B【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D A ⊆，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B A ⊆ C A ⊆，正方形是矩形，所以C B ⊆．故选B ．2．集合2{|440}x x x -+=的子集个数为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】由题意，求得{}2{|440}2x x x -+==，即可求解集合子集的个数，得到答案. 3．满足{}{}1123A ⊆⊆，，的集合A 的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】C【解析】由条件{}1A ⊆⊆{1,2,3}，根据集合的子集的概念与运算，即可求解．4．设集合{}12M x x =-≤<，{}0N x x k =-≤，若M N ，则k 的取值范围是（ ） A ．k 2≤ B ．k ≥-1 C ．1k >- D ．2k ≥【答案】D【解析】由M N ⊆，则说明集合M 是集合N 的子集，即集合M 中任意元素都是集合N 中的元素，即2k ≥即可.5（多选题）已知集合(){},0,0,,M x y x y xy x y =+<>∈R ，(){},0,0,,N x y x y x y =<<∈R ，那么（ ） A ．M N ⊆B ．M N ⊇C ．M ND ．M N【答案】ABC【解析】若0x <,0y <,则0x y +<,0xy >,故N M ⊆.若0x y +<,0xy >,则x 与y 同号且为负,即0x <,0y <,故M N ⊆,所以M N ,故选ABC.6．已知集合{}0,1,2A =，则集合A 的真子集共有 个．【答案】7【解析】集合含有3个元素，则子集个数为328=，真子集有7个 7．集合{|24},{|2}A x x B x x a =<<=<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是________．【答案】[)4,+∞【解析】因为{|24},{|2}A x x B x x a =<<=<<，若A B ⊆，所以4a ≥，故a 的取值范围是[)4,+∞.8.若集合{2,3}A =，{1,2,3,4}B =，则满足A M B 的集合M 的个数是________.【答案】2 【解析】集合{2,3}A =，{1,2,3,4}B =，且A M B ，∴{1,2,3}M =或{2,3,4}M =，∴满足条件的集合M 的个数是2.9．已知{0,1,2,3},{0,2,4,5},,A B C A C B ==⊆⊆,写出符合条件的所有集合C .【答案】,{0},{2},{0,2}∅10．已知集合{}34A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】{|1}m m ≥-【解析】∵B A ⊆，∵当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥， 当B ≠∅时，213142m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得12m -≤<，综上所述，m 的取值范围是{|1}m m ≥-．【能力提升】11．设a ，b ∈R ，若集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则20202020a b +=_______.【答案】2 【解析】由{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭易知0a ≠，1a ≠ 由两个集合相等定义可知若10b a b =⎧⎨+=⎩，得1a =-，经验证，符合题意； 若01b a a b +=⎧=⎪⎨⎪⎩，由于0a ≠，则方程组无解综上可知，1a =-，1b =，故2020202020202020(1)12ab +=-+=.故答案为2 12．已知集合{}{}012a b c =,,,,，且下列三个关系：∵2a ≠；∵2b =；∵0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于__________．【答案】201【解析】已知集合{a ，b ，c }={1，2，3}，且下列三个关系：∵a ≠3；∵b =3；∵c ≠1有且只有一个正确， 若∵正确，则c =1，a =2，b =2不成立，若∵正确，则b =3，c =1，a =3不成立，若∵正确，则a =3，b =1，c =2，即有100a +10b +c =312．故答案为312．。
子集、全集、补集·典型例题
子集、全集、补集·典型例题子集、全集和补集是集合论中的重要概念，描述了集合之间的包含关系。
在这篇文档中，我们将介绍子集、全集和补集的定义及其相关的典型例题。
子集的定义在集合论中，如果一个集合A中的每个元素都是另一个集合B中的元素，那么集合A就被称为集合B的子集。
记作A ⊆ B。
换句话说，A是B的子集，意味着A中的元素都属于B。
例如，考虑两个集合A = {1, 2, 3} 和 B = {1, 2, 3, 4}。
由于A中的每个元素都属于B，因此可以说A是B的子集。
反之，B不是A的子集，因为B中包含A没有的元素4。
全集的定义全集是指包含了所有可能元素的集合。
在特定的上下文中，全集的确定可能会受到限制。
全集通常用字母U表示。
例如，在一个考虑自然数的集合论问题中，全集可能是所有自然数的集合N = {1, 2, 3, …}。
在实数集上的问题中，全集可能是所有实数的集合R。
补集的定义给定一个集合A，相对于某个全集U，与A中所有元素不同的元素构成的集合被称为A相对于U的补集，记作A’ 或 Ac。
补集中包含了全集U中不属于A的所有元素。
例如，考虑一个全集U = {1, 2, 3, 4, 5} 和一个集合A = {1, 2, 3}。
此时，A相对于U的补集，记作A’ 或 Ac，包含了U中不属于A的元素4和5。
典型例题例题1：已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}。
判断以下命题的真假：1.A ⊆ B2.B ⊆ U3.A’ = {4, 5, 6}解答：1.命题1的判断：因为A中的每个元素都属于B，所以A ⊆ B为真。
2.命题2的判断：B中的每个元素都属于U，所以B ⊆ U为真。
3.命题3的判断：A’中包含了全集U中A没有的元素4、5和6，所以A’ = {4, 5, 6}为真。
因此，命题1、2和3都为真。
例题2：已知全集U = {a, b, c, d, e, f}，集合A = {a, b, c}，集合B = {c, d, e}。
高中数学第一章集合1子集、全集、补集自主训练苏教版1
1。
2 子集、全集、补集自主广场我夯基我达标1。
下列说法正确的是( )①任意集合必有子集②空集是任意集合的真子集③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B，则B是A的子集A。
①②③B。
①③④C。
①③D。
①②③④思路解析：此题考查子集的性质,并需要注意空集的特殊性.（1)任意集合都是自身的子集，因此①正确。
（2）空集是任意非空集合的真子集，因此②不正确.(3)集合子集的性质具有传递性，因此③正确。
（4)可利用文氏图进行分析,④正确。
答案:B2。
已知集合{2x，x2-x｝有且只有4个子集，则实数x的取值范围是( ）A。
R B。
(—∞，0)∪（0，+∞)C.｛x|x≠3，x∈R｝D。
{x｜x≠0且x ≠3，x∈R}思路解析：由已知｛2x，x2—x}有且只有4个子集，可知2x≠x2-x.解得x≠0且x≠3.∴选D.答案:D3。
集合{x∈N｜x=5—2n，n∈N}的真子集的个数是（)A。
9 B。
8 C.7 D.6思路解析:∵x∈N，n∈N，∴x=5-2n=5，3，1。
∴集合{x∈N|x=5—2n，n∈N}={1，3，5｝.∴其真子集的个数是23-1=7.答案:C4.满足条件｛1，2｝⊆A｛1，2,3，4}的集合A的个数是（）A。
1 B.2 C。
3 D.4思路解析:∵{1，2}⊆A{1,2,3,4}，∴A中至少有1、2两个元素，至多有1、2、3(4）三个元素。
∴集合A可能有三种情况：{1，2}，｛1，2，3}，{1,2，4}。
∴集合A的个数是3.故选C。
答案:C5。
设M=｛x｜x=a2+1,a∈N＊},P=｛y｜y=b2-4b+5，b∈N*}，则下列关系正确的是( )A。
M=P B。
M P C.P M D.M∩P=∅思路解析：∵a∈N＊，∴x=a2+1=2，5,10，…。
∵b ∈N ＊，∴y=b 2-4b+5=(b-2）2+1=1，2，5,10，….∴M P 。
集合、子集、全集、补集习题课
6.已知 已知A={x| x2 ＋x－6＝0}， 已知 ＝ ， B={x|ax＋1 ＝0}，若A ⊇ B， ＋ ， ， ≠ 求实数a的取值范围 的取值范围. 求实数 的取值范围
7.设全集 设全集U={2，3，a2＋2a－3}， 设全集 ， ， － ， A={b，2}, ∁ U A={5},求实数 、b的值 求实数a、 的值 的值. ， 求实数
集合、 集合、子集、全集、补集 全集、
习题课
1.已知 ＝{2，a，b}， 已知M＝ ， ， ， 已知 N ＝{2a，பைடு நூலகம்，b2}， ， ， ， M=N， ， 求实数a、 的值 的值. 求实数 、b的值
2.设非空数集 满足下列条件： 设非空数集A 满足下列条件： 设非空数集
1 若a ∈A，则 ， ∈A，且1 ∉ A. ， 1− a
10.设A={x| － 2≤x≤5}, 设 B={x|m＋1≤x ＜2m － 1}. ＋ 的取值范围； （1）若B ⊆A，求实数 的取值范围； ） ，求实数m的取值范围 （2）若x∈R时，没有元素 使x∈A与x∈B ） ∈ 时 没有元素x使 ∈ 与 ∈ 同时成立，求实数m的取值范围 的取值范围. 同时成立，求实数 的取值范围
（1）若2 ∈A，你能求出 中的哪些元 ） ，你能求出A中的哪些元 素？ 1 （2）求证：若a ∈A，则 1− ∈A; ）求证： ，
a
中至少有三个元素. （3）求证：集合 中至少有三个元素 ）求证：集合A中至少有三个元素
3.已知集合 已知集合A 已知集合 ＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}. ＋ ＝ ， ∈ ， ∈ 中只有一个元素， 的值 的值； （1）若A中只有一个元素，求a的值； ） 中只有一个元素 中至多有一个元素， 的取值 （2）若A中至多有一个元素，求a的取值 ） 中至多有一个元素 范围. 范围
子集全集补集典型例题
子集、全集、补集·典型例题能力素质例1 判定以下关系是否正确(1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠(4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．解含有个元素的子集有：； 0∅含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ∅例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________．分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．答 共3个．说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．例设为全集，集合、，且，则≠4 U M N U N M ⊂⊆[ ]分析作出4图形．答选C．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．点击思维例5 设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是[ ]A AB B A BC A BD A B．＝．．．≠≠⊇⊂⊃分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x＝5－4a＋a2＝(2－a)2＋1≥1，y＝4b2＋4b＋2＝(2b＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A＝B．答选A．说明：要注意集合中谁是元素．M与P的关系是[ ] A．M＝U PB．M＝PC M PD M P．．≠⊃⊆分析可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M＝U N＝U(U P)＝P；三是利用画图的方法．答 选B ．说明：一题多解可以锻炼发散思维． 例7 下列命题中正确的是[ ]A ．U (U A)＝{A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ⊆集有，，，，，，，，，，，，，而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素． ∴A ∈B ． 答 选D ．说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．分析 逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．答 C ＝{4}或{7}或{4，7}．说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．学科渗透例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于S M ＝{1，4}，且，≠M S⊂ ∴M ＝{2，3}则由韦达定理可解． 答 p ＝2×3＝6．说明：集合问题常常与方程问题相结合．例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值．S 这个集合是集合A 与集合S A的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．解 由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．说明：分类要做到不重不漏．高考巡礼例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24x|x k Z}＝π＋π，∈则k 42[ ]A ．M ＝NB M NC M N．．≠≠⊃⊂D ．M 与N 没有相同元素分析 分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得M {}N {}M N ＝…，－π，π，π，π，π，…，＝…，π，π，π，π，π，…易见，．≠44345474423454⊂ 答 选C ．说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性。
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2a－3}， 7、设全集是数集U＝{2，3，a2＋2a－3}， 设全集是数集U {2， 已知A {b， {5}，求实数a 已知A＝{b，2} CUA＝{5}，求实数a、b 的值。 的值。 解： ①∵CUA ＝{5} ∴5∈ U 2a－ ∴ a2＋2a－3=5 ②∵A U ∴由①②得 ①②得
a + 2a 3 = 5 a = 2 a = －4 或 ∴ ∴ b=3 b = 3 b=3
=表示。 表集， （１）若集合A不是集合B的子集，则A中 的元素都不在B 的元素都不在B中。 （２）若集合A是集合B的子集，则集合B 若集合A是集合B的子集，则集合B 中一定有不属于A的元素。 中一定有不属于A的元素。 （３）空集没有子集。 空集没有子集。 （４）若集合A是集合B的子集，则A中的 若集合A是集合B的子集， 元素都属于B 元素都属于B 。
，求a，b，c。
2
∴b＝ ∴b＝3
0}， {x|ax－ 8、若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax－1＝ 若集合P 0}， P，求实数a可取的值组成的集合， 0}，且Q P，求实数a可取的值组成的集合，并 写出它的所有非空真子集。 写出它的所有非空真子集。 ＝－3 解：由x2＋x－6＝0得x＝－3 或x＝2 ∴ P＝{－3、2} 当a＝0时，ax－1＝0无解，此时Q＝ 满足 Q P ax－ 无解，此时Q 1 1 a≠0时 ax－ 此时Q 当a≠0时，由ax－1＝0得 x = a ，此时Q＝{ a } 1 1 1 因为Q P， ＝－3 因为Q P，所以 ＝－3或2，解得 a = 或
a
综上可得由实数a组成得集合为{ 综上可得由实数a组成得集合为{ 所以真子集有…… 所以真子集有……
1 1 ， 0， } 3 2
3
2
1、满足{a，b} A 满足{a， {a 合是什么。 合是什么。
{a,b,c,d}的集 {a,b,c,d}的集
2、若{a，0，1}＝ {a， 1}＝
1 c， , 1 b
1.2 子集、补集、全集习题课 子集、补集、
一、有关概念
1、元素与集合、集合与集合之间的关系 、元素与集合、 （1）元素与集合的关系是属于与不属于 ） 的关系用符号∈ 的关系用符号∈、 表示 （2）集合与集合之间的关系是包含、真 ）集合与集合之间的关系是包含、 包含、相等的关系， 包含、相等的关系，用符号
{3}、{5}、{3、 ∴所有子集为 、{3}、{5}、{3、5}
N}， 5、A＝{x|x≤5 x∈N}， B＝{x|1<x<5 x∈N} 求CAB 解： CAB＝{0,1,5} 6、设全集U＝R，集合A＝{x|a≤x≤b}， 设全集U 集合A {x|a≤x≤b}， x>4},求 CUA ＝{x|x<3 或 x>4},求a，b b＝ 解： a＝3 b＝4
二、习题
2、判断下列关系式 (1) {0} (2) {0} (3) {0} (4) 0 = {0} (5) 0
∈ {0}
3、如果数集{0、1、x+2}中有3个元素， 如果数集{0、 {0 x+2}中有3个元素， 中有 那么x不能取哪些值。 那么x不能取哪些值。 解：根据元素互异性 x+2≠0 且 x+2≠1 x≠x≠∴ x≠-2 且 x≠-1 R},求 的所有子集。 4、U={x|x2-8x+15=0 x∈ R},求U的所有子集。 解：∵x2-8x+15=0 ∴x1=3 x2=5